Geodezia

INTRODUCERE

Geodezia este o stiinta interdisciplinara, care utilizeaza masuratori terestre,aeriene si spatiale pentru a studia forma si dimensiunea Pamantului, planetelor si schimbarile lor, pentru a determina pozitia si viteza punctelor sau a obiectelor de pe suprafata sau de pe orbita planetei intr-un sistem de referinta terestru si care aplica toate aceste cunostinte unei mari varietati de aplicatii stiintifice sau ingineresti, utilizand matematicile, fizica, astronomia si informatica.

Geodezia este strans legata de alte stiinte ale Pamantului cum ar fi fizica Pamantului solid, hidrologia, stiintele atmosferei, oceanografie, glaciologie, geofizica geologie si de aceea ajuta la intelegerea modificarilor dinamice ale maselor solide lichide ale Pamantului, a miscarilor placilor tectonice sau a comportamentului oceanelor sau atmosferei. Ea utilizeaza unele dintre cele mai avansate masuratori satelitare si tehnologii electronice sau informatice. Una din sarcinile majore ale geodeziei este determinarea unui model al geoidului, definit ca fiind suprafata echipotentiala a campului gravific al Pamantului care coincide cu nivelul mediu al marii. Dupa C. F. Gauss, geoidul constituie "o reprezentare matematica a Pamantului", adica a campului gravific. Suprafata geoidului este una neregulata in comparatie cu cea a elipsoidului de rotatie, frecvent utilizat in aproximarea formei Pamantului, dar considerabil mai neteda decat suprafata fizica terestra (figura 1.1).

Figura 1. 1: Geometria solutiilor problemei valorilor la limita ale potentialului date de Stokes si Molodensky (relatia dintre ondulatia geoidului - N, altitudinea ortometrica - H, anomalia altitudinii - ζ si altitudinea normala - H')

Geoidul este definit ca fiind suprafata echipotentiala de nivel zero sau suprafata de nivel care aproximeaza nivelul mediu al marilor; el reprezinta formularea matematica a unei suprafete "orizontale" la nivelul marii (Heiskanen si Moritz, 1967). De asemenea reprezinta solutia clasica a problemei valorilor la limita a potentialului data de Stokes si suprafata de referinta pentru sistemul de altitudini ortometrice.

Cvasigeoidul reprezinta solutia lui 515h79f Molodensky la aceeasi problema a valorilor la limita a potentialului, o solutie mai moderna, care nu necesita concentrarea maselor in interiorul geoidului si cunoasterea densitatii scoartei terestre. El reprezinta suprafata de referinta pentru sistemul de altitudini normale. Totusi, cvasigeoidul nu este o suprafata de nivel si nu are o semnificatie geofizica.

Pozitionare

Determinarea formei si dimensiunilor Pamantului, constituie una dintre principalele preocupari ale geodeziei. Ca model geometric al figurii Pamantului se utilizeaza mai multe tipuri de suprafete care sunt alese functie de mai multe criterii, un rol important avandu-l natura problemei studiate si cerintele de precizie.

Cea mai naturala suprafata este suprafata fizica a Pamintului dar, din pacate, aceasta este o suprafata complicata pe care nu se poate lucra cu relatii matematice simple.

O alta suprafata cu care se poate aproxima suprafata terestra este geoidul dar si acesta este complicat din punct de vedere matematic, pe suprafata lui neputandu-se rezolva probleme geometrice cum ar fi pozitionarea.

Elipsoidul este si el o suprafata care poate aproxima figura Pamantului pe suprafata caruia se pot rezolva multe din problemele geometrice ale geodeziei.

In afara acestor corpuri se pot utiliza si altele care aproximeaza in mai mare sau in mai mica masura suprafata terestra si pe care pot fi rezolvate unele sau altele din problemele geodeziei.

Orice tip de lucrare din domeniul geodeziei presupune existenta unor puncte cu coordonate cunoscute pe care sa se sprijine lucrarea respectiva. Toate aceste puncte alcatuiesc o retea geodezica definita astfel:

O retea geodezica este formata din multimea punctelor situate pe suprafata pe care se desfasoara o lucrare a caror pozitie este cunoscuta intr-un sistem unitar de referinta.

Fie ca este vorba de o retea locala (suprafata acoperita de punctele retelei fiind, de regula, mai mica ) fie ca este vorba de retea globala, pozitionarea punctelor care alcatuiesc o retea geodezica in raport cu o anumita suprafata de referinta (aceeasi pentru toate punctele retelei) ramane o problema de baza a geodeziei. Rezolvarile date difera in functie de tipul retelei, de destinatia sa, de marimea zonei acoperite, etc.

Conceptul de pozitionare implica notiunea de pozitie care este reprezentata, de obicei, printr-un set de coordonate (rectangulare, sferice, etc.). Pozitiile pot fi determinate in diferite moduri prin utilizarea unor instrumente sau sisteme de instrumente de masurare. Principalele modalitati prin care se poate determina pozitia sunt urmatoarele:

• intr-un sistem de coordonate bine definit (de obicei geocentric, adica un sistem a carui origine coincide cu centrul de masa a Pamantului). Acest mod de pozitionare este cunoscut sub denumirea de pozitionarea punctului sau de pozitionare absoluta. Prin pozitionarea absoluta se intelege determinarea coordonatelor unui punct de pe suprafata terestra, apa sau din spatiu intr-un sistem de coordonate.
• in raport de un alt punct sau mai multe puncte, considerand un punct ca fiind originea sistemului local de coordonate. Aceasta modalitate este cunoscuta sub denumirea de pozitionare relativa sau pozitionare diferentiala.

Din cele prezentate se poate deduce ca:

Prin pozitionare se intelege determinarea pozitiei obiectelor stationare sau aflate in miscare (mobile) prin una din cele doua metode prezentate.

De asemenea, se poate vorbi despre:

Pozitionare statica, utilizata in masuratorile geodezice, daca obiectul ce urmeaza a fi pozitionat este stationar;

Pozitionare cinematica, utilizata in navigatie, daca obiectul respectiv se deplaseaza.

Determinarea pozitiei relative se face fie prin masuratori directe intre cele doua puncte fie prin masuratori indirecte de la cele doua puncte la obiecte din spatiu. Aceasta inseamna ca, utilizand metode terestre, pozitionarea relativa este mult mai simpla decat pozitionarea. absoluta, mai ales cand intre cele doua puncte exista vizibilitate reciproca. La acest tip de pozitionare poate fi utilizat, in principiu, orice sistem local de coordonate.

Functie de natura masuratorilor efectuate, de tipul acestora, de spatiul luat in considerare, de modelul matematic utilizat in pozitionare se poate vorbi despre o pozitionare unidimensionala (altimetrica), bidimensionala (planimetrica) sau tridimensionala. Introducerea coordonatei timp (foarte important avand in vedere faptul ca in timp toate obiectele, inclusiv Pamantul, sufera modificari) la oricare din cele trei tipuri de pozitionare mareste cu 1 dimensiunea spatiului considerat.

Un tip de pozitionare relativa, in spatiul cu doua dimensiuni, este folosit la rezolvarea problemei geodezice directe, in cazul rezolvarii problemei geodezice inverse se poate vorbi de problema inversa a pozitionarii relative care poate fi, formulata astfel: fiind date doua puncte se cere sa se determine directia si distanta dintre cele doua puncte.

Clasificarea retelelor geodezice.

