CRISTALOGRAFIE

LUCRĂRI PRACTICE- GEOLOGIE 1

CRISTALOGRAFIE 1

Notiuni introductive

Cristalografia si mineralogia reprezinta doua dintre stiintele fundamentale ale geologiei. Aceste stiinte orienteaza specialistii catre munca de teren si laborator. În ansamblu, aceste discipline cuprind cunostiinte teoretice si practice indispensabile în recunoasterea mineralelor si a asociatiilor acestora (rocile). Cristalografia este disciplina care se ocupa cu studiul corpurilor solide cu structura cristalina. Mineralogia are drept obiect studiul mineralelor sub toate aspectele, inclusiv a modului de formare si de acumulare în natura.

Cristalul se poate defini ca fiind un solid cu forma exterioara geometrica si având o structura reticulara interna. Forma, proprietatile si geneza cristalelor trebuiesc întelese ca o consecinta a structurii lor interne.

Starea solida cuprinde doua stari: amorfa si cristalina. Starea amorfa consta în dispunerea haotica a particulelor minerale si este lipsita de forme geometrice (ex: opalul, limonitul). Starea cristalina prezinta o aranjare periodica a particulelor constitutive dupa cele trei directii spatiale, corpul având o forma geometrica marginita de fete plane.

Elemente si operatii de simetrie

Formula de simetrie

Cristalografia geometrica este acea parte a cristalografiei care se ocupa cu studiul formei exterioare sau a morfologiei care caracterizeaza mineralele cristalizate. Materia cristalina poate fi limitata de fete plane alcatuind o forma poliedrica regulata = CRISTAL.

Un cristal cuprinde: - fete

- muchii

- colturi

Între acestea exista întotdeauna urmatoarea relatie (Euler, Descartes):

	F+C=M+2

Exemplu, cubul: 6+8=12+2

Simetria = repetarea partilor componente (fete, muchii, colturi) în raport cu anumite directii, suprafete sau puncte (axe, plane, centru) care în ansamblu alcatuiesc elementele de simetrie. Elementul în raport cu care are loc simetria se numeste element de simetrie, iar operatia executata în raport cu acesta, operatie de simetrie.

Elemente si operatii de simetrie simple:

	ELEMENTE: Ax Plan Centru		OPERAŢII: Rotatia  Reflexia (oglindirea)  Inversiunea  f

1. Axul de simetrie (A) si rotirea

Ax de simetrie - directia în jurul careia rotind un cristal, respectiv un sistem de puncte, pe parcursul a 360⁰ se revine de n ori într-o pozitie identica cu cea initiala. Axele de simetrie pot uni (imaginar) fete, muchii sau colturi. Unghiul sub care se face rotatia = unghi elementar al rotatiei = a, iar numarul n de pozitii identice cu prima = ordinul axului de rotatie.

n = 360 / a

a

n = 2, 3, 4, 6

n = A₁ când dupa o rotire cui 360⁰ cristalul se suprapune prin sine însusi.

Axele de simetrie simple = gire (A sau L₂, L₄, L₆, L₃).

-dupa o rotire cu 360⁰ o fata se repeta de 2 ori = A₂

-dupa o rotire cu 360⁰ o fata se repeta de 3 ori = A₃ s.a.m.d.

Ele se pot nota cu litere, numeric si grafic:

- a A₁, 1,

a A₂, 2,

- a A₃, 3,

- a 90⁰ A₄, 4,

a 60⁰ A₆, 6, Fig. 1: Axele de simetrie ale

cubului

Un cristal poate avea n axe de diferite grade.Totdeauna, axul de grad mai mare = ax principal de simetrie. Celelalte axe sunt considerate inferioare.

ex: Cub 3A₄+4A₃+6A₂

Atunci când exista mai multe axe de acelasi ordin, aceste axe se noteaza cu A₂, A₂^l, A₂^ll (ex: bipiramida rombica).

2. Planul de simetrie (P) si oglindirea

Planul de simetrie = un plan care împarte cristalul în doua parti identice, întocmai ca un corp cu imaginea sa în oglinda. Se noteaza cu P sau M, iar când planele sunt perpendiculare pe axele de simetrie cu p

P2, P2l, P2ll p4, P2l, P2ll.

Fig. 2: Planul de simetrie al cubului

3. Centrul de simetrie (C) si inversiunea

Centrul de simetrie = un punct fata de care toate componentele echivalente ale formei sunt simetrice. Orice dreapta care trece prin el, întâlneste la ambele capete, la distante egale, puncte identice. Inversiunea se face în raport cu un punct, iar reflexia în raport cu un plan. Într-un cristal care poseda un centru, fiecare fata are o fata corespondenta, egala, paralela si în pozitie inversa. TOATE cristalele care au fete paralele au si un centru de simetrie. Operatia de simetrie corespunzatoare centrului de simetrie se numeste inversiune.

