RISCUL SI INCERTITUDINEA IN CADRUL PIETELOR DE CAPITAL

RISCUL SI INCERTITUDINEA IN CADRUL PIETELOR DE CAPITAL

3.1. Notiuni generale despre riscul pe piata de capital

Complexitatea unei probleme decizionale este legata de faptul ca fiecarei strategii a decidentului i-i poate corespunde o multime de rezultate, dettermiinate de un ansamblu de factori (stari ale naturii). Instrumentul decidentului i-l constituie matricea decizionala care ofera informatii: obiectivele decidentului, platile asociate fiecarei variabile in parte permite evidentierea probabbilitatilor subiective ale starilor naturii.

Riscul exista atunci cand un decident nu cunoaste apriori rezultatele deciziei adoptate, dar e capabil sa defineasca o distributie de probabilitate a posibilelor stari ale naturii si a rezultatelor lor.

Situatiile decizionale pot avea loc in doua contexte:

Existenta riscului pur;

Existenta riscului speculativ;

i) exista sanse ca decidentul sa inregisttreze o piredere inurma alegerii sale fara a exista sanse de castig, atunci cand uun anume eveniment nu se produce:exemplu: producerea evenimentulluii tip calamitate.

ii)existenta sanselor pentru castig si pierderi; in acest caz decidentul trebuie sa dezvolte o strategie optimala, carre sa-l protejeze impotriva riscului speculativ.

Actiunile decidentului depind de:

Situatia in care se afla (riscul pur, respectiv risccul speculativ);

Comportamentul /atitudinea sa fata de risc.

Daca in cazul riscului pur, decidentul se poate apara prin diverse masuri : contracte de asigurare, prudenta, in cazul riscului speculativ, el trebuie sa gaseasca proceddura de alegere a variantei cu cea mai maaaare sansa de castig si cea mai mica probabilitate de pierdere.

Masurarea gradului de risc prin prisma a doua abordari:

q       Deductv- metoda apriorica, decidentul estimeaza probabilitatile de realizare ale starilor naturii (deductiv), pe care le poate revizuii apeland la experiment informational (studiu de caz).

q       Inductiv - metode statistice,care se bazeaza pe setul de date empirice si prin postularea unei ipoteze conform careia performantele trecute tipice pentru anuite situatii analizate se vor inregistra si in viitor. Estimarea probabilitatilor (starilor naturii) - pornind de la numarul observatiilor statistice sau de la numarul total de observatii. Aceste date permit determinarea unei distributii de frecventa pentru rezultatele analizate. Daca decidentul accepta ideea ca frecventele de aparitie pot fi extrapolate pe o perioada de timp, atunci el va converti aceste distributii de frecventa in distributii de probabilitate.

Principala atributie care revine decidentului (in problemele aferente de risc ) este definirea unor criterii necesare adoptarii deciziilor:

Criteriul valorii asteptate maxime

In anumite situatii concrete doua sau mai multe strategii (variante) nau aceeasi valoare monetara asteptata EMV (V_k)=EMV (V_l), k l, ( )V_k, V_l. in aceste conditii trebuie apelat la un alt criteriu (indicator):

Gradul de risc al deciziei

Deoarrece valoarea asteptata este o masura a tendintei centrale a castigului, gradul de risc poate fi caracterizat ca fiind o cuantificare a modului in care platile posibile se obtin de la valoarea asteptata.

(2.1) Riscul absolut a unei variabile decizionale se paote determina prin:

- indicator la distanta: distanta prevede diferrnta dintre cea mai mica valoare monetara si cea mai mare valoare monetara din matricea platilor in valoare absolluta criteriullui V_i i se asociaza distanta d_i max c_ij-min c_ij , i= indicele criteriului, j = indicele starii naturii.

O varianta decizionala este cu atat mai riscanta cu cat platile acesteia sunt mai departate de medie, deoarece o cuantificare mai apropiata a riscului este abaterea standard , p_j= probabilitatea de aparitie a starilor naturii.

