BIOSTATISTICA

biologie

Modul cum arata decilele simetria sau asimetria valorilor dintr-o serie de valori, poate fi urmarita īn figurile 2.5, 2.6, 2.8 si 2.9.

Se oserva īn figura 2.6 ca dispunerea celor 9 decile este extrem de simetrica de la stānga la dreapta, ceea ce spune ca distributia valorilor din serie este foarte simetrica. Īn figura 2.9, dispunerea decilelor este foarte asimetrica, descriind bine asimetria valorilor din serie.

Centilele (percentilele) sunt mai rar folosite, īn studii pe mii de cazuri, de obicei de un interes mai larg, national, international, īn studii epidemiologice, si sunt corespunzatoare precentelor de 1%, 2%,...99% din lot. Centila de 25% este cuartila Q₁, cea de 50% este mediana, iar cea de 75% este cuartila Q₃. Centilele de 10%, 20%,..90%, sunt cele noua decile. Centilele dau o imagine destul de exacta a distributiei valorilor dintr-o serie de valori foarte mare. Nu are rost sa calculam centile pentru serii cu cāteva sute de valori, pentru ca erorile sunt prea mari si imaginea obtinuta este deformata.

2.2.5 Alti indicatori statistici

Eroarea standard Este indicatorul care arata cāt de precis aproximeaza media calculata din valorile unei serii, media populatiei din care a fost extras esantionul sau lotul pe care s-au facut masuratorile.

Are formula:

unde este deviatia standard calculata folosind valorile seriei, iar n este numarul de valori din serie.

Se observa ca este direct proportionala cu deviatia standard a valorilor din serie si deci, cu cāt valorile din serie sunt mai dispersate, cu atāt valoarea indicatorului Err va fi mai mare. Proportionalitatea este directa, adica o crestere a deviatiei standard, conduce la o crestere proportionala a lui Err.

Valoarea lui Err, este influentata dupa cum se vede din formula si de numarul de valori din serie, īn sensul ca, este cu atāt mai mica cu cāt sunt mai multe valori īn serie, daca deviatia standard nu se schimba. Err scade īn functie de numarul de valori din serie, nu īnsa proportional.

De exemplu, daca n creste de 4 ori, Err scade de doua ori: doua serii de valori, X si Y, au aceeasi deviatie standard egala cu 2,3, iar numarul de valori īn seria X este 25 iar cel al seriei Y este 100. Atunci erorile standard pentru cele doua serii sunt:

Deoarece este considerata a fi abaterea standard a mediei (calculata pe valorile masurate pe un lot), fata de media īntregii populatii, i se mai spune uneori «abaterea standard a mediei de la medie», ceea ce este bineīnteles un simplu joc de cuvinte si nu trebuie luat īn serios atunci cānd este īntālnit.

Modul. Dintre frecventele absolute aparute īntr-un tabel de frecvente, una este maxima. Clasa sau valoarea corespunzatoare acestei frecvente maxime se numeste mod. Modul este de obicei un indicator al tendintei centrale. Īn tabelul 2.2. modul este clasa de la 50 la 59 de ani, cu frecventa absoluta 96. De obicei, frecventele absolute au tendinta de a creste catre mod, dupa care urmeaza o descrestere continua. Modul este deci o indicatie relativa la maximul frecventelor absolute. Sunt īnsa distributii la care se īnregistreaza cresteri si descresteri astfel īncāt pot apare doua moduri sau chiar mai multe. Aceste distributii sunt mai rare si au un caracter cu totul special. Ele se numesc distributii bimodale sau multimodale,dupa caz.

Este un indicator care poarta īn el putina informatie despre datele seriei. Modul este mult influentat de fluctuatii aleatoare si nu este prea recomandat pentru a aprecia tendinta centrala a valorilor dintr-o serie. Mai mult, unele distributii pot fi multimodale, caz īn care modul nu mai indica prea mult despre tendinta centrala.

Excentricitate. (Engl. Skew, Skweness). Este un indicator al asimetriei si este luat de diversi autori cu diverse formule

O distributie este excentrica daca una din cozile sale este mai lunga decāt cealalta. Prima distributie din figura 2.11 este cu excentricitate pozitiva. Adica are o coada mai lunga īn directia pozitiva. A doua distributie este asimetrica cu asimetrie negativa, deoarece are o coada īn directia negativa. Īn sfārsit, a treia distributie este simetrica si nu are cozi. Uneori se spune despre o distributie cu excenticitate pozitiva ca este asimetrica spre dreapta, iar despre o distributie cu excentricitate negativa ca este asimetrica spre stānga.

Figura 2.11 Distributii cu excentricitate pozitiva, negativa si distributie simetrica

Distributiile cu excentricitate pozitiva sunt mai des īntālnite decāt cele cu excentricitate negativa. Īn medicina, parametrii fiziologici sunt īn majoritate modificati īn diverse afectiuni īn sensul ca au valori peste normal. Astfel, tensiunea arteriala o vom īntālni la valori normale, crescute sau scazute. Cum indivizi cu valori foarte mari, vom īntālni cu atāt mai rar cu cāt valoarea este mai mare, distributia va avea o coada spre dreapta. La fel la multi alti parametric cum ar fi bilirubina, transaminazele, colesterolul, lipemia, etc.

Totusi, vom īntālni si parametri care se distribuie cu asimetrie stānga īn patologii: hemoglobina, calcemia, sodiul ionic, etc. Hemoglobina, de exemplu, se poate distribui cu frecventa mai mare la valori relativ normale si cu frecvente din ce īn ce mai mici pe masura ce coborām la valori mai mici. Chiar daca avem o patologie de tip anemie, ne asteptam ca frecventa īn jurul a 9-10 sa fie mai mare decāt frecventa īn jurul a 7-8, frecventa care ne asteptam sa fie foarte mica.

Excentricitatea unei serii de valori x₁, x₂,...x_n, se calculeaza cu formula:

Cu cāt o distributie este mai simetrica cu atāt sk tinde la 0. Ca o regula generala, la distributiile cu excentricitate pozitiva, media este mai mare decāt mediana. Evident, media este mai mica decāt mediana la distributiile cu excentricitate negativa. Exista cazuri rare īn care regula de mai sus nu este valabila.

Sunt multe alte formule pentru alti coeficienti de excentricitate si cānd vorbim despre excentriciatte, trebuie sa mentionam la ce coeficient de excentricitate ne referim. Uneori se foloseste un coeficent de asimetrie care masoara diferenta dintre medie si mediana, eventual raportata la abaterea standard sau la intervale intercuartilice( Q₃ - Q₁). Indiferent ce formula se foloseste, o excentricitate egala cu zero, sau foarte apropiata de zero, este un indiciu al simetriei repartitiei valorilor din serie. Din contra, excentricitati mult diferite de 0, peste 0,15 -0,20, sau mai jos de -0,15 -0,20 sunt indicii ale asimetriei.

Boltirea Boltirea este un indicator care se bazeaza pe lungimea cozilor unei distributii. Cele cu cozi relativ mari se numesc leptocurtice iar cele cu cozi relativ mici se numesc platicurtice (vezi figura 2.13). Formula de calcul a boltirii este:

Asa cum se va vedea īn capitolul despre repartitii, boltirea este un indicator util īn aprecierea apropierii repartitiei de repartitia normala. Distributiile din figura 2.13 au aceeasi medie, aceeasi dispersie, aproximativ aceeasi excentricitate dar difera mult ca boltire.

Figura 2.13 Distibutie leptocurtica si distributie platicurtica.

2.3 Clasificarea indicatorilor

Indicatorii statistici poarta īn ei, fiecare, o anumita cantitate de informatie, din seria de valori pentru care au fost calculati. Asa cum s-a vazut īn paragraful precedent, unii indicatori ne dau informatii despre tendinta centrala a valorilor din serie, altii ne dau informatii despre īmprastierea valorilor, altii ne dau indicatii despre simetria valorilor din serie, boltirea ne da indicatii despre lungimea cozilor distributiei, etc.

Informatia oferita de indicatorii statistici este redundanta, īn sensul ca, de exemplu, īmprastierea valorilor din serie este indicata si de dispersie si de abaterea standard si de amplitudinea absoluta si de coeficientul de variatie, etc. Totusi, fiecare din ei aduce o mica informatie specifica, deci, nu ne putem lipsi de unul sau altul dintre indicatorii statistici. Uneori trebuie folositi unii dintre indicatori, fiind cei mai eficienti, alteori trebuie folositi altii.

Pentru a avea o ideie despre modul cum trebuie folositi indicatorii statistici, ei sunt clasificati īn cāteva categorii mai importante, categorii care vor fi exemplificate mai jos, insistānd pe aceia care sunt cei mai importanti, restul fiind indicatori mai rar folositi, numai īn cazuri speciale.

Indicatori ai tendintei centrale. Cei mai importanti indicatori ai tendintei centrale sunt media, mediana si modul. Media indica tendinta centrala atunci cānd seria de valori este repartizata simetric īn jurul ei si cānd valorile nu au o dispersie exagerat de mare. Īn cazul seriilor de valori distribuite foarte asimetric, tendinta centrala nu mai este indicata de catre medie, ci de catre mediana.

Modul, este un indicator al tendintei centrale, la seriile unimodale, adica atunci cānd īn tabelul de frecvente exista un singur maxim. Daca avem o serie multimodala, modul īsi pierde calitatea de indicator al tendintei centrale.

Indicatori ai īmprastierii. Folositi mai des īn practica, si deci mai importanti, sunt dispersia, abaterea standard si coeficientul de variatie.

Abaterea standard este indicatorul folosit cel mai des pentru aprecierea īmprastierii, dar atunci cānd mediile difera mult, este mai util coeficientul de variatie. Dispersia este folosita ca masura a īmprastierii īn testele statistice (vezi capitolul dedicat testelor statistice).

Indicatori ai asimetriei. Mediana, cuartilele si excentricitatea sunt cel mai mult folosite pentru aprecierea asimetriei valorilor dintr-o serie. De fapt, mediana se foloseste īn combinatie cu media pentru aprecierea asimetriei. O mediana mult diferita de medie indica asimetrie puternica, iar o mediana foarte apropiata de medie indica o tendinta spre simetrie.

Cuartilele, se folosesc īn combinatie cu mediana si indicatorii minim si maxim, pentru aprecierea simetriei. De exemplu, asa cum se vede īn figura 2.14, indicatorii minim, Q1, mediana, Q3 si maxim, īmpart valorile seriei īn patru sferturi, care ne arata cāt de asimetric sunt repartizate.

Figura 2.14 Folosirea indicatorilor minim, Q1, mediana, Q3 si maxim pentru aprecierea simetriei valorilor din seria de valori.

3. Studiul datelor nominale

3.1 Tabele de incidenta. Notiuni introductive

Datele īnregistrate pe doua sau mai multe coloane si care sunt de tip nominal pot fi studiate prin asa-numitele tabele de incidenta. Cel mai simplu astfel de tabel centralizeaza date referitoare la doua caracteristici care au cāte doua posibilitati. De exemplu, daca din 260 de pacienti diabetici se constata ca 86 au facut retinopatie, dintre care 29 au si nefropatie, iar din restul fara retinopatie, 2 au nefropatie, atunci aceste date pot fi sintetizate astfel:

Tabelul 3.1. Clasificarea a 260 de pacienti cu diabet juvenil, dupa prezenta sau absenta retinopatiei diabetice si a nefropatiei.