C

Fig. 3: Centrul de simetrie

Elemente si operatii de simetrie complexa

P + C: reflexia+inversiunea;

A + P: rotirea + reflexia;

A + C: rotirea + inversiunea.

Numai ultimele doua conduc la giroide si axe de inversiune.

GIROIDE = elemente de simetrie complexa rezultate prin considerarea concomitenta a unui ax în jurul caruia se produce rotirea si un plan perpendicular pe acest ax, în raport cu care se realizeaza reflexia, pentru a se ajunge la suprapunerea elementelor echivalente ale formei poliedrice.

ex: un ax de simetrie A₆. Un punct a₁ este rotit cu 60⁰ obtinându-se un alt punct b₁ al carui analog a₂ rezulta prin oglindirea în raport cu planul perpendicular pe ax. Repetând operatiunea combinata se constata ca a₁ ajunge în b₁, b₁ în a₂, a₂ în b₂, b₂ în a₃, a₃ în b₃, b₃ în a₄, a₄ în b₄, b₄ în a_5. s.a.m.d., prin uramre o rotire + o oglindire; 1, 3, 5 se gasesc în partea de sus; 2, 4, 6 se gasesc în partea de jos. Simetria lor se poate deduce dupa un ax A₃ si un C. O astfel de hexagiroida, care este în acelasi timp si un A₃ este un romboedru de calcit. Unghiurile de rotatie pot fi 60⁰, 90⁰, 120⁰, 180⁰. Giroidele se noteaza cu doua simboluri: Aⁿ_2n, ex: A²₄; A³₆ sau purtând deasupra axului complex de ordin n, semnul negativ A⁶, A⁴ etc..

Formula de simetrie:

Simetria unui cristal poate fi exprimata printr-o formula de simetrie, care determina o clasa de simetrie sau o clasa cristalografica. Se determina în primul rând axele în ordin descendent, apoi planele si apoi centrele.

ex: A₆ 3A₂ 3A₂^l C

p 3P₂ 3P₂^l.

Este evident ca aceste formule de simetrie sunt uneori extrem de complexe, functie de structura reticulara cristalina a cristalului respectiv. Exista atâtea formule de simetrie, câte minerale exista. Simplitatea sau complexitatea lor rezida si din sistemul de cristalizare pe care îl adopta cristalul (mineralul) ca atare. De altfel, despre cele sapte sisteme de cristalizare vom vorbi într-o tema ulterioara.

LUCRĂRI PRACTICE - GEOLOGIE 1

CRISTALOGRAFIE 2

1. FORME CRISTALOGRAFICE

Notiuni introductive:

Cristalografie = Disciplina care se ocupa cu studiul corpurilor solide cu structura cristalina.

Cristal = Un solid cu forma exteriora geometrica si având o structura reticulara interna.

Cristalele care se dezvolta liber, pot îmbraca forme variate, dupa felul si forma fetelor echivalente, determinând forme cristalografice.

Forme cristalografice: - A. simple - un singur fel de fete echivalente, simetric asezate;

- B. compuse - n fete echivalente sau n fete de forma si marime diferita asezate aiurea.

A. Forme cristalografice simple -1. deschise - nu pot închide complet un spatiu decât daca sunt asociate cu alte forme simple;

- 2. închise - pot delimita complet un spatiu.

A₁: F.C. simple, deschise:

a.     pedion (fig. 4) (monoedru): o singura fata repetata prin ea însasi:

Fig. 4 -Pedion

b.     pinacoid (fig. 5): 2 fete paralele sau simetrice în raport cu un centru:

Fig. 5: Pinacoid

c.     dom (fig. 6): 2 fete simetrice în raport cu un plan:

Fig. 6: Dom

d.     sfenoid (fig. 7): 2 fete simetrice în raport cu o axa:

Fig. 7: Sfenoid

e.     prisma (fig. 8): cel putin 3 fete care se întretaie dupa muchii paralele:

Fig. 8: Prisma

f.       piramida (fig. 9): cel putin 3 fete care se întretaie într-un punct:

Fig. 9: Piramida

Formele cristalografice simple, închise (A₂): sunt deduse prin repetarea ritmica a unei fete si închiderea unui spatiu bine delimitat (ex: cubul, octaedrul, dodecaedrul romboidal -10 fete de romb).

Dupa pozitia unei fete cristalografice simple fata de toate elementele de simetrie, se disting:

- forme cristalografice generale (pozitia formei cristalografice oblica) ex: bipiramida patratica.

- forme cristalografice particulare (pozitie perpendiculara sau simetrica) ex: bipiramida rombica si dreptunghilara.

Din toate acestea rezulta 47 forme simple care se pot deduce matematic din cele 32 de clase de simetrie.

