Rezumat la geometrie pe semestrul I

Rezumat la geometrie pe semestrul I

Clasa a VII-a

Teorema unghiului de 30°: cateta care se opune unghiului de 30° jumatate din ipotenuza.

Patrulatere

Paralelogramul - este patrulaterul convex cu laturile opuse congruente.

Un patrulater este paralelogram daca si numai daca îndeplineste una din conditiile urmatoare (Propietatiile paralelogramului):

are laturile opuse congruente;

are doua laturi opuse paralele si congruente;

are unghiurile opuse congruente;

aricare doua ughiuri alaturate sunt suplementare;

diagonalele sale se taie în segmente congruente.

Cazuri particulare de parallelogram

Dreptunghiul

Dreptunghiul - paralelogramul cu un unghi drept.

Dreptunghiul fiind un parallelogram are toate propietatile acestuia.

Dreptunghiul are si propietati specifice:

Teorema: Un dreptunghi are toate unghiurile drepte.

Teorema: Într-un dreptunghi diagonalele sunt congruente

Punctual de intersectie al diagonalelor este egal departat de vârfurile dreptunghiului deci este centru cercului circumscris al dreptunghilui.

Rombul

Rombul - este paralelogramul cu 2 laturi consecutive congruente. Deoarece rombul este parallelogram are toate propietatile acestuia. Rombulmai are si proprietati specifice:

Teorema: Într-un romb toate laturile sunt congruente.

Teorema 2: Într-un romb diagonalele sunt perpendiculare.

Teorema 3: Într-un romb diagonalele sunt bisectoare ale unghiurilor din care pornesc.

Patratul

Patratul este un patrulater care este si dreptunghic si romb.

Putem spune ca patratul este paralelogramul cu un unghi drept si cu 2 laturi consecutive congruente sau alte variante.

Trapezul

Def: Patrulaterul convex cu 2 laturi opuse paralele si celelalte 2 neparalele.

Tipuri de trapez

oarecare - laturile paralele sunt de ;ungimi diferite si nici una nu este perpendiculara pe baza.

2) dreptunghic - una din laturile neparalele este perpendiculara pe baza

isoscel - laturile neparalele sunt congruente

Teorema: într-un trapez isosel unghiurile alaturate unei baze sunt congruente.

Teorema: Într-un trapez isoscel diagonalele sunt congruente

Linia mijlocie în trapez

  Def: Linia mijlocie a trapezului este segmentul ce uneste mijloacele laturilor neparalele.

Teorema liniei mijlocii: 1 )Într-un trapez linia mijlocie este paralela cu bazele.

  2) Lungimea liniei mijlocii este semisuma bazelor :MN = (AB+CD) : 2

3) Linia mijlocie trece prin mijloacele diagonalelor

4) Segmentul ce uneste mijloacele diagonalelor are lungimea egala cu semidiferenta bazelor: PQ = (AB - CD 2

laturile neparalele sunt de lungimi diferite sau:

unghiurile alaturate uneia din laturile neparalele nu sunt suplementare sau:

Punctul de intersectie a diagonalelor nu est mijlocul nici unei diagonale.

Propietati de simetrie ale patrulaterelor

 

A'

 

A

  O figura are centru de simetrie daca exista un punct astfel încât simetricul oricarui punct al figurii fata de acel punct sa se afle tot pe figura (acel punct este centru de simetrie).

Patrulatere cu centru de simetrie:

-paralelogramul (intersectia diagonalelor)

dreptunghiul

patratul

rombul

-nici un trapez nu are centru de simetrie

Def: Simetricul unui punct A fata de o dreapta D (A diferit de A) este un punct A' astfel încât d D sa fie mediatoarea segmentului AA'.

Spunem ca o figura are axa de simetrie daca exista o dreapta (axa de simetrie) astfel încât simetricul oricarui punct de pe axa se afla pe figura (deci îndoind igura fata de acea dreapta o parte se suprapune perfect peste cealalta parte a figurii).

Patrulatere cu axe de simetrie

Aria triunghiului

Def: A b·h) :2

Pentru aria triunghiului dreptunghic avem: (C1·C2 2 =(ip·h) :2 =>h=(C1·C2) : ip

Retineti! O mediana împarte un triunghi în 2 triunghiuri de aceeasi arie (echivalente).

Retineti Daca un triunghi are 2 puncte fixe iar al treilea se misca pe o paralela la drapta determinata de cele 2 puncte fixe, atunci toate triunghiurile care se formeaza au aceeasi arie.

Ariile patrulaterelor

Înaltimea paralelogramului este distanta dintre 2 laturi opuse.

Aria paralelogramului b·h

Retineti! O diagonala împarte un paralelogram in 2 triunghiuri echivalente si congruente.

Observatie! Cele 2 diagonale impart un parallelogram în 4 triunghiuri echivalente.

Aria dreptunghiului:L·l

Aria unui patrulater este ortodiagonal

Patrulater ortodiagonal este un patrulater convex cu diagonalele per[endiculare.

Aria=(d1·di2) :2

Aria Patratului

Patratul fiind dreptunghi se poate folosi formula A dreptunghiului=l˛

Patratul fiind patrulater rtodiagonal cu diagonalele congruente = (d1·d2):2

Aria rombului

Rombul fiind un parallelogram A = l·b

Rombul fiind un parulater ortodiagonal ave si formula A d1·d2):2

Aria trapezului

A=[(B·b) ·h]:2=lm·h

Asemanarea triunghiurilor

Segmante proportionale

Definitie:Prin raportul a doua segmente întelegem raportul masurilor lor când acestea sunt masurate cu aceeasi unitate de masura.

Definitie:Spunem ca mai multe segmente sunt direct proportionale cu alte segmente daca între masurile lor (în aceeasi unitate de masura) se poate stabili un sir de rapoarte egale.

Teorema paralelelor echidistante

Daca mai multe drepte paralele determina pe o secanta segmente congruente, atunci ele determina pe orice alta secanta segmente congruente.

Teorema lui Thales

O paralels la una din laturile unui triunghi determina pe celelalte 2 laturi sau pe prelungirile lor segmente proportionale.

Reciproca teoremei lui Thales :Daca o dreapta determina pe 2 laturi ale unui triunghi sau pe prelungirile lor segmente proportionale atunci ea este paralela cu a 3-a latura a triunghiului.

De retinut! Daca segmentele formate nu sunt proportionale atunci dreapta nu este paralela cu a 3-a latura.

Teorema bisectoarei: Într-un triunghi bisectoarea unui unghi împarte latura pe are o intersecteaza în segmente proportionale cu laturile triunghiului.

Teorema paralelelor neechidistante:Mai multe paralele (minim 3) determina pe 2 secante sgmente proportionale.