Alegerea decidentului va depinde de natura problemei si comportamentul fata de risc, reprezinta cuantificatori ai riscului absolut, care stau la baza determinarii unui criteriu mai operational definit de:

(2.2) riscul relativ, calculat ca abatere standard relativa (coeficient de variatie), raport intre s_i si valoarea asteptata medie (sensul optimizarii fiind de minim) si valoarea asteptata ce revine pe unitate de risc (sensul optimizarii fiind maximizarea).

Daca decidentul e pus in fata unor alegeri riscante (loterii), el are in vedere in fiecare caz varianta decizionala: Z= (z₁, z₂, .., z_n) care au loc cu probabilitatile P=(p₁, ., p_n), p_i 0,

Echivalentul cert al unei decizii reprezinta in acest sens valoarea castigului pe care l-ar obtine un agent economic in conditii certe si care-i o utilitate egala cu media utilitatilor asociate deciziei sale egala cu valoarea asteptata a utilitatiii.

Astfel, daca x₀=echivalentul cert, E= operator de medie; U (z) este utilitatea castigului alegerii riscante z U(x₀)=E[U(z)].

In cazul in care un agent economic are aversiune fata de risc:

E[U(z)]<U[E(z)];

agenti economici inclinati spre risc: E[U(z)]>U[E(z)];

agenti economici neutri la risc: E[U(z)]=U[E(z)];

Aceste relatii pot fi interpretate prin reprezentarea grafica a functiei de utilitate:

-U'>0, U''<0 - utilitate marginala descrescatoare, curba concava, prima de risc: P>0;

-U'>0, U''>0 - curba convexa, utilitattte marginala crescatoare, P<0;

-U'>0, dreapta, P

Castigul sau pierderea, respectiv decizia individului depinde si de disponibilul initial (averea agentului economic: capital social personal).

Daca vom considera marimea averii initiale W, atunci echivalentul cert poate fi definit de relatia ajustata fata de prima:

U(x₀) = E[U(z+w)]

Premiul de risc al unei decizii va depinde de W, Z P P (W, Z) poate fi definita si ca o suma de bani pe care un decident ar fi dispus sa ofere cuiva care-l va asigura, ca adoptand decizia va obtine in final marimea (W+Z) cu utilitatea U(W+Z).

Definitia formalizata a primei de risc (P) U[W+E(Z)- P =E[U(Z+W)]/U(x^*₀), unde U(x^*₀) = utilitatea echivalentului cert.

Deoarece functia utilitate este continua, strict uniforma rezulta ca este inversabila:

W+E(Z)- P=x₀

P (Z,W) =W +E(z) - x₀ =E(W+Z) - x₀, unde W=variabila determinista.

Daca vom tine seama de comportamentul decidentului fata de risc, iar in relatiile scrise vom tine cont de datarea initiala W vom regasi semnul primei de risc pentru cele trei comportamente. Se demonstreaza ca daca simultan averea initiala a decidentului se modifica (crestere ) cu osuma A si in acelasi timp castigul probabil asociat loteriei scade cu o marime A, atunci prima de risc ramane neschimbata:

P (W+A, Z-A) -P (W, Z)

Aceasta relatie sta la baza cuantificarii aversiunii relative si absolute la risc, luand ca marime A , chiar castigul mediu E(Z).

Castigului asociat unei decizii Z ii asociem

Z^=Z- E(Z)

E(Z^)=E[Z-E(Z)]=0

σ²_z=E[Z^-E(Z^)]=E(Z^)², E(Z^)=0

In aceasta transformare ecuatia care defineste marimea Π (a primei de risc) este:

U[W+E(Z^)-Π]=E[U(Z^+W)], E(Z^)=0

U[W-Π]=E[U(Z^+W)]

Relatie care sta la baza caracterizarii aversiunii decidentului fata de risc.

Dezvoltata in serie Taylor:

U(Z^+W)=U(W)+U'(W) Z^/1!+U''(W 23123w2214x ) Z^²/2!+.

E[U(Z^+W)]=U(W)+U'(W)· E(Z^)/1!+U''(W)· E(Z^)²/2!+., E(Z^)=0

E[U(Z^+W)]= U(W)+U''(W)· σ²_z^ /2!

U(W-Π)=U(W)-U'(W)²Π/1!+.