Formele simple se întâlnesc la sistemele inferioare (a , care au mai multe directii unice si carora le lipsesc axele A > 2 (triclinic, monoclinic, rombic), la sistemele intermediare (b cu o singura directie unica A>2, romboedric, tetragonal, hexagonal, la sistemele superioare ( unde exista n A>2 si unde lipsesc directiile unice (sistemul cubic).

B. Forme cristalografice compuse: combinatii de n forme cristalografice simple în care fetele nu sunt echivalente din punct de vedere cristalografic. Se disting asociatii de câte;

- 2 forme cristalografice simple - prisma cu bipiramida, prisma cu cub.

- 5 forme cristalografice simple - pedion, pinacoid, dom, prisma, romb (piramida, romb).

ex: dodecaedrul romboidal;

trapezoedrul;

octaedrul.

Observatii practice (macroscopice)

Din colectia proprie de mineralogie, recunoasterea pe cristale a diferitelor forme cristalografice enumerate mai sus (ex: cristalele de pirita, galena, blenda etc.).

LUCRĂRI PRACTICE - GEOLOGIE 1

CRISTALOGRAFIE 3

A. SISTEME DE CRISTALIZARE

B. CLASE CRISTALOGRAFICE

A. Se disting 7 sisteme cristalografice, care pot fi grupate in 3 categorii:

I. - singonie inferioara;

II. - singonie medie;

III. - singonie superioara.

I. Singonia inferioara: se caracterizeaza prin n directii unice, lipsa axelor de simetrie de ordin > 2

1. Sistemul triclinic

Cristalele din acest sistem nu poseda nici un element de simetrie, cu exceptia centrului, care sa permita directia unei axe de referinta. Prin urmare toate directiile sunt unice.

- a b

- a b c

a,b,c sunt date de o fata parametrala care intersecteaza cele 3 axe X,Y,Z.

Fig. 10 - Constantele sistemului triclinic

2. Sistemul monoclinic

a b

a b c

- numar redus de elemente de simetrie A², P, A² P;

- n directii unice în P si A²;

- n directii simetrice egale fata de P si A²;

- A² se ia întotdeauna paralel cu OY [010];

- celelalte axe de simetrie sunt cuprinse în P.

Fig. 11 - Constantele sistemului monoclinic

3. Sistemul rombic sau ortorombic are 3 clase. Constantele sistemului sunt:

- a b

- a b c

- 3A² 3P² C

- 3A²

- A² 2P

- 2 clase prezinta 3A² perpendiculare între ele;

- aceste axe reprezinta axele celor trei zone ortogonale.

- pentru clasa nr. 3, A² = Z; 2P = X,Y.

- se alege ca fata parametrala, fata cea mai apropiata de triunghiul sferic format de urmele axelor de coordonate pe proectie (Wulf), în asa fel încât distantele la care sunt intersectate axele cristalografice sa fie inegale.

Fig. 12 - Constantele sistemului rombic

ll. Singonia medie: prezinta drept caracteristica o singura directie unica care coincide cu singurul ax > 2.

4. Sistemul patratic:

1. Singurul ax A⁴ sau A^-4 coincide cu directia unica fiind si axul unei zone tetragonale.

2. Axul de ordin superior se alege totdeauna corespunzator axului Z.

3. La clasele de simetrie unde apar A² A⁴, doua dintre acestea se aleg ca axe de coincidenta cu X si Y.

4. Daca aceste axe lipsesc, se considera drept axe cristalografice X si Y normalele a 2 plane perpendiculare care se întretaie dupa directia lui Z.

5. Daca lipsesc si aceste plane de simetrie (cazul claselor A₄,A₄,p,C si A^-4) axele X si Y sunt considerate doua muchii perpendiculare între ele si perpendiculare pe A⁴. Rezulta deci :

- a b

- a =b c

Fig. 13 - Constantele sistemului patratic

5. Sistemul romboedric sau trigonal

6. Sistemul hexagonal

- În cadrul acestor sisteme se recurge la un sistem de referinta cu 4 axe cristalografice (X, Y, Z, U), deoarece daca s-ar folosi numai 3 axe, fetele unei forme simple pot capata indici care variaza nu numai ca semn si pozitie, ci si ca valoare.

- Axul Z vertical, va corespunde totdeauna axului de simetrie de ordin superior A₃, A₆, sau A^-6, care coincide cu directia unica care determina o singura zona hexagonala.

- Axele X, Y, U aflate în acelasi plan orizontal, corespund la 3A₂.

- Daca nu exista astfel de axe, se iau normalele a trei plane de simetrie verticale sau distantele a trei muchii corespondente.

X, U sunt catre observator.

Prin urmare constantele acestor sisteme sunt:

- a b

- a =b=d c

1:1:1:c/a sau 1:c/a

Fig. 14 - Constantele sistemului trigonal si hexagonal

lll. Singonia superioara aceasta singonie se caracterizeaza prin n axe de ordin superior si lipsa directiilor unice.

