Dinamica sistemelor cu n GLD. determinarea modurilor proprii de vibratie utilizand metoda matricei de flexibilitate dinamica [d]
Sistemul ecuatiilor vibratiilor libere
Se considera sistemul dinamic cu n GLD din figura de mai jos, care
vibreaza liber. Conform principiului lui D’Alambert, deformata statica de la
momentul „t” se obtine actionand
static sistemul structural 343i83d cu fortele de inertie de la acelasi moment de timp.
Fortele de inertie vor fi egale cu: 
; 
; 
; 
; 
. Scris sub forma matriciala avem:
 |
sau 
in care:
reprezinta vectorul
fortelor de inertie; 
reprezinta matricea
maselor; si 
reprezinta vectorul
acceleratiilor. Daca este o matrice
diagonala se spune ca sistemul este decuplat inertial. Prezenta unui element
lateral 
ar semnifica faptul ca
acceleratia 
ar produce forta de
inertie 
. Deplasarile se exprima in functie de fortele de inertie
prin intermediul coeficientilor de flexibilitate:
sau matricial:
 |
sau
in care:
reprezinta matricea de
flexibilitate dinamica si este exprimata in sistemul axelor de coordonate
dinamice; 
reprezinta vectorul
deplasarilor; iar reprezinta vectorul
fortelor de inertie.
Sistemul de ecuatii de miscare pentru cazul vibratiilor libere se obtine inlocuind fortele de inertie in expresia deplasarilor. Se obtine astfel un sistem de ecuatii diferentiale de ordinul II, liniare avand coeficienti constanti si omogeni.
sau 
Sistemul de ecuatii diferentiale prezentat
anterior are solutie unica daca se cunosc deplasarile initiale 
si vitezele initiale 
. Nu ne vom ocupa cu determinarea acestei solutii unice.
Sistemul de ecuatii al vibratiilor proprii
Vibratiile proprii sunt un caz particular al vibratiilor libere.
sau 
unde
reprezinta vectorul
deplasarilor; 
vectorul
amplitudinilor. Cum 
este cuprins intre -1
si 1 rezulta ca este cuprins intre 
. Deci pe parcursul unei vibratii se pastreaza forma de
vibratie. Introducem in sistemul ecuatiilor al vibratiilor libere 
.
, dar 
sau 
Ultima relatie reprezinta sistemul de
ecuatii al vibratiilor proprii. 
reprezinta matricea
unitate de ordinul „n”. Sistemul de
ecuatii al vibratiilor proprii este un sistem de „n” ecuatii algebrice liniare si omogene. Necunoscutele sunt cele „n” componente ale vectorului .
Determinarea valorilor proprii
Sistemul de ecuatii algebrice find un
sistem omogen, admite solutia banala 
. In acest caz sistemul dinamic nu ar mai vibra deoarece
toate amplitudinile ar fi nule. Pentru ca sistemul dinamic sa vibreze trebuie
ca vectorul amplitudinilor sa fie nenul, 
. Un sistem algebric de ecuatii omogene admite solutii
nebanale daca matricea coeficientilor necunoscutelor este singulara, adica are
determinatul egal cu zero. Se obtine relatia de calcul:
Prin dezvoltarea determinantului se obtine
o ecuatie de gradul „n” in 
, denumita in continuare ecuatia caracteristica. Prin
rezolvarea acesteia se obtin „n” valori proprii pozitive, ordonate dupa cum
urmeaza:
Un sistem dinamic cu „n” GLD are „n”
pulsatii proprii de vibratie, „n” frecvente proprii de vibratie si „n” perioade
proprii de vibratie. Valorile proprii 
, 
, 
si 
reprezinta valorile
proprii fundamentale. Perioada proprie fundamentala, , este cea mai mare dintre perioadele proprii de vibratie.
Determinarea valorilor proprii
Cunoscand valorile proprii din sistemul de
ecuatii ale vibratiilor proprii, pot fi determinati vectorii proprii, 
. Vectorul propriu 
are „n” componente. Determinantul matricei
coeficientilor este egal cu 0, deci una dintre ecuatii este o combinatie
liniara a celorlalte „n-1” ecuatii.
Exista numai „n-1” ecuatii liniar
independente. Inseamna ca avem de fapt „n-1” ecuatii cu „n” necunoscute. Rezulta ca vectorul este precizat numai
pana la o constanta multiplicativa.
Prin reprezentarea vectorilor proprii de vibratie se obtin formele proprii de vibratie. Modul propriu de vibratie reprezinta ansamblul dintre vectorul propriu de vibratie si valoarea proprie de vibratie corespunzatoare. In sens mai larg modul propriu de vibratie include fortele de inertie din modul respectiv, diagramele de eforturi sectionale, deformatiile specifice, etc.
 |
|