U''(W)σ²_z/2=-U'(W)·Π

Π= -1/2·U''(W)/U'(W)·σ²_z^

Aceasta marime contine doi factori cu incarcatura informationala:

1 factor: - subiectiv, cuantifica comportamentul decidentului fata de risc, implementat de semnul lui "n";

factor: - obiectiv, masoara dispersia (riscul) asociat variabilei z^

-U''(W)/U'(W)= ARA=r(W) - coeficient de aversiune absoluta la risc, depinde de W, marime introdusa de ARROW-PRATT;

-WU''(W)/U"(W)=RRA - coeficinet de aversiune la risc

Π= 1/2·ARA·σ²_z^

(RRA) poate sa stea la baza unor estimatii asupra functiei de utilitate, astfel daca RRA=cst. (nu depinde de W);

RRA=-W· U''(W)/U"(W)=a, relatia poate fi privita ca o integrare

U''(W)/U"(W)=-a'/W ln U'(W)= -ln W^a+lnC

U'(W)=C/ W^a;

Daca:

a=1 U'(W)=C/W U(W)= b lnW^c, b= cst. de integrare;

a U'(W)=C/ W^a=C·W^-a U(W)=C/(1-a)· W^1-a +b;

Cele doua functii evidentiaza utilitatea de tip Bernoulli, si utilitatea de tip functie putere. Deciziile agentilor economici cunosc tratari diferite, rezulta o clasa importanta de decizii.

3.2. Deciziile pe piata de capital

Analiza variantei decizionale poate fi facuta pentru fiecare activitate financiara in termenii riscului si a randamentului mediu al castigului.

Daca folosim aceste doua marimi putem analiza solutiile posibile intr-un plan (abscisa=riscul, ordonata=valoarea medie a randamentului).

E (R_i)

Figura 3.1 Reprezentarea activului eficient Pareto

Definirea unui activ ca variabila decizionala (activ eficient in sens Pareto).

Un activ este denumit eficient Pareto daca nu exista altul care cu acelasi risc sa conduca la o rentabilitate medie mai mare, respectiv cu aceeasi rentabilitate sa induca un risc mai mci.

Intr-o astfel de situatie (daca exista decizii apriori) poate proceda la realizarea portofoliului (1 sau mai multe active). Decizia decidentului fiind legata de structura celui mai bun portofoliu.

Daca exista doua active este favorabil pentru decident de a construi un portofoliu prin includerea unor active ale caror rentabilitate au sensuri contrare de evolutie.

A

Figura 3.2 Evolutia in timp a rentabilitatilor.

Un investitor poate sa-si puna 2 probleme duale una alteia:

sa determine portofoliul care-i asigura minimum de risc (min σ_portofoliu), cu conditia ca E(R_p) a (prag de rentabilitate acceptat);

sa determine portofoliul care-i asigura maximizarea rentabilitatii asteptate a portofoliului : max E(R_p) astfel incat σ_p b b = prag de risc a portofoliului (vezi modelul Markowitz).

Este o problema de programare patratica (neliniara), in care pe langa valuta oferita de ele prezinta interes studiul senzitivitatii solutiei in raport cu pragurile a b

3.3. Componentele riscului valorilor mobiliare

Relatia intre rentabilitatea realizata de o valoare mobiliara si rentabilitatea, ca indice general al valorilor mobiliare, este formalizata in cadrul conceptului de model de piata. Modelul de piata, in forma sa cea mai simpla, reprezinta relatia liniara ce poate exista intre ratele de rentabilitate constatate, intr-o perioada de timp, asupra unei actiuni sau asupra unui portofoliu de valori mobiliare si ratele de rentabilitate realizate in aceeasi perioada, prin indicele general al pietei bursiere.

Surprinderea acestei caracteristici principale a titlurilor individuale, ca dde altfel a intregului portofoliu, se face prin utitlizare modelului de piata, care este unul Dintre primele modele de determinare a rentabilitatii si riscului investitiilor in valori mobiliare. Ideea centrala a modelului de piata eficienta este aceea ca fluctuatiile de curs ale valorilor mobiiare sunt inflluentate, in general, de modificarile indicelui general al bursei de valorisi, in particular, de modificarile in conditiile specifice ale societatilor emmitente ale titlurilor.