7. Sistemul cubic

- Toate clasele acestui sistem poseda trei axe de simetrie perpendiculare între ele (3A₄ sau 3A^-4, 3A₂). Acestea se pot lua drept X, Y, Z, indiferent care dintre ele este verticala.

- Sunt prezente permanent 4A₃ (sau 4 A^-6).

- La speciile cristalografice simple (prisma, piramida) se disting 3 specii dupa orientare:

- specia l: cu muchia catre observator;

- specia ll: cu fata catre observator;

- specia lll: pozitie intermediar.

Constante cristalografice:

a b

a=b=c

1:1:1

a:a:a

Fig. 15 - Constantele sistemului cubic

În acest sistem sunt cuprinse toate cristalele cu:

- 3 zone tetragonale;

- 4 zone hexagonale.

Acest lucru se datoreaza ca urmare a existentei a 3 A₄, care pot fi înlocuite cu 3A^-4 sau 3A₂ si a 4A₃.

Clase de simetrie: 3A₄ 4A^-6 6A₂ C hexakis octaedrica

3p - 6P₂

4A₃ 3A₂ C drakis dodecaedrica

3P

3A^-44A₃ 6P hexakis tetraedrica

3A₄ 4A₃ 6A₂ pentagon ikosaedrica

B. CLASE CRISTALOGRAFICE DE SIMETRIE. Deducerea lor porneste de la aflarea unui ax de simetrie simplu sau complex, la care se adauga treptat:

- un C (centru de simetrie);

- un P perpendicular (plan);

- un P paralel (plan);

- un A (ax) de ordin par perpendicular, simultan cu trei plane perpendiculare si paralele.

Din 32 de tipuri de simetrie posibile la cristale se disting numai 7 sisteme.

Clase holoedrice: clase care au acelasi grad de simetrie cu reteaua corespunzatoare.

Clase meriedrice: clase care au mai putine elemente de simetrie decât reteaua lor.

Prin urmare în fiecare sistem exista 1 clasa holoedrica si cel putin 1 clasa meriedrica:

ex: A₂, A₂^l, A₂^ll, C A₂, A₂^l, A₂^ll

P₂, P₂^l, P₂^ll

Clasele meriedrice.

-a.hemiedrice: prin adaugarea unui element de simetrie binara (A₂) de unde rezulta clasa holoedric;

-b.tetraedrica: prin adaugarea a doua elemente de simetrie binara, rezulta clasa holoedrica;

-c.ogdoedrica: prin adaugarea a trei elemente de simetrie binara, rezulta clasa holoedrica.

Clasele hemiedrice.

-holoaxe: se adauga un centru si n plane, rezultând clasa holoedrica;

-antihemiedrice: se adauga un centru si axe binare, rezultând clasa holoedrica;

-parahemiedrice: se adauga un ax de ordin 2 si un plan perpendicular pe acesta, rezultând clasa holoedrica.

LUCRĂRI PRACTICE - GEOLOGIE 1

CRISTALOGRAFIE 4

EDIFICII COMPLEXE DE CRISTALE

Unele minerale prezinta îngemanari ale indivizilor cristalini sub forma unor concresteri simetrice caracteristice (macle). Indivizii cristalini care constituie o macla prezinta ca elemente de simetrie axa de macla, planul de macla si planul de asociere al maclei.

MACLE: Concresterea a doi sau n indivizi cristalini, apartinând aceleiasi specii minerale, dupa anumite legi bine determinate. Pentru unele minerale (microclin) maclele reprezinta un element de diagnostic. Maclele se recunosc dupa unghiurile intrânde dintre indivizii maclati sau dupa striurile de maclare (pirita). La unele cristale, maclele se recunosc dupa luciul stralucitor sau mat al indivizilor maclati.

Fig. 16 - Tipuri de macle (imagine la microscop)

Elementele unei macle:

- 1. Planul de macla (între doi indivizi).

- 2. Axul de macla: o directie fata de care un individ poate fi deviat din celalalt prin intermediul unei rotiri de 180⁰.

- 3. Centrul de macla (C+P+A = elemente de simetrie).

Suprafata de maclare = aria de contact a indivizilor maclati. Legea de macla = natura relatiei care apare între cristalele maclate.

Ex: Daca un individ este rotit fata de celalalt cu 180⁰, în raport cu un ax de macla = hemitropie. Daca axul este perpendicular pe plan = hemitropie normala (gips). Daca axul este paralel cu planul = hemitropie paralela (ortoza). Feldspatii plagioclazi au o hemitropie complexa (A₁ P, A₂II P).

Macle - simple (2 indivizi);

- complexe (n indivizi).

Dupa prezenta sau absenta planelor de asociere, deosebim:

- macle de contact (alipire sau juxtapunere) - exista un plan;

- de întrepatrundere (penetratie) - nu exista un plan (asocierea se face dupa o suprafata nedefinita).

