Fundamente statistico-matematice utilizate in analiza pietelor de capital

2.1. Indicii bursieri-constructie si relevanta

Momentele nevralgice in evolutia economiei devin evidente pentru toti si aduc ingrijorare pentru scaderile uneori abrupte si bruste ale indicilor bursieri dintr-o tara sau mai multe, evolutii devenite adesea sursa de tensiune pentru tot mapamondul.

Indicii bursieri in diferitele lor alcatuiri,reflecta primordial evolutia cursurilor bursiere,pe o anumita piata, pe oanumita bursa si astfel exprima raportul intre cererea si oferta de capital generala.Daca pentru fiecare actiune cotata cursul exprima preferinte pentru societatea emitenta,indicele generalizat exprima preferinta medie a detinatorilor de capital de angajare in activitatea economica,fapt ce se manifesta,de pilda, prin predominanta celor ce vand asupra celor ce cumpara, si, ca rezultanta, scaderea generala a cursurilor.

Asemenea situatii apar in strinsa legatura cu fenomenul de recesiune,manifestate sau prezumate,ce determina retineri in investitii. Dimpotriva, preponderenta celor ce cumpara creaza conditii pentru o crestere lenta,dar continua, acursurilor si prin aceasta,expresie a unei evolutii stabile de crestere economica.

Indicii bursieri se construiesc pe baza unui esantion de intreprinderi selectionate(ce se mentine in timp),ponderea acestora in grupa fiind determinata de capitalizarea bursiera, respectiv de coeficientul de capitalizare a rezultatelor (price earning ratio).

Coeficientul decapoitalizare arezultatelor are ca baza de calcul beneficiile nete pe actiune si ia in considerare deci randamentul fiecarei intreprinderi si prin aceasta masura in care proprietarul poate fi remunerat.

Literatura de specialitate subliniaza caracterul conventional al alcatuirii indicilor bursieri semnalind in acest sens cazul indicelui Dow Jones, ai carui alcaruitori considera, in anii de depresiune, o capitalizare de 10 ori, iar in perioada de avint depeste 20 ori. Ceea ce inseamna ca pe spatiul a 3 sau 4 ani cursul actiunilor (si deci valoarea indicelui) poate sa se majoreze de la 1 la 3, la o crestere reala a beneficiilor de la 1 la 15.

Folosit pentru comparatii in timp, rezulta ca indicatorul, exprima si gradul in care starea generala a economiei permite obtinerea unor profituri inalte si prin aceasta , o remunerare mai ridicata a proprietarior. Daca pornind de aici ne-am putea gindi la eventualele 646b19g si posibilele comparatii internationale, acest lucru este exclus, deoarece normele de contabilitate sunt inca diferite de la tara la tara, gradul de impozitare variaza, iar metodele de camuflare a beneficiului printr-o anumita considerare a cheltuielilor si in special prin uflarea amortizmentelor si rezervelor sunt o practica generalas, dar diferita pentru fiecare tara.

Iata deci ca indicele bursier este semnificativ numai pentru bursa respectiva si are ca elemente constitutive: cursurile aferente unui esantion, stabilit de valori (de regula actiuni) ponderate functie de randamentul exprimat prin coeficientul de capitalizare.

Indicii bursieri s-au iplementat de mai multa vrema in practica vietii bursiere , ca un barometru urmarit, si adesea temut prn implicatiile sale.

In SUA indicele DOW JONES in conformatia sa initiala a avut mai multe ipostaze (pentru industrie, cu 30 mari intre prinderi industriale, pentru transpotr (20 firme), pentru utilitati (15 unitati), sau compozit, cu toate cele 65 firme). Indicele Dow Jones industrial a ramas , cel mai semnificativ, cunoscut si utilizat.

Evolutia postbelica a acestui indice, ilustrativa la modul general, subliniaza cresteri accelerate in ultimii 5 ani. Pornind de la nivelul 200 (1950), indicele atinge 1000(1965), se ridica la 1300(1985), pentru a ajunge la 2879(iunie 19990) si 6521 (decembrie 1996).

In Japonia indicele Nikkei, instituit in 1950 cuprinde 255 societati, iar in Anglia indicele Financial Times, si el indice din prima generatie, cuprinde numai 30 valori.