Un astfel de tabel este de natura sa ne puna la dispozitie posibilitatea de a aprecia daca exista sau nu o dependenta īntre prezenta retinopatiei si a nefropatiei, adica daca cei doi factori au sau nu tendinta de a aparea īn tandem. Din inspectia datelor din tabel se poate observa mai greu daca avem o astfel de tendinta de aparitie īmpreuna a celor doi factori. Pentru a īntelege mai bine cum se pune problema acestei dependente īntre factori sa mai consideram si urmatoarele situatii

Tabelul 3.2. Clasificarea a 74 de subiecti dupa criteriul prezentei sau absentei bolii si dupa criteriul consumului de cartofi (Cazul Oswego, tabelul TOP)

Este vorba despre un eveniment petrecut īn urma cu mai multi ani īn America, si anume, dupa ce au luat masa la o cantina, dintr-un numar de 75 de indivizi, foarte multi s-au prezentat la medic prezentānd simptomele clare ale unei intoxicatii acute. Indivizii consumasera alimentele dintr-un meniu multiplu, ceea ce facuse ca fiecare aliment sa fie consumat doar de o parte a lor, din cei 75 īmbolnavindu-se 46.

Era natural sa se īncerce sa se centralizeze ce alimente a consumat fiecare individ si sa se īncerce sa se stabileasca o dependenta īntre consumul unui anumit aliment si īmbolnaviri. Īn tabelul 3.2, este redata situatia referitoare la consumul de piuré de cartofi, iar īn tabelele 3.3 si 3.4 situatia referitoare la consumul de sunca si īnghetata de vanilie, doua alte feluri de māncare servite īn acea seara.

Aceste tabele sunt foarte utile īn medicina deoarece, īn ciuda informatiei sarace pe care o contin, (doar patru numere, īn esenta, cele patru numere din casutele evidentiate cu text īngrosat īn fiecare dintre tabele), posibilitatile de a aprecia o dependenta īntre clasificarile pe orizontala si verticala sunt destul de bine studiate īn acest moment.

Īn cele doua tabele de mai sus, factorii de clasificare sunt Retinopatie, Nefropatie si respectiv, Bolnavi si Cartofi. Retinopatie, este aici criteriu de clasificare īn sensul ca pacientii sunt īmpartiti dupa acest criteriu īn doua: cei care au retinopatie si cei care nu au retinopatie. Acest lucru, poate fi simbolizat prin DA si prin NU, iar īn cazul din tabel cu "+" si "-". Īl numim criteriu orizontal spre deosebire de Nefropatie care este numit criteriu vertical, pentru usurinta expunerii. La fel, īn al doilea tabel, Bolnavi si Cartofi, simbolizeaza faptul ca indivizii cuprinsi īn tabel sunt sau nu sunt bolnavi si respectic au consumat sau nu au consumat cartofi.

Sa īncercam acum sa verificam īn ce masura factorii de clasificare de pe orizontala si de pe verticala depind unul de altul īn cazurile tabelelor 3.1 - 3.4.

La tabelul TOP, (factorii de pe orizontala si verticala sunt īmbolnavirile si consumul de cartofi) īntāmplarea a facut ca exact jumatate din cei īnregistrati au consumat māncare de cartofi iar īntre cei bolnavi si sanatosi tot jumatate au consumat acest fel de māncare. La o examinare sumara a tabelului se poate deduce imediat ca nu acest fel de māncare este vinovat de infestarea indivizilor bolnavi, fiind evident ca jumatate din cei bolnavi nu au consumat acest fel si deci este clar ca s-au īmbolnavit de la altceva. Pe de alta parte, se vede ca si 14 indivizi care au māncat din acest fel de māncare nu s-au īmbolnavit. Concluzie: consumul de cartofi si īmbolnavirile nu sunt dependente.

Tabelul 3.3. Clasificarea a 75 de subiecti dupa criteriul prezentei sau absentei bolii si dupa criteriul consumului de sunca (Cazul Oswego, tabelul TOB)

Īn tabelul TOB, aparent lucrurile stau diferit, desi se observa din nou o īmpartire interesanta, adica din cei 75 de indivizi, raportul celor care au consumat sunca fata de cei care nu au consumat este de 46 la 29, adica exact raportul celor care s-au īmbolnavit fata de cei sanatosi, adica tot 46 la 29. Nu īnseamna ca acesta ar fi alimentul vinovat, caci se vede ca sunt 17 indivizi care au consumat acest aliment dar nu s-au īmbolnavit si īnca 17 care nu au consumat si totusi s-au īmbolnavit. De fapt, din cei care au consumat raportul bolnavi/sanatosi este de 29/17=1,7 iar din cei care nu au consumat raportul este 17/12=1,42 ceea ce arata ca aproximativ aceeasi proportie s-au īmbolnavit printre ambele categorii, deci, nu avem tendinta de dependenta. Concluzie: consumul de sunca si īmbolnavirile nu sunt dependente.

Tabelul 3.4. Clasificarea a 75 de subiecti dupa criteriul prezentei sau absentei bolii si dupa criteriul consumului de īnghetata de vanilie (Cazul Oswego, tabelul TOV)

Īn schimb, tabelul TOV, prezinta o situatie total diferita, caci se observa ca din cei 46 de bolnavi 43 au consumat īnghetata de vanilie iar marea majoritate a celor care sunt sanatosi nu au consumat. Mai putem privi situatia si astfel: din 54 indivizi care au consumat īnghetata, 43 s-au īmbolnavit, iar din cei 21 care nu au consumat, 18 nu s-au īmbolnavit.

Altfel spus,

• 43/54=0,796=79,6% este procentul īmbolnavirilor la cei care au consumat si
• 3/21=0,142=14,2%, procentul īmbolnavirilor la cei care nu au consumat acest aliment.

Este destul de clar ca īntre consumul de īnghetata de vanilie si īmbolnaviri este o dependenta.

Am ales aceste exemple tocmai pentru faptul ca se vede fara dificultate care este situatia si īn acest fel ne va fi mai usoara īntelegerea principiilor care stau la baza aprecierii acestui tip de dependente. Din examinarea exemplelor de mai sus se vede ca īn fond se poate judeca fiecare situatie care apare īntr-un mod asemanator, judecānd de la caz la caz daca exista sau nu o dependenta īntre criteriile de clasificare pe orizontala si pe verticala.

Daca am judeca mereu ca mai sus am fi pusi des īn situatia de a nu putea lua o decizie suficient de obiectiva. Daca de exemplu, la cei care au consumat alimentul proportia īmbolnavirilor este 79,6% (vezi tabelul 3.4), iar la ceilalti este doar de 14,2%, oricine va spune ca īmbolnavirile sunt īntr-o relatie de dependenta cu alimentul consumat, iar daca procentele ar fi, 79,6% si respectiv 77,4%, oricine ar spune ca mica diferenta se datoreaza īntāmplarii si nu este nici o dependenta īntre īmbolnaviri si consumul alimentului.

Dar daca cele doua procente sunt 79,6% si 62,4% ce concluzie tragem? Caci daca am spune ca avem o dependenta din cauza diferentei de procente, oricine poate replica ca aceasta diferenta este īntāmplatoare, mai ales daca numarul de pacienti pe care l-am luat īn calcul a fost mic. De aceea este nevoie de criterii mai obiective de apreciere a situatiilor cu care ne putem confrunta īn astfel de studii.

Trebuie retinut din cele discutate:

Poz+ numarul indivizilor asupra carora actioneaza factorul activ si rezultatul este pozitiv,

Aceasta situatie se poate centraliza īntr-un tabel ca tabelul 3.5, care este foarte asemanator cu cele care au fost date ca exemplu mai sus:

Tabelul 3.5. Tabel general de incidenta 2x2 (TG)

Sa īncercam sa sistematizam observatii mai generale care sa ne ofere, pe cāt posibil criterii mai obiective:

Daca factorul pasiv are tendinta de a apare īn tandem cu cel activ, atunci ne putem astepta, ca tendinta generala, ca cei mai multi indivizi sa apara īnscrisi īn celulele Poz+ si Neg-, iar celulele Poz- si Neg+ sa ramāna mai nepopulate. Este de uz comun etichetarea celulelor cu a, b, c, d, ca īn tabelul TG si deci vom spune ca īn acest caz, majoritatea indivizilor sunt īn celulele a, d, iar īn celulele b, c avem mai putini indivizi (este cazul tabelului TOV). Ţinānd cont de aceasta observatie, vom introduce cāteva criterii de dependenta care ne permit o apreciere mai obiectiva a unei eventuale dependente.

3.2 Criterii de dependenta

O modalitate de a aprecia tendinta celor doi factori de a apare īn tandem adica tendinta lor de dependenta, este de a urmari care este raportul dintre numarul pacientilor la care avem potrivire, adica ambii factori sunt prezenti sau ambii sunt absenti, si numarul pacientilor la care nu avem potrivire, adica un factor este prezent iar celalalt absent. Se observa usor ca acest raport este:

Īn tabelul TOV, avem CD = (43+18)/(3+11) = 61/14 = 4,35, adica sunt de 4,35 ori mai multi pacienti la care cei doi factori apar īn tandem decāt cei la care un factor este prezent si celalalt absent. Tendinta de dependenta este clara īntre consumul īnghetatei de vanilie si īmbolnaviri.

Īn tabelul TOB, avem CD = (29+12)/(17+17) = 41/34 = 1,2, adica sunt aproximativ la fel de multi pacienti la care cei doi factori apar īn tandem decāt cei la care un factor este prezent si celalalt absent. Tendinta de dependenta īntre consumul de sunca si īmbolnaviri este absenta.

Un alt criteriu este de a calcula raportul dintre numarul pacientilor la care cei doi factori apar īn tandem si numarul total de pacienti, ceea ce este mai natural caci calculeaza de fapt procentul de pacienti la care apar aceste potriviri. Deci:

Īn tabelul TOV, avem CP = (29+12)/75 = 41/75 = 0,546, adica sunt de 54,6% potriviri, ceea ce este o majoritate care arata o tendinta clara de dependenta īntre consumul īnghetatei de vanilie si īmbolnaviri.

Īn tabelul TOB, avem CP = (43+18)/75 = 61/75 = 0,813, adica sunt de 81,3% potriviri, ceea ce este o majoritate insuficienta, care arata lipsa unei tendinte clare de dependenta īntre consumul de sunca si īmbolnaviri.

Un indice mult folosit īn aprecierea tendintei de dependenta este raportul sanselor sau cota (Engleza ODDS RATIO = OR) raportul dintre a/c si b/d, sau, ceea ce este acelasi lucru, dintre produsul a*b si produsul c*d. Daca lucrurile stau ca mai sus, OR va avea valori cu atāt mai mari cu cāt tendinta de dependenta este mai puternica.

• Īn tabelul TOV, vom avea OR = (43/11):(3/18) = 23,45, sau OR = (43*18)/(3*11) = 23,45, ceea ce exprima o tendinta puternica de dependenta, asa cum am vazut mai sus.
• Īn tabelul TOP avem OR = (23*14)/(23*14) = 1, ceea ce īnseamna ca nu exista tendinta de dependenta, dupa cum am vazut deja.

