DOBANDA

DOBANDA

Definitie.

Dobanda este beneficiul obtinut in urma unui imprumut sau a depuneri unei sume de

bani la o banca. Dobanda depinde atat de perioada de timp in care suma a fost depusa cat

si de marimea sumei depuse.

Deci dobanda reprezinta suma pe care trebuie sa o plateasca debitorul (beneficiarul

imprumutului) creditorului sau pentru folosirea disponibilitatilor banesti ale acestuia din

urma pana la restituirea lor.

DOBANDA COMPUSA

Definitia 1:

Daca valoarea luata in calcul a unei sume plasate Sse modifica periodic pe durata de

timp t dupa o anumita regula, iar intre doua modificari consecutive sumei modificate i se

aplica (sau evalueaza) o dobanda simpla, atunci vom spune ca avem un process de

dobanda compusa sau ca plasarea sumei S sa efectua in regim de dobanda compusa.

In regim de dobanda compusa factorul de proportionalitate este de forma F (S,t)x G(t) si

ca urmare ecuatia devine:

=

Deducem fara dificultate:

Propozitia 1.Daca plasarea sumei S pe durata t are loc in regim de dobanda compusa

atunci suma sau valoarea finala a operatiunii este

iar dobanda aferenta operatiunii este:

unde

Ca urmare a propozitiei 1 putem enunta si deduce:

Propozitia 2.Daca , pentru orice ,atunci:

Rezultatele de mai sus pot fi reformulate prin:

Propozitia 3.Daca variatia caitalului final are forma:

unde atunci

suma revenita S(S,t) si dobanda compusa corespunzatoare D(S,t) sunt date de relatia :

Sa remarcam ,analog procesului de dobanda simpla, ca daca variatia valorii finale

pe durata de timp dt este direc proportionala cu si cu dt, atunci S(S,t) si

D(S,t) au expresiile:

Daca insa factorul de proportionalitate G(t)constant pentru t, atunci putem avea si

alte expresii de calcul ale valorii finale S(S,t) si respectiv dobanzii D(S,t).Suportul

practice al unor astfel de rezultate este reflectat de interesele celor doi parteneri si deci de

tendintele lor, in general opuse, de a realiza o dobanda cat mai mare si respective cat mai

mica.

Ca urmare a primei propozitii deducem:

Propozitia 4.Exista functiile si :derivabile cu proprietatile:

1) pentru orice

2) pentru orice ,astfel incat:

Intuitiv, afirmatia de mai sus poate fi exemplificat sau ilustrata, conventional in fig1 in care

Fig1

Considerand ca , putem formula si in cazul dobanzii compuse o relatie

analoga cu dubla egalitate:

Propozitia 5: reprezinta o solotie

reciproc avantajoasa in raport cu factorul timp pentru partenerii si cu privire la

plasarea sumei pe durata t si cu procentul annual unic p=100i in regim de dobanda

compusa.

FORMULE DE CALCUL PRACTIC

Fie suma plasata pe durata t sis a presupunem ca iar pe

perioada de timp procentul annual este , .

Notam cu valoarea luata in calcul a sumei plasate la sfarsitul perioadei

, unde si iar cu dobanda simpla

corespunzatoare plasarii in regim de dobanda simpla a sumei pe durata

sau altfel zis dobanda corespunzatoare plasarii sumei pe durata

in regim de dobanda compusa.

In baza definitiei

=

si a consideratiilor de mai sus putem deduce

Propozitia 6: Daca pe fiecare periodata , avem:

1) =+ ,

2) =,

Atunci suma este plasata in regim de dobanda compusa, iar valoarea finala a

operatiunii este:

Demonstratie: Relatiile 1) si 2) ale Propozitiei 6 arata ca periodica valoarea luata in

calcul a sumei plasate initial se modifica dupa o anumita regula, ceea ce corespunde

definitiei =.

Aplicand metoda inductiei complete deducem:

Presupunem ca dupa n perioade avem capitalul final:

Calculand, vom obtine:

Observatie:Ca urmare a relatiei

rezulta ca dobanda compusa corespunzatoare plasarii capitalului pe durata si cu

procentele date este:

Propozitia 7: Avand in vedere relatia rezlta

1)daca , atunci suma finala este:

2)daca 1 an, atunci:

3)daca 1 an =, atunci:

4)daca , unde reprezinta numarul de fractiuni de tip m ale anului (n+1) fractionat in m parti egale, atunci:

5)daca si , atunci :

Observatie: Toate relatiile constituie formule de calcul practice ale sumei finale sau ale

capitalului acumulat corespunzatoare unor situatii reale ale activitatilor financiar-bancare

diverse.