Acesti indici, desi sunt acum foarte cunoscuti, deoarece au capatat prestigiu conferit de patina vremii,sunt de fapt nesemnificativi, fie prin numarul restrins de valori, care nu sunt cele mai reprezentative, fie prin modul de indice, asa cum se procedeaza pentru indicele Nikkei.

Se atribuie acestor indici din prima generatie lipsa de relevanta, din moment ce sunt excluse din sfera lor actoare importante al caror rol a crescut tot mai mult in viata economica a tarilor respective. Astfel, indicele Dow Jones nu cuprinde nici o companie bancara,de asigurari si nici o intreprindere de comunicati, de constructii etct. Aprecierea este valabila si pentru celelalte tari: CAC40 (Franta), DAX (Germania) etc.

Cu timpul sau constituit noi indici denumiti din generatia a doua care,prin numarul mai mare de societati cuprinse,cat, si prin importanta si reprezentativitatea societatilor incluse in indici, au sporit in mod necesar,gradul lor de semnificatie.

Astfel, pentru piata SUA, indicele bancii de afacere Standard and Poor 500, pentru piata Japoneza indicele TOPIZ (cuprizand 1165 de actiuni, indicele englez Financial Times 100, ca si indicele FAZ(cu 100 actiuni), valabil pentru bursele germane, sunt indici de mare reprezentativitate si implicit cu semnificatie in reflectatea evolutiei bursei de actiuni.

2.2 Atribute si functii noi pentru indici bursieri

Interesul pentru intarirea semnificatiilor indicilor bursieri creste si in legatura cu noile functii ce se atribuie acesora, pe scara din ce in ce mai larga, contracte de vinzare-cumparare bazate pe evolutia indicilor bursieri.

Asa, de pilda, in SUA se practica contracte la termen bazate pe indici Standard and Poor 500 si 100, precum si NYSE (NewYork Stock Exchenge) Compozite index ce cuprinde 1500 valori. In Anglia indicele Financial Times 100, in Franta indicele CAC 40 si in Germania indicele DAX(30 actiuni) servesc drept suport unor asemenea operatii.

Contractele de acest gen ,contractiile specifice de speculatie bursiera, iau drept baza de amplificare sau reductie asumelor angajate indicele bursier.Astfel un agent economic care are unnportofoliu de detinere de actiuni incluse intre valorile indecelui bursier si care se asteapta la scaderea cursurilor acestora va incheia,in momentul respectiv un contract de vanzare la termen(sa zicem in valoare de 2.60 milioane). Daca asteptarile vor fi implinite, la termenul stabilit acelasi agent va rascumpara contractul respectiv, acum la o suma mai redusa( sa zicem2.45 milioane), data fiind evolutia cursurilor bursiere. Diferenta (0.15 milioane) reprezinta un castig pentru detinator care, de fapt, ii poate acoperi (integral sau in parte) scaderea valorica a detinerilor sale, provenind din diminuarea cursurilor.

Dupa cum se vede, contractele la termen bazate pe indicii bursieri sunt,mai ales, eficiente in aproteja pe detinatori de actiuni al caror portofoliu are componente structurate pe acest indice.

In acelasi sens indicii actioneaza puternic si in structura detinerilor investitorilor institutionali, in special asocietatilor de investitii.

Aceste institutii sunt denumite si gestionari, intru cat au ca principala functie investirea in actiuni a capitalurilor incredintate intr-o structura sa optimizeze veniturile obtinute din dividente, care devin astfel baza de remunerare a acestori capitaluri.

Asa cum se intampla uneori(se apreciaza ca in SUA pentru un sfert din detinatoti) gestionarii sunt tentati sa dea propriuluiportofoliu de detineri aceeasi structura cu cea pe care o are un indice bursier dat. Astfel se creaza premizele unor identitati intre portofoliul detinerilor investitorilor institutionali si profilul indicelui.

O asemenea situatie face deosebit de semnificativa pentru evolutia plasamentelor investitorilor, insasi evolutia indicelui, care devine realmente un mod de expresie a acestuia. Dar asa cum sublinia, pe buna dreptate, un expert de la Deutsche Bank, prin aceasta 'dispare pur si simplu functia de gestiune'. Se elimina astfel ideile proprii, de angajare si functionare a capitalului, a diferitilor gestionari, care acum, se orienteaza in plasamente dupa profitul indicelui, deci intr-un cadru uniformizat. Se produce de fapt insasi 'moartea pietei', respectiv lipsa conditiilor de orientare libera in ce priveste negocierea de actiuni, pe un principal segment al pietei.

