GEOMETRIE

GEOMETRIE

Elemente de geometrie sintetica plana

Fie cu laturile si înaltimea din vârful . Avem urmatoarele:

Teorema sinusurilor , unde este raza cercului circumscris .

Teorema cosinusului

Formule pentru arie

Formula lui Heron:  , unde (semiperimetrul)

, unde este raza cercului înscris în .

, , ;

, , ;

, , , unde este lungimea bisectoarei unghiului .

, , , unde este lungimea medianei din .

Elemente de geometrie vectoriala

Spunem ca vectorii legati si au acelasi sens (sau sunt la fel orientati) d 454d35e aca au aceeasi directie, iar extremitatile lor se afla în acelasi semiplan fata de dreapta , determinata de originile lor (fig. 1). Spunem ca vectorii legati si au sensuri opuse (sau sunt orientati diferit) daca au aceeasi directie, iar extremitatile lor se afla în semiplane diferite determinate de dreapata (fig. 2).

Operatii elementare cu vectori

1.Adunarea vectorilor

a) Dupa regula paralelogramului

Fie vectorii liberi , si . Vectorul de reprezentant (care porneste din originea comuna) reprezinta prin definitie suma vectorilor , si scriem .

b) Dupa regula triunghiului

Fie ca mai sus vectorii liberi , . Consideram , reprezentanti ai vectorilor si respectiv . Atunci vectorul suma a vectorilor , este vectorul de reprezentant .

Observatie. Pentru adunarea a trei sau mai multi vectori se plica succesiv regula triunghiului sau regula poligonului.

2.Scaderea vectorilor

Fie doi vectori. Atunci diferenta lor este vectorul definit prin . Vectorul diferenta se construieste unind extremitatea vectorului scazator cu extremitatea vectorului descazut.

3.Înmultirea unui vector cu un scalar

Definitie. Fie un numar real si un vector. Produsul dintre numarul real si vectorul liber este vectorul notat având :

aceeasi directie cu ;

acelasi sens cu daca ; sens contrar lui daca ;

modulul egal cu produsul dintre si modulul vectorului , adica .

Observatie. Doi vectori liberi nenuli se numesc coliniari daca au aceeasi directie. În caz contrar vectorii se numesc necoliniari.

Doi vectori nenuli , sunt coliniari daca si numai daca exista astfel încât .

Se numeste vector director al unei drepte , orice vector liber nenul , având directia dreptei . Daca vectorul are lungimea egala cu unu, atunci acesta se numeste versor director.

Vectorii necoliniari nenuli , ale caror directii sunt paralele cu planul P se numesc vectorii directori ai planului P . (În acest caz orice vector al planului P se scrie ca o combinatie liniara de vectorii directori, , cu .

Un vector nenul se numeste vector normal la planul P daca un reprezentant al sau are dreapta suport perpendiculara pe planul P

Fie în planul P reperul , iar P . Atunci vectorul îl numim vector legat (de punctul ) sau vector de pozitie. (Vectorul îl notam ).

Mai mult daca , atunci , adica coordonatele punctului sunt coordonatele vectorului de pozitie , adica .

Teorema. Fie un punct pe segmentul astfel încât , atunci pentru orice punct din plan are loc relatia:

.

Operatii cu vectori legati

Fie , doi vectori legati. Atunci .

Adunarea. Suma a doi vectori legati , este vectorul notat având coordonatele .

Înmultirea unui vector cu un scalar. Înmultirea vectorului legat cu scalarul este vectorul notat având coordonatele .

Modulul vectorului este egal cu :

Doi vectori , sunt coliniari daca au coordonatele proportionale : .

Coordonatele punctului care împarte segmentul în raportul , , sunt : , . În particular, daca este mijlocul segmentului , atunci , .

Produsul scalar a doi vectori

Fie în plan sau în spatiu o axa cu versorul si un vector arbitrar . Proiectia ortogonala (sau simpu proiectia) vectorului pe axa este un numar egal cu produsul lungimii lungimii vectorului cu cosinusul unghiului dintre vectorii si .

Produsul scalar al vectorilor , este numarul notat , unde este unghiul facut de vectorii si .

Proprietati

Doi vectori nenuli sunt perpendiculari daca si numai daca produsul lor scalar este egal cu 0.

Produsul scalar a doi vectori de acelasi sens este egal cu produsul modulelor lor.

Produsul scalar în plan

Fie , doi vectori în plan. Atunci .

Modulul unui vector : Fie . Atunci .

Calculul unghiului a doi vectori : Fie , doi vectori nenuli în plan, iar unghiul dintre ei. Atunci : .

Vectorii , sunt perpendiculari daca si numai daca .

Produsul scalar în spatiu

Fie , doi vectori în spatiu. Atunci .

Modulul unui vector : .

Cosinusul unghiului a doi vectori : .

Elemente de geometrie analitica plana

Fie o dreapta oblica din plan. Numarul real , unde este unghiul facut de dreapta cu sensul pozitiv al axei , se numeste panta dreptei .