Raportul sanselor are formula:

si are urmatoarea interpretare:

• Daca OR 1, īntre factorul de clasificare pe orizontala si cel de pe verticala nu exista o tendinta de dependenta.
• Daca OR >> 1, īntre factorul de clasificare pe orizontala si cel de pe verticala exista o tendinta de dependenta cu atāt mai puternica cu cāt OR este mai departe de valoarea 1.
• Daca īnsa, ca īn tabelul 3.6 de mai jos, tratamentul T₂ da o proportie mai mare de evolutii pozitive ale pacientilor (86/104=0,8269=82,69%), īn timp ce tratamentul alternativ T₁ ofera doar o rata de evolutii pozitive de 43/77=0,5584=55,84%, valoarea lui OR va fi OR=(43*18)/(86*34)=0,2647, adica mult mai mic decāt 1. si īn acest caz vom spune ca avem o tendinta de dependenta īntre factorul tratament si factorul evolutie. Deci: Daca OR << 1, īntre factorul de clasificare pe orizontala si cel de pe verticala exista o tendinta de dependenta cu atāt mai puternica cu cāt OR este mai mic.

Tabelul 3.6. Clasificarea a 181 de pacienti dupa tipul de tratament aplicat (T₁ sau T₂), si dupa evolutia bolii (pozitiva sau negativa) (Tabelul TT)

Reluānd, cele cinci situatii prezentate dau urmatoarele rezultate:

Tabelul 3.7 Folosirea criteriului OR pentru aprecierea dependentei factorilor de clasificare din tabelele 3.1, 3.2, 3.3, 3.4, 3.6

Este de retinut ca nu totdeauna dependentele descoperite astfel sunt cauzale. Astfel, īn exemplele TOP, TOB, TOV, T₁T₂, dependentele sunt cauzale īn sensul ca alimentul consumat sau tratamentul poate fi considerat cauza, iar aparitia bolii sau ameliorarea ei este efectul. Totusi, īn exemplul TRN, factorii nefropatie si retinopatie desi sunt īntr-o relatie de dependenta, nu mai sunt neaparat cauza si efect ci mai curānd amāndoua sunt induse de o cauza comuna. anume prezenta diabetului.

Interpretarea īn limbaj uzual a acestor dependente trebuie facuta de la caz la caz si anume, pentru exemplele de mai sus putem spune:

• Pentru tabelul TRN: exista o dependenta īntre prezenta nefropatiei si retinopatiei la pacientii diabetici.
• Pentru tabelul TOP: nu exista o dependenta īntre consumul cartofilor si īmbolnaviri.
• Pentru tabelul TOB: nu exista o dependenta īntre consumul de sunca si īmbolnaviri.
• Pentru tabelul TOV: exista o dependenta īntre consumul de īnghetata si īmbolnaviri.
• Pentru tabelul T₁T₂: exista o dependenta īntre evolutia pacientilor si tratament, ceea ce mai poate fi exprimat si spunānd ca unul din tratamente da evolutii mai bune decāt celalalt.

Alt indice al unei eventuale dependente mult utilizat este riscul relativ (RR. Engl: Relative Risk), care are formula:

Indicele RR este interpretat de obicei asemanator cu OR si el indica aceeasi tendinta de dependenta daca are valori mult īndepartate de 1 (mult mai mari sau mult mai mici).

Tabelul 3.8 Folosirea criteriului OR pentru aprecierea dependentei factorilor de clasificare din tabelele 3.1, 3.2, 3.3, 3.4, 3.6

Riscul relativ are si un avantaj mai putin pus īn evidenta pāna acum. Anume, ce se īntāmpla īn exemplul TT daca tratamentul T₁ este atāt de eficace īncāt toti pacientii tratati evolueaza pozitiv. Īn acest caz, tabelul TT va arata ca īn tabelul 3.9:

Tabelul 3.9. Clasificarea a 181 de pacienti dupa tipul de tratament aplicat, si dupa evolutia bolii, cazul cānd T₁ ar fi un tratament perfect (Tabelul TPT)

Se observa ca OR nu poate fi calculat īn acest caz (OR = (77*18) / (0*86)), imposibil.). Īn schimb RR = ((77*104) / (86*77)) = 1,209, ceea ce ne arata ca exista o usoara tendinta de dependenta a evolutiei īn raport cu tratamentul.

Folosirea riscului relativ īn aprecierea relatiilor de dependenta trebuie facuta totusi cu precautie caci el are unele proprietati ce sunt strāns legate de studiile de epidemiologie si īl fac uneori greu de interpreta īn alte contexte decāt cele legate de epidemiologie. Anume, riscul relativ este un indice al tendintei de legatura īntr-o populatie īntre un factor de risc la care populatia sau o parte a ei este supusa si o afectiune care este banuita sau despre care se stie ca ar provocata sau influentata chiar de factorul de risc respectiv.

De exemplu, un factor de risc pentru maladiile cardiovasculare este stressul. De aceea, este util sa se studieze legatura īntre acest factor de risc si o boala cariovasculara cum ar fi hipertensiunea. Īn acest caz, tabelul de incidenta trebuie sa arate ca tabelul 3.10

Tabelul 3.10. Clasificarea a 4500 de indivizii dupa prezenta stressului si faptul de a fi sau nu hipertensivi

Riscul relativ are un īnteles apropiat de cel dat initial de statisticieni, īn acest context sau īn contexte asemanatoare.

Riscul relativ este raportul dintre riscul de a fi afectati īntre cei supusi unui factor de risc si riscul de a fi afectati īntre cei care nu sunt supusi la factorul de risc.

Din exemplu de mai sus, se observa ca īntre cei supusi la stress, riscul de a avea HTA este 236/720 = 32,7%. Pe de alta parte, la cei neexpusi, riscul este de 148/3396, adica 4,35%. Raportul īntre cele doua riscuri, sau riscul relativ este 32,7/4,35 = 7,51. Acesta este un risc relativ foarte mare. El exprima īn esenta faptul ca prezenta HTA la cei expusi este de aproximativ sapte ori si jumatate mai probabila decāt la cei neexpusi.

3.3 Alte tabele de incidenta

Tabelele de incidenta nu sunt neaparat tabele 2x2 caci unul sau altul sau ambele criterii dupa care se realizeaza clasificarea pot avea mai mult de doua categorii. De exemplu, daca unul din criterii este stadiul evolutiv al unei afectiuni maligne, iar celalalt este raspunsul terapeutic, fiecare din cele doua criterii de clasificare are īn mod normal, mai mult de doua categorii īn care trebuie clasificati pacientii.

Stadiul evolutiv ar avea cel putin patru categorii (stadiul I, II, III si IV), iar raspunsul terapeutic ar putea avea categoriile RC (remisiune completa), RP (remisiune partiala), RN (raspuns negativ) si D (disparut). Un exemplu este furnizat de tabelul 3.10, care are 16 celule, corespunzator la 4x4 categorii (celulele cu totaluri depind de celelalte si ele nu sunt considerate īn tabelele statistice ca aducatoare de informatie noua).

Tabelul 3.10. Cazul īn care cele doua criterii de clasificare

au mai mult de doua categorii.

Tabelele de dimensiuni mai mari decāt 2x2, sunt mult mai greu de studiat, metodele de studiu fiind mult mai putin puse la punct.

3.4 Teste clinice si aprecierea calitatii lor

Alte cazuri īn care este utila folosirea tabelelor 2x2, sunt cele īn care se evalueaza calitatea unui test clinic la care pacientii sunt supusi. Un astfel de test trebuie sa ofere posibilitatea de a alege pacientii care prezinta sau nu o afectiune, un simptom, un semn sau alta caracteristica necesara īn procesul diagnosticarii. Vom numi pozitivi, pacientii care īn urma testului au un rezultat pozitiv, care indica prezenta afectiunii, indiferent daca īn realitate afectiunea este sau nu prezenta la pacientul respectiv. Vom numi negativi, pacientii care īn urma testului au un rezultat negativ, indiferent daca īn realitate au sau nu prezenta afectiunea respectiva.

Un test care se aplica pacientilor este o metoda care trebuie sa aiba mai multe calitati, īntre care, vom enumera cāteva:

• Un procent cāt mai mare dintre pacientii care sunt īn realitate pozitivi, ar trebui sa apara īn urma testului ca fiind pozitivi.
• Un procent cāt mai mare dintre pacientii care sunt īn realitate negativi, ar trebui sa apara īn urma testului ca fiind negativi.

Ideal ar fi ca toti pacientii sa fie diagnosticati de test corect, dar acesta este un deziderat care este foarte greu de atins chiar cu aparatura perfectionata. Totdeauna exista cazuri care sunt extrem de greu de īncadrat sigur īntr-o categorie sau alta. Asadar, totdeauna, īn urma aplicarii unui test la mai multi pacienti, se vor īntālni cazuri de pacienti care, fie īn realitate sunt pozitivi, iar īn urma testului sunt negativi, fie invers.

Pacientii diagnosticati cu un test clinic se īmpart dupa doua criterii:

• Dupa criteriul bolii (sau al caracteristicii diagnosticate), sunt doua categorii : Bolnavi (engl: diseased) si Sanatosi (engl: diseased free). Faptul ca un pacient este īn una dintre cele doua categorii se stabileste cu ajutorul asa-numitului test sigur sau test de aur (engl: golden test). Acest test este un test care a fost deja verificat ca fiind extrem de precis si da o rata de erori minima.
• Dupa criteriul testului clinic studiat sunt tot doua categorii: Pozitivi si Negativi.

Deci, fiecare din pacienti, va apartine uneia din urmatoarele patru clase, care rezulta īn urma combinarii īn toate modurile posibile a celor patru categorii de mai sus:

• Real Pozitivi, pacientii care īn realitate sunt Bolnavi iar īn urma testului sunt Pozitivi.
• Real Negativi, pacientii care īn realitate sunt Sanatosi iar īn urma testului sunt Negativi.
• Fals Pozitivi, pacientii care īn realitate sunt Sanatosi iar īn urma testului sunt Pozitivi.
• Fals Negativi, pacientii care īn realitate sunt Bolnavi iar īn urma testului sunt Negativi.

Dupa ce se stabileste la fiecare pacient carei clase apartine, din cele patru enumerate mai sus, se realizeaza un tabel 2x2 ca īn tabelul 3.11.

Tabelul 3.11. Clasificarea unor subiecti dupa faptul ca sunt sau ca nu sunt bolnavi (testul sigur) si dupa rezultatul pe care īl obtin la un test de diagnosticare pe care dorim sa īl evaluam calitativ. (Tabelul TGT)

Aprecierea calitatii unui test propus trebuie evident sa tina seama de procentul de reusite ale acestuia. Dar ce īnseamna reusite pentru un test clinic Cāteva propuneri ar fi:

• Ce procent din pacientii bolnavi sunt diagnosticati de test ca pozitivi.
• Ce procent din pacientii sanatosi sunt diagnosticati de test ca negativi.
• Ce procent din pacientii diagnosticati de test ca pozitivi sunt bolnavi.
• Ce procent din pacientii diagnosticati de test ca negativi sunt sanatosi.