Analiza fundamentala vizeaza, in principal, determinarea evolutiei pe termen mediu si lung a cursurilor unui anumit titlu mobiliar, fie independent, fie in corelatie cu alte titluri sau cu evolutia pietei bursiere in general. Analiza fundamentala se realizeaza cu ajutorul unui sistem de metode si terhnici statistice, la baza caruia stau o serie de cconcepte proprii: rentabilitate, risc, utilitate, diversificare, volatilitate etc.

2.3 Rentabilitatea valorilor mobiliare

Cumpararea unei valori mobiliare (actiune, obligatiune, certificat de depozit etc.) reprezinta un aaact de investitie de capital. In fapt, este vorba de un transfer de un transfer de capital catre un antreprenor (catre o firma) de la care sse steapta o rentabilitate corespunzatoare riscului asumat prin aceasta investitie de capital propriu.

Teoria financiara moderna a formalizat un obiectiv complex al gestiunii valorilor mobiliare, si anume optimizarea corelatiei dintre rentabilitate si risc in plasarea capitalurilor financiare. Aceasta noua preocupare este tot mai necesara, in conditiile unei volatilitati sporite a valorilor mobiliare, in raport cu variatiile fenomenelor economice si financiare, ceea ce determina o relatie directa intre rentabilitate si risc. Cu alte cuvinte, o rentabilitate mare este insotita de un risc mai mare si vice-versa. Spre exemplu, investirea de capital in cumpararea unor obligatiuni cu dobanda de 4%, in termeni reali, realizeaza o rentabilitate mediocra, dar cu un risc scazut. Dimpotriva, investirea aceluiasi capital in cumpararea unor actiuni cu dividende variabile, ce a inregistrat anterior valori superioare celei de 4%, este insotita de un risc mult mai mare:

De realizare, in viitor, a unei rentabilitati mai mici de 4%;

De faliment si

De pierdere 100% a capitalului investit.

Rentabilitatea unei actiuni este determinata de doua componente ale castigului, intr-o astfel de investitie: dividendul si cresterea valorii de piata (castig de capital). Motivatia investitorului de a cumpara o actiune, imediat dupa emisiunea ei, este dividendul net pe care il va aduce aceasta actiune. Dar orice actiune necesita interesul investitorului si pentru o alta componenta a rentabilitatii si anume cresterea previzibila e valorii de piata in raport cu pretul ei de achizitie. Aceasta ultima motivatie este cea care determina o circulatie bursiera mai mult sau mai putin activa a actiunilor, in functie de castigul scontat prin speculatia bursiera. Asadar, rentabilitatea unei actiuni cuprinde dividendul net la sfarsitul perioadei de previziune (D₁) si diferenta de curs dintre pretul viitor de piata (P₁) si pretul de achizitie (P₀) al respectivei actiuni. Deci, rentabilitatea (x, 'return') si (R) rata rentabilitatii unei actiuni se pot determina astfel:

X = D₁ + P₁ - P₀

R = ×100%

Consideratii similare se pot face si in legatura cu rentabilitatea unei obligatiuni. Astfel,daca obligatiunea din exemplul de mai sus, in valoarea nominala de1000 u.m. (pret de achizitie), are o crestere a pozitiei la bursa cu 6,25% (in termeni reali) fata de momentul achizitiei, atunci rentabilitatea si rata rentabilitatii acesteia sunt urmatoarele:

X = ( 0,04 + 0,0625 ) × 1000 = 102,5 lei ( in preturi constante)

R =   ×100 = 10,25%

In fapt, relatia de calcul nu este altceva decat formalizarea intentiei de fructificare a capitalului economisit si investit in cumpararea respectivei valori mobiliare. In raport cu pretul platit initial, investitorul asteapta o remunerare (R) care sa-i permita la sfarsitul perioadei de detinere a acesteia, incasarea unui devidend sau dobanda (D₁) si recuperarea capitalului investit (la un pret de revanzare P₁, pe cat posibil mai mare decat cel initial):

P₀ ( 1 + R ) = D₁ + P₁

P₀ R = D₁ + P₁ - P₀,

de unde rezulta usor relatia de ami sus a ratei rentabilitatii:

Deci, rata de rentabilitate a unui activ financiar este data de remunerarea D₁ / P₀ pe care emitentul o poate asigura investitorului de capital si de cresterea relativa, in timp, a valorii activuliu respectiv

In termeni concreti, R semnifica fructificarea unui bun investit in cumpararea titlului respectiv.