Variabilitatea totala a rentabilitatii unei valori mobiliare se imparte in doua parti:

(1) - o parte determinata de influenta pietei bursiere, parte care determina riscul sistematic, numit si risc nediversificabil = risc de piata;

Acest risc este legat de variabilitatea principalilor indicatori macroeconomici:

produsul intern brut (PIB);

rata inflatiei;

rata medie a dobanzii;

cursul valutar etc.

Variabilitatea acetor indicatori macroeconomici induce o influenta mai mare sau mai mica asupra rentabilitatii titlurilor. Marimea acestei influente este determinata de marimea dependentei activitatii intreprinderii emitente de conditiile mediului economic national.

(2) - o parte determinata de influenta caracteristicilor specifice fiecarui titlu, parte care determina riscul specific sau diversificabil. In opozitie cu riscul de piata, acesta se mai numeste risc nesistematic sau undividual.

Riscul specific poate fi impartit, el insusi, in:

(2.1) - risc specific fiecarui titlu, determinat de modificarile in comportamentul economic al intreprinderii care l-a emis.

Asa cum se va vedea in capitolele de analiza financiara, riscul specific intreprinderii emitente se refera la variabilitatea rentabilitatii economice, determinata de ponderea cheltuielilor fixe in cifra de afaceri (risc economic, operational), la variabilitatea rentabilitatii financiare, determinata de ggradul de indatorare (risc financiar) si la variabilitatea trezoreriei nete, datorata gestitunii echilibrului financiar (pe termen lung, pe termen scurt si, in general, de imposibilitatea onorarii datoriilor contractate = risc de faliment).

(2.2) - risc specific ramurii industriale de care apartine intreprinderea emitenta.

Este vorba de pozitia ramurii (sectorului) industriale pe piata interna si internationala privind cererea pentru produsele si serviciile ramurii, privind sursele de aprovizionare, privind motivatia personalului ramurii, privind implicarea statului in sustinerea ramurii etc.

Se demonstreaza usor (prin Legea numerelor mari) ca partea de risc specific se reduce corespunzator pe masura ce se diversifica portofoliul de valori mobiliare prin adaugarea de noi titluri. Este cunoscutul avantaj al diversificarii titlurilor detinute .

In ceea ce priveste riscul sistematic, acesta nu este majoritar in influentarea variatiilor de curs ale titlurilor, el ocupa in medie, o pondere de 33% in cazul valorilor mobiliare franceze, 30% in cazul celor americane si 41% pentru cele britanice. Pe de alta parte, fiecare intreprindere raspunde in mod diferit la miscarile pietei in functie de gradul ei de îndatorare, de structura costurilor, de stabilitatea beneficiilor, de pozitia ei pe piata concurentiala etc.

3.4. Modelul liniar al rentabilitatii titlurilor

RelatiaDintre rentabilitatea indilviduala a titlurilor si rentabilitatea generala a pietei (rata medie a dobânzii de piata, rentabilitatea indicelui general al valorilor mobiliare) este atat de evidenta (statistic), încat este preluata ca un postulat de baza al teoriei financiare. Pornind de la aceasta evidenta, cercetatorii financiari au fost preocupati de masurarea acestei relatii si testarea generalizarii ei.

Modelul de piata, datorat cercetarilor profesorului William Sharpe, în forma sa simpla, reprezinta relatia liniara Dintre rentabilitatea individuala a titlurilor sau a portofoliilor de titluri, pe de o parte, si rentabilitatea generala (indicele general) al pietei bursiere, pe de alta parte (one-factor model, in engleza).