Exemple de macle:

Sistemul triclinic:

1. Macla albit = simpla sau polisintetica.

Sistemul monoclinic:

1. Macla în coada de rândunica (gips);

2. Manebach (P:001), Baveno (P:021) = feldspatii potasici;

3. Baveno (hemitropie II) -Karlsbad A (P:010) feldspatii potasici.

- Karlsbad B (P:100).

DEFINIREA POZIŢIEI UNEI FEŢE:

Pentru definirea pozitiei unei fete în sistemul de referinta ales este necesar sa se cunoasca raportul parametrilor fetei (a:b:c) = "relatia axiala" care este aceeasi pentru toate fetele paralele.

OA₁=a₁

OB₁=b₁ a₁:b₁:c₁

OC₁=c₁

OA₂=a₂

OB₂=b₂ a₂:b₂:c₂

OC₂=c₂

Fig. 17 - Definirea pozitiei unei fete

O fata mai este cunoscuta daca se cunosc unghiurile dintre normala fetei si axele de referinta. Cosinusurile acestor unghiuri = cosinusuri directoare ale normalei, care sunt invers proportionale cu parametrii acestei fete.

cos a =d/a₁

cos a =d/b₁ d=ON=1

cos a =d/c₁

Fig. 18 - Definirea pozitiei unei fete

cos a : cos a : cos a = 1/a₁: 1/b₁: 1/c₁ = Relatia axiala

Pozitia unei fete mai este data si de ecuatia unei fete, care are forma:

A_X + B_Y + C_Z = K - unde x,y,z = coordonatele unui punct al fetei în raport cu cele 3 axe, iar A, B, C, K = constantele specifice fetei.

Fig. 19 - Definirea pozitiei unei fete

Ex: fie X=a, Y=0, Z=0. Aceste masuri se introduc în ecuatia fetei, rezultând:

Aa + 0 + 0 = K Aa = K A = K/a.

Prin urmare, în general A₁ : B₁ : C₁ = K/a₁ : K/b₁ : K/c₁ = raportul constantelor.

NOTAŢIA FEŢEI UNUI CRISTAL

Se alege o fata fundamentala (o fata care taie sau intersecteaza toate axele) si se exprima valorile tuturor celorlalte fete în functie de constantele acesteia.

Ex: A₁ B₁ C₁ = fata fundamentala;

a₁:b₁:c₁ = parametrii fetei fundamentale;

PQR = o fata oarecare;

a₂,b₂,c₂ = parametrii fetei PQR.

Fig. 20 - Pozitia unei fete oarecare

Prin urmare: OP:OQ:OR = a₂:b₂:c₂ = ma₁:nb₁:oc₁ (relatia lui Weiss).

m, n, o = marimile fetei sau caracteristicile fetei PQR sunt multiplii simpli ai parametrilor fundamentali.

INDICII FEŢELOR

Relatiile dintre parametrii unei fete întâmplatoare si parametrii fundamentali pot fi scrise:

ha₂:kb₂:lc₂ = a₁:b₁:c₁ ; h:k:l = 1\m:1\n:1\o , h,k,l = indicii fetelor;

h = a\a₁, k = b\b₁, l = c\c₁, h, k, l pot fi + sau - si se scriu în paranteza (hkl).

POZIŢIA UNEI FEŢE ÎN RAPORT CU AXELE CRISTALOGRAFICE

(hkl), (okl), (hol), (hko) si respectiv (100), (010), (001) - ex: fete de cub, prisma..Cu alte cuvinte, o fata a unui cristal poate taia toate axele în acelasi timp, taie doua axe (y;z) dar este paralela cu x, este paralela cu y si taie celelalte doua axe si în fine, este paralela cu z, dar taie x si y. Indicii respectivi sunt hkl, iar ca valoare ei pot avea valoarea 1 sau multiplu de 1 (2;3;4 etc.).

CONSTANTE CRISTALOGRAFICE

a b g

2) a: b: c = parametrii În mod obisnuit se ia b = 1, deci a:1:c.

3) h, k, l = indicii

Prin urmare, relatiile axiale ale fetelor pot fi scrise sub forma: a\h: b\k: c\l; a, b, c = parte irationala care determina metrica cristalelor, constanta pentru toate fetele, h, k, l = parte rationala simpla care variaza cu fata si determina pozitia ei.

LEGEA ZONELOR

La unele cristale se observa fete care se întretaie dupa muchii paralele. Toate acestea constituie zone. Fetele se numesc tautozonale.

Fig. 21 - Axa zonei

Observatii practice

observarea pe cristale practice a maclelor si a elementelor constituiente, distinctive;

determinarea pe cristale a unei fete fundamentale sau parametrale, precum si acelorlalte tipuri de fete;

determinarea fetelor tautozonale pe cristale.