Seria statistica poate fi compusa din ratele rentabilitatii inregistrate lunar, saptamanal sau la fiecare sedinta. Pe baza frecventelor absolute de aparitie se calculeaza frecventele relative. Pentru a studia speranta matematica de a realiza in viitor o anumita rentabilitate este necesara studierea legii probabilitatii care modeleaza cel mai bine repartitia ratelor de rentabilitate. Numeroase studii efectuate pe baza unor serii statistice de date au condus la concluzia ca, legea de repartitie care aproximeaza foarte bine distributia ratelor rentabilitatii este legea normala. Pe baza acestora, se poate calcula speranta matematica de obtinere a rentabilitatii, prin determinarea valorii medii a rentabilitatii individuale, astfel:

Unde r_i si p_i sunt rata rentabilitatii, respectiv probabilitatea ei de aparitie la momentul i, iar n este numarul de observatii statistice.

2.4 Calculul ratei anuale de rentabilitate

Rentabilitatea calculata mai sus vizeaza intreaga perioada de detinere a valorii mobiliare cumparate (cateva luni sau cativa ani). Pentru comparabilitatea ei cu rate de dobanda din economie este necesara anualizarea ratei de rentabilitate. Altfel spus, trebuie cautata rata anuala (interna) de rentabilitate (R_a) care a condus la obtinerea unei rate totale (R_T) aferente intregii perioade de detinere a titlului si deci, a creantei antreprenorului, firmei:

( 1 + R_a )^T = 1 + R_T,

in care T este numarul de ani sau de fractiuni de ani de detinere a titlului.

Din relatia de mai sus se extrage usor R_a ca solutie a ecuatiei de ordin superior astfel exprimata:

Presupunand ca obligatiunea din exemplul precedent a fost pastrata timp de doi ani pana la revanzarea sau rascumpararea ei, atunci rata ei anuala de dobanda, in termeni reali, este:

Oare media geometrica este cea mai buna exprimare a rentabilitatii asteptate pentru un proiect de investitie ? Este aceasta mai corecta decat media aritmetica, stind ca aceasta din urma este mai mare sau cel mult egala cu media geometrica ? Paradoxal, media aritmetica este o estimare mai buna a rentabilitatii sperate a unei investitii decat media geometrica. Si aceasta pentru ca, statistic, media aritmetica a unui esantion este o estimare pertinenta a mediei populatiei analizate.

In acelasi exemplu al obligatiunii detinute timp de doi ani, rata medie de rentabilitate este de 5,125 % > 5 % :

R -   = 0,05125 = 5,125 %

Exprimarea rentabilitatii in termeni nominali (in preturi curente) presupune luarea in calcul a ratei inflatiei, conform amintitei relatiei a 'efectului Fisher'.

1 + R_n = (1 + R_r) (1 + i), pentru un an

(1 + R_n)² = (1 + R_r)² (1 + i)² , pentru doi ani

In cazul tarii noastre, Banca Nationala a Romaniei anticipeaza in urmatorii doi ani o rata anuala a inflatiei de circa 25%. Rata de rentabilitate si rentabilitatea absoluta, in termeni nominali, ale obligatiunii noastre vor fi:

R_an = (1 + 0,05) (1 + 0,25) - 1 = 0,3125 = 31,25 %

R_n = (1 + 0,05) (1 + 0,25) ² - 1 = 0,722656 = 72,2656 %

X_n = 0,722656 1000 = 722,656 lei (in preturi curente ale anului al doilea)

å R_t

In care R₁ , R₂ , ., R_T sunt rate anuale de rentabilitate efectiv inregistrate anterior;

t = 1, 2, .T reprezinta anul in care s-a inregistrat rata anuala de rentabilitate.

2.5 Riscul unui titlu mobiliar

Riscul unei investitii reprezinta posibilitatea aparitiei abaterilor de rentabilitate fata de acea medie asteptata ca urmare a variatiei neanticipate a fenomenelor economico-financiare care o determina. In raport cu frecventa acestor abateri si cu distributia mai mult sau mai putin simetrica a lor de o parte si de alta a mediei, se poate anticipa marimea riscului.

