INDICATORII TENDINTEI CENTRALE

INDICATORII TENDINŢEI CENTRALE

Mediile

Mediana

Valoarea dominanta (sau modul)

Indicatorii tendintei centrale sunt utilizati în analiza statistica a fenomenelor de masa, reprezentând expresia sintetizarii într-un singur nivel reprezentativ a ceea ce este esential, tipic si general în aparitia, manifestarea si dezvoltarea fenomenelor.

Principalii indicatori ai tendintei centrale sunt:

valoarea medie (

valoarea mediana (M);

valoarea dominanta (D).

Exemplu

Notele obtinute la examen de cinci studenti sunt urmatoarele: 10, 6, 7, 10, 4.

Pentru a analiza pe ansamblu situatia celor cinci studenti, se calculeaza cei trei indicatori:

media (nota medie), care se determina ca raport între suma notelor obtinute si numarul studentilor:

mediana (nota mediana), care este valoarea ce împarte seria de studenti în doua parti egale: 50% se situeaza sub nota mediana, 50% se situeaza peste nota mediana; se determina ca valoare (nota) centrala, dupa aranjarea valorilor seriei în ordine crescatoare sau descrescatoare.

valori în ordine crescatoare:

=7 (50% dintre studenti au obtinut note sub 7, iar 50% peste 7)

dominanta (nota dominanta), reprezentând nota care se înregistreaza la cei mai multi studenti:

D (pentru ca aceasta nota apare la un numar de doi studenti, în timp ce notele celelalte apar la câte un singur student).

Ca urmare s-au calculat cei trei indicatori ai tendintei centrale, care caracterizeaza seria statistica respectiva:

= 7,4

M

D =

Valorile acestora sunt diferite, urmare a faptului ca si continutul si semnificatia indicatorilor difera.

4.1. Mediile

Principalele caracteristici ale mediilor:

Mediile sunt indicatorii statistici cu cel mai mare grad de aplicabilitate practica.

Mediile se prezinta ca marimi cu caracter abstract, în sensul ca valoarea medie - de cele mai multe ori - nu coincide cu niciuna dintre valorile individuale din care s-a calculat (în exemplul anterior, niciunul dintre studenti nu a obtinut nota 7,4).

Media este nivelul la care ar fi ajuns caracteristica înregistrata, daca, în toate cazurile, toti factorii esentiali si neesentiali ar fi actionat constant.

Pentru a asigura un continut real mediilor calculate, valorile individuale din care se obtin trebuie sa fie cât mai apropiate, sa existe o omogenitate a colectivitatii. În cazul eterogenitatii colectivitatii, aceasta trebuie separata pe grupe calitative pentru care se calculeaza medii partiale.

În analiza statistica se calculeaza mai multe tipuri de medii:

- media aritmetica;

- media armonica;

- media patratica;

- media geometrica;

- media cronologica.

În practica, marimile medii nu se folosesc la întâmplare. În functie de specificul si de proprietatile fenomenului respectiv se utilizeaza una sau alta dintre medii.

În continuare, se prezinta detaliat media aritmetica, urmând ca si celelalte tipuri de medii sa fie tratate la temele urmatoare.

Media aritmetica (

Media aritmetica este rezultatul sintetizarii într-o singura expresie numerica a tuturor nivelurilor individuale observate si se calculeaza prin raportarea valorii totalizate a caracteristicii la numarul total al unitatilor.

Formula de calcul

A.     pentru seriile simple adica în cazul în care numarul variantelor caracteristicii studiate este egal cu numarul unitatilor.

fie caracteristica X cu variantele X₁, X₂ ,..., X_n, în care :

, unde n = numarul unitatilor.

înlocuind fiecare valoare X_i cu se obtine:

rezulta formula de calcul pentru media aritmetica simpla:

Exemplu

Pentru cei 10 angajati ai unei firme s-au înregistrat în luna septembrie 2006, urmatoarele salarii lunare brute (în unitati monetare - um):

Sa se calculeze salariul mediu lunar la nivelul firmei.

La nivelul firmei, salariile au variat între 700 um si 1100 um, iar salariul mediu a fost de 880 um.

B. pentru seriile cu distributie de frecvente adica în cazul în care variantele caracteristicii se înregistreaza de mai multe ori (în exemplul anterior acelasi salariu este înregistrat la mai multi salariati: 900 um la 3 salariati, 1000 um, 800 um si 700 um la câte 2 salariati, 1100 um la 1 salariat.

formula de calcul pentru media aritmetica ponderata este urmatoarea:

unde:

f_i = frecventa absoluta înregistrata la valoarea X_i a caracteristici;

frecventa relativa (ponderea) înregistrata la valoarea X_i a caracteristicii;

m = numarul de grupe ale caracteristicii X.