LUCRĂRI PRACTICE - GEOLOGIE 1

CRISTALOGRAFIE 5

SISTEMUL HEXAGONAL sI TRIGONAL

Sistemul hexagonal.

Sistemul de referinta este alcatuit din patru axe cristalografice:

a b g=120⁰; a = b = d c deci a = a = a c -1:c\a sau a:c. Pentru acest sistem se determina o singura constanta cristalografica, c\a.

Indicii pentru fete se noteaza: (h, k, i, l), i = h+k

p= plan perpendicular pe A₆ sau A₃,

Orientare: A₆ sau A₃ Z

3A₂ X, Y, U

Ex: grafit, covelina, molibdenit, pirita, beril, apatit.

Sistemul hexagonal are 7 clase:

1) A₆ 6A₂ C Cl. dihexagonal bipiramidala

p 6P₂

2) A₃ 3A₂ Cl. ditrigonal bipiramidala

p - 3P

3) A₆ 6P

4) A₆ 6A₂

5) A₆ c

p

6) A₃

p

7) A₆ Cl. hexagonal piramidala.

Formula de simetrie a cristalului: A₃ 3A₂

p - 3P.

1. Raportarea cristalului la sistemul de referinta.

2. Notatia fetelor în forma generala.

3. Reprezentarea în perspectiva a cristalului.

Sistemul trigonal.

Sistemul de referinta este alcatuit din patru axe cristalografice:

a b g=120⁰; a = b = d c a : c sau 1 : c\a.

Fig. 22 - Bipiramida din sistemul trigonal

Indicii pentru fete: (h, k, i, l).

Se orienteaza cristalul asa încât axul de simetrie de ordin superior sa fie identic cu z si 3A₂ x, y, u. Planele de simetrie 3P bisecteaza unghiurile dintre axele cristalografice.

Ex: cuart, calcit, siderit, hematit, turmalina.

Clase:

1) A₃ 3A₂ C Cl. ditrigonal scalenoedrica

2P₂

2) A₃

3P

3) A₃ 3A₂

4) A₃ C

5) A₃ Cl. trigonal pinacoidala

PROIECŢIA STEREOGRAFICĂ (reteaua Wulf)

Se proiecteaza pe planul ecuatorial al unei sfere.

Pe proiectia stereografica a unui cristal sunt reprezentate:

- sistemul de referinta (crucea axiala);

- elementele formulei de simetrie;

- fetele cristalului.

Axele de simetrie se proiecteaza sub forma de diametre punctate când sunt orizontale (- - - - - -) si puncte (..) când sunt înclinate sau verticale.

În cazul sistemelor de referinta rectangulare (s. rombic, patratic, cubic), axul x se proiecteaza pe diametrul vertical, y pe cel orizontal, z în centru.

Fig. 23 - Proiectia sistemului de referinta

alcatuit din trei axe cristalografice

Fig. 24 - Proiectia sistemului de referinta

alcatuit din patru axe cristalografice

Prin proiectarea sistemului de referinta, alcatuit din 3 si respectiv 4 axe cristalografice, se delimiteaza 4 si respectiv 6 cadrane, în care semnul pentru fiecare din cele 3 (4) indici este - vezi fig. 23;24.

Axe. Axul de simetrie orizontal se proiecteaza trasând punctat diametrul sau cercul, corespunzator: 

Axul de simetrie înclinat sau perpendicular (vertical) se proiecteaza printr-un punct. Iata simbolurile axelor de gradul 2,3,4,6 sau combinatii de-ale lor:

, , , etc. sau A₆³, A₄².

2. Plane. Planele orizontale se proiecteaza cu linie continua pe cercul fundamental: .

Planul de simetrie vertical (perpendicular) se proiecteaza pe diametrele cercului de proiectie.

Planul înclinat se proiecteaza pe meridianul respectiv, cu atât mai aproape de centrul de proiectie cu cât înclinarea fata de planul de proiectie este mai mica.

3. Fete. Fetele se reprezinta grafic marcând proiectia stereografica în urma masuratorilor goniometrice (x).

În cazul unor cristale cu plan de simetrie ecuatorial, fetele echivalente care taie axul z, la + si - se suprapun. Se cauta mai întâi fetele dispuse în zone, iar apoi se cauta proiectia planului de zona care se afla la 90⁰ de axul de zona. Prin urmare, toate fetele ll cu z se vor gasi întotdeauna pe cercul de proiectie.

Fetele din zona axului x au normele situate pe planul (010), (001), (0-10), iar cele din zona axului y [0-10] pe planele (100), (001), (-100). Pentru toate cele trei cazuri amintite, fetele se proiecteaza masurând pe planul de zona unghiul dintre fete. Pentru fetele (hkl), care nu apartin unei zone principale, proiectia se face masurând unghiurile dintre (hkl) si 2 fete ll cu z (de pe cerc). Normala unei asemenea fete se afla la intersectia celor doua valori unghiulare.

