DINAMICA SISTEMELOR CU N GLD. DETERMINAREA MODURILOR PROPRII DE VIBRATIE UTILIZAND METODA MATRICEI DE FLEXIBILITATE DINAMICA [D]

Dinamica sistemelor cu n GLD. determinarea modurilor proprii de vibratie utilizand metoda matricei de flexibilitate dinamica [d]

Sistemul ecuatiilor vibratiilor libere

Se considera sistemul dinamic cu n GLD din figura de mai jos, care vibreaza liber. Conform principiului lui D’Alambert, deformata statica de la momentul „t” se obtine actionand static sistemul structural 343i83d cu fortele de inertie de la acelasi moment de timp. Fortele de inertie vor fi egale cu: ; ; ; ; . Scris sub forma matriciala avem:

sau in care:

reprezinta vectorul fortelor de inertie; reprezinta matricea maselor; si reprezinta vectorul acceleratiilor. Daca este o matrice diagonala se spune ca sistemul este decuplat inertial. Prezenta unui element lateral ar semnifica faptul ca acceleratia ar produce forta de inertie . Deplasarile se exprima in functie de fortele de inertie prin intermediul coeficientilor de flexibilitate:

sau matricial:

sau in care:

reprezinta matricea de flexibilitate dinamica si este exprimata in sistemul axelor de coordonate dinamice; reprezinta vectorul deplasarilor; iar reprezinta vectorul fortelor de inertie.

Sistemul de ecuatii de miscare pentru cazul vibratiilor libere se obtine inlocuind fortele de inertie in expresia deplasarilor. Se obtine astfel un sistem de ecuatii diferentiale de ordinul II, liniare avand coeficienti constanti si omogeni.

sau

Sistemul de ecuatii diferentiale prezentat anterior are solutie unica daca se cunosc deplasarile initiale si vitezele initiale . Nu ne vom ocupa cu determinarea acestei solutii unice.

Sistemul de ecuatii al vibratiilor proprii

Vibratiile proprii sunt un caz particular al vibratiilor libere.

sau unde

reprezinta vectorul deplasarilor; vectorul amplitudinilor. Cum este cuprins intre -1 si 1 rezulta ca este cuprins intre . Deci pe parcursul unei vibratii se pastreaza forma de vibratie. Introducem in sistemul ecuatiilor al vibratiilor libere .

, dar sau

Ultima relatie reprezinta sistemul de ecuatii al vibratiilor proprii. reprezinta matricea unitate de ordinul „n”. Sistemul de ecuatii al vibratiilor proprii este un sistem de „n” ecuatii algebrice liniare si omogene. Necunoscutele sunt cele „n” componente ale vectorului .

Determinarea valorilor proprii

Sistemul de ecuatii algebrice find un sistem omogen, admite solutia banala . In acest caz sistemul dinamic nu ar mai vibra deoarece toate amplitudinile ar fi nule. Pentru ca sistemul dinamic sa vibreze trebuie ca vectorul amplitudinilor sa fie nenul, . Un sistem algebric de ecuatii omogene admite solutii nebanale daca matricea coeficientilor necunoscutelor este singulara, adica are determinatul egal cu zero. Se obtine relatia de calcul:

Prin dezvoltarea determinantului se obtine o ecuatie de gradul „n” in , denumita in continuare ecuatia caracteristica. Prin rezolvarea acesteia se obtin „n” valori proprii pozitive, ordonate dupa cum urmeaza:

Un sistem dinamic cu „n” GLD are „n” pulsatii proprii de vibratie, „n” frecvente proprii de vibratie si „n” perioade proprii de vibratie. Valorile proprii , , si reprezinta valorile proprii fundamentale. Perioada proprie fundamentala, , este cea mai mare dintre perioadele proprii de vibratie.

Determinarea valorilor proprii

Cunoscand valorile proprii din sistemul de ecuatii ale vibratiilor proprii, pot fi determinati vectorii proprii, . Vectorul propriu are „n” componente. Determinantul matricei coeficientilor este egal cu 0, deci una dintre ecuatii este o combinatie liniara a celorlalte „n-1” ecuatii. Exista numai „n-1” ecuatii liniar independente. Inseamna ca avem de fapt „n-1” ecuatii cu „n” necunoscute. Rezulta ca vectorul este precizat numai pana la o constanta multiplicativa.

Prin reprezentarea vectorilor proprii de vibratie se obtin formele proprii de vibratie. Modul propriu de vibratie reprezinta ansamblul dintre vectorul propriu de vibratie si valoarea proprie de vibratie corespunzatoare. In sens mai larg modul propriu de vibratie include fortele de inertie din modul respectiv, diagramele de eforturi sectionale, deformatiile specifice, etc.