Calculul dobânzii bancare
Dobânda bancara, atât la depozitele atrase cât si la creditele acordate, se poate calcula utilizând formule de calcul pentru dobânda simpla si cea compusa.
2.2.1. Dobânda simpla
Daca pe întreaga perioada de plasare t valoarea considerata în calcul a sumei So nu se modifica, vom spune ca avem un proces de dobânda simpla sau ca plasarea sumei So s-a efectuat în regim 16416g618q de dobânda simpla.
Formula utilizata pentru calculul dobânzii simple este urmatoarea:
D (So,t) = So * i * t = 
D (So,t,i) unde: (2.2.1)
- D - dobânda simpla;
So - suma initiala;
t - perioada de timp, exprimata în ani;
i - dobânda anuala;
p - procent anual, p = 100i;
Daca m este un numar de
diviziuni egale ale anului si notam cu 
un numar de
astfel de diviziuni ale anului pentru a avea relatiile = mt sau t = 
, atunci relatia de calcul pentru dobânda
simpla devine:
D (So,t) = 
= So * 
(2.2.2)
Un caz particular de fractionare de an este acela în care durata operatiunii este exprimata în zile. Pe plan international, în operatiunile bancare sau bursiere, se cunosc trei proceduri de calcul practic si prin urmare de considerare a anului bancar sau a celui calendaristic si anume:
procedura engleza, pentru care anul bancar are 365 de zile iar lunile bancare sunt cele calendaristice cu 28, 29, 30 sau 31 de zile;
procedura franceza, pentru care anul bancar are 360 de zile iar lunile bancare sunt cele calendaristice cu 28, 29, 30 sau 31 de zile;
procedura germana, pentru care anul bancar are 360 de zile iar lunile bancare ale anului sunt toate egale între ele cu câte 30 de zile.
În cazul particular al anului bancar de 360 de zile, m = 360, când durata operatiunii t se exprima în zile, avem expresia cunoscuta si consacrata în practica bancara a dobânzii simple:
D(So,t) = 
(2.2.3)
Frecvent în calcule financiare, produsul So x 
se numeste "numar",
iar raportul 360/i este numit
"divizor fix" relativ la dobânda simpla, pentru un procent anual p =
100i sau pentru un i dat.
Elementele dobânzii simple
Având în vedere formula (2.2.1), pot fi deduse prin calcul urmatoarele marimi numite si elemente ale dobânzii simple : suma revenita sau valoarea finala, suma initiala sau valoarea actuala, procentul de plasare si dobânda unitara , durata de plasament sau scadenta operatiunii.
A. Suma revenita sau valoarea finala S(So,t,i) = St
În cazul procentului anual constant pe toata durata operatiunii, valoarea finala este data de relatia de fructificare sau de acumulare urmatoare:
S(So,t,i) = So x (1 + i + t) = St unde:
St - valoarea finala;
i - dobânda anuala;
So - suma initiala;
t - perioada de timp.
În cazul procentului constant pe fractiuni ale duratei t , formula de calcul este urmatoare:
St = S(So,t,i) = So x 
B. Suma initiala sau valoarea actuala So
Aceasta este data de relatia de actualizare:
So = 
,
dupa cum plasarea este cu procent anual constant sau nu.
În general, expresiile (1 + i x t) si 1/(1 + i x t) sunt denumite respectiv factor de fructificare si factor de actualizare pe durata t si cu procentul p în regim de dobânda simpla si ca urmare, din relatia de mai sus putem scrie:
Suma finala = Suma initiala x Factorul de fructificare si
Suma initiala = Suma finala x Factorul de actualizare
C. Procentul de plasare p si dobânda unitara i
Acestea sunt date de urmatoarele relatii:
D. Durata de plasament t sau scadenta operatiunii
Aceasta se calculeaza conform relatiei:
2.2.2. Dobânda compusa
Daca valoarea luata în calcul a sumei plasate So se modifica periodic pe durata de timp t dupa o anumita regula, iar între doua modificari consecutive sumei modificate i se aplica o dobânda simpla, atunci vom spune ca avem un proces de dobândo compusa sau ca plasarea sumei So s-a efectuat în regim de dobânda compusa.
Fie
So suma plasata pe durata t si sa presupunem ca t = T1 +
T2 +...+ Tn iar pe perioada de timp Tk
procentul anual este 
= 100 
, 1 ≤ k ≤ n.
Notam cu S(So,Tk) valoarea luata
în calcul a sumei plasate So la sfârsitul perioadei Tk, unde To = 0
si S(So,To) = S(So,0) = So, iar cu D(So,Tk) dobânda simpla
corespunzatoare plasarii în regim de dobânda simpla a sumei
S(So,Tk-1), pe durata Tk sau altefl yis dobânda corespunzatoare
plasarii sumei So pe durata T = T1 + T2 + ... + Tk = 
în regim de dobânda compusa.