Vom defini aceste rapoarte procentuale si vom studia modul cum le folosim īn aprecierea calitatii testului. Aceste procente arata calitatea unui test clinic īn sensul ca testul este cu atāt mai valoros cu cāt ele au valori mai mari, mai apropiate de 100%. Īn plus, vor fi definite mai jos si doua rapoarte procentuale care exprima erorile unui test. Este clar ca procentele care exprima erorile trebuie sa fie cāt mai mici pentru ca testul sa fie valoros.

• Senzitivitatea (Sn) unui test este raportul dintre numarul pacientilor diagnosticati corect ca pozitivi si numarul total de pozitivi (bolnavi).
• Specificitatea (Sp) unui test este raportul dintre numarul pacientilor diagnosticati corect ca negativi si numarul total de negativi (sanatosi).
• Valoarea predictiva pozitiva (VPP), este raportul dintre numarul pacientilor disgnosticati corect ca pozitivi si numarul total al celor diagnosticati de test ca pozitivi.
• Valoarea predictiva negativa (VPN), este raportul dintre numarul pacientilor disgnosticati corect ca negativi si numarul total al celor diagnosticati de test ca negativi.
• Rata fals pozitiva (RFP), este raportul dintre numarul pacientilor sanatosi diagnosticati gresit ca pozitivi si numarul pacientilor sanatosi.
• Rata fals negativa (RFN), este raportul dintre numarul pacientilor bolnavi diagnosticati gresit ca negativi si numarul pacientilor bolnavi.

Tabelul 3.12. Clasificarea a 109 femei dupa tipul de nastere (prematura sau normala) si dupa lungimea colului uterin ca test de decizie a riscului de nastere prematura. Se observa ca din 41 de nasteri premature, 33 au colul sub 26mm iar din 68 de nasteri normale, 53 au colul peste 26, deci limita de 26mm a lungimii colului uterin este un criteriu de decizie al riscului de nastere prematura.

Īn tabelul 3.12, valorile indicatorilor de mai sus sunt:

Sp=53/68=0,779=77,9%

VPP=33/48=0,687=68,7%

VPN=53/61=0,868=86,8%

RFP=15/68=0,221=22,1%

RFN=8/41=0,196=19,6%

Dupa cum s-a precizat mai sus, un test este cu atāt mai valoros cu cāt primii patru din cei sase indicatori sunt mai mari, iar ultimii doi mai mici. Īn practica, se constata ca este foarte greu sa se atinga valori foarte mari pentru toti cei patru si valori foarte mici pentru ultimii doi. De exemplu, testul studiat prin tabelul 3.12 este un test valoros.

Doar primii doi indicatori sunt considerati fundamentali, ei fiind cei care dau de fapt calitatea testului clinic propus, īn comparatie cu testul considerat sigur (testul de aur), īn cazul de mai sus testul sigur fiind nasterea propriu-zisa.

De fapt, cunoasterea indicatorilor Sn si Sp, īmpreuna cu numarul pacientilor bolnavi si numarul pacientilor sanatosi, este suficient pentru a cunoaste ceilalti indicatori. Rata erorilor, de ambele tipuri, RFP si RFN sunt legate direct de Sn si Sp prin formulele:

Ceilalti doi indicatori pot fi si ei obtinuti din Sn si Sp, daca se cunosc B si S, numarul pacientilor bolnavi, respectiv sanatosi. Formulele sunt:

Tabelul 5.1 Greutatea corporala a 1014 pacienti cu diferite afectiuni,

pe clase din 5Kg īn 5Kg

Clasa	Greutate(Kg)	Frecventa (Nr indivizi)

Acum sa privim graficul din figura 5.1, care reprezinta situatia din tabel:

Figura 5.1 Histograma greutatilor corporale a 1014 pacienti cu diferite afectiuni

Mai īntāi, ce s-a reprezentat de fapt Se oserva ca pe orizontala sunt figurate clasele din tabel īn ordine, fiecareia fiindu-i alocat un segment egal, iar pe verticala, dreptunghiurile au īnaltimi proportionale cu frecventele absolute ale claselor. Multimea barelor verticale este cea care ne da impresia vizuala pe care trebuie sa o interpretam īn sensul sitetizarii informatiei. Observam:

Din stānga se īncepe cu bare scunde care cresc īn īnaltime pe masura ce ne apropiem de clasa din centru, dupa care are loc un proces invers. Este tendinta naturala la cele mai multe situatii. Datele au de cele mai multe ori tendinta de a se situa īn stānga si drepta mediei, din ce īn ce mai putine pe masura ce ne departam de medie. Pe acest grafic nu este figurata media dar este de bun simt sa ne gāndim ca este situata undeva īn clasele de mijloc.

Indivizii care au sub 35 Kg si cei peste 100 Kg, probabil foarte putini, nu au fost luati īn calcul. Se obisnuieste totusi ca ei sa fie luati īn considerare prin introducerea a doua clase speciale. Īn acest caz, clasele speciale de introdus ar fi fost: clasa sub 35 si clasa peste 100 . De obicei asa este bine sa se procedeze.

Modul cum cresc barele este diferit de modul cum descresc. Aceasta este ceea ce numeam la indicatori statistici asimetria. Aceasta histograma arata o usoara asimetrie la dreapta. Daca indivizii de la care s-au cules datele ar fi fost normali, histograma ar fi avut un aspect mai simetric. Asimetria acestei hitograme ne arata ca īn clasele de la 40 la 65 Kg sunt mai multi indivizi decāt īn clasele simetrice lor de la 75 la 90. Avānd īn vedere ca majoritatea lor sunt barbati, acesta asimetrie ne spune ca un numar de indivizi au gruetatea mai mica decāt ar fi normal. Acest lucru este explicabil īn acest caz, deoarece cei mai multi au afectiuni hepatice grave ca ciroza hepatica, cancer hepatic, si sunt īntr-o stare fizica mult slabita. Īn acest caz, am explicat forma histogramei pe baza realitatii. De obicei īnsa se īntāmpla exact pe dos. Histograma este aceea care ne ajuta sa īntelegem mai bine realitatea.

Pentru a realiza diferenta dintre o distributie simetrica si una asimetrica, sa transpunem īntr-o histograma situatia din tabelul 5.2, care sistematizeaza situatia supravietuirilor īn cazurile de cancer mamar pe un lot de 2456 de pacienti.

Tabelul 5.2 Situatia supravietuirilor īn cazurile de cancer mamar pe un lot de 2456 de pacienti. Gruparea īn clase de 12 luni

Nr.Crt	Perioada	Nr.cazuri	Procent	Procent Cumulat %
	0..12 luni
	12..24 luni
	24..36 luni
	36..48 luni
	48..60 luni
	60..72 luni
	72..84 luni
	84..96 luni
	96..108 luni
	108..120 luni
	Peste 120 luni

Īn figura 5.2, este reprezentata histograma corespunzatoare pentru tabelul 5.2. Se observa ca barele histogramei au īnaltimi descrescatoare īntocmai ca si frecventele absolute ale claselor.

Figura 5.2 Histograma corespunzatoare pentru tabelul 5.2. Se observa ca barele histogramei au īnaltimi descrescatoare īntocmai ca si frecventele absolute ale claselor

Se observa la aceasta histograma ca are o asimetrie foarte puternica spre dreapta. Vom considera totdeauna (ca o conventie), sa spunem ca o histograma arata asimetria spre partea unde descresterea este mai lenta. Tendinta observata īn aceasta histograma este normala, avānd īn vedere fenomenul surprins. Procesele de supravietuire sunt de obicei marcate de o distributie a valorilor cu excentricitate spre dreapta, adica spre supravietuiri lungi.

5.3 Poligonul frecventelor

Este un grafic care reprezinta frecventele absolute dintr-un tabel de frecventa printr-o linie frānta. Clasele se realizeaza ca si la histograma. Linia frānta, leaga puncte din plan care au ca ordonate frecventele de reprezentat, iar ca abscise, mijloacele claselor. Graficul se poate realiza si din histograma, prin unirea mijloacelor laturilor superioare ale barelor.

Īn figura 5.10 este reprezentat un exemplu de modul cum se obtine poligonul frecventelor din histograma.

Figura 5.10 Poligonul frecventelor obtinut prin unirea mijloacelor laturilor superioare ale barelor unei histograme(stānga). Poligonul frecventelor pentru greutatea a 1042 de pacienti cu diferite afectiuni, cu clase din 5 īn 5 Kg(dreapta).

Īn figura 5.10 este reprezentat poligonul frecventelor pentru greutatea a 1042 de pacienti cu diferite afectiuni, din 5 īn 5 Kg.

Desi ofera o imagine vizuala foarte buna a modului cum sunt distribuite valorile din serie pe clase, poligonul frecventelor este mai putin folosit decāt histograma, care ofera si ea tot informatia despre distributia valorilor din serie pe clase. Aceasta deoarece histograma pare ochiului un grafic mai bogat. Īn realitate, īntre cele doua grafice, nu exista o diferenta calitativa. Ele ofera aceeasi informatie.

ATENŢIE! Graficul histograma si graficul poligonul frecventelor, contin exact aceeasi cantitate de informatie, daca au la baza acelasi tabel de frecvente.

5.4 Graficul cu bare

Este graficul care reprezinta prin bare verticale, frecventele unui tabel de frecvente pentru variabile calitative (date nominale) sau variabile ordinale. Desi pare asemanator cu histograma, īntre cele doua tipuri de grafice exista diferente. Ca aspect, histograma are barele lipite īn timp ce graficul cu bare lasa o oarecare distanta īntre bare. Nu este recomandata folosirea graficelor unul īn locul celuilalt.

Īn figura 5.12 sunt reprezentate frecventele de aparitie a unor afectiuni maligne, pe stadii.

Figura 5.12 Clasificarea pe stadii a unui numar de pacienti cu afectiuni maligne

Tabelul 5.1 frecventele deceselor īn timpul operatiei īntr-o sectie de spital

Anul	Nr. Cazuri

Figura 5.13 Graficul histograma si graficul cu bare, cu datele din tabelul 5.1

Graficul Scatter (Graficul punctual, Graficul de corelatie)

Este un grafic care:

• Reprezinta valorile a doi parametri masurati la mai multi pacienti
• Reprezinta fiecare pacient printr-un punct
• Pe abscisa (orizontala) este reprezentat unul din parametri
• Pe ordonata (verticala) este reprezentat celalalt parametru, la acelasi pacient

Acest grafic este extrem de util īn statistica, furnizānd o informatie bogata, deoarece nu pierde din informatie ca histograma. Pentru explicatii privind informatia furnizata de acest grafic, vezi capitolul 9. Īn figurile 5.22 - 5.27 sunt redate cāteva grafice de acest tip īntālnite īn practica.

Figura 5.22 Graficul de corelatie īntre greutatea si īnaltimea a 1042 de pacienti cu diferite afectiuni

Figura 5.23 Graficul de corelatie īntre tensiunea sistolica si diastolica a 593 de pacienti cu diferite afectiuni

Figura 5.24 Graficul de corelatie īntre bilirubinatotala si bilirubina conjugata la 521 de pacienti cu diferite afectiuni

Figura 5.25 Graficul de corelatie īntre viteza de sedimentare a hematiilor la o ora si la doua ore la 292 de pacienti cu diferite afectiuni

6. Repartitii

6.1 Curba densitatii de probabilitate

S-a vazut ca histograma este un grafic care da informatii despre repartizarea valorilor dintr-o serie de valori, care arata daca valorile din serie sunt repartizate simetric sau asimetric si daca repartitia are un singur vārf sau este multimodala.