Retelele geodezice pot fi clasificate functie de mai multe criterii. Reprezentarea intregii suprafete fizice a Pamantului sau numai a unei parti din aceasta se face, dupa cum este cunoscut, prin intermediul hartilor de diverse tipuri si la diverse scari. Pentru a descrie suprafata matematica a Pamantului trebuie sa se gaseasca un numar finit de puncte reprezentative pentru teren si pozitia acestora intr-un sistem de coordonate. Retelele alcatuite din aceste puncte pot alcatui o posibila reprezentare a suprafetei fizice terestre. Aceste seturi de puncte ce alcatuiesc retelele geodezice pot fi impartite in trei categorii functie de cum este definita pozitia lor:

o       Retele de puncte definite numai printr-o singura coordonata anume si altitudinea (de obicei inaltimea deasupra marii). Aceste retele geodezice sunt cunoscute ca retele altimetrice sau de nivelment sau retele verticale. Retelele altimetrice sunt materializate prin repere si marci de nivelment pentru care, se cunoaste cu o precizie mai mare altitudinea (notata de regula cu H ) dar si pozitia planimetrica cu o precizie mult mai mica.

o     Retele de puncte pentru care se cunoaste pozitia orizontala, cum ar fi latitudinea (B) longitudinea (L), denumite retele orizontale sau planimetrice. Aceste retele sunt alcatuite din puncte pentru care se cunoaste pozitia prin intermediul coordonatelor geodezice pe elipsoidul de referinta. Aceasta pozitie orizontala sau planimetrica poate fi data si in alt sistem bidimensional de coordonate (x, y), frecvent utilizat in practica geodezica, cum ar fi un sistem de proiectie, cu conditia sa se cunoasca relatiile de legatura intre cele doua sisteme de coordonate amintite. Aceste doua tipuri de retele geodezice au fost si sunt inca cele mai utilizate, prin intermediul lor putandu-se exprima si o pozitie in spatiul cu trei dimensiuni a unui punct dar in sisteme de referinta diferite, unul pentru planimetrie (B, L sau x, y) si altul pentru altimetrie (H).

o       Retele de puncte pozitionate prin trei coordonate numite retele tridimensionale. Pentru a obtine valorile care definesc pozitia unui punct pot fi utilizate fie coordonatele geodezice (latitudinea si longitudinea) la care se adauga altitudinea sau potentialul fie coordonatele rectangulare X, Y, Z.

Un alt criteriu important de clasificare a retelelor geodezice este acela al numarului de elemente considerate fixe in procesul de prelucrare. Din acest punct de vedere se poate vorbi despre:

Retele geodezice constranse: atunci cand nuamarul elementelor considerate fixe in procesul de prelucrare este mai mare decat strictul necesar si suficient pentru determinarea geometrica si pozitionarea retelei.

Retele geodezice neconstranse: atunci cand numarul elementelor fixe din retea este cel necesar si suficient pentru pozitionarea retelei.

Retele geodezice libere: cand intr-o retea geodezica nu este considerat nici un element fix, deci o retea in care intervin numai masuratorile necesare determinarii geometrice a retelei, aceasta retea este cunoscuta ca retea geodezica libera.

O alta clasificare a retelelor geodezice functie de zona acoperita

Retele locale

Retele globale

In practica geodezica prin retea locala nu se intelege numai o retea care acopera o suprafata relativ mica ci de o retea in care se doreste obtinerea unor precizii superioare celei in interiorul careia este construita si care de obicei se prelucreaza ca in cazul retelelor geodezice libere.

Modelul matematic al prelucrarii observatiilor

Model

Un element specific geodeziei este acela ca, de regula, se colecteaza mai multe date decat strictul necesar pentru a determina in mod unic cantitatile dorite.

Pentru studierea unui fenomen prin metode experimentale trebuie elaborat un model care sa reprezinte cat mai bine, dar intr-o forma simplificata, realitatea fizica.

Prin model se intelege o reprezentare simplificata a unui fenomen sau proces real.

Dintre toate tipurile de modele ce pot fi utilizate, geodezia lucreaza cu modele simbolice ce utilizeaza litere, numere si simboluri pentru a reprezenta marimile, proprietatile lor relatiille dintre ele.

Cel mai adesea, modelele utilizate in geodezie sunt neliniare, acest lucru presupunand utilizarea anumitor tehnici matematice pentru a ajunge la solutiile cautate.

Etapele ce trebuie urmarite in vederea obtinerii unor rezultate corecte consta in urmatoarele:

Parametri necunoscuti, valorile ce urmeaza a fi determinate sunt cunoscuti (identificati) precum si precizia cu care vrem sa-i determinam in urma procesului de prelucrare.

In general acesti parametri necunoscuti nu pot fi masurati direct ceea ce inseamna ca trebuie gasite niste relatii matematice care sa faca legatura intre acestia si niste cantitati care pot fi masurate (observatii). Aceasta etapa constituie modelul matematic, care sta la baza procesului de determinare a parametrilor necunoscuti.

Inainte de a efectua observatiile trebuie sa se specifice acuratetea cu care sa se faca, acuratete care depinde de precizia cu care dorim sa determinam parametri necunoscuti si de modelul matematic formulat. Acest proces mai este cunoscut si sub numele de preanaliza.

Masuratorile efectuate care nu se incadreaza in precizia specificata anterior trebuie eliminate. Daca prin eliminarea unor masuratori individuale nu mai raman suficiente observatii pentru atingerea scopului propus trebuie sa se efectueze noi masuratori.

Prelucrarea preliminara a observatiilor trebuie inclusa in modelul matematic prin care se calculeaza parametri necunoscuti si precizia lor de determinare.

Evaluarea modelului matematic in vederea completarii lui, atunci cand este cazul, cu viitoare evaluari ale observatiilor corectate constituie urmatoarea etapa ce trebuie parcursa.

Ultima etapa consta in evaluarea parametrilor necunoscuti calculati si examinarea, daca este posibil, a compatibilitatilor lor cu alte determinari independente ale acelorasi parametri.

In geodezie, baza metodei o reprezinta modelul matematic constituit din formularea relatiei functionale dintre parametri necunoscuti si cantitatile observate. In general, relatia care reprezinta, in geodezie, modelul matematic este de forma:

f (c, X, M)

unde:

o       f - reprezinta vectorul functiilor individuale f_i = 1,2,,m care leaga intre ele cele n necunoscute cu observatiile efectuate.

o       c - este un vector al constantelor, in termeni statistici cantitati fara erori, care intervin in model. Acestea sunt cantitati cunoscute care intervin in calcule cum ar fi: constanta gravitationala, suma unghiurilor intr-un triunghi plan.

o       X - vectorul parametrilor necunoscuti x_i =1,2,,n care, de obicei, sunt considerate cantitati independente in sensul ca determinarea directa a oricarui parametru dintre acestia este imposibila cu exceptia cazului cand rezulta explicit care sunt constrangerile impuse. Ca exemple de astfel de necunoscute in geodezie pot fi date: coordonatele planimetrice ale unui punct, altitudinea, deviatiile verticalei, ondulatiile geoidului, variatia in timp a coordonatelor.

o       M - reprezinta vectorul observatiilor adica a cantitatilor fizice sau geometrice care au fost masurate sau cu alte cuvinte niste cantitati carora li se pot atasa niste valori. Procesul de atasare a unui numar (valori) unei observatii se numeste masuratoare si este realizata prin intermediul unui instrument sau senor.