Exemplu

Pentru cei 10 angajati ai firmei (din aplicatia anterioara) salariile lunare brute înregistrate în luna septembrie 2006 sunt urmatoarele:

Tabelul 4.1

Calculul mediei aritmetice ponderate

Salariul mediu se poate calcula în doua moduri:

a. pe baza frecventelor absolute

b. pe baza frecventelor relative

În unele cazuri, variabila X_i nu este definita printr-un set de valori (de exemplu salariul de 700, 800, 900, 1000, 1100 um), ci printr-un set de intervale egale (sau inegale) de grupare, de exemplu:

Aceasta situatie este întâlnita, de regula, atunci când numarul unitatilor de observare este foarte mare si, în plus, nu sunt cunoscute valorile individuale, ci numai încadrarea lor într-un anumit interval.

Calculul mediei aritmetice ponderate se efectueaza pe baza acelorasi relatii. Deoarece fiecare grupa nu este caracterizata de o anumita valoare X_i a caracteristicii, ci de un interval, prin conventie se stabileste ca valoarea corespunzatoare fiecarui interval sa fie centrul intervalului de grupare (media aritmetica simpla a limitei inferioare si a limitei superioare a intervalului).

Exemplu

Pentru o firma cu 200 de angajati se cunosc urmatoarele informatii privind salariul brut realizat în luna septembrie 2006:

Tabelul 4.2

Calculul mediei aritmetice ponderate

Nota: Limita superioara este inclusa în interval.

Pentru intervalele închise se stabileste centrul intervalului

Centrul intervalului de grupare este considerat a fi valoarea care exprima sintetic variatia în cadrul fiecarui interval si corespunde ipotezei ca frecventele se distribuie uniform în interiorul acestuia.

Pentru intervalele deschise se asigura mai întâi închiderea acestora, considerând - în mod conventional - ca au aceeasi marime cu intervalele alaturate.

< 700 intervalul 600 - 700

> 1100 intervalul 1100 - 1200

În continuare, media se poate calcula în doua moduri:

a. pe baza frecventelor absolute

b. pe baza frecventelor relative

Se observa din tabelul anterior ca frecventele relative au fost calculate în procente:

Pentru a calcula media, frecventele relative trebuie transformate sub forma de coeficienti, prin împartire la 100:

Principalele proprietati ale mediei aritmetice

1. Media aritmetica are întotdeauna o valoare cuprinsa între valorile extreme ale seriei:

Daca media se plaseaza în afara acestor limite, rezultatul este în mod sigur eronat (controlul logic).

2. În cazul unei serii cu distributii de frecvente, media aritmetica se încadreaza între valorile extreme ale variabilei si oscileaza în jurul termenului (intervalului) cu frecventa maxima.

În cazul aplicatiei anterioare:

si în plus oscileaza în jurul intervalului (800-900), care are cea mai mare frecventa de aparitie (60 de salariati, respectiv 30% din total).

3. Suma abaterilor nivelurilor individuale de la media lor este egala cu 0.

pentru o serie simpla:

pentru o serie cu distributie de frecvente:

Aceasta proprietate se verifica foarte usor în cazul aplicatiilor prezentate.

Dezavantajul mediei aritmetice

Media aritmetica este sensibila fata de valorile extreme, astfel ca devine nereprezentativa daca termenii seriei sunt prea împrastiati.

Exemplu

Pentru cei 10 angajati ai unei firme s-au înregistrat, în luna septembrie 2006, urmatoarele salarii brute (în um):

Calculând salariul mediu lunar se obtine:

Fara a fi necesare calcule suplimentare se observa ca media nu este reprezentativa. Colectivitatea de baza este alcatuita din doua subcolectivitati total diferite: 8 angajati au un salariu 700 um, în timp ce doi angajati încaseaza lunar 1800, respectiv 2000 um.

Ca urmare, salariul mediu calculat, de 860 um, nu sintetizeaza ceea ce este esential, tipic, pentru colectivitate.

În consecinta, salariul mediu trebuie studiat separat pentru cele doua tipuri calitative:

- pentru cei 8 angajati cu salarii mici:

- pentru cei 2 angajati cu salarii mari:

Astfel, s-au calculat doua salarii medii reprezentative, corespunzatoare celor doua tipuri calitative.

Cele doua medii partiale pot fi agregate în continuare, obtinând salariul mediu la nivelul firmei:

um

dar, subliniem înca o data, calculul are o valoare pur teoretica, salariul mediu - în aceasta situatie - fiind un indicator lipsit de continut economic.

În concluzie, indiferent de media utilizata si de modelul de calcul, pentru verificarea gradului de reprezentativitate a acesteia este necesar sa se calculeze indicatorii variatiei si asimetriei.