Sa ne imaginam ca pe masura ce marim indefinit numarul de valori din serie, lungimea claselor scade foarte mult, astfel īncāt obtinem histograme din ce īn ce mai "fine". Ce se obtine prin acest proces? O apropiere din ce īn ce mai accentuata de repartitia reala a datelor, repartitie pe care histogramele o aproximeaza din ce īn ce mai bine.

Histogramele ofera imaginea repartizarii valorilor dintr-o serie, deci o imagine incompleta a realitatii. Īntr-adevar, valorile dintr-o serie de date sunt culese pe un esantion sau lot, care este de obicei extras dintr-o populatie mult mai numeroasa. Ceea ce ne intereseaza de obicei īnsa, este modul cum se repartizeaza valorile din īntreaga populatie.

Īn figura 6.1, este dat un exemplu de serie de valori foarte mare, alcatuita din 10000 de valori. Īn acest caz, lotul pe care s-au facut masuratorile poate fi numit populatie, numarul de indivizi fiind foarte mare.

Figura 6.1 Folosind o serie de 10000 de valori, se pot face histograme din ce īn ce mai fine, care trec de la aspectul de ″treapta″, la acela de ″curba″

Pe masura ce histogramele devin din ce īn ce mai fine, ele tind sa se asemene cu o curba. Daca volumul seriei ar fi mult mai mare, asemanarea cu o curba ar fi atāt de clara īncāt ochiul nu ar mai putea observa aspectul de ″treapta″.

Strict vorbind, notiunea de curba densitatii de probabilitate, trebuie introdusa folosind un aparat teoretic mai complex. Deoarece o introducere fundamentata ar depasi nivelul cartii de fata, vom considera, intuitiv, fara a pretinde ca aceasta este o definitie ca:

Figura 6.3 Diverse forme ale curbei densitatii de probabilitate

Pe masura ce statistica a evoluat ca stiinta, s-a demonstrat ca unele din curbele densitatii de probabilitate joaca un rol central īn stiinta īn general si īn medicina īn special. Astfel, multe fenomene din stiinta se petrec astfel īncāt deviatiile stānga-dreapta de la medie ale masuratorilor pe care le facem sunt repartizate simetric si nu oricum, ci tind sa fie repartizate foarte asemanator cu o anumita curba, mult studiata, care se numeste curba densitatii normale sau curba Gauss.

Astfel, asa cum se va vedea īn capitolul despre esantionare, media de esantionare, adica media calculata asa cum a fost descris īn capitolul 2, are īn anumite conditii o repartitie normala. Īn subcapitolele care urmeaza vor fi descrise cāteva din curbele de repartitie mai folosite si mai des īntālnite īn practica.

Curbele de repartitie se bucura de cāteva proprietati care le fac extrem de utile īn statistica, asa cum se va vedea īn capitolele despre esantionare si despre testele statistice.

• Aria cuprinsa īntre curba si axa orizontala este 1 sau 100% (vezi figura 6.4).
• Probabilitatea ca, extragānd aleator un individ dintr-o populatie a carei repartitie are o curba cunoscuta si facānd masurarea pe acel individ, valoarea obtinuta x, sa fie situata īntre doua numere a si b fixate (x≥a si x b), este exact aria cuprinsa īntre curba, axa orizontala si cele doua verticale īn a si b (Vezi figura 6.4).

Figura 6.4 Aria cuprinsa īntre o curba de repartitie si axa orizontala

este totdeauna 1 sau 100%

Figura 6.5 Daca extragem aleator un individ dintr-o populatie care are curba de repartitie cunoscuta, valoarea masurata la acel individ este cuprinsa īntre doua numere reale a si b cu o probabilitate egala cu aria cuprinsa īntre curba, axa orizontala si cele doua verticale īn a si b.

6.2 Densitatea Normala

Curba Gauss, sau clopotul lui Gauss a jucat īn istoria stintei si joaca si acum un rol foarte important, iar īn medicina foarte multi parametri legati de organismul uman, de legile fundamentale ale viului, sunt repartizati dupa aceasta curba. Ce este de fapt aceasta curba?

Formula curbei lui Gauss, este:

Se observa ca aceasta curba depinde de doi parametri, m si s, si ea este perfect determinata īn momentul īn care se cunosc acesti parametri. Deoarece curba descrie repartitia unei populatii, cei doi parametri reprezinta media (m) si abaterea standard (s) ale populatiei respective.

Graficul din figura 6.6, care este graficul unei curbe Gauss, ne arata ca, spre centru probabilitatile sunt cu atāt mai mari cu cāt suntem mai aproape de medie, iar spre margini probabilitatile scad apropiindu-se de zero pe masura ce ne īndepartam din ce īn ce mai mult de medie. Curba este simetrica, niciodata īnsa simetria nu este perfecta pe o histograma particulara sau pe un poligon al freceventelor, dar curba ideala este perfect simetrica. Subliniem ca prin curba ideala īntelegem curba catre care se īndreapta poligonul frecventelor cānd numarul de cazuri tinde la infinit iar lungimea claselor se apropie de zero. Uneori, graficul functiei este denumit "clopotul lui Gauss" datorita formei lui deosebite, asemanatoare unui clopot.

Figura 6.6 Curba repartitiei normale, sau curba lui Gauss. Are un maxim īn dreptul mediei, doua puncte de inflexiune (īn dreptul valorilor m-s si m+s), tinde la zero pe masura ce ne īndepartam de medie la stānga si la dreapta

Īn analiza matematica se arata ca graficul acestei functii, cel din figura 6.6, are un maxim pentru x=m si doua puncte de inflexiune (īn care devine din concava convexa), la m-s si la m+s.

Curba normala mai este cunoscuta sub denumirea de legea Gauss-Laplace sau legea normala si apare pentru prima data īntr-o lucrare a matematicianului Moivre (1667 - 1754), apoi īn lucrarile lui Pierre Simon de Laplace (1749 - 1827). Celebra este facuta de lucrarile matematicianului Gauss (1777 - 1855). Utilitatea acestei repartitii se datoreaza mai multor cauze, printre care:

• Multe fenomene aleatoare din natura se supun exact sau aproximativ acestei legi. Astfel, deviatiile stānga-dreapta de la medie ale erorilor de masurare urmeaza aceasta lege simetrica si cu proprietatea ca, erori din ce īn ce mai mari sunt din ce īn ce mai rare.
• O teorema foarte importanta, teorema limita centrala, asigura acestei repartitii un rol privilegiat prin faptul ca suma unui numar mare de variabile aleatoare independente una de alta, dar identic repartizate, este repartizata Gauss sau aproximativ Gauss. Aceasta teorema ne asigura de exemplu, de faptul ca, media calculata pe un lot are o repartitie Gauss sau apropiata.
• S-a demonstrat ca multe repartitii empirice īntālnite īn practica pot fi aduse la o repartitie Gauss prin transformari simple si īn felul acesta devin mai usor de studiat.

Trebuie retinut ca repartitia Gauss are urmatoarele proprietati importante:

• Este simetrica fata de media m
• Are doua puncte de inflexiune, la m-s si m+s
• Are maximul pentru x = m
• Are doua cozi spre + si - infinit care se apropie din ce īn ce mai mult de axa orizontala, fara sa o atinga
• Mediana si modul, coincid cu media
• Deoarece mediana coincide cu media, jumatate din aria de sub curba se afla īn stānga mediei si jumatate īn dreapta. Deci, īntr-o populatie repartizata Gauss, 50% din indivizi sunt sub medie si 50% peste medie
• Aria cuprinsa īntre curba si axa orizontala este 1 indiferent de medie si de deviatia standard.
• Aria cuprinsa īntre curba, axa orizontala si doua verticale īn dreptul numerelor a si b, este probabilitatea ca, extragānd aleator un individ din populatie si facānd masuratoarea pe acel individ, valoarea obtinuta x, sa fie īntre a si b (Vezi figura 6.7).

Figura 6.7 Aria cuprinsa īntre curba, axa orizontala si doua verticale īn dreptul numerelor a si b, este probabilitatea ca, extragānd aleator un individ din populatie si facānd masuratoarea pe acel individ, valoarea obtinuta x, sa fie īntre a si b

Repartitia Gauss, este de fapt o famile de repartitii ce depinde cei doi parametri: media si deviatia standard. Īn figura 6.8, sunt desenate cāteva curbe de repartitie Gauss, mai mult sau mai putin aplatizate, dupa cum deviatia standard este mai mica sau mai mare.

Figura 6.8 Diferite curbe Gauss mai mult sau mai putin aplatizate, aplatizarea fiind data de valoarea deviatiei standard, s. Cu cāt valoarea lui s este mai mare, cu atāt curba este mai aplatizata. Cānd s ia valori mici, curba este mai īnalta.

Avem de asemenea, o infinitate de curbe Gauss care au aceeasi deviatie standard dar au medii diferite. Ele sunt identice ca forma, doar sunt localizate diferit īn plan si pot fi suprapuse prin translatii stānga-dreapta. Īn figura 6.9, sunt desenate cāteva curbe Gauss care difera numai prin medie. Avānd toate aceeasi deviatie standard, au aceeasi aplatizare.

Figura 6.9 Curbe Gauss cu aceeasi deviatie standard. Ele sunt la fel de aplatizate si pot fi suprapuse prin translatii stānga-dreapta.

Daca fixam media dar permitem orice deviatie standard, exista o infinitate de curbe Gauss care au aceeasi medie. Ele sunt localizate identic stānga-dreapta, dar difera prin aplatizare mai mult sau mai putin accentuata. Īn figura 6.10, sunt desenate 3 curbe Gauss cu aceeasi medie si cu deviatiile standard 1, 1.2 si 1.5.

Figura 6.10 Trei curbe Gauss cu aceeasi medie si deviatii standard diferite

Un caz special de curba Gauss se obtine daca m=0 si s=1, caz īn care functia f are forma:

expresie care are graficul īn figura 6.11. Pentru x=0, valoarea functiei este aproximativ 0,4, deoarece e⁰=1. Valorile lui f scad foarte repede odata cu cresterea lui x, fie īn sensul pozitiv, fie īn sensul negativ. Aceasta deoarece expresia lui f se mai scrie ca:

Dupa cum se stie, exponentiala este una din functiile care cresc extrem de rapid (crestere exponentiala), ceea ce face ca f(x) sa scada extrem de repede cu cresterea lui x. De exemplu, daca x = 3, sau x = -3, atunci f(x)=0,004, aproximativ. Pentru valori ale lui x mai mari decāt 3 sau mai mici decāt -3, valoarea lui f este neglijabil de mica (vezi subcapitolul 6.3 pentru amanunte privind aceasta repartitie speciala).

Figura6.11 Curba lui Gauss corespunzatoare la m=0 si s=1. Are un maxim egal cu aproximativ 0,4. Se observa ca scade extrem de repede odata cu īndepartarea de 0. Valorile ei dincolo de 3 si de -3 sunt neglijabil de mici. Se mai numeste curba Gauss standard

Asa cum am aratat, repartitia normala sau Gaussiana este des īntālnita īn studiul fenomenelor biologice si are unele proprietati utile. Īn biologie, una din problemele importante care se pun īn legatura cu datele pe care le masuram este aceea daca se īncadreaza sau nu īn limitele de normalitate. Repartitia normala ne poate ajuta sa dam un raspuns acestei īntrebari, cel putin pentru acele date care sunt distribuite normal. Daca o variabila are repartitie Gauss, atunci se poate stabili cāt de plauzibila este media si deviatia standard gasite prin masuratori pe un lot si se pot face comparatii cu mediile care ar trebui sa fie obtinute si care sunt cunoscute din literatura de specialitate (vezi capitolul despre esantionare si cel dsepre teste statistice pentru amanunte).