Deoarece, in general, parametri necunoscuti nu pot fi masurati direct ci indirect prin intermediul modelului matematic si al observatiilor care sunt in legatura directa cu cel putin un parametru din modelul utilizat, ei se mai numesc solutii.

Observatii geodezice.

In geodezie exista o multitudine de cantitati fizice si geometrice care pot fi clasificate ca observatii:

Observatii terestre:

Directii unghiulare orizontale, masurate cu teodolitul;

Distante orizontale sau spatiale, masurabile cu diverse echipamente (electronice, electro-optice, optice, direct, etc.);

Diferente de nivel, masurabile cu nivele, teodolite, etc.

Directii unghiulare verticale, masurabile cu teodolitul.

Observatii terestre si satelitare:

Distante si directii de la Pamant la satelitii sai naturali;

Distante la satelitii artificiali ai Pamantului masurabile prin timpul de propagare a undelor electromagnetice emise de o sursa cum ar fi laserul;

Diferente de distante dintre o statie terestra si doua pozitii consecutive ale unui satelit utilizand modificari ale frecventei emise de satelit cauzate de efectul Doppler;

Directii unghiulare verticale si orizontale catre stele obtinute prin intermediul unor teodolite speciale;

Observatii care privesc campul gravific:

Gravitatea si diferente de gravitate masurabile cu pendulul sau gravimetrul;

Gradientul gravitatii masurabil cu balanta de torsiune sau gradiometre;

Observatii care urmaresc determinarea modificarilor in timp a geometriei Pamantului:

Variatia nivelulul marii observatii prin intermediul instrumentelor de masurat mareele:

Masuratori ale timpului care sunt esentiale la determinarea epocilor observatiilor la obiecte extraterestre.

Notiunile de timp si spatiu au o importanta deosebita pentru ca observatiile se fac in spatiu si in timp.

Modelul functional-stochastic.

Modelele utilizate in geodezie se impart in doua categorii principale in functie de natura variabilelor care intervin in model, si anume modelul functional si modelul stochastic. La prelucrarea observatiilor efectuate in retele geodezice se pot utiliza mai multe modele_.functional-stochastice, dintre care cel mai cunoscut model este modelul Gauss-Markov.

Prelucrarea observatiilor efectuate intr-o retea geodezica se desfasoara conform modelului functional-stochastic adoptat, reprezentat prin relatiile:

v = Ax+l

C_m=σ² Q_m

Relatia v = Ax+l reprezinta  modelul functional sau determinist.

El nu contine elemente aleatoare si descrie o relatie pura intre marimi, adica la o valoare data a argumentului corespunde o valoare unica a functiei. Vectorul corectiilor v are, ca si vectorul termenilor liberi l, dimensiunea m, egala cu numarul observatiilor efectuate in retea, matricea coeficientilor A are dimensiunile (m,n), iar vectorul parametrilor are dimensiunea n.

Relatia C_m=σ² Q_m reprezinta modelul stochastic sau statistic. El contine variabile aleatoare ce corespund efectului posibil al unor factori necontrolabili ce influenteaza procesul modelat si descrie o relatie complexa intre marimi, adica la o valoare data a argurnentului corespunde un ansamblu de valori posibile ale functiei.

In relatia care reprezinta modelul stochastic matricea C_m, de dimensiuni (m,m), reprezentand 'matricea de varianta-covarianta' a masuratorilor, matricea Q_m , de aceleasi dimensiuni, reprezentand matricea cofactorilor masuratorilor care este o constanta denumita 'varianta unitatii de pondere' sau factor de varianta si este adimensional. Elementele matricei cofactorilor se numesc cofactori sau coeficienti de pondere, iar conditia necesara si suficienta ca masuratorile sa fie independente_ este ca toti coeficientii de pondere dreptunghiulari sa fie nuli:

q_ij = 0 pentru i≠j:

Atat matricea de varianta-covarianta cat si matricea cofactorilor sunt matrice pozitiv definite, deci admit inversa.

La formarea modelului functional-stochastic trebuie sa se aiba in vedere ca:

prelucrarea riguroasa a masuratorilor efectuate in retele geodezice trebuie sa se raporteze la un sistem unitar. Din aceasta cauza, inainte de a fi prelucrate, masuratorile geodezice trebuie reduse la sistemul de referinta ales (planul de proiectie, elipsoid de rotatie, un sistem de coordonate tridimensional, etc.);

orice prelucrare a observatiilor efectuate intr-o retea geodezica este dirijata prin modelul functional-stochastic;

orice modificare in modelul functional-stochastic modifica rezultatul compensarii;

modelul functional-stochastic adoptat initial poate fi imbunatatit pe baza unor rezultate obtinute dintr-o prima prelucrare, din analiza ponderilor grupelor de masuratori , din examinarea semnificatiei statistice a unor necunoscute utilizate, etc.

Analiza observatiilor

Prin procesul de masurare se determina, prin intermediul unor instrumente sau aparate de masura, valoarea unei marimi fizice prin raportarea la o alta marime de aceeasi natura. In geodezie toate aceste masuratori sunt efectuate cu scopul de a determina pozitia diferitelor obiecte si fenomene din spatiul terestru. Pentru ridicarea preciziei determinarilor, intotdeauna, asupra unei marimi sunt efectuate mai multe masuratori decat strictul necesar, numarul acestor masuratori suplimentare reprezentand gradul de libertate al determinarii respective.

Orice proces de masurare este afectat de erori, eroarea fiind diferenta dintre valoarea masurata si valoarea adevarata.

Functie de modul in care se produc, aceste erori pot fi:

Erori "grosiere' sau greseli. Acestea apar in urma efectuarii necorespunzatoare a unei masuratori sau a inregistrarilor ei incorecte. Erorile de acest tip trebuie in primul rand depistate prin adoptarea unor metode de control si respectarea unei anumite metodologii de masurare si apoi, daca este cazul, eliminarea lor din prelucrarile ulterioare.

Erori intamplatoare. Apar datorita unor factori imposibil de controlat si evaluat sau datorita neglijarii influentei unor factori in procesul de masurare prin neincluderea in modelul matematic.

Erori sistematice. Dupa cum le indica si numele aceste erori se produc in mod sistematic, dupa legi cunoscute, deci influenta lor poate si trebuie sa fie eliminata.

La prelucrarea riguroasa a masuratorilor se considera ca acestea sunt afectate numai de erorile intamplatoare, deci greselile si erorile sistematice trebuie eliminate.

Metoda celor mai mici patrate de prelucrare a masuratorilor presupune o distributie normala a observatiilor. Aceasta ipoteza trebuie insa verificata in cadrul unui test de concordanta. Metodele cele mai utilizate pentru verificarea normalitatii sunt testele χ²("hi patrat") si Kolmogorov-Smirnov.

O alta etapa in analiza masuratorilor consta in verificarea absentei erorilor sistematice. Eliminarea acestora poate fi realizata prin:

Adoptarea unor metode adecvate de masurare (citiri in ambele pozitii ale lunetei, etc.);

Aplicarea unor corectii (de centrare, de reducere, de refractie, de etalonare, etc.) masuratorilor, inainte de a fi introduse in prelucrare, pe baza unor masuratori complementare;

includerea erorilor sistematice ca necunoscute in modelul functional (necunoscute pentru coeficientul de scara, pentru coeficientul de refractie, etc.).