Definitia 2:

Fiind date procentele si corespunzatoare la perioade didferite de definitie (anual,

semestrial) se spune ca ele sunt proportionale in raport cu duratele de plasare si

daca

Definitia 3:

Fiind date procentele si corespunzatoare la perioade didferite de definitie

(anual, semestrial) se spune ca ele sunt echivalente daca pentru aceeasi perioada de

plasare a unei sume conduc la aceeasi valoare finala.

Observatie:

Daca si sunt doua diviziuni ale anului, notand cu si dobanzile unitare

corespunzatoare unei fractiuni de tip si de an, atunci in regim de dobanda

compusa:

k=1,2,.

si sunt echivalente daca: . Daca in particular si

, atunci se spune ca dobanzile unitare i si

sunt echivalente daca:

sau

Propozitia 8: Daca plasarea sumei se efectueaza in regim de dobanda compusa pe durata si daca i si sunt echivalente , atunci:

Observatie: Aceasta relatie poate fi dedusa analytic si altfel. Consideram functia . Dezvoltand in serie Mac Laurin functia :

deoarece i este foarte mic putem neglija termenii care il contin, si ca urmare aveam sau altfel zis .

APLICATII:

O suma depusa cu un procent de dobanda p, produce intr-un an o dobanda

. In al doilea an , suma inscrisa in cont va fi

, unde sau dobanda unitara u=1+ factor de fructificare.

Intr-un an aceasta suma se majoreaza cu si devine . Aceleasi considerente sunt valabile si pentru anii

3,4,5,.,n. rezulta de aici ca, in cazul in care procentul de dobanda este constant dupa n

ani suma plasata initial devine: .

Se obserca ca creste in progresie geometrica . Numarul u=1+i , relatia progresiei

este evident supaunitara.

Formula , unde u=1+i iar este dobanda unitara, este valabila

numai daca n reprezinta numarul de ani sin u numarul altor perioade de timp mai mici

sau mai mari de un an.

Cunoscund valoarea finala si valoarea actuala , putem determina dobanda

compusa:

Daca se plaseaza suma =100000 u.m pe o durata de 5 ani, in regim de dobanda

compusa , cu procentele anuale de 5, 6, 7, 8, 9 % care este valoarea de care vom

dispune dupa cei 5 ani , precum si dobanda aferenta.

Rezolvare: Potrivit relatiei

S = 100000 x (1,05) x (1,06) x (1,07) x (1,08) x (1,09) = 140 193,92

Dobanda aferenta D = S - So =140 193,92 - 100000=40 193, 92

Daca se plaseaza suma =100000 u.m pe o durata de 5 ani si 3 luni , in regim de

dobanda compusa cu procentele anuale 5,6,7,8,9,10% , care va fi dobanda aferenta ?

Rezolvare: Potrivit relatiei :

S = 100000 x (1,05) x (1,06) x (1,07) x (1,08) x (1,09) x (1+ 1,1 x 3/12)=

140 193,92 x (1,27)178 046, 27

D = 178 046, 27 - 100000 = 78 046, 27

In urma cu trei ani o persoana a imprumutat suma =10 000 000 000 u.m.cu un

procent annual p=10%pe care urma sa o ramburseze astazi impreuna cu dobanda

compusa corespunzatoare.Neputand achita datoria azi,solicita o amanare de 1an si

jumatate. Creditorul accepta amanarea dar isi anunta debitorul ca procentul annual

creste cu o unitate pentru fiecare an amanat. Se cer:

a)suma pe care trebuie sa o achite dupa cei 3ani:

b)suma pe care o va plati dupa amanarea ceruta.

Rezolvare:

a)S = x (1+i)=10x (1,1)=13310000 u.m

b)S = x (1+i)x ( 1, i) x ( 1+ ) = x (1,1)x (1,11) x (1,06) =

15 660 546 u.m

Neputand achita suma de un million u.m, in urma cu trei ani, un debitor a cerut

amanarea scadentei pentru azi. Daca aceasta i s-a aprobat cu procentele

pentru fiecare din cei trei ani de intarziere,

care este suma pe care ar trebui sa o ramburseze azi?

Rezolvare:

S = =x (1,102) x (1,115) x (1,1275) =1 385 393 u.m , datorita amanarii debitorul plateste in plus 385 393 u.m