Panta unei directii determinate de vectorul , este egala cu .

Consideram punctele distincte , cu . Panta dreptei ce trece prin punctele este : .

Doua drepte oblice sunt paralele daca si numai daca au pantele egale si sunt perpendiculare daca si numai daca produsul pantelor lor este egal cu -1.

Forme ale ecuatiei dreptei în plan

Consideram punctul si vectorul . Ecuatiile se numesc ecuatiile parametrice ale dreptei .

Ecuatia dreptei ce trece prin punctul si are panta este : .

Ecuatia dreptei determinata de doua puncte distincte , , este: . Daca , atunci ecuatia dreptei este .

Daca punctele sunt situate pe axele de coordonate adica daca , , cu atunci ecuatia dreptei are forma , numita ecuatia dreptei prin taieturi.

Ecuatia carteziana generala a unei drepte : . Panta dreptei date în forma generala este , daca . Daca , atunci dreapta este verticala, deci nu are panta.

Observatii. Punctul apartine dreptei (se afla pe dreapta) , daca coordonatele sale verifica ecuatia dreptei, adica daca .

Conditia de coliniaritate a trei puncte , , este .

Punctul de intersectie a doua drepte se obtine rezolvând sistemul format din ecuatiile dreptelor.

Doua drepte , coincid daca si numai daca au coeficientii proportionali, adca : .

Conditia de concurenta a trei drepte , unde si , .

si exista un minor de ordinul 2 nenul.

Unghiul a doua drepte

Fie dreptele , , niciuna paralela cu axa . Avem :

, si , atunci:

.

Distanta de la un punct la o dreapta

Distanta de la punctul la dreapta de ecuatie este data de formula

.

Aria unui triunghi

Fie , , vârfurile triunghiului . Aria triunghiului este data de formula , unde .

Coordonatele centrului de greutate al unui triunghi cu vârfurile , unde sunt

, .

Elemente de geometrie analitica în spatiu

Distanta dintre doua puncte si este .

Ecuatii ale planului în spatiu

Fie vectorul . Numerele se numesc parametrii directori ai directiei dreptei (sau simplu parametrii directori ai dreptei ).

Ecuatia vectoriala a planului care trece prin si care este perpendicular pe este : unde este vectorul de pozitie al unui punct curent al planului, este vectorul de pozitie al punctului .

Ecuatia planului determinat de trei puncte necoliniare este:

.

Conditia ca de trei puncte sa fie coliniare este: .

Conditia ca patru puncte sa fie coplanare este:

.

Ecuatia generala a planului : , unde si .

Observatie. Vectorul este perpendicular pe planul de ecuatie si se numeste normal la plan.

Ecuatia normala a planului ce trece prin este: .

Ecuatia unui plan care trece prin origine este: , unde si .

Planul paralel cu axa are ecuatia : , unde si .

Planul paralel cu axa are ecuatia : , unde si .

Planul paralel cu axa are ecuatia : , unde si .

Planul paralel cu are ecuatia : , etc, unde si .

Planele si sunt :

1. Perpendiculare daca si numai daca : .
2. Paralele daca si numai daca  : ( pot fi simultan nule, la fel analoagele).
3. Se intersecteaza (se obtine o dreapta de intersectie), daca sau sau , aceasta se obtine rezolvând sistemul format cu ecuatiile celor doua plane.
4. Coincid daca si numai daca :  .

Forme ale ecuatiei dreptei în spatiu

Ecuatiile parametrice ale dreptei ce trece prin si are vectorul director :

, .

Ecuatiile dreptei trece prin si are vectorul director în forma canonica:

.

Ecuatia vectoriala a dreptei determinata de doua puncte : .

Ecuatiile parametrice ale dreptei determinate de doua puncte si :

, .

Ecuatiile canonice ale dreptei determinate de doua puncte si :

, .

Ecuatia dreptei ca intersectie a doua plane si :

, daca .

Exemplu: Daca , atunci obtinem , notam , si avem

, (adica ecuatiile parametrice ale dreptei).

Pozitiile a doua drepte în spatiu Fie si doua drepte cu vectorii directori si respectiv , atunci:

1. , unde . Pentru determinarea coordonatelor punctului , punem conditia ca sa se gaseasca pe cele doua drepte, adica astfel încât si respectiv si rezolvam sistemul .
2. sunt coliniari astfel încât .
3. dreptele sunt necoplanare, adica nici paralele, nici concurente.

Unghiul dintre doua drepte si este dat de formula: (se formeaza doua unghiuri, îl alegem pe cel ascutit).

Pozitia unei drepte fata de un plan Fie dreapta si planul , atunci:

1. Daca , atunci dreapta intersecteza planul într-un punct.
2. Daca si , atunci .
3. Daca si , atunci .

Observatie. Pentru a determina punctul de intersectie dintre dreapta si plan în cazul a). Scriem ecuatia dreptei sub forma parametrica si înlocuim în ecuatia planului, de unde se determina parametrul , cu acesta ne întoarcem la ecuatiile parametrice ale dreptei si gasim coordonatele punctului de intersectie.