Cu toate aceste masuri este bine ca absenta erorilor sistematice sa fie testata, testele des utilizate bazandu-se pe criteriul Abbe conform caruia suma patratelor diferentelor fata de medie este comparata cu suma patratelor diferentelor dintre doua observatii succesive.

O alta categorie de erori care pot aparea in procesul de masurare o constituie greselile, adica observatiile care nu reflecta in mod corespunzator aici posibilitatile instrumentului sau aparatului de masura nici marimea observata. Erorile grosiere care au valori net diferite fata de a celorlalte observatii pot fi depistate cu usurinta si eliminate. Decizia privind pastrarea sau eliminarea unor observatii din calculele ( acele observatii care sunt la limita) ulterioare nu poate fi luate decat in urma unei analize statistice.

Depistarea valorilor externe, adica a valorilor aflate in afara unei repartitii, este extrem de utila dar nu trebuie urmata de eliminarea ei fara a se efectua o analiza asupra cauzelor care au putut determina aparitia valorii respective, fiind posibil ca acea valoare sa includa informatii pe care celelalte observatii nu le pot da.

Depistarea acestor erori se face si in faze de preprocesare, cand testele au un caracter "local'' cat si dupa efectuarea prelucrarilor. Cel mai utilizat test pentru depistarea valorilor extreme inainte de prelucrare este testul Grubss. Dupa prelucrare sunt efectuate teste asupra corectiilor pentru a stabili daca o valoare este externa sau nu, dintre cele mai utilizate fiind testul F (aplicabil numai pentru o corectie) sau testul Tau (aplicabil unui grup de corectii).

Metoda celor mai mici patrate.

Un sistem liniar de ecuatii ale corectiilor este supradeterminat atunci cand numarul ecuatiilor este mai mare decat numarul necunoscutelor. Aceasta supradeterminare indica faptul ca in model au fost luate in considerare mai multe masuratori decat cele necesare pentru determinarea parametrilor necunoscuti in consecinta se pot determina mai multe valori pentru aceeasi necunoscuta. De exemplu, daca se considera ca sistemul este format din m ecuatii si n necunoscute prin luarea in considerare a primelor n ecuatii rezultand niste valori pentru cei n parametri necunoscuti (X). Luand in considerare alte n ecuatii din cele m (m > n) se obtin alte valori pentru parametri X. Pentru geodezie este necesar sa se gaseasca niste valori unice ale parametrilor necunoscuti. Pentru aceasta trebuie ca modelul sa fie reformulat in sensul ca, pentru a face ca sistemul sa devina consistent, se introduce un vector al corectiilor (v) care adaugat la vectorul masuratorilor (M*) sa rezulte vectorul valorilor cele mai probabile ale observatiilor (M);

M=M* + v

Solutia prin metoda celor mai mici patrate se obtine prin minimizarea sumei patratelor corectiilor. In foarte multe cazuri, valorile efective ale variantelor si covariantelor nu se pot cunoaste, de aceea ele sunt inlocuite cu valori proportionale cu acestea numite coeficienti de pondere, factorul de proportionalitate fiind varianta unitatii de pondere. In legatura cu matricea coeficientilor de pondere Q_m se defineste si matricea ponderilor

P=

Pentru o populatie data, varianta, media si celelalte momente ale variabilei sunt unice si, in cele mai multe cazuri, nu pot fi cunoscute valorile lor ci doar estimatii ale acestora.

Prelucrarea observatiilor efectuate in retele geodezice se desfasoara sub conditia specifica metodei celor mai mici patrate, componenta principala a modelului stochastic:

v^T Pv minim

In aceasta relatie, care reprezinta forma generala a conditiei de minim, matricea ponderilor masuratorilor si matricea cofactorilor masuratorilor sunt matrice pozitiv definite (admit inversa). Pentru o prelucrare cat mai corecta, aceste matrice ar trebui sa fie matrice plina, insa determinarea elementelor dreptunghiulare (p_ij si respectiv, cu q_ij cu i≠j) nu este, deocamdata, intotdeauna posibila.

Pentru prelucrarile observatiilor efectuate in retele geodezice ce se efectueaza in mod curent, se face o aproximatie prin considerarea masuratorilor ca fiind independente. Aceasta aproximare face ca matricea ponderilor sa devina o matrice diagonala (p_ij=0, pentru i≠j) ceea ce usureaza foarte mult calculele. In aceste conditii, relatia v^T Pv minim se mai poate scrie sub forma:

[pvv] minim

Cand cerintele de precizie nu sunt ridicate, se mai poate face o aproximatie prin considerarea masuratorilor independente ca fiind de precizii egale, caz in care conditia de minim [pvv] minim

se poate scrie astfel:

[vv] minim

Metoda celor mai mici patrate de estimare a parametrilor necunoscuti mai este cunoscuta si sub denumirea de compensarea prin metoda celor mai mici patrate

Modelul functional-stochastic Gauss-Markov, utilizat la prelucrarea observatiilor geodezice este reprezentat, de modelul functional, dat de relatia v = Ax+l si de modelul stochastic reprezentat de relatia: C_m=σ² Q_m

Daca se considera ca matricea coeficientilor A are rangul n (rang(A)= n) si ca matricea ponderilor este pozitiv definita atunci modelul este denumit modelul Gauss-Markov fara defect de rang.

In acest model se presupune ca valorile medii ale observatiilor pot fi reprezentate de o combinatie liniara a coeficientilor dati si parametri necunoscuti, deci avem un model liniar. Relatia liniara este cunoscuta sub denumirea de regresie, iar estimatia in modelul Gauss-Markov o analiza de regresie. Totusi acest model difera esential de modelul regresiei deoarece parametri aleatori sunt estimati prin combinatii liniare ale observatiilor.

Rangul unei matrici A de dimensiuni m x n este

rang(A)≤ minin(m,n)

iar in cazul studiat m≥n. Intotdeauna se cauta ca numarul observatiilor efectuate (m) sa fie mult mai mare decat numarul parametrilor necunoscuti (n), pentru a diminua efectul aleator al observatiilor in estimatii, deci m > n. Modelul se numeste fara defect de rang deoarece rang(A) = n.

Sistemul de ecuatii

M=AX

nu este un sistem consistent. Se obtine un sistem consistent prin adaugarea unui vector aleator   v _(m,1) al erorilor lui M, adica

M* + v = AX , ecuatii ale observatiilor

cu media M(v)

si dispersia D_(v)=D(M)=

Aceste ultime trei relatii reprezinta o alta formulare a modelului Gauss-Markov . Ecuatiile observatiilor la prelucrarea prin metoda celor mai mici patrate sunt cunoscute ca ecuatii ale corectiilor, iar modelul Gauss-Markov se mai numeste compensarea observatiilor.

Matricea de covarianta a observatiilor M a fost presupusa cunoscuta in relatiile de mai sus, exceptand factorul . Matricea ponderilor P a observatiilor M s-a presupus ca este pozitiv definita, deci inversa P^-1 exista si este o matrice pozitiv definta:

Se considera ca vectorul M_(m,1)

M=[m₁,..m_m]^T

este aleator si ca matricea lui de covarianta este data de relatia dispersiei. In acest caz

P=cC

se numeste matricea ponderilor, c fiind o constanta. Elementele de pe diagonala acestei matrice (p_ii) reprezinta ponderea variabilei aleatoare m_i, i=1,.,m .

Daca C este o matrice diagonala

C=diag(

ponderea p_ii a variabilei aleatoare m_i este data de relatia

p_ii =

sau daca c= p_ii =

deci dimensiunea ponderii este patratul reciprocei dimensiunii variantei.