Prin metoda grafica a reprezentarii punctelor de intersectie dintre rentabilitatile titlurilor individuale si rentabilitatea generala a pietei, se poate vizualiza functia de regresie a acestor variabile (vezi fig. 3.3.).

a_i b_iR_M+e_i

e_ii e_iii

e_i

b_i

e_iv 4 5 6 R_M

a_i

Figura 3.3. Metoda grafica de reprezentare a modelului de piata

In continuare, prin metoda celor mai mici patrate, se pot determina parametrii a si b ai functiei de regresie. Acesti parametri vor trasa traiectoria curbei functiei, astfel încat sa se obtina cele mai mici patrate ale diferentelor între punctele de intersectie si valorile functiei. Metoda celor mai mici patrate, a lui Gauss, aproximeaza cel mai bine valorile functiei, întrucat, în conformitate cu legea repartitiei normale, cele mai mici diferente fata de medie au cele mai mari probabilitati de realizare (pentru valori mai mici, probabilitatile sunt cele mai mari).

Functia care aproximeaza corelatia dintre variabilitatea rentabilitatilor individuale ale unei actiuni si variabilitatea rentabilitatii generale a pietei este o dreapta, numita si dreapta de regresie. Panta acestei drepte sau coeficientul ei unghiular semnifica volatilitatea actiunii, respectiv sensibilitatea rentabilitatii el la modificarile rentabilitatii generale a pietei. Imprastierea punctelor de intersectie fata de dreapta de regresie da masura caracterului sistematic (de piata) sau nesistematic (specific) al riscului de variatie a rentabilitatii titlului: cu cat punctele individuale de intersectie se afla mai aproape de dreapta de regresie, cu atat riscul sistematic va avea o pondere mai mare si invers.

Ecuatia dreptei care, statistic, ajusteaza cel mai bine punctele de variatie are urmatoarea expresie (a se vedea si fig. 3.3.):

R_i = a_i b_i R_M +e_i

în care:

R_i = rata rentabilitatii, estimata pentru titlul i;

a_i = parametru al functiei, egal cu marimea R_i atunci cand R_M = 0;

b_i = coeficient de regresie, de volatilitate sau coeficient beta (pe scurt, "beta");

R_M = rata rentabilitatii pe piata, masurata prin indicele general de bursa;

e_i = parametru specific titlului "i", prin care se masoara riscul individual.

3.5. Volatilitatea titlurilor individuale

Cel mai important Dintre parametrii functiei de regresie este coeficientul beta, care exprima rentabilitatea marginala a titlului "i", în raport cu variatia rentabilitatii generale pe piata bursiera. Estimarile coeficientilor beta, pentru fiecare titlu în parte, au o anumita doza de aproximare, mai mare sau mai mica. De aceea, cea mai buna estimare se face pentru un portofoliu de titluri unde au loc compensari (conform legii numerelor mari).

Se porneste de la ipoteza constantei în timp a coeficientilor beta. In consecinta, estimarea rentabilitatii sperate R_i porneste de la un beta deja calculat si care se presupune ca ramâne constant în perioada urmatoare. Practica dovedeste însa ca acesti coeficienti sunt modificabili în timp. Nefiind alta posibilitate de estimare, se pastreaza beta calculat anterior ca o marime de referinta determinata pe seama variabilitatii anterioare atât a R_i, cat si a R_M .

Coeficientii beta se determina pe baza observatiilor asupra rentabilitatilor saptamânale privind titlul "i" si portofoliul de piata (indicele bursier = M). In consecinta, mediile acestor rentabilitati vor fi:

unde n = nr. de saptamani observate

Pentru relevanta coeficientului beta, observatiile asupra lui R_i si R_M se fac pe o perioada anterioara de minimum doua ori mai mare decat orizontul de estimare a rentabilitatilor viitoare.

Aflarea coeficientului beta se face prin metoda celor mai mici patrate.

Din calcului derivatei si prin egalarea ei cu 0 se determina beta:

Exemplu: Se foloseste o baza de date formata Din rentabilitatile medii trimestrlale ale titlului "i" si ale indicelui general al pietei. Analize mai pertinente ale acestei corelatii se vor face, asa cum am afirmat mai sus, pe baza rentabilitatilor saptamânale, sau cel putin pe baza rentabilitatiior lunare.

Tabelul 3.1.

In aceste conditii, coeficientul beta se calculeaza astfel:

Cu cat coeficientul b este mai ridicat, cu atat riscul sistematic de piata al titlului va fi mai mare.