Pentru definirea riscului s-au definit mai multe acceptiuni:

a)     Sacrificiul unui avantaj imediat sau absenta unui consum imediat, in schimbul unor avantaje viitoare;

b)    Pierderea unui avantaj cert si imediat din achizitia si stapanirea unui bun real sau din consumatia unui serviciu contra unui avantaj viitor si incert din investitia in valori mobiliare;

c)     Incertitudinea asupra valorii unui bun financiar ce se va inregistra la o data vitoare.

Multitudinea de exprimari ale conceptului de risc este determinata de complexitatea acestor categorii financiare, complexitate ce va insoti si demersul metodologic de a surprinde si de a previziona marimea lui.

Revenind la prima formulare a riscului, pentru masurarea acestuia se apeleaza la ipoteza de normalitate, care se adevereste a fi, in cea mai mare masura, realista.

Riscul este dependent de realizarea posibila a unor evenimente cu grad mare de incertitudine sau aleatorii, care definesc natura si evolutia pietelor financiare si, in particular, ale burselor de valori. Analiza riscului unui titlu mobiliar face parte din teoria deciziei in conditii de incertitudine, utilizand in cele mai multe cazuri calculul probabilistic. Masurarea riscului cu ajutorul probabilitatilor consta in acordarea de grade de adevar cuantificate (adica probabilitati obiective sau subiective, dupa caz) modificarilor posibile ale valorilor elementelor variabile sau aleatorii, care intervin intr-un calcul global. Aceasta pleaca de la principiul potrivit caruia modificarile determina stari diferite si deci, masuratori ale consecintelor (de exemplu asupra rentabilitatii unei investitii pe piata bursiera). Riscul aferent unei variabile financiare poate fi determinat daca se cunoaste profitul care se obtine in urma unui plasament de titluri, trebuie studiate mai intai contributiile tuturor factorilorcare influenteaza obtinerea profitului si ca urmare, stabilirea unei distributii ale probabilitatilor corespunzatoare. Distributia, odata stabilita, va fi analizata, iar pentru aceasta se utilizeaza cel mai adesea urmatorii parametri statistici: media dispersia si abaterea medie patratica.

Riscul unui titlu mobiliar se poate calcula fie ca dispersia rentabilitatilor seriei dinamice fata de rentabilitatea medie, fie ca abatere medie patratica a seriei respective interpretabila ca o crestere sau scadere a rentabilitatii, in functie de valorile pozitive, respectiv, negative ale abaterilor individuale.

= Σ (R_t - R) ²

R) ² P_t

Abaterea medie patratica (σ) este radacina patrata a acestei dispersii :

In tabelele statistice se pot regasi valorile functiei pentru orice valoare data a ratei rentabilitatii. In calcule concrete, se apeleaza la legea de distributie normala centrata redusa, de medie 0 si abaterea nedie patratyica 1, definita de relatia :

,

Valaorea t inseamna probabilitatea ca o rata a rentabilitatii sa depaseasca o valoare data. Pe baza riscului determinat prin abaterea medie patratica si a tabelelor de valori de distributie normala se poate determina probabilitatea ca un titlu mobiliar sa aiba o anumita rata a rentabilitatii:

Prob (R-c)= Prob (T - )

Mai intai se afla multiplicatorul (λ) de abatere medie patratica, aferent diferentei dintre rentabilitatea dorita (x) si rentabilitatea medie :

(x - μ) =λ

Pentru marimi semnificative ale multiplicatorului λ, de o parte si de alta a mediei,s-au calculat, in tabele statistice, probabilitatile de aparitie a acestora. De exemplu :

P ( x = μ

P ( x = μ

P ( x = μ

Etc. (vezi figura 2.1)

Figura 2.1 Metoda grafica de trasare a dreptei de regresie

Exemplu.: Cele 54 de rentabilitati saptamanale ale unei actiuni au inregistrat urmatoarea frecventa de aparitie :

Tabelul 2.1

Atunci, valoarea medie, dispersia si abaterea medie patratica vor fi :

Actiunea analizata a inregistrat o medie anuala de 6,4 % cu o abatere medie patratica de 4,17 %. Cu alte cuvinte, rentabilitatea sperata in anul viitor (R₁), va avea cea mai mare probabilitate de a fi egala cu media abaterea medie patratica :

R₁ = R s

La aceasta rentabilitate, valoarea minima a rentabilitatii poate fi de 2,23 % ( ceea ce sperie investitorul vis-à-vis de risc). Iar valoarea maxima poate fi de 10,57 % (ceea ce-l bucura pe investitorul cu preferinta pentru risc).