Matricea ponderilor poate fi acceptata aproape intotdeauna ca fiind o matrice diagonala, componentele sale putand fi determinate cu formule empirice care se gasesc cu usurinta in diverse manuale. Componentele matricei ponderilor pot fi determinate si print-o estimare

'a posteriori'.

Intr-o prelucrare, prin metoda celor mai mici patrate

P^-1 =Q

deoarece

D(M)= Q

Q reprezentand matricea cofactorilor sau matricea coeficientilor de pondere.

Daca P = I atunci

D(m)= I

iar factorul , este denumit varianta unitatii de pondere. Modelul functional - stochastic este dat de relatiile M=AX si D(m)= I

In general, intre parametri X si observatiile M nu sunt relatii liniare , putem scrie

F₁ (X₁, X ₂, X_n )=m^* + v₁

F₂ (X₁, X ₂, X_n )=m^* + v₂

F_m(X₁, X ₂, X_n )=m_m^* + v_m

Unde:

F₁ (X₁, X ₂, X_n ) reprezinta functii diferentiabile real - evaluate ale

parametrilor X₁, X ₂, X_n

m_i* sunt observatiile efectuate, iar

v_i, sunt corectiile ce trebuie aduse observatiilor

unde X sunt valorile aproximative ale parametrilor, cunoscute, iar corectiile x_i sunt necunoscute. Prin liniarizarea acestor relatii si dezvoltare in serie Taylor, in jurul valorilor aproximative:

F_i (X₁, X ₂, X_n )= F_i (X+x₁,.. X+x_n,)=

= F_i (X,.. X)+

i=1,2,...,n

Acest sistem se numeste sistemul liniarizat al ecuatiilor de corectie si poate fi scris sub forma

v = Ax + l

unde:  l = AX - m*

reprezinta vectorul termenilor liberi si are aceleasi dimensiuni ca si vectorul observatiilor. Conditia sub care se efectueaza prelucrarea este data de relatia

Ω=v^TPv minim

Valorile cele mai probabile ale parametrilor necunoscuti se obtin, sub conditia de minim, cu relatia cunoscuta

x = -(AP^TA) A ^T Pl.

Daca in modelul Gauss-Markov parametri necunoscuti X sunt subiectul unor conditii, atunci modelul

M(M) = AX,

unde M reprezinta operatorul medie, cu ecuatiile de conditie dintre necucunoscute

BX = w si D(M)=

este denumit modelul Gauss-Markov cu constrangeri sau compensarea masuratorilor indirecte cu ecuatii de conditie intre necunoscute.

Conditia sub care se efectueaza compensarea este data de relatia :

Ω=v^TPv minim

Deoarece este o problema de minim conditionat, functia Lagrange este

φ = v^TPv - 2k^T (BX-w)

- k este vectorul multiplicatorilor Lagrange;

- B este matricea, coeficientilor necunoscutelor;

- w este vectorul termenilor liberi;

x = (A^TPA) B^Tk - (A^TPA) - A^TPl,

unde

k=(B(A^TPA) B^T B(A^TPA) A^TPl-(B(A^TPA) B^T

Rangul matricei coeficientilor B se noteaza cu r (rang(B) = r). Daca rangul acestei matrici este mai mic decat numarul necunoscutelor (r < n), pot fi eliminati r parametri necunoscuti cu relatia BX = w din modelul M(M) = AX, iar daca rangul este egal cu numarul necunoscutelor (r = n) atunci parametri necunoscuti sunt unic determinati prin relatia:

x = B w.

In cazul in care in modelul functional Gauss-Markov, reprezentat de relatia M = AX sau

M* + v = AX , rang(A) = r < n, atunci modelul se numeste modelul Gauss-Markov cu defect de rang si el se utilizeaza la prelucrarea observatiilor in retele libere.

In lucrarile geodezice numarul observatiilor efectuate este mai mare decat numarul parametrilor necunoscuti (m = n), deci matricea coeficientilor sistemului de ecuatii liniare A are un defect surjectiv care se elimina prin conditia sub care se face prelucrarea prin metoda celor mai mici patrate : Ω=v^TPv minim

In cazul retelelor libere rangul matricei A si deci al matricei sistemului de ecuatii normale

(N = A^TPA), rang(A) = rang(N) = r, este mai mic decat numarul parametrilor implicati in model (r < n) deci A si N sunt matrice singulare, avand un defect injectiv (d = n - r).

Metode de prelucrare a masuratorilor efectuate in retele geodezice libere.

In literatura de specialitate, se cunosc mai multe metode de rezolvare a sistemelor de ecuatii linare, normale si singulare si se prezinta procedee care se bazeaza pe urmatoarele doua principii:

• a) intr-o prima etapa a algoritmului de calcul se procedeaza la alegerea arbitrara a unui numar strict necesar si suficient de ''elemente fixe''(un set minim de constrangeri) care sa conduca la obtinerea unui sistem nesingular. Acesta poate fi rezolvat, solutiile care rezulta sunt insa ''deplasate'' fiind, de fiecare data, dependente de modul in care au fost alese 'elementele fixe',(corectiile masuratorilor sunt aceleasi indiferent de care elemente au fost alese fixe).
• b) in continuare se efectueaza transformarea solutiilor deplasate, neunice, ale sistemului singular de ecuatii normale, in estimatii ale coordonatelor sau ale corectiilor valorilor aproximative ale coordonatelor.

Modelul functional-stochastic de compensare a observatiilor este dat de relatiile :

v = Ax+l

C_m=σ² Q_m

Daca intr-o retea geodezica nu este considerat nici un element fix, deci o retea in care intervin numai masuratori necesare determinarii geometrice a retelei, atunci aceasta retea este denumita retea geodezica libera

Deoarece masuratorile propiu-zise nu pot fixa reteaua respectiva intr-un sistem de coordonate, aceasta capata un anumit 'defect', reprezentat de numarul gradelor de libertate, specific si diferit de la o etapa la alta.

In cazul unor asemenea retele matricea sitemului de ecuatii normale este singulara, avind un defect de rang d. Rangul acestei matrice este mai mic decat dimensiunea ei (r< n) rezultand.

d=n-r

Consideratii privind defectul de rang al matricei coeficientilor.

Matricea sistemului de ecuatii normale se obtine cu relatia:

N= A ^TPA

Matricea coeficientilor sistemului de ecuatii normale poate fi singulara datorita defectului de rang al matricei coeficientilor sistemului liniar de ecuatii ale corectiilor sau al matricei ponderilor. In cazul masuratorilor independente matricea ponderilor este, dupa cum a fost precizat, o matrice diagonala si nu poate fi singulara (det(P)= p ,p₂, ,p_n In consecinta singularitatea matricei sistemului de ecuatii normale provine din defectul matricei A.

Defectul de rang al matricei coeficientilor sistemului de ecuatii liniare poate fi datorat datelor initiale sau configuratiei retelei.

v     Defectul de rang datorat datelor initiale intr-o retea geodezica libera volumul de date initiale este constituit de valorile provizorii ale necunoscutelor, masuratorile efectuate si de matricea de covarianta corespondenta; de exemplu un numar de elemente fixe, reteaua geodezica considerata nu poate fi incadrata intr-un sistem de coordonate aferent in acest caz defectul de rang este egal cu numarul gradelor de libertate existent in reteaua geodezica considerata (tabel ).

v     Defectul de configuratie - atunci cand masuratorile efectuate intr-o retea nu sunt suficiente pentru a defini reteaua, cand se elimina masuratori (pentru faptul ca sunt considerate gresite) care sunt strict necesare pentru determinarea unui punct din retea sau cand se modifica modelul functional avem un defect de configuratie. Acest defect poate fi prevenit si eliminat in faza de proiectare a retelei geodezice.