Cunoscānd despre o variabila ca are repartitie Gauss, se pot deduce unele afirmatii despre valorile pe care le poate lua. Cum folosim aceasta repartitie pentru a deduce anumite concluzii despre variabila care ne intereseaza? Dupa cum am mai afirmat, pentru o variabila repartizata normal, procentul din populatie situat īntre doua limite date este aria cuprinsa īntre curba Gauss, axa orizontala si cele doua verticale la limitele fixate. De obicei se considera intervalele īn jurul mediei, simetrice, cu limite situate la o distanta de una sau mai multe abateri standard de medie. Astfel, se poate demonstra ca:

Īn intervalul m-s, m+s se afla aproximativ 68% din indivizii unei populatii repartizate normal (vezi figura 6.12). Aceasta īnsa nu este o majoritate suficient de mare pentru a fi aproape de siguranta daca ne īntrebam īntre ce limite sunt situate valorile masurate pentru indivizii din populatie.

Figura 6.12 Īntre m-s, m+s se afla aproximativ 68% din indivizii unei

populatii repartizate normal

De aceea se ia cel mai adesea īn considerare intervalul m-2s, m+2s īn care se situeaza aproximativ 95% din indivizii unei populatiei repartizate normal. Acest interval este suficient de larg si cuprinde o majoritate zdrobitoare a populatiei asa ca este cel mai indicat sa fie folosit ca interval de normalitate.

Figura 6.13 Īntre m-2s, m+2s se afla aproximativ 95% din indivizii unei

populatii repartizate normal

Uneori, se iau intervale mai cuprinzatoare, ca m-3s, m+3s interval īn care se situeaza peste 99% din populatia considerata (vezi figura 6.14).

Figura 6.14 Īntre m-3s, m+3s se afla peste 99% din indivizii unei

populatii repartizate normal

Chiar daca se considera de obicei ca pentru variabilele folosite uzual īn practica medicala valorile medii sunt cunoscute si se cunosc si asa-numitele intervale de normalitate, īn realitate se cunosc doar foarte bune aproximari ale lor obtinute pe baza unor studii foarte atente, pe loturi largi.valorile reale ale mediei si deviatiei standard pentru o populatie distribuita normal, notate cu m si s, sunt aproximate cu si s care sunt indicatorii medie si abatere standard pentru un lot extras din populatia respectiva.

Cum se stabileste cāt de bune sunt aceste aproximari, care se mai numesc estimari, se va vedea īn capitolul 7. Oricum, se folosesc din plin proprietatile distributiei Gaussiene.

6.4 Importanta repartitiei normale

Dupa cum s-a vazut īn subcapitolul 6.3, si dupa cum se va vedea si īn acest subcapitol, cunoasterea unei repartitii īn general este utila deoarece se pot verifica si elimina valorile aberante, se pot verifica limitele de normalitate, etc. Daca stim ca o variabila are o distributie Gauss cu media m si deviatia standard s, atunci aproximativ 99,5% din valorile acelei variabile sunt īn intervalul [m-3s, m+3s]. Deci, putem considera ca īntr-un esantion de dimensiune destul de mare, de cāteva sute de cazuri, aparitia de valori īn afara acestui interval este aberanta, adica, īn principiu ar trebuie eliminate. Pe de alta parte valorile pe care le consideram normale se īncadreaza īn asa-numitul interval de normalitate care este aproximativ [m-2s, m+2s]. Mai mult, avānd o valoare data, putem cere sa se verifice cāt de verosimil este ca ea sa provina dintr-o populatie cu distributia Gauss, cu media m si abaterea standard s.

Pentru a īntelege mai bine ideile de mai sus, sa luam un exemplu. Latenta semnalului nervos pe nervul optic la indivizii normali este īn medie 105ms cu o deviatie standard de 7,5ms. Masurānd latenta unui individ, se gaseste 142ms si dorim sa stabilim cāt de probabil este ca o valoare peste 142ms sa provina dintr-o populatie repartizata Gauss, de indivizi normali cu media 105ms si deviatia standard 7,5ms.

Īn figura 6.17, sunt figurate media si valorile corespunzatoare la m-s, m+s, m-2s, m+2s, m-3s, m+3s, precum si valoarea 142ms. Desi pare ca aceasta valoare iese din grafic, īn realitate curba tinde asimptotic la axa orizontala si trece pe deasupra acestei valori, chiar daca imperfectiunile desenului nu arata acest lucru. Pentru a afla cāt de probabil este sa īntālnim valori de 142ms si peste, īntr-o repartitie Gauss cu media 105ms si abaterea standard 7,5ms, trebuie calculata aria cuprinsa īntre curba si orizontala, la stānga luānd de la - infinit, iar la dreapta pāna la 142ms. Este clar ca aproape īntreaga arie este luata, exceptānd o portiune minuscula, la dreapta valorii 142ms. Aceasta portiune are o arie mai mica decāt 0,000001, adica mai mica decāt 0,0001%, sau 1 la 1000000. Este deci foarte improbabil ca valoarea de 142ms sa provina dintr-o populatie ca cea folosita de noi. Īn realitate, pacientul are scleroza multipla si provine de fapt dintr-o alta populatie, cea a pacientilor afectati de boala.

Figura 6.17 Repartitia Gauss cu media 105ms si deviatia standard 7,5ms. Valoarea 142ms este fosrte improbabil sa apartina acestei repartitii

Ne putem pune acum mai multe īntrebari pentru conduita īn alte situatii asemanatoare. De exemplu:

• Care este probabilitatea ca sa īntālnim valoarea de 129,5ms, sau mai mare? Raspunsul se da similar: se calculeaza aria de la stānga lui 129,5, care este 0,0013, sau 0,13%. Aproximativ 0,13% dintre valori vor fi de 129,5ms si peste.
• Dar probabilitatea ca o valoare sa fie sub 90? Este aria din stānga valorii 90, care este 0,0228 sau 2,28%. Cam 2,28% dintre valori vor fi de 90 si mai mici ca 90.

Regula celor 3 sigma. Deoarece īn intervalul care se obtine prin scaderea si adunarea a trei sigma la medie este cuprinsa o arie de aproximativ 99,74% din toata aria de sub curba normala, īn esantioane ce nu depasesc anumite limite de volum, īn mod normal nu exista nici o valoare care sa fie īn afara intervalului celor trei sigma. De aceea īn general, aceste valori, atunci cānd totusi apar, sunt considerate aberante si sunt eliminate. Eliminarea valorilor aberante nu se face automat si fara o judectaa pentru fiecare astfel de valoare īn parte. Totusi, uneori se elimina ca aberante valori care nu numai ca se afla īn afara intervalului celor trei sigma, dar sunt foarte departe de marginile acestui interval. O teorema celebra, datorata lui Cebāsev spune ca, indiferent de distributie, valorile sunt practic situate īntre media plus-minus sase abateri standard. Deci ceea ce iese din acest interval trebuie eliminat automat ca aberant.

Regula celor 2 sigma. Īn mod asemanator cu regula celor trei sigma, valorile situate īn intervalul obtinut prin adunarea si scaderea a doua valori ale lui sigma la m, sunt considerate ca valori normale. Īn acest intreval se gasesc aproximativ 95,44% din indivizii unei populatii, daca populatia are o distributie Gauss. Aceasta este considerata o majoritate suficienta pentru a lua acest interval ca interval de normalitate.

Ar rezulta ca se pot īn acest fel construi intrevale de normalitate practic pentru orice tip de variabila distribuita Gauss. Din pacate, īn practica lucrurile nu stau deloc asa. Intervalul de normalitate se construieste folosind media si deviatia standard ale repartitiei Gauss considerate. Dar acesti parametri sunt de obicei necunoscuti. De aceea, intervalele de normalitate puse la dispozitie de manuale si tratatele stiintifice sunt calculate pe esantioane foarte mari, astfel ca media si abaterea standard de esantionare sa aiba valori foarte apropiate de cele reale si sunt folosite īn locul mediei si deviatiei standard ale īntregii populatii.

Intervalele de normalitate obtinute astfel nu au valoarea stiintifica pe care le-ar avea cele care folosesc valorile exacte si nu pe cele aproximative. Totusi ele sunt singurele pe care le avem la dispozitie si nimic mai bun nu putem pretinde decāt īmbunatatirea acestor intervale imprecise. De aceea se verifica īn permanenta modul īn care un esantion se īnscrie sau nu īn intervalele de normalitate citate īn literatura de specialitate. De aceea sunt uneori situatii īn care surse diferite dau ca intervale de normalitate valori usor schimbate, dupa autorul sau studiul care le-a obtinut. Micile diferente apar tocmai din faptul ca se folosesc valori aproximative īn locul celor exacte.

Observatie: Cuvāntul "normal" are īn statistica alt īnteles decāt īn limbajul curent:

• Īn limbajul curent "normal" este un individ care se īnscrie īn limitele normalitatii, nu are nimic neobisnuit, īn limbaj medical este īnteles uneori ca "sanatos".
• Īn statistica, "normala" este o repartitie si anume repartitia Gauss. O variabila aleatoare este repartizata (sau nu), normal, adica Gauss. Folosirea termenului din limbajul curent dateaza din copilaria statisticii, cānd descoperirea repartitiei Gauss si a multor fenomene care se repartizeaza Gauss, multi au crezut ca aproape totul poate fi modelat cu ajutorul acestei repartitii. A fi repartizat Gauss era sinonim cu a fi "normal". S-a vazut mai apoi ca nu este asa si ca multe fenomene trebuie modelate folosind alte legi de repartitie.

6.5 Alte repartitii

6.5.2.3 Densitatea Student

Este o repartitie care intervine mult īn aplicatiile referitoare la testele statistice. Are o forma simetrica si seamana ca aspect cu distributia Gauss standard.

Este īn realitate o familie infinita de repartitii, pentru fiecare n, numar de grade de libertate (df), avānd o forma diferita.

Figura 6.27 Curbe de repartitie Student corespunzator la 3, 6 si n>120 grade de libertate. Pentru n>120, forma curbei este practic aceeasi cu cea a curbei normale standard si nu se mai schimba odata cu n.

Aceasta densitate are proprietatea ca are un maxim īn 0 si este simetrica stānga-dreapta lui 0, ca forma. Are un aspect cu atāt mai aplatizat cu cāt numarul de grade de libertate este mai mic. Desi pare sa se asemene cu curba lui Gauss, a densitatii normale, īn realitate, īntre ele este o diferenta.

Cīnd numarul de grade de libertate tinde la infinit, aspectul ei se apropie tot mai mult de forma repartitiei Gauss.