In raport cu b, titlurile se clasifica în:

- titluri volatile (foarte volatile) cu beta b > 1, care semnifica faptul ca o variatie de 1% a indicelui general a1 pietei bursiere (R_Ml - R_MO = 1%) determina o variatie mai mare de 1% a rentabilitatii titlului "i" (R_i1 - R_io > 1%). In exemplul nostru, titlul analizat are o volatilitate ridicata: la o variatie a rentabilitatii pietei cu 1%, rentabilitatea titlului se modifica cu

0 astfel de volatilitate se inregistreaza, de regula, la titlurile emise de intreprinderi de produse chimice, de sticlarie, de, echipamente electrice si electronice, de aparate casnice, de automobile etc. Sunt deci ramuri industriale producatoare de bunuri de consum, cu o sensibilitate mai mare în raport

Fig. 3.4. Titluri foarte volatile

cu comportamentul cumparatorilor Din, randul populatiei.

2) - titluri putin volatile cu beta b < 1 care exprima o variabilitate mai mica a rentabilitatii titlului "i" determinata de variatia rentabilitatii de piata, deci pentru DR_M = DR_i< 1%. Aceasta volatilitate redusa poate fi întalnita, de regula, la titlurile întreprinderilor producatoare de material rulant, de locuinte, la societatile de asigurari.

Fig.3.5. Titluri putin volatile

3) - titluri cu b = 1, pentru care o variatie a rentabilitatii generale antreneaza

aceeasi variatie a rentabilitatii titlului "i". Astfel de volatilitati direct proportionale pot fi întilnite în societati de tip holding, în întreprinderi de constructii industriale, de textile- încaltaminte, în banci si societati de credit etc.

In general, coeficientul beta are valori pozitive b > 0 . Pentru societatile de asigurari si minele de aur se poate înregistra un beta negativ (b < 0) , semnificand o influenta inversa a rentabilitatii titlurilor acestor societati asupra rentabilitatii generale a titlurilor financiare pe piata bursiera.

Deci coeficientul beta al volatilitatii titlului "i", este egal cu "covariatia" (s_iM) ratelor rentabilitatii titlului "i" cu cele ale pietei bursiere, raportata la dispersia indicelui general al pietei titlurilor.

Covariatia rentabilitatilor pietei bursiere cu ele însele (s_MM) este chiar dispersia acestora (s_M ). In consecinta, coeficientul beta al pietei bursiere este egal cu 1 :

Coeficientul beta al titlurilor individuale exprima deci cantitatea de risc sistematic (de piata) al titlurilor: de câte ori covariatia rentabilitatii acestora cu rentabilitatea de piata este mai mare (sau mai mica) decât riscul de piata (s_M ) . Spre exemplu, un beta egal cu doi exprima un risc de piata dublu al titlului respectiv în raport cu riscul pietei financiare.

Parametrul alfa a_i) al functiei de regresie se obtine Din acelasi sistem de ecuatii rezultat prin metoda celor mai mici patrate si utilizat pentru calcului coeficientului beta (b) sau Din relatia care verifica rentabilitatea medie individuala:

e_i = 0 prin definitie

3.6. Intensitatea corelatiei dintre rentabilitatea titlurilor si rentabilitatea pietei bursiere

Pentru o estimare fiabila a riscului de piata este necesara o testare a intensitatii corelatiei care conduce la determinarea coeficientului beta. Masurarea statistica a acestei intensitati o putem avea prin doi indicatori: coeficientul de corelatie (r) si patratul acestuia (R²).

Coeficientul de corelatie (r) exprima gradul de determinare a rentabilitatii titlului "i" de catre rentabilitatea pietei bursiere "M".

Unde r_iM = covarianta

Cum însa putem exprima pe b în functie de

coeficientul r si invers

Pentru valori pozitive (0 < r < 1) coeficientul releva o dependenta direct proportionala între rentabilitatile "i"si "M". Valoarea limita egala cu 1 (r = 1) semnifica o corelatie strict pozitiva, respectiv întreaga variatie a rentabilitatii titlului "i" este determinata de variatia rentabilitatii de piata "M" si în aceeasi proportie. In acest caz riscul specific nu exista, singurul care se manifesta este riscul de piata.