Reamintim ca reactia investitorului fata de risc poate fi :

q     Neutra : accepta riscul implicit al valorii mobiliare cu conditia incasarii unei prime de risc corespunzatoare;

q     Adversa: nu accepta decat valori financiare performante care (1) au cea mai mare rentabilitate pe unitatea de risc sau invers, ceea ce este acelasi lucru, (2) care au cel mai mic risc pe unitatea scontata;

q     Preferabila: accepta valoirle mobiliare cu dispersia cat mai mare (volatilitate cat mai mare) fiind incredintat ca va castiga rentabilitatea superioara mediei ( el mizeaza pe probabilitatea de 50 % de realizare a abaterilor peste medie).

In acest exemplu, probabilitatea ca rata rentabilitatii sa se abata cu 4,19 % este de 68,3 % s.a.m.d.

P (6,4 4,13 < R₁ < 6,4 + 1/2

P (6,4 - 4,13 < R₁ < 6,4 + 4,13) = 68,3 %

P (6,4 - 2 4,13 < R₁ < 6,4 + 2

Tabelul 2.2 Probabilitatea abaterilor standard intr-o distributie normala

Tot prin intermediul acestor tabele se poate calcula probabilitatea ca rata rentabilitatii sa fie mai mare decat o valoare limita, considerata ca minim admisibila pentru gestiunea viitoare a portofoliului. Spre exemplu probabilitatea ca rata rentabilitatii sa fie mai mare decat media este de 50 % , respectiv, (38,3/2 + 15 + 9,2 + 4,4 + . + 0,00003).

Probabilitatea ca rentabilitatea sa fie mai mare decat 1 % se calculeaza in functie de multiplicatorul

Ori, probabilitatea tuturor aparitiilor de rentabilitate mai mari de -1.30 σ este de 81% (a se vedea tabelul 2.2). Se accepta ipoteza ca in viitor , conditiile de desfasurare a activitatilor intreprinderii emitente si ale mediului economic national in care se desfasoara aceste activitati raman constante.

Evidentirea parametrilor de performanta a investitiei face posibila compararea acesteia cu alte oportunitati de investitii din economie. Care va fi alegerea intre 2 alternative de investire cu aceeasi speranta de rentabilitate dar cu dispersii (cu riscuri) diferite? Aceasta este intrebarea fundamentala in finante , iar raspunsul nu e deloc simplu . Un raspuns ar fi: depinde de utilitatea penru investitor de a-si asuma sau nu un risc si daca acesta este remunerat corespunzator.

In realitae, avantajul analizei realizate cu instrumentiul probabilistic se releva prin compararea cu rezultatele referitoare la alte titluri mobiliare.

Abaterea medie patratice exprima dispersia rentabilitatii in jurul valorii sale medii:cu cat abaterea medie este mai mica, cu atat riscul titlului este mai redus, deoarece variatia rantabilitatii este redusa. Astfel, din figura 2.2 se observa ca titlul X are un grad mai mare de risc decat titlul Y, deoarece are o speranta matematica mai mare.

Figura 2.2 Distributia ratelor rentabilitatii celor doua titluri

Pentru a masura variatia rentabilitatii, se recurge la determuinarea coeficientului de variatie, calculat dupa formula:

n s R ;

Acest coeficient masoara intinderea distributiei probabilitatilor de aparitie a ratelor rentabilitatii unui titlu si reprezinta o modalitate de masurare a riscului: cu cat coeficientul este mai mare, cu atat distributia este mai intinsa, abaterea medie patratica etse mai mare si riscul este mai important. In multe cazuri insa, distributia probabilitatilor nu este una normala ci una asimetrica.

Figura 2.3 Distributii asimetrice ale probabilitatilor

De exemplu, in fig. 2.3 se prezinta distributiile a doua titluri mobiliare, distributii asimetrice , dar care au ratele medii ale rentabilitatii si abaterile medii patratice egale. Reprezentand distributiile in acelasi sitem de axe, se poate decide totusi ca titlul Y va fi preferat titlului Y.

Ramane de precizat ca informatiile relative la probabilitatile asociate ratelor rentabilitatii pot fi exprimate util prin curbe care, pe de o parte, stabilesc probabilitatile cumulate si, pe de alta parte, indica probabilitatea ca rata sa atinga cel putin nivelul dorit