În baza celor enuntate mai sus putem deduce:
Daca pe fiecare perioada Tk, 1 ≤ k ≤ n, avem :
a.
S(So,Tk)
= S(So, T
) + D(So,Tk), 1 ≤ k ≤ n
b.
D(So,Tk)
= S(So, T) x i
x Tk, D(So, To) = 0,
atunci suntem în conditiile unui plasament al sumei So în regim de dobânda compusa si ca urmare valoarea finala a operatiunii este :
S(So,t) = So x 
(a)
Ca urmare a formulei (a) rezulta ca dobânda compusa corespunzatoare plasarii capitalului So pe durata si procentele considerate este :
D(So,t) = So x [] -1
Având în vedere relatia (a) rezulta ca:
daca T1 = T2 = ... = Tn = t/n, atunci suma finala este :
S (So,t) = So x 
daca T1 = T2 = ... = Tn = 1 an, atunci suma finala este:
S (So,t) = So x 
daca
T1 = T2 = ... = Tn = 1 an si i
= i
= ... = i
= i, atunci suma finala este:
S (So,t) = So x (1 + i )
daca
t = n + t
/m, unde t reprezinta numarul de fractiuni de tip m ale
anului (n +1) fractionat în m parti egale , atunci suma
finala este:
S (So,t) = So x x (1 + i
x )
daca t = n + t/m si i= i= ... = i
= i, atunci suma finala este:
S (So,t) = So x (1 + i ) x (1 + i x )
Toate aceste relatii constituie formule de calcul practic ale sumei finale ale capitalului acumulat corespunzatoare unor situatii reale ale activitatilor financiar - bancare diverse.
Elementele dobânzii compuse
Analog dobânzii simple, putem deduce prin calcul urmatoarele marimi denumite si elemente ale dobânzii compuse.
A. Suma revenita sau valoarea finala
Aceasta se calculeaza dupa urmatoarea formula:
S (So,t) = So x (1 + i )
Expresia u = 1 + i se numeste factor de fructificare anuala, iar produsul
FFG = se numeste factor de fructificare în regim de
dobânda compusa.
B. Suma initiala sau valoarea actuala So
Se calculeaza dupa urmatoarea formula:
So = S (So,t) x (1 + i)
= 
Expresia v =
u
= (1 + i) se numeste factor
de actualizare anuala, iar
inversul factorului de fructificare globala FAG = 1:FFG se numeste factor de actualizare globala în regim de
dobânda compusa, adica:
FAG =
C. Procent de plasare p si dobânda anuala unitara i
Apar ca solutii ale ecuatiei valorii finale si sunt date de relatiile:
p = 100 x [
] sau i = [
]
D. Durata de plasare sau scadenta t
Valoarea efectiva a duratei de plasare t poate fi obtinuta cu ajutorul tabelelor de logaritmi sau a tabelelor financiare în baza urmatoarei relatii:
t = 
Daca suma So este plasata, cu dobânda, pe durata t si cu procentul anual p = 100i, vom avea dobânda:
DS = So x i x t, în regim de dobânda simpla si
DC = So x [(1 + i ) - 1], în regim de dobânda compusa, putem deduce :
daca t < 1 an, atunci DS > DC;
daca t = 1 an, atunci DS = DC;
daca t > 1 an, atunci DS < DC.
În baza consideratiilor si rationamentului de mai sus rezulta ca daca nu se precizeaza dobânda cu care se lucreaza, atunci pe termen scurt (t < 1 an) se va calcula dobânda simpla, iar pentru durate de peste un an se va calcula dobânda compusa.
Operatiunile de plasare a sumei So pe durata t în regim de dobânda simpla cu procentul anual p = 100i sau în regim de dobânda compusa cu procentul anual q = 100j sunt echivalente, prin dobânda, daca determina aceeasi dobânda.
Operatiunile de plasare a sumei So pe durata t în regim de dobânda simpla cu procentul anual p = 100i sau în regim de dobânda compusa cu procentul anual q = 100j sunt echivalente prin dobânda, atunci între dobânzile unitare corespunzatoare celor doua procente au loc relatiile:
i = 1/t x [(1 + j ) -1] sau j = (1 + i x t)
- 1
Se observa fara dificultate ca pentru t > 1 an avem întotdeauna i > j, ceea ce arata ca pentru a realiza aceeasi valoare finala sau aceeasi dobânda prin plasarea sumei So pe durata t, procentul anual în regim de dobânda simpla este sau trebuie sa fie mai mare decât cel de dobânda compusa.
|