7 EsANTIONARE

7.1 Esantion

Indicatorii statistici calculati pentru un esantion anume sunt simple aproximari pentru parametrii reali ai populatiei din care provine esantionul. Astfel, media, sau deviatia standard calculate pentru bilirubina totala la pacientii din esantionul de 229 de ciroze si cancere hepatice, sunt aproximari ale acelorasi indicatori pentru bilirubina totala a īntregii populatii de bolnavi de ciroza si cancer hepatic.

Se pune īn mod natural problema de a stabili cāta īncredere se poate avea īn aceste aproximari, sau cāt de precise sunt ele. Raspunsul la o astfel de īntrebare se poate da cu ajutorul testelor statistice, despre care se va discuta īn capitolul urmator. Acum sa īncercam sa precizam doar conditiile pe care trebuie sa le avem īndeplinite pentru ca gradul de siguranta īn asertiunile pe care le facem despre o populatie pe baza rezultatelor obtinute pe un esantion, sa fie cāt mai mare. Īnainte de a preciza aceste conditii, sa stabilim de ce aprecierea acestei precizii de aproximare este importanta.

Deci, sa plecam de la faptul ca avem media si deviatia standard calculate pentru o anumita variabila pe un esantion anume. Daca modul īn care a fost ales esantionul ne da posibilitatea sa afirmam ca acestea sunt bune aproximari ale mediei si deviatiei standard pentru īntreaga populatie, atunci acesta este de fapt singurul lucru pe care ne putem baza, īn afara, eventual, a unor medii sau deviatii date īn literatura de specialiate.

Īn cazul īn care nu avem astfel de date din surse bibliografice, caz destul de des īntālnit, sau cānd acestea nu concorda, mai rar, dar se mai īntāmpla, atunci media īntregii populatii nu ne va fi de fapt cunoscuta decāt prin aproximarile date pe esantioane, caci, este evident ca este imposibil sa se faca masuratori pentru īntreaga populatie. De fapt, sursele bibliografice nu ne dau nici ele decāt tot aproximari foarte bune ale adevaratei medii sau deviatii standard, obtinute tot pe niste esantioane extrase din populatia respectiva.

Pentru o discutie ceva mai exacta, sa introducem cātiva termeni: vom numi esantion sau lot, o submultime a unei populatii statistice. Extrapolarea unor rezultate obtinute prin masuratori pe un esantion la īntreaga populatie o vom numi inferenta. De exemplu, daca media bilirubinei totale pe un esantion de ciroze este 2,35, putem face afirmatia generalizatoare, sau inferenta, ca media bilirubinei la ciroze este 2,35.

Cāt de īndreptatite sunt astfel de inferente vom vedea ceva mai departe, dar adevarate sau nu, īn principiu se pot face orice astfel de inferente. O afirmatie despre o populatie, despre care nu stim daca este sau nu adevarata, si pe care , eventual īncercam sa o verificam, o vom numi ipoteza statistica. De exemplu se poate face ipoteza ca media bilirubinei la cirozele si cancerele hepatice este 2,35 si ne propunem sa verificam acesata ipoteza īn ce priveste veridicitatea ei. Īn cele ce urmeaza, vor fi expuse unele tehnici de inferenta care pleaca de la ideia ca esantioanele pe care se lucreaza īndeplinesc niste conditii destul de naturale, firesti, dar obligatorii īntrucāt toate concluziile care se trag sunt conditionate de ele. Vom enumera īn continuare cāteva din aceste conditii:

a) Volumul

Vom numi volum al unui esantion, numarul de indivizi din acel esantion. Evident ca masuratori efectuate pe un individ dintr-o populatie, sau pe cātiva indivizi, nu ne pot oferi o imagine veridica a rezultatelor care s-ar obtine daca s-ar putea masura īntreaga populatie. Se pune īntrebarea, cāti indivizi trebuie masurati, astfel īncāt sa avem un minim de siguranta asupra rezultatelor obtinute? Raspunsul la aceasta īntrebare nu exista. Nimeni nu ne poate spune acest numar, sa-i zicem, minimal de masuratori. O afirmatie care tine mai mult de un soi de folclor statistic, spune ca nu se poate face statistica cu mai putin de 30 de masuratori. Īn realitate acest numar depinde foarte mult de populatia asupra careia se lucreaza. O afectiune foarte raspāndita ca diabetul zaharat, care da o populatie foarte numeroasa la nivelul unei tari sa zicem, de cāteva zeci de mii de cazuri, nu poate fi studiata pornind de la esantioane de 30 - 40 de indivizi, ci īn mod necesar, de cel putin cāteva sute. Din contra, o maladie rara care abia daca strānge cāteva zeci de indivizi la nivelul unei tari, pune problema gasirii la un moment dat a cātorva indivizi si nicidecum a cātorva zeci. De altfel, statistica a demonstrat ca īn realitate numarul de indivizi din esantion este doar cel care da siguranta inferentei, un volum prea mic al esantionului, ducānd pur si simplu la rezultate nesemnificative, asa cum se va vedea. Cu cāt mai multe īnregistrari, cu atāt mai sigure inferentele pe care le facem.

b) Reprezentativitatea

Este conditia cruciala, care necesita discutii foarte complexe si argumente serioase, inclusiv matematice si care se poate rezuma īn cerinta ca esantionul pe baza caruia se fac inferente despre populatie sa reflecte particularitatile populatiei din care provine. Astfel, īn cazul unei maladii cu incidenta crescuta īn rāndul femeilor, cum este Lupus Eritematos Sistemis, nu se pot lua esantioane īn care proportia de barbati si femei este aceiasi ci esantioane care sa aiba cam aceiasi proportie de femei si barbati ca si populatia. Acesta este un exemplu legat de repartitia pe sexe, dar īn realitate, trebuie sa se tina seama de o serie de alte conditii obligatorii, legate de particulatitatile de vārsta, mediu de provenienta, rasa, uneori chiar nivel de cultura sau zona geografica si altele. Vom spune ca un esantion este reprezentativ numai īn conditiile īn care el reflecta la scara mica toate, sau cāt de multe posibil, particularitatile populatiei din care provine.

c) Aleatorizarea sau randomizarea

Este o conditie legata de precedenta si presupune ca alegerea indivizilor din esantion trebuie facuta la īntāmplare caci numai astfel pot fi eliminate unele tendinte subiective ale celui care face alegerea si care, oricāt ar dori, nu se poate sustrage tuturor pericolelor de a alege indivizii din esantion dupa niste criterii pe care de cele mai multe ori nici nu le banuieste dar ele ar putea exista. Sunt cazuri speciale īn care alegerea indivizilor din esantion se face dupa criterii anume dar acestea au fost verificate de-a lungul timpului si au un suport stiintific bine īntemeiat. Pentru a īnlatura orice suspiciune de alegere subiectiva, se prefera alegerea īntāmplatoare. O mentiune speciala merita cazul īn care īnregistrarile provin de fapt din baze de date construite si completate īn timpul actului medical la un cabinet de specialitate, īntr-o clinica, etc, caz īn care, evident ca nu avem posibilitatea de a controla modul īn care pacientii se prezinta la medic. Īn aceste cazuri facem observatia ca īn afara unor evenimente speciale de tipul epidemiilor, campaniilor de control medical monitorizat, cānd pacientii nu se mai prezinta la medic la īntāmplare, ci sunt mānati de o cauza ce nu tine direct de hazard, īnregistrarile obisnuite produc esantioane care sunt de obicei īntāmplator alese din populatiile respective.Totusi este bine sa se verifice pe cāt posibil daca esantioanele īnregistrate īndeplinesc celelalte conditii cerute.

d. Independenta masuratorilor

Orice calcul statistic facem cu datele pe care le avem la dispozitie presupune apriori ca ele sunt independente una de alta. Īn medicina aceasta cerinta este de obicei īndeplinita īn mod automat si anume, atunci cānd datele reprezinta valorile aceluiasi parametru masurat la mai multi pacienti, deoarece valoarea obtinuta pentru pacientul nr.1 este independenta de valoarea obtiunuta pentru pacientul nr.2 si ambele sunt independente de valorile pe care le obtinem la ceilalti pacienti. Sunt īnsa cazuri īn care un pacient care a fost internat de mai multe ori si parametrul urmarit este masurat de fiecare data, valorile obtinute nu sunt neaparat independente unele de altele.

De exemplu, daca ne intereseaza valorile legate de functia hepatica, la pacienti cu ciroza hepatica, atunci, la reinternari, masurarea unui parametru care nu este direct legat de functia hepatica nu da valori independente. Tensiunea sistolica ar putea fi chiar aceeasi la cāteva reinternari si reīnregistrarea ei de fiecare data, va arata o tendinta de constanta artificiala. Un parametru legat de functia hepatica, cum ar fi bilirubina totala (BRT), ar putea sa ne intereseze si sa consideram util sa īl īnregistram la fiecare reinternare dar nici īn acest caz, valorile obtinute nu sunt independente ci mai curānd īnregistrarea lor este utila pentru urmarirea evolutiei īn timp a parametrului BRT. Īn concluzie, īnregistrarea datelor despre un acelasi pacient de mai multe ori este extrem de riscanta pentru acuratetea rezultatelor pe care le obtinem.

7.2 Esantionare

si acum sa trecem la modalitatile prin care se realizeaza inferenta statistica. De la īnceput trebuie precizat ca un rol central īl joaca distributia Gaussiana care de fapt nu este o distributie ca oricare alta ci, datorita proprietatilor ei naturale, īn special simetria, are un statut oarecum privilegiat. Pentru a ne da seama de acest lucru, sa presupunem ca ne aflam īn fata unei populatii cu un numar foarte mare de indivizi, ceea ce, din punct de vedere statistic se denumeste ca "practic infinita". Sa presupunem pentru simplitate ca media populatiei respective īn ceea ce priveste un anumit parametru este m iar deviatia standard este s, valori care pot fi de fapt necunoscute, iar distributia variabilei respective este normala. Sa mai presupunem ca, nestiind statistica, īncercam sa aproximam pe m prin medii obtinute pe esantioane de volum mult prea mic, sa zicem de doi indivizi.

Putem chiar sa ne imaginam ce se īntāmpla daca luam foarte multe astfel de esantioane, poate chiar pe toate. Vom obtine foarte multe medii aproximative, aproximatii care sunt, multe dintre ele foarte departe de adevarata medie. Vom numi aceste medii aproximative, medii de esantionare de volum 2. Se naste astfel o serie statistica, a acestor medii, care are o importanta deosebita, deoarece are anumite proprietati pe care le vom descrie īn continuare, care ne vor ajuta īn a estima cāt de bune sunt aproximarile prin medii de asantionare.

Fie seria statistica M₂: m₁, m₂, m₃.........., seria acestor medii de esantionare de volum 2. Se poate demonstra ca:

"este foarte improbabil ca cele doua loturi sa provina din populatii cu medii egale".

Dar, deoarece nu este exclusa posibilitatea ca cele doua loturi sa provina din populatii cu medii egale, nu putem fi 100% siguri pe decizia luata. Īn statistica, nu are sens sa se spuna despre o astfel de ipoteza ca este adevarata sau falsa. Tot ce se apreciaza este plauzibilitatea ei.

Īn statistica, orice afirmatie este mai mult sau mai putin plauzibila, si vom renunta sa o consideram neaparat din punctul de vedere al alegerii īntre sigur adevarat si sigur fals.