Observatii practice

Se va proiecta pe reteaua Wulf un cristal la alegere, indiferent de sistemul de cristalizare ales (hexagonal, trigonal). Materiale necesare:

- retea Wulf, calc, guma, creion, culori.

LUCRĂRI PRACTICE - GEOLOGIE 1

CRISTALOGRAFIE 6

SISTEMUL ROMBIC

Constantele cristalografice si relatia axiala:

a b g=90⁰; a b c a\b : 1 : c\b.

Din acest sistem fac parte trei clase de simetrie:

1) 3A₂ C Cl. holoedrica.

3P

2) A₂ - Cl. rombic piramidala.

- 2P

3) 3A₂ Cl. rombic bisfenoidala.

Ex: olivina, anhidrit, piroxenii si amfibolii rombici.

Prelucrarea unui cristal din sistemul rombic:

3A₂ C

3P

Fig. 25 - Bipiramida din sistemul rombic

Fig. 26 - Proiectia stereografica a bipiramidei

SISTEMUL PĂTRATIC

Constantele sistemului:

a b g=90⁰; a =b c a:c 1 : c\a

Clasa holoedrica (numar maxim de elemente de simetrie): A₄ 4A₂ C

p 4P

ditetragonal bipiramidala.

A₄ z Orientarea cristalului

2A₂ x,y

Acest sistem prezinta 7 clase de simetrie:

1) A₄ Cl. tetragonal piramidala

2) A₄ C Cl. tetragonal bipiramidala

p

3) A₄ - Cl. ditetragonal piramidala

- 4P

4) A₄ 4A₂ Cl. holoaxa (tetragonal trapezoedrica)

5) A₄ 4A₂ C Cl. holoedrica

p 4P

6) A^-4 Cl. tetragonal bisfenoidala

7) A₄² 2A₂ Cl. tetragonal scalenoedrica

- - 2P

Ex: rutil, zircon, casiterit, calcopirita.

Proiectia stereografica a clasei holoedrice:

Fig. 27 a: Proiectia stereografica a clasei holoedrice

(bipiramida octogonala)

CALCULUL CRISTALOGRAFIC

1) Unghiurile axiale a b g (unde axele cristalografice nu sunt rectangulare).

Ex: La sistemul triclinic, unde a b g se aleg trei fete numite fundamentale si se noteaza cu (100), (010), (001). Acestea, prin intersectia lor dau trei axe cristalografice:

x [100], spre observator;

y [010], ll cu observatorul;

z [001], verticala.

Se proiecteaza mai întâi fetele din zona axului z, pornindu-se de la fata (010) care se afla în partea dreapta a diametrului orizontal. Se proiecteaza apoi (100), masurând unghiul dintre ele. Pentru a proiecta fata (001), se masoara unghiurile dintre acestea si celelalte doua fete deja marcate, se trag doua arcuri de cerc si la intersectia lor se afla fata (001).

Pe cristal se observa ca axul x este perpendicular pe planul care contine normalele fetelor (010) si (010), adica x este axul de zona a celor doua fete. Pentru a proiecta axul x, se traseaza pe un meridian zona fetelor (001), (010) si se proiecteaza axul de zona la 90⁰. Axul y este perpendicular pe planul care contine normalele fetelor (100), (001). Se traseaza un meridian prin cele doua normale si la 90⁰ se proiecteaza axul y. Pentru axul z, se masoara 90⁰ de la marginea cercului.

deci unghhiul g se determina valoric pe meridianul care trece prin x si y s.a.m.d.

a este unghiul dintre y si z

b este unghiul dintre x si z

g este unghiul dintre x si y

Unghiurile a si b se determina pe diametru, pentru ca z se afla în centrul retelei. Când unghiul cristalografic se afla între doua axe cu semn diferit, se ia suplimentul valorii obtinute prin proiectie.

2) Relatia axiala (metoda tangentei si cosinusurilor directoare)

Metoda tangentei

Se alege o fata a cristalului care sa taie toate axele cristalografice (hkl). Când aceasta lipseste, se aleg 2 fete, care împreuna, sa taie toate cele trei axe.

Se raporteaza aceasta fata parametrala, la sistemul de referinta, deducându-se urmatoarele relatii:

a\sin e= b\sin 180⁰(e g a\sin e = b\sin(e g

a\b = sin e\sin(e g) = sin e\sin h

Aceste relatii sunt valabile pentru triunghiul hok.

Se calculeaza analog pentru triunghiul kol si hol.

- unghiul e se citeste pe cercul mare;

- unghiul m se citeste pe zona axului x;

- unghiul j se citeste pe zona axului y;

- unghiul s se citeste pe zona axului y;

- unghiul d se citeste pe zona axului x;

- unghiul h se citeste pe zona axului z;

Fig. 27 - Calculul relatiei axiale prin metoda tangentei

Cosinusurile directoare.