Dintre procedeele concrete de prelucrare a masuratorilor geodezice efectuate in retelele libere se disting:

determinarea unei matrice inverse generalizate.

Conform definitiei Moore-Penrose G este o matrice inversa generalizata a unei matrice A daca sunt satisfacute relatiile:

1. AGA = A,

2. GAG= G,

(AG)^T = AG,

. (GA)_T = GA.

O astfel de matrice G, care satisface toate cele 4 conditii Moore-Penrose, are o proprietate importanta: unicitatea.

• deducerea elementelor unei matrice inverse generalizate particulare,matrice care satisface una, doua sau trei din conditiile Moore-Penrose. Astfel pot exista matrice inverse generalizate care satisfac conditia 1, conditiile 1 si 2, conditiile 1, 2 si 3 sau 1, 2 si 4;

• introducerea unor relatii de conditie intre necunoscute;
• introducerea unor ecuatii de observatii fictive cu pondere mult mai mare decat a celorlalte, care corespund relatiilor de conditie intre necunoscute;
• transformarea unor solutii deplasate, neunice, in estimatii ale valorilor aproximative cu ajutorul unei matrice de transfonnare, procedeu cunoscut sub denumirea de Tramsformarea S;
• impunerea unor conditii totale sau partiale de minim asupra sumei, patratelor corectiilor pentru coordonate.

Procedeul Mittermayer.

La prelucrarea masuratorilor efectuate in retele geodezice libere se considera ca toti parametri principali in care sunt incluse coordonatele punctelelor retelei -si toti parametri secundari - cum ar fi, de exemplu unghiurile de orientare a statiilor la masuratorile de directii orizontale- sunt marimi necunoscute pentru care se cunosc valorile provizorii.

Procedeul Mittermayer de prelucrare a observatiilor efectuate in retelele, geodezice libere consta in parcurgerea urmatoarelor etape de calcul:

-calculul matricei coeficientilor sistemului de ecuatii normale - relatia

N= A ^TPA si a vectorului termenilor liberi normalizati (A^TPl);

-calculul elementelor matricei obtinute prin inmultirea matricei N cu ea insasi apoi eliminarea din matricea rezultata a unui numar de linii si coloane egal cu defectul de rang al matricei initiale N;

-inversa matricei rezultate ;

-completarea matricei astfel obtinuta cu d linii si d coloane de elemente nule, rezultand o matrice notata (NN)^-1

-valorile cele mai probabile (estimatii) ale parametrilor necunoscuti (coordonatele punctelor) se obtin prin adaugarea la valorile provizorii (aproximative) ale acestora a solutiilor sistemului v = Ax+l un sir ordonat de valori care satisfac ecuatiile din sistemul de mai sus- date de relatia:

x= - N(NN) A^TPl.

Valorile cele mai probabile ale masuratorilor se obtin prin adaugarea la valorile masurate corectiile v rezultate din prelucrarea observatiilor:

v=(A(A^TPA)^-1A^TP-I)1=Ax - l

Pentru estimarea erorilor individuale ale parametrilor trebuie calculate matricea cofactorilor, notate

=N(NN)^-1N(NN)^-1N

Vectorul parametrilor are norma minima, iar urma matricei este, de asemenea, minima:

x ^T x minim si urma( minim ceea ce inseamna ca

minim,

s minim

unde

s Ω/(m - n + d) = Ω/f reprezinta varianta unitatii de pondere;

s este varianta necunoscutei x_i ;

s_p este abaterea medie standard de pozitie;

n_P este numarul de puncte din retea;

q se extrage de pe diagonala matricei Q

Bjerhammar demonstreaza ca solutiile sistemului se pot obtine si cu ajutorul relatiei:

x= QA^TPl

Transformarea S -Algoritmul Hansen - Helmert -Wolf

Consta din parcurgerea urmatoarelor 2 etape :

alegerea unui numar suficient si necesar de elemente fixe cazul reteleleor neconstranse , defectul de rang al matricei coeficientilor ridicandu-se prin considerarea acestor elemente fixe si prin prelucare se obtin valorile necunoscutelor x'.

transformarea rezultatelor obtinute in etapa precedenta pentru a obtine o solutie unica si egala (cu cea obtinuta prin metoda Mittermayer), aceasta transformare se realizeaza cu o relatie de forma :

x = x'+ D*t D- matricea datelor de referinta (1)

x - vectorul parametrilor necunoscutelor

x' - vectorul parametrilor rezultati in urma prelucrarii

t - vectorul parametrilor de transformare de la sistemul x', acest sistem se rezolva sub conditia x^Tx   minim

D^Tx = 0 (2)

D^T (x'+ D*t)= 0

t = -(D^TD)^-1D^T x'  (3)

se introduce (3)in (1) si rezulta

x = x' - D (D^TD)^-1D^T x'

x = (I- D (D^TD)^-1D^T )x'

x = S x' x' - solutiile

Q_xx = S Q_xx S^T

Forma matricei D

1 0 -y₁

0 1 x₁

D = .... x,y,coordonate reduse la centrul de greutate ,la o conditie

1 0 -y_n partiala de minim se determina centrul de greutate al retelei

0 1 x_n formata numai din punctele care intra in conditia de minim.

Coordonatele centrului de greutate al unei retele geodezice planimetrice, formata din n puncte se determina cu relatiile:

iar in locul coordonatelor utilizate la formarea matricei datelor de referinta se utilizeaza diferente fata de centrul de greutate :

c- coeficient de omogenizare (are valori cuprinse intre 10^-4 si 10^-8, functie de marimea retelei considerate ),utilizat pentru a aduce elementele matricei la valori apropiate de unitate.

Matricea de transformare S are acelasi defect ca si matricea sistemului de ecuatii normale , ea capata diverse forme in functie de reteaua considerata .

Urmeaza o serie de calcule necesare deducerii necunoscutelor t

se formeaza matricea (D^TD) ^-1

se calculeaza in continuare matricile (D^TD) ^-1D^T

apoi D(D^TD) ^-1D^T

se determina matricea Q_xx

In cazul retelelor libere de nivelment geometric conditia care se pune este [x]=0, calculele de compensare se simplifica daca la sistemul liniar al ecuatiilor de corectii se introduce o ecuatie fictiva (coeficientii tuturor necunoscutelor implicate in model fiind egali cu 1), are valoarea termenului liber zero si o pondere mult mai mare decat a celorlalte ecuatii; ponderea pentru aceasta ecuatie se determina cu relatia :

CALCULUL PRECIZIILOR

O problema importanta in retelele geodezice o reprezinta stabilirea judicioasa a ponderilor (formarea modelului stochastic ) :

ponderea pentru observatii unghiulare orizontale, cel mai utilizat procedeu este acela in care se considera ca toate directiile observate dintr-o statie au aceeasi pondere