Īn mod natural, atunci cānd constatam diferente mari īntre mediile a doua loturi, punem diferenta pe seama faptului ca populatiile din care provin loturile au medii diferite. Invers, cānd diferentele īntre mediile celor doua loturi sunt mici, le punem pe seama īntāmplarii si consideram ca loturile provin din populatii cu medii egale, sau, ca provin din aceeasi populatie. Aceasta problema apare foarte des īn practica pentru ca foarte des aplicam tratamente la loturi care trebuie apoi comparate cu loturi la care nu se aplica tratamentul.

Sa ne punem deci pentru īnceput problema de a raspunde cāt mai precis la īntrebarea: mediile reale, ale populatiilor din care provin loturile de mai sus (sanatosi si lacunarism cerebral), sunt egale?

Sa ne reamintim ca daca o variabila este repartizata normal sau Gaussian, cu media m si deviatia standard s, atunci luānd loturi de n indivizi din acea populatie, media calculata pe un astfel de lot este o variabila aleatoare care este repartizata tot normal, cu media m si deviatia standard Chiar daca repartitia variabilei nu este Gaussiana, repartitia mediei de esantionare pentru loturi de n indivizi se apropie de una normala cu atāt mai mult cu cāt n este mai mare. Deci, īn aparenta, vom putea estima media reala din parametrii m si s_n, asa cum am mai spus, la aproximativ 95% din esantioane, adevarata medie este īn intervalul m-2s_n, m+2s_n si la aproximativ 99% din esantioane adevarata medie este īn intervalul m-3s_n, m+3s_n

Bazat pe aceste observatii care au fost prezentate īn capitolul 7, daca vom gasi pentru doua loturi medii care sa dea intervale de īncredere care se suprapun, putem decide ca mediile loturilor difera din īntāmplare. Daca īnsa intervalele de īncredere nu se suprapun diferenta īntre medii nu este īntāmplatoare, caz īn care se spunem ca este semnificativa.

Īn figurile 8.1 si 8.2, sunt prezentate cele doua cazuri care pot apare īn acest tip de problema. Īn figura 8.1, intervalele de 95% pentru mediile celor doua loturi se suprapun, deci mediile reale ar putea fi egale (diferenta īntre mediile calculate pe cele doua loturi este probabil īntāmplatoare). Īn figura 8.2 īnsa, intervalele de 95% pentru mediile celor doua loturi nu se suprapun mediile reale nu ar putea fi egale (adica exista o diferenta īntre mediile reale, 95% sigur). Īn felul acesta avem un raspuns destul destul de sigur la īntrebarea pusa mai sus.

Figura 8.1 Daca intervalele de 95% pentru mediile a doua loturi se suprapun mediile reale ar putea fi egale, diferenta īntre mediile calculate pe cele doua loturi este probabil īntāmplatoare.

Figura 8.2 Daca intervalele de 95% pentru mediile a doua loturi nu se suprapun mediile reale nu ar putea fi egale, exista o diferenta īntre mediile reale (95% sigur).

Asa se si procedeaza de fapt, dar numai atunci cānd s_n este cunoscut, adica atunci cānd s este cunoscut. Acest lucru nu se īntāmpla īn realitate decāt foarte rar, deoarece, asa cum media ne este necunoscuta si īncercam sa o estimam, deviatia standard a populatiei ne este cu atāt mai putin cunoscuta. Īn practica, s este īnlocuit cu deviatia standard a loturilor pe care se lucreaza, s_n, caz īn care nu ne mai putem baza pe distibutia Gauss ci pe distributia Student, care difera de la n la n, adica īn functie de numarul de indivizi ai esantionului, apropiindu-se de una normala odata cu cresterea lui n. Estimarea mediei se face asemanator, numai ca intervalele difera īntrucātva (a se revedea capitolul 7 pentru amanunte). Deci, un raspuns la īntrebarea pusa anterior se poate da cu ajutorul intervalelor de īncredere. Mai jos, detaliem discutia despre metode de acest gen, deoarece sunt foarte importante īn statistica.

Deci, una din problemele esentiale ale statisticii este aceea de a decide asupra unor ipoteze care se nasc īn mod natural din examinarea datelor avute la dispozitie sau a indicatorilor statistici care le caracterizeaza.

Īn exemplul, de mai sus, masurānd latenta semnalului pe nervul optic la indivizi sanatosi, si la pacienti cu lacunarism cerebral si observānd o diferenta destul de mare īntre ele, ne punem intrebarea daca īn general lacunarismul cerebral conduce la o latenta mai mare sau, diferenta constatata este o pura īntāmplare. De fapt, trebuie sa decidem daca populatiile din care provin cele doua loturi au medii egale sau diferite. Acesta este un tip de problema de baza la care raspund testele statistice.

Vom considera ca normalii la care s-au facut masuratori provin dintr-o populatie, teoretic infinita, pe care o vom denumi populatia normala, iar ceilalti provin in mod asemanator dintr-o populatie pe care o vom denumi populatia afectata. Vom avea doua cazuri:

a) Media latentei la cele doua populatii este aceeasi (necunoscuta) iar diferentele constatate pe cele doua loturi sunt datorate īntāmplarii. Daca am continua masuratorile, marind cele doua esantioane, mediile recalculate vor fi mai apropiate, iar in cele din urma vor tinde sa devina egale, rolul īntāmplarii diminuāndu-se īncet, īncet.

b) Cele doua populatii au medii diferite, si anume cea afectata are o medie a latentei mai mare, caz īn care daca am continua masuratorile, marind loturile, īncet, īncet, mediile tind sa se stabilizeze, adica sa nu se mai modifice prea mult, dar, media la cei afectati tinde la o valoare diferita (si anume mai mare) ca media la sanatosi.

Īnainte de a face masuratori efective, nimeni nu poate spune care este situatia, adica nu poate decide īntre cazurile a) si b). Din pacate, de obicei este greu sa se ia o astfel de decizie chiar si dupa efectuarea de masuratori. In practica, diferente destul de mari īntre mediile de esantionare pot apare la loturi extrase din aceeasi populatie daca s-au masurat putini indivizi, mai ales daca īmprastierea datelor este mare. A trage concluzia ca cele doua loturi provin din populatii cu medii diferite este, bineīnteles īn acest caz nu numai riscant ci de-a dreptul gresit. Invers, diferente īntre mediile de esantionare care la prima vedere par neīnsemnate, pot sa indice ca cele doua loturi provin din populatii diferite, daca masuratorile s-au facut pe suficient de multi indivizi, mai ales cānd datele au īmprastieri mici.

De exemplu, la un lot de 122 de normali s-a masurat latenta semnalului nervos pe nervul optic si s-a obtinut o medie de 105,4 ms si o deviatie standard de 8,6 ms. Pacientii cu o afectiune au fost 87 si s-a obtinut o medie de 108,7 ms si o deviatie standard de 9,5 ms. Dupa cum se vede foarte usor, diferenta de medie pare mica si suntem tentati sa consideram ca suntem īn cazul a), adica diferenta de 108,7 ms - 105,4 ms = 3,3 ms este īntāmplatoare. Īn realitate testul Student, despre care va fi vorba īn acest capitol arata ca este aprape sigur (p=99,52%) ca cele doua esantioane provin din populatii diferite sau ca cele doua populatii din care provin (sanatosi si afectati) au medii ale latentei diferite. Acest capitol īsi propune printre altele sa initieze cititorul īn modul de a lua astfel de decizii.

Īntr-un alt caz, pe un lot de 35 de indivizi sanatosi s-a obtinut media de 105,2 ms si o deviatie standard de 11,6 ms īn timp ce la cei bolnavi (21), media a fost de 109,6 ms si deviatia standard 13,9 ms. Īn ciuda faptului ca diferenta este acum ceva mai mare (4,4 ms), si ar trebui deci sa deducem ca este cu atāt mai probabil ca cele doua loturi sa provina din populatii diferite, din contra, testul Student arata ca nu sunt suficiente dovezi pentru aceasta concluzie, ci, mai degraba este corect sa punem diferenta constatata pe seama intāmplarii. Acest lucru se īntāmpla din cauza datelor mai īmprastiate, lucru dovedit de deviatiile standard mai mari, precum si din cauza numarului mai mic de masuratori īn cele doua loturi.

Vom conveni īn continuare ca, daca ne aflam īntr-o situatie asemanatoare cu cea de mai sus, sa denumim cele doua situatii posibile (a si b) ca ipoteze fundamentale de lucru si anume pe prima o vom numi ipoteza de diferenta nula, sau ipoteza de nul, iar pe cealalta ca ipoteza alternativa.

Asadar:

• Ipoteza de nul (notatie: H₀ ): mediile populatiilor din care provin loturile sunt egale.
• Ipoteza alternativa (notatie: H₁ ): mediile populatiilor din care provin loturile difera.

Uneori, ca alternative se pot alege doua ipoteze sau chiar mai multe. De exemplu, īn cazul de mai sus, putem avea doua ipoteze alternative la ipoteza de nul:

• Ipoteza alternativa H₁ : media populatiei de sanatosi este mai mare ca cea a populatiei de afectati.
• Ipoteza alternativa H₂ : media populatiei de sanatosi este mai mica decāt cea a populatiei de afectati.

Vom numi test statistic, o metoda care ne ajuta sa decidem cu un grad de siguranta ales, daca ipoteza de nul poate fi respinsa īn favoarea ipotezei sau ipotezelor alternative sau daca nu sunt suficiente dovezi care sa justifice respingerea ipotezei de nul.

Ipotezele pe care le putem supune deciziei unui test statistic sunt foarte variate. Din observarea datelor, se pot naste ipoteze dintre cele mai diverse. Categoriile principale de ipoteze sunt:

• Ipoteze care afirma ca mediile a doua populatii sunt egale
• Ipoteze care afirma ca dispersiile a doua populatii sunt egale
• Ipoteze care afirma ca mediile a trei sau mai multe populatii sunt egale
• Ipoteze care afirma ca dispersiile a trei sau mai multe populatii sunt egale
• Ipoteze care afirma ca repartitia unei variabile aleatoare este o repartitie fixata (Gauss, Poisson, etc.)
• Ipoteze care afirma ca doi factori de clasificare sunt independenti

Fiecare dintre tipurile de ipoteze formulate mai sus, are una sau mai multe ipoteze alternative.

Se poate testa deci, daca dispersiile unor populatii sunt diferite, discutia fiind īn fond aceeasi ca la cea pentru medii. Īn plus, exista teste care testeaza egalitatea a mai multor medii, adica avānd la dispozitie mediile de esantionare a trei sau chiar mai multe loturi (cu deviatiile lor standard), ne situam īn unul din cazurile:

• Ipoteza de nul H₀ : Mediile m1, m2, m3 (etc), ale populatiilor din care provin esantioanele 1, 2, 3, sunt egale.
• Ipoteza alternativa H₁ : cel putin doua dintre mediile populatiilor din care provin esantioanele difera.

Un test statistic va trebui īn toate aceste cazuri, sa ne ajute sa decidem īntre a respinge sau nu ipoteza de nul H₀.

Testarea unor ipoteze statistice se poate face bazāndu-ne pe proprietatile distributiei normale. De cele mai multe ori insa, ipotezele statistice sunt de asa natura ca este nevoie de cunoasterea proprietatilor altor distributii pentru a putea decide daca sunt sau nu suficient de bine sustinute de datele pe care le avem la dispozitie.