Pentru valori nule, coeficientul r evidentiaza o lipsa de corelatie între rentabilitatile "i" si "M", respectiv o independenta a determinarilor acestora. Pentru titlul "i", singurul risc care se manifesta este riscul specific (riscul de piata este egal cu zero).

Valorile negative (-l r < + 0 ) ale coeficientului r releva o dependenta invers proportionala între rentabilitatea "i" si "M". Valoarea limita egala cu -1 (r = -1) semnifica o corelatie strict negativa care elimina de asemenea riscul specific. Diferenta fata de corelatia strict pozitiva consta în faptul ca variatia rentabilitatii "M" determina aceeasi variatie dar în sens invers a rentabilitatii "i".

Coeficientul R² exprima proportia în care variabilitatea rentabilitatii titlului "i" este explicata (determinata) prin modelul (liniar) de piata:

3.7. Variabila e ca masura a riscului specific

Revenind la modelul (liniar) de piata, suntem acum în masura sa identificam proportia sistematica (datorata evolutiei de ansamblu a pietei) si proportia specifica aferente rentabilitatii si riscului titlului individual "i".

rentabilitatea legata de

evolutia pietei

rentabilitatea legata de

Prin interpolare putem identifica proportia sistematica a rentabilitatii titlului individual (R_i^*):

In aceste conditii, variabila e_i din modelul de piata se obtine ca diferenta intre rentabilitatile efective (R_it) si cele estimate mai sus (R_it ^*):

Din relatia de mai sus deriva si denumirea de variabila reziduala atribuita termenului e_i. Media acestei variabile aleatoare este zero si deci, prin extrapolare, speranta matematica a acesteia este zero. Din acelasi motiv ( e_i = 0), dispersia variabilei reziduale (s _ei ) este egala cu media (respectiv speranta matematica) a patratului acesteia:

Definind componenta speciflca a rentabilitatii si cea a riscului titlului "i", este evident faptul ca variabila e_i este independenta de evolutia rentabilitatii "M". In consecinta, covariatia (s_ei,M) Dintre s_et si R_Mt si coeficientul lor de corelatie (r_ei, M) sunt egale cu zero:

Variabila e explica deci diferenta 1-r_iM. Dispersia s_ei˛ este deci partea reziduala a dispersiei totale a titlului "i", neexplicata prin modellul de piata:

Independenta dintre R_M si e_i, ca variabile ale modelului de piata, explica atunci si relatia de calcul a dispersiei totale ca dispersie a sumei a doua variabile aleatoare independente (teorema de aditivitate a dispersiei).

Grafic, riscul total al titlului "i" se poate explica si prin intermediul teoremei lui Pitagora (vezi figura 3.6.).

Figura 3.6. Reprezentarea grafica a componentelor riscului unul titlu financiar

Independenta variabilei e_i se manifesta, de asemenea, fata de variabilele e_j ale altor titluri (j i): s_{ei ,ej} r_{ei ,ej}

3.8. Rentabilitatea si riscul unui portofoliu de doua titluri

Un portofoliu de doua titluri se constituie în proportii diferite de participare a unuia si a altuia Dintre titluri (1 si 2). Din multimea de combinatii posibile (teoretlc, o infinitate) numai o parte a acestora este eficienta. Din submultimea de portofolii eficiente numai unul singur este optim pentru investitorul cu aversiune fata de risc.

Ecuatiile de portofoliu

Se refera la:

- rentabilitatea medie a portofoliulului R_p sau rentabilitatea sperata a porfofoliulului [E(R_p)] este media ponderata a rentabilitatilor sperate (medii) ale celor doua titluri E(R₁) si E(R₂) :

E(R_p) =x E(R_p) + (1-x) E(R₂)

sau

R_p = x R₁+ (1-x) R₂

in care: exprima ponderea de participare a unui

titlu la constituirea portofliului "P".

Rentabilitatea portofliului este deci direct proportionala cu rentabilitatile titlurilor componente dar si cu ponderea de participare a fiecarui titlu la compunerea portofoliului. Pentru a creste rentabilitatea portofliului ar fi suficient sa crestem ponderea titlului celui mai rentabil. Dar aceasta crestere de rentabilitate este însotita de cresterea corespunzatoare a riscului. Suntem animati de a cerceta modul de interactiune a riscurilor celor doua titluri.