Unghiul format de o dreapta cu un plan Fie dreapta , planul si unghiul format de dreapta cu planul , atunci:

.

Unghiul dintre doua plane Fie , doua plane si unghiul format de cele doua plane, atunci

Distanta de la un punct la planul este data de formula:

.

Aria triunghiului cu vârfurile , este dat de formula: , unde , , .

Coordonatele centrului de greutate al unui triunghi cu vârfurile , sunt:

.

Volumul unui tetraedru cu vârfurile , este dat de formula : , unde

.

Curbe Plane

1. Cercul

Definitie. Cercul de centru si raza este multimea punctelor din plan cu propriettea ca (fig. 2).

Ecuatii ale cercului

1. Ecuatia implicita

2. Ecuatiile parametrice

, parametru.

3. Ecuatiile explicite

(ecuatia semicercului superior)

(ecuatia semicercului inferior).

Daca notam , , atunci:

Interiorul cercului:

Cercul:

Exteriorul cercului: .

(vezi fig. 3)

1. Ecuatia tangentei la cercul în punctul :

. (vezi fig. 4).

2. Ecuatiile tangentelor de directie data la cercul :

Se pune apoi conditia ca sa apartina tangentei si se determina :

. (vezi fig. 4).

Ecuatia normalei la cercul în punctul :

. (vezi fig. 4).

2. Elipsa

Definitie. Fie , si doua puncte fixate din plan astfel încât . Fie . Multimea a punctelor cu proprietatea ca se numeste elipsa. (vezi fig. 5).

Elementele elipsei

1). si se numesc focarele elipsei;

2). se numeste axa focala;

3). distanta focala;

4). si se numesc razele focale ale punctului M;

5). (mediatoarea segmentului ) si se numesc axe de simetrie;

6). se numeste centru de simetrie.

7). , , , se numesc vârfurile elipsei;

8). se numeste axa mare iar se numeste axa mica;

9). se numesc semiaxe.

Ecuatiile elipsei:

Ecuatia implicita , unde .

2). Ecuatiile parametrice: , (parametru)

3). Ecuatiile explicite: , unde corespunde portiunii din din semiplanul superior, iar corespunde portiunii din din semiplanul inferior.

Daca notam , , atunci:

Interiorul elipsei:

Elipsa:

Exteriorul elipsei: (vezi fig. 6).

1. Ecuatia tangentei la elipsa într-un punct dat :

(vezi fig. 7)

2. Ecutia tangentelor de directie data la :

.

Se pune conditia ca si se determina . .

Ecuatia normalei la elipsa în punctul :

(vezi fig. 7).

3. Hiperbola

Definitie. Fie si si doua puncte fixate din plan astfel încât . Fie . Multimea punctelor cu proprietatea se numeste hiperbola. (vezi fig. 9).

Elementele hiperbolei

1). si se numesc focarele hiperbolei;

2). se numeste axa focala;

3). distanta focala;

4). si se numesc razele focale ale punctului M;

5). si mediatoarea segmentului se numesc axe de simetrie;

6). Punctele , se numesc vârfurile hiperbolei;

7). - axa transversala, - axa netransversala.

Ecuatiile hiperbolei:

Ecuatia implicita , unde .

2). Ecuatiile parmetrice:

Ramura : , cu are ecuatiile parametrice: , .

Ramura , cu are ecuatiile parametrice: , , unde , .

3). Ecuatiile explicite: , . ( portiunea de din semiplanul , portiune de H din semiplanul ).

Daca notam , , atunci:

Interiorul hiperbolei:

Hiperbola:

Exteriorul hiperbolei: .

1. Ecuatia tangentei la hiperbola într-un punct dat :

(vezi fig. 10)

2. Ecuatia tangentelor de directie data la :

. (vezi fig. 11)

se pune conditia ca si se determina .

.

Ecuatia normalei la hiperbola în punctul : (vezi fig. 10).

Asimptotele hiperbolei: si .

4. Parabola

Definitie. Fie o dreapta din plan si un punct exterior dreptei. Multimea a punctelor cu proprietatea se numeste parabola. (vezi fig. 12)

Elementele parabolei:

1). se numeste focarul parabolei;

2). se numeste directoarea parabolei;

3). se numeste raza focala a punctului ;

4). , axa de simetrie a parabolei;

5). , parametrul parabolei;

6). vârful parabolei;

7). - axa transversala, - axa netransversala.

Ecuatiile parabolei:

Ecuatia implicita .

2). Ecuatiile parametrice: parametru.

3). Ecuatiile explicite:

portiunea de din cadranul I , portiunea de din cadranul IV .

Daca notam , , atunci:

Interiorul parabolei:

Parabola:

Exteriorul parabolei:

1. Ecuatia tangentei la parabola într-un punct dat : (vezi fig. 13)

2. Ecutiile tangentelor de directie data la : . (vezi fig. 14)

Se pune conditia ca punctul sa se afle pe parabola si se determina .

.

Ecuatia normalei la parbola în punctul : .