4.2. Mediana

Mediana (M) reprezinta termenul care ocupa locul central în seria valorilor caracteristicii, aranjate în ordine crescatoare sau descrescatoare. Valoarea medianei împarte seria în doua parti egale: 50% dintre unitatile observate se afla sub nivelul medianei si 50% peste nivelul medianei.

Metoda de calcul a medianei:

A. pentru seriile simple calculul se realizeaza diferit, în functie de numarul termenilor seriei:

A.1. în cazul în care numarul termenilor este impar

Pentru exemplificare utilizam datele de la aplicatia rezolvata la "Media aritmetica", luând în considerare numai salariile înregistrate la primii noua angajati:

Se parcurg urmatoarele etape:

a.       se ordoneaza crescator termenii seriei:

b.       se calculeaza locul medianei L(M), conform relatiei:

unde n = numarul termenilor seriei.

Rezulta ca locul medianei este dat de termenul din centrul seriei, în cazul nostru, al 5-lea termen

c.       se determina valoarea medianei (M):

A.2. în cazul în care numarul termenilor este par

Pentru exemplificare, utilizam datele din seria anterioara pentru toti cei 10 angajati.

Se parcurg urmatoarele etape:

a.       se ordoneaza crescator termeni seriei:

b.       se calculeaza locul medianei:

Rezulta ca locul medianei se afla între cei doi termeni centrali ai seriei, respectiv al 5-lea si al 6-lea.

c.       se calculeaza valoarea medianei, ca medie aritmetica simpla a celor doi termeni din centrul seriei:

B. pentru seriile cu distributie de frecvente (grupate pe intervale)

Pentru exemplificare utilizam seria statistica de la aplicatia rezolvata la "Media aritmetica"

Tabelul 4.3

Calculul medianei

Se parcurg urmatoarele etape:

a.       se stabileste locul medianei, conform relatiei :

b.       se stabileste intervalul median (care contine mediana), pe baza frecventelor cumulate crescator (calculate în coloana 3 a tabelului anterior).

Intervalul median I(M) este primul interval la care frecventa cumulata crescator este un numar mai mare decât locul medianei:

În cazul nostru

c.       se calculeaza valoarea medianei printr-un procedeu de interpolare, pornind de la limita inferioara a intervalului median (X₀), la care se adauga o portiune din marimea intervalului median (K), considerând ca frecventele sunt distribuite în mod uniform în cadrul intervalului median.

unde:

= frecventele cumulate ale intervalelor precedente intervalului median;

= frecventa intervalului median.

În cazul nostru:

iar valoarea medianei este:

um

Observatii:

1. Spre deosebire de medie, mediana nu este afectata de valorile extreme ale seriei.

cuartile, care împart seria statistica în 4 parti egale (25%, 25%, 25%, 25%);

decile, care împart seria statistica în 10 parti egale (10%, ..., 10%).

4.3. Valoarea dominanta (sau modul)

Valoarea dominanta (D) a seriei este acea valoare a caracteristicii care are cea mai mare frecventa de aparitie. Valoarea dominanta se mai numeste valoare modala.

Valoarea dominanta se determina astfel:

A. pentru o serie simpla este acea valoare care se înregistreaza la cele mai multe unitati ale colectivitatii.

În cazul exemplului nostru:

D = 900 um fiind înregistrata la 3 angajati.

B. pentru o serie cu distributie de frecvente (grupate pe intervale), valoarea dominanta se calculeaza în doua etape:

a.       se determina intervalul ce contine valoarea dominanta I(D), adica intervalul cu cea mai mare frecventa de aparitie (intervalul modal).

În cazul exemplului nostru:

I(D) = (800-900)

b.      se calculeaza valoarea dominanta, pornind de la limita inferioara a intervalului modal (X₀), la care se adauga o portiune din marimea intervalului modal (K), utilizându-se - de asemenea - un procedeu de interpolare.

unde:

D = diferenta dintre frecventa intervalului modal si frecventa intervalului precedent celui modal.

D = diferenta dintre frecventa intervalului modal si frecventa intervalului urmator celui modal.

În exemplul nostru:

Observatie

De regula, fenomenele economico - sociale de masa care se caracterizeaza prin omogenitatea populatiei statistice reflecta o repartitie (distributie) unimodala a frecventelor, în sensul ca reprezentarea lor grafica prezinta un singur punct de maxim.

Atunci când o serie cu distributie de frecvente prezinta mai multe puncte de maxim, se spune ca este multimodala, reflectând neomogenitatea populatiei statistice. În aceasta situatie, indicatorii tendintei centrale au o semnificatie redusa, fiind necesara descompunerea populatiei statistice initiale în mai multe subcolectivitati ce reflecta tipuri calitative diferite.