Fig. 28 - Unghiurile necesare calcularii relatiei axiale prin metoda cosinusurilor si proiectia stereografica a acestor unghiuri

OP = (cos POx)a a\b = cos POy\cos POx

OP = (cos POy)b c\b = cos POy\cos POz

OP = (cos POz)c c\a = cos POx\cos POz.

Unghiurile POx, POy si POz se masoara pe diametru sau pe meridiane.

Calculul indicilor unei fete

Simbolul fetelor poate fi obtinut, formând rapoartele parametrilor sau aplicând legea zonelor.

Fata fundamentala se noteaza cu (111). Parametrii celorlalte fete de pe cristal sunt multiplii parametrilor fetei fundamentale.

h, k, l = indici

a, b, c = parametrii h = 1\a, k = 1\b, l = 1\c

a' = ma a', b', c' = parametrii unei fete

b' = nb oarecare pe care vrem sa-i

c' = pc calculam

a = a' \m h = a\a'; k = b\b'; l = c\c'. Se egaleaza b = 1 a', b', c' se obtin rapoartele a\b si c\b.

Daca rezultatele rapoartelor nu sunt numere întregi, atunci ele se înmultesc cu acelasi numar pentru a obtine numere întregi si mici (cu valori exceptionale pentru 6), în acord cu legea rationalitatii indicilor.

Pentru sistemele unde apar 4 indici (h, k, I, i - hexagonal si trigonal):

i = h + k

Alta metoda de calcul a indicilor o reprezinta legea zonelor.

Zona primara: fetele se intersecteaza unele cu altele si dau pe cristal muchii reale.

Zone secundare: fetele se intersecteaza prin prelungiri, dupa muchii care sunt posibile pe cristal.

Fig. 29 - Calculul indicilor prin metoda zonelor

Plane de zona

Observatii practice

se va face un calcul cristalografic prin metoda tangentei;

se va face un calcul cristalografic prin metoda cosinusurilor;

se va face un calcul cristalografic prin legea zonelor.

LUCRĂRI PRACTICE - GEOLOGIE 1

CRISTALOGRAFIE 7

SISTEMUL MONOCLINIC

a g b 90⁰ a b c , a:b:c b = ?, a\b = ?, c\b = ?.

Orientare:

Se alege o fata care sa încline spre observator.

Totdeauna A₂ y.

Totdeauna P contine x, z, b

Trebuie sa existe cât mai multe fete în zona axului z.

Pentru cristalele care nu au ax de simetrie se urmareste:

- verticalitatea lui z;

- verticalitatea lui P care contine pe b cu deschiderea catre observator.

Pentru cristalele monoclinice, fetele (hkl), (okl), (hko) apar în numar de câte patru, formând prisme; (hol) apare de doua ori, formând un pinacoid.

Fetelor (100) si (hol) li se atribuie prefixul de "orto" pentru ca reprezinta pinacoizi paraleli cu y care este ortogonal, (010) este un clinopinacoid pentru ca este paralel cu x. Mai apar si fete de dom si sfenoid.

Ex: mice, realgar, ortoza, amfiboli, malachit, compusi organici.

Clase:

1) Clasa holoedrica (monoclin prismatica) A₂ C

P

- forma caracteristica: prisma monoclinica; b b'; 4 fete se întretaie dupa muchii paralele; sectiunea este un romb sau un dreptunghi.

2) Clasa holoaxa (monoclin sfenoidala) A₂ - forma caracteristica: sfenoid monoclinic.

3) Clasa monoclin domatica (dom monoclinic) P.

SISTEMUL TRICLINIC

a b g 90⁰; a b c a\b:1:c\b; a b g = ?; a\b = ?, c\b = ?

Ex: sarea dubla de Sr, rodonit..

Orientare:

Se aleg trei fete fundamentale care prin intersectia lor sa dea directia x, y, z, (nu obligatoriu x).

Se proiecteaza totdeauna z si fata (010) si apoi celelalte, functie de acestea.

Cele trei fete fundamentale determina zonele lui x si y, zone care împart cercul în 4 zone.

Forme cristalografice: pinacoid - sp. I (okl);

- sp. II (hol);

- sp. III (hko);

- sp. IV (hkl).

Clase:

1) Clasa pinacoidala (centrata) ;

2) Clasa pediala (asimetrica).

Model : Sarea dubla de Sr.

Observatii practice

Se vor proiecta pe reteaua Wulf cel putin doua cristale apartinând unuia dintre sistemele de cristalizare rombic, patratic, monoclinic sau triclinic. Se va face si un calcul cristalografic, folosind una dintre metodele date ca exemplu: metoda tangentei sau a cosinusurilor.

Materiale necesare: retea Wulf, calc, bold, guma, creion, culori, raportor compas, tabele trigonometrice.