Riscul atasat unui portofoliu (s˛_p) este o combinatie între dispersiile (s s˛₂) ale fiecarui titlu component, în functie de ponderile de participare la formarea portofoliului:

R_p=(R1-R2)x+R2 (2)

s _p=E[Rp-E(Rp)]²=E[x*R₁=(1-x)R₂-xR₁-(1-x)R₂]²=

=E[x(R₁-R₁)+(1-x)(R₂-R₂)]²=

=E[x²(R₁-R₁)²+(1-x)²(R₂-R₂)²+2x(1-x)(R₁-R₁)(R₂-R₂)]

s _p= Ex²[(R₁-R₁)²+(1-x)²(R₂-R₂)]²+2E(1-x)(R₁-R₁)(R₂-R₂)

s _p= x²s +(1-x)²(s +2x(1-x)s s r

cov(R1,R2) =

cov(R1,R2)

r

s s

La acelasi rezultat se ajunge si prin ponderarea covariatiilor cu ponderile x si (1-x) de participare a tuitlurilor in constituirea acestuia:

x²s +(1-x)²s +2x(1-x)s

s s s r

3.9. Tipuri de corelatii rentabilitate-risc într-un portofoliu

r între rentabilitatile celor doua titluri se pot identifica 3 tipuri de corelatie extrema: pozitiva, zero si negativa.

r = 1), cand unei cresteri a rentabilitatii primului titlu "1" ii corespunde o crestere, în aceeasi masura, a rentabilitatii celui de-al doilea titlu "2" (vezi fig.3.7.).

Riscul portofoliului acestor titluri, total dependente unul de celalalt, este cel mai mare; la fiecare crestere a rentabilitatii portofoliului are loc o crestere direct proportionala a riscului.

Drept urmare, pe dreapta de corelatie rentabilitate-risc a unui astfel de portofoliu nu vom gasi vreo combinatie de titluri mai performanta decat detinerea integrala a unuia sau a altuia dintre titluri (vezi fig. 3.5.b) :

R₂ B

R₁ A

timp b) s s timp

Fig.3.7. Corelatia strict-pozitiva intre doua titluri ce compun un porfofoliu

In relatia (1) se inlocuieste care rezulta din (2)

r

ecuatia rentabilitate - risc

panta:

Concluzie: Rentabilitatea portofoliului creste de la A la B doar odata cu cresterea riscului acestuia.

Corelatia nula (zero) este egala cu coeficientul zero de corelatie (r = 0), în care rentabilitatile celor doua titluri variaza în timp total independent. Absenta vreunei corelatii face ca riscul portofoliului sa se diminueze (vezi fig. 3.8. a si b) .

Inlocuim x in relatia (1): s _p=x²s +(1-x)s

Ca urmare a diminuarii riscului portofoliului de titluri independente, exista o combinatie optima (M) între titlurile componente, care conduce la portofliul cu varianta minima absoluta (PVMA, vezi fig. 3.8.b).

R₂ B

R₂

R_p M

R₁ R₁

A

timp   s s Risc

Fig.3.8. Corelatia a doua titluri independente

Corelatia strict negativa, în care coeficientul de corelatie este egal cu limita sa inferioara (r = -1), este aceea în care cresterea rentabilitatii titlului "1" este însotita de o scAdere, în egala masura, a rentabilitatii titlului complementar "2" (vezi fig. 3.9 a.).

Riscul unul astfel de portofoliu de titluri, total dependente negativ, este cel mai mic. O combinatie optima a celor duoa titluri conduce chiar la risc zero al portofoliului (vezi fig. 3.9, b)

Rentabilitate Rentabilitate B

R₂ M

R₁ A

a) timp b) s s Risc

Fig.3.9. Corelatia strict negativa intre doua titluri ce compun un portofoliu

r

s _p=[xs -(1-x)s

xs -(1-x)s ,

s_p xs -(1-x)s

s -(1-x)s

a)    

s_p=xs -(1-x)s

panta negativa: , R1<R2

sp=0 R₁< R_p< R₂

R_p=M