P_a =   , unde

(s'_a )² = iar

s'_a reprezinta valoare abaterii standard a unei directii compensate in statie

ponderea pentru unghiuri masurate

P_w = 0,5*P_a

o       ponderea pentru fiecare directie masurata, daca abaterea standard se calculeaza cu o relatie in care se tine seama si de alti factori (distanta la care se afla punctul vizat,de precizia aparatului,de precizia finala urmarita),se poate determina cu o relatie de forma:

ponderea pentru lungimile masurate

, unde sa+bD_ij[km] - abaterea standard de masurare a aparatului din cartea tehnica , constanta se va alege astfel incat ponderile pentru distante sau lungimi sa fie in jurul valorii unitate .

ponderea pentru diferente de nivel determinate geometric

, considerand ca lungimea (L) - lungimea tornsonului

-in cazul zonelor accidentate, cu diferente mari de nivel, pentru determinarea ponderilor este mai important numarul statiilor de nivelment efectuate pentru determinarea diferentelor de nivel pe un tronson decat lungimea tronsonului pentru determinarea aleiasi diferente de nivel, deci L din relatie se inlocuieste cu numarul de statii.

ponderea in cazul observatiilor unghiulare zenitale:

, unde eroarea medie patratica a mediei aritmetice se calculeaza astfel:

, corectiile v se calculeaza ca diferente fata de medie, m fiind numarul de masuratori efectuate asupra aceleisi distante zenitale ( _ij

o       ponderea unei directii unghiulre zenitale mai poate fi determinata si in functie de varianta diferentei de nivel:

o       ponderea in functie de distnta dintre cele doua puncte observate:

constanta de proportionalitate utilizata poate fi considerata ca fiind:

-cel mai mic multiplu comun al patratelor erorilor

-un numar intreg astfel incat pentru ponderi sa rezulte valori comode pen tru calcule(10^-2 si 10²), iar in cazul in care intr-o retea sunt prelucrate observatii de mai multe tipuri (distante si directii unghiulare orizontale ) valoarea acestei constante trebuie sa fie aceeasi pentru ambele tipuri de masuratori.

Calcule de evaluare a preciziei

Observatiile efectuate intr-o retea geodezica trebuie sa se finalizeze cu calcule de evaluare a indicatorilor de precizie.

Abaterea standard (eroarea medie patratica )a unitatii de pondere s₀ se calculeaza cu formula :

-pentru masuratori corelate:

s₀ = ,unde d - defectul matricei N

-pentru masuratori independente:

s₀ =

-pentru masuratori de aceasi precizie:

s₀ =

in care m reprezinta numarul observatiilor efectuate in retea, n numarul necunoscutelor din modelul functional - stochastic iar d defectul de rang.

abaterea standard a unei masuratori individuale compensate:

- s_i=,  i= 1,2,..,m;

abaterea standard a necunoscutelor (a marimilor determinate indirect):

- s_i=,  j= 1,2,..,n,

in care coeficientul de pondere q_jj, corespunzator necunoscutei x_j, se extrage de pe diagonala principala a matricei inverse a sistemului normal, fiind elementul cu numarul j; in cazul retelelor geodezice planimetrice sau tridimensionale se poate determina abaterea standard totala pentru un punct oarecare, petru cazul unei retele planimetrice avem relatia:

- s

ESTIMATORI DE PRECIZIE SUPLIMENTARI LA PRELUCRAREA MASURATORILOR

EFECTUATE IN RETELE PLANIMETRICE GEODEZICE CU METODA OBSERVATIILOR

INDIRECTE

RETELE PLANIMETRICE

P(x,y)

N -matricea sistemelor de ecuatii normale  I=

N=Q

N*N=I

N=Qxx

EVALUAREA PRECIZIEI IN RETELELE PLANIMETRICE

ERORILE INDIVIDUALE - relativ la punctul de la mijlocul retelei R

* ,unde s_o - abaterea standard a unitatii de pondere

*

*,unde[pvv]se va determina cu 2 procedee, n=nr de masuratori, u = nr de necunoscute

Pentru punctul R abaterea se calculeaza cu relatia:

In fiecare punct nou se determina elipsele erorilor

-semiaxele elipsei

unde λ₁si λ₂ se calculeaza cu relatia:

Orientarea axei mari a elipsei, adica unghiul format de axa mare a elipsei cu axa x in punctul R este notata

 

Pozitionarea planimetrica.

Pozitionarea planimetrica este cel mai utilizat tip de pozitionare, marea majoritate, a lucrarilor geodezice necesitand o reprezentare pe un plan a situatiei din teren. Reprezentarea unei parti a suprafetei terestre sau chiar a intregii suprafete se realizeaza prin intermediul hartilor adica prin intermediul unui numar finit de puncte reprezentative pentru suprafata de reprezentat. Pentru o reprezentare planimetrica a suprafetei terestre trebuie sa se cunoasca pozitia orizontala a acestor puncte care alcatuiesc asa numitele retele orizontale sau planimetrice. Pozitia planimetrica poate fi data de coordonatele ,geodezice (latitudinea_,longitudinea) pe elipsoidul considerat ca aproximeaza suprafata Pamantului la momentul respectiv (elipsoidul de referinta), sau intr-un sistem bidimensional de coordonate, conditia fiind cunoasterea relatiilor de legatura intre cele doua sisteme.

Functie de natura elementelor masurate, retelele geodezice planimetrice pot fi:

Retele de triangulatie in care sunt efectuate numai masuratori de directii unghiulare orizontale;

Retele de trilateratie in care se efectueaza numai masuratori de distante

Retele de triangulatie-trilateratie in care se efectueaza ambele categorii de observatii amintite mai sus.

In ultima perioada de timp, datorita perfectionarii aparatelor de masura din domeniul geodeziei pentru efectuarea observatiilor unghiulare la distante mari, ultima categorie de retele este cea mai utilizata pentru determinarea pozitiei planimetrice a punctelor.

Corect ar trebui sa se utilizeze termenul de pozitionarea in spatiul cu doua dimensiuni sau pozitionarea 2D.

Sisteme utilizate in pozitionarea planimetrica.

Pentru ca cel mai utilizat sistem de coordonate este cel bidimensional in continuare se vor face cateva precizari in legatura cu acesta, sistemele de coordonate in care pozitia unui punct este data de coordonatele geodezice fiind prezentate in geodezia elipsoidala.

Acest sistem rectangular de coordonate are o axe indreptata catre directia nord iar cealalta catre directia est. Deoarece suprafata terestra nu este planarezulta ca pentru reprezentarea ei pe un plan trebuie sa se utilizeze diverse proiectii cartografice , care, evident, deformeaza realitatea. Intre un punct de pe suprafata terestra si corespondentul sau in plan trebuie sa existe niste relatii de corespondenta de forma:

x=f₁(B,L)

x=f₂(B,L)

Cunoasterea sistemului de proiectie utilizat pentru reprezentarea suprafetei terestre este de o importanta deosebita pentru ca masuratorile efectuate pe suprafata Pamantului (in general, pentru pozitionarea planimetrica, directii unghiulare orizontale si distante ) trebiue sa fie reduse la acest sistem de proiectie.

Cele mai utilizate sisteme de proiectie in Romania si cateva din caracteristicile lor sunt prezentate in continuare:

v     Proiectia stereografica 1930 pe plan unic secant denumita si pe planul secant Brasov pentru ca polul proiectiei se afla in apropierea orasului Brasov, a fost adoptata in tara noastra in 1930 (de unde si denumirea). Elipsoidul adoptat^, a fost elipsoidul international Hayford, iar punctul astronomic fundamental a ales pilastrul de beton din cadrul Observatorului astronomic Bucuresti. Sistemul de axe de coordonate plane stereografice a fost ales astfel incat originea sa reprezinte imaginea plana a polului, axa Oy sa se gaseasca pe directia sud-nord cu sens pozitiv spre nord iar axa, Ox pe directia est-vest cu sensulpozitiv spre est. Pentru a nu se lucra cu coordonate negative, s-a adoptat o translatie a sistemului de axe cu 500000 m spre vest si spre sud astfel incat, pe teritoriul, Romaniei, sa se lucreze numai cu coordonate pozitive.

v     Sistemul de proiectie Gauss-Kruger sau reprezentarea conforma Gauss , pe scurt proiectie Gauss, a fost introdus in tara noastra in anul 1951, data la care a fost adoptat si elipsoidul Krasovski (1940) cu punctul astronomic fundamental la Pulkovo (sistemul de coordonate 1940). Un aspect specific proiectiei Gauss este acela ca reprezentarea elipsoidului terestru se face pe fuse (de 3 si 6 grade), fiecare fus avand propriul lui sistem de coordonate cu axa x indreptata dupa meridianul axial (situat in mijlocul zonei de reprezentat) iar axa y dupa ecuatorul terestru (spre est).

v     in anul 1971 (septembrie), prin Decretul Nr.305, se stabileste, printre altele, ca lucrarile ''geodezice topo-fotogrametrice si cartografice necesare economiei nationale se executa in proiectie stereografica 1970 si sistem de cote referite la Marea Neagra'. Aceasta proiectie mentinea elipsoidul de referinta Krasovski (1940), polul proiectiei, denumit si centrul proiectiei, este situat la latitudinea de 46°Nord si longitudinea 25⁰Est Greenwich, intreg teritoriul tarii find reprezentat pe un singur plan, existand un cerc de deformatie nula cu raza de 201718m. Sistemul de axe de coordonate rectangulare plane are ca origine imaginea plana a polului proiectiei_, axa Ox avand sensul pozitiv spre nord iar axa Oy avand sensul pozitiv spre est.

Din considerente practice, ca si in cazul proiectiei stereografice 1930, originea sistemului de coordonate a fost translatata cu aceleasi cantitati si in aceleasi directii. Trecerea de la coordonatele plane la coordonatele geodezice pe elipsoidul de referinta si invers se realizeaza_, de regula, prin intermediul coeficientilor constanti, publicati de Strutu-Falie in 1957 si 1959. Desi acesti coeficienti introduc erori, in general mai mici de 1mm intre transformarea directa si cea inversa, ei sunt utilizati deoarece, pentru marea majoritate a lucrarilor curente, asigura precizia necesara.

Prelucrarea observatiilor efectuate in retele geodezice planimetrice.

Prelucrarea masuratorilor efectuate in retelele geodezice, indiferent de tipul acestor retele, constitute ultima etapa a activitatii geodezice, in urma careia se obtin rezultatele finale.

Prin prelucrarea observatiilor din retelele geodezice nu se poate imbunatati precizia realizata in faza de efectuare a masuratorilor, dar o prelucrare incorecta poate micsora aceasta precizie sau, in cazuri extreme, poate conduce la obtinerea unor rezultate incorecte.

Principalul avantaj al compensdrii retelelor geodezice prin metoda masuratorilor indirecte consta in faptul ca fiecarei observatii ii corespunde o ecuatie de corectie ceea ce permite efectuarea unui control riguros asupra alcatuirii modelului functional. Datorita corespondentei dintre numarul masuratorilor si cel al ecuatiilor este posibil ca procesul de compensare sa poata fi complet automatizat.

O prelucrare a masuratorilor prin metoda observatiilor indirecte cunoscuta si sub denumirea de 'metoda variatiei coordonatelor'sau'compensarea grupului de puncte' se realizeaza prin parcurgerea mai multor etape, in fiecare etapa obtinandu-se rezultate care permit alegerea unor modele mai performante si a unor valori mai precise pentru urmatoarele etape de calcul.

Prelucrarea observatiilor efectuate in cadrul unei retele planimetrice geodezice constand in parcurgerea urmatoarelor etape principale:

v     prelucrarea preliminara a observatiilor geodezice si reducerea observatiilor la suprafata de referinta aleasa;

v     calculul elementelor provizori;

v     formarea modelului functional-stochastic;

v     transformarea ecuatiilor de corectii dupa regulile de echivalenta

v     normalizarea sistemului de ecuatii liniare ale corectiilor si rezolvarea sistemului normal de ecuatii;

v     calculul elementelor compensate si, daca este cazul, controlul compensarii;

In continuare, va fi prezentat, modul de deducere a relatiilor de calcul si a calculelor ce trebuie efectuate pentru parcurgerea acestui proces iterativ de prelucrare a observatiilor geodezice.

Prelucrarea preliminara a observatiilor geodezice.

Prelucrarea preliminara a observatiilor geodezice efectuate in retele de triangulatie constand in determinarea elementelor necesare construirii modelului functional-stochastic al prelucrarii propriu-zise si in reducerea observatiilor din reteaua considerata la aceeasi suprafata de referinta (elipsoid sau plan de proiectie), prezentand in continuare etapele ce trebuie parcurse pentru realizarea obiectivelor enuntate si relatiile de calcul utilizate.

Calculul coordonatelor preliminarii

Prima etapa ce trebuie parcursa in cadrul procesului de compensare in determinarea coordonatelor preliminarii. Acestea se determina cu o precizie scazuta, precizie care depinde in general de scopul urmarit si de lungimea laturilor retelei considerate.

Functie de sistemul de referinta ales, coordonatele preliminarii se determina astfel:

In planul de proiectie, pentru fiecare punct nou, coordonatele se determina prin cel putin doua intersectii simple inainte. In retelele geodezice in care au fost efectuate si masuratori de distante coordonatele preliminarii pot fi determinate prin duble radieri, intersectii liniare, etc. Daca diferenta dintre cele doua randuri de valori obtinute se incadreaza in limite acceptabile scopului propus (de regula aceasta diferenta se accepta a fi de ordinul decimetrilor) atunci coordonatele de lucrue se determina prin media aritmetica a valorilor obtinute;

Pe elipsoidul de referinta, este necesar sa se rezolve mat intai triunghiurile elipsoidice mici prin metoda Legendre sau metoda aditamentelor, rezultand astfel lungimile laturilor, urmand ca in etapa urmatoare sa se aplice relatiile de la problema geodezice directa.

Reducerea observatiilor efectuate la suprafata de referinta

Reducerea directiilor unghiulare orizontale.

Pentru ca sistemul de proiectie utilizat oficial in Romania este sistemul stereografic 1970 si pentru ca prelucrarea observatiilor se face, de regula intr-un sistem bidimensional, in continuare se va considera ca acest plan este suprafata de referinta unde se vor reduce observatiile geodezice.

Pentru reducerea directiilor azimutale (compensate in statie) pe suprafata de referinta trebuie aplicate mai multe corectii. Unele dintre aceste corectii sunt necesare reducerii observatiilor pe suprafata elipsoidului de referinta, altele trebuie aplicate pentru ca modul de efectuare a observatiilor nu este cel ideal iar una este necesara reducerii masuratorilor la suprafata aleasa ca referinta.

v           Corectia de reducere_ de la sectiunea normala directa la linia geodezica.

Se considera un punct de statie P_i din care s-au efectuat observatii azimutale catre alte puncte printre care si punctul P_j. Trebuie sa se determine o corectie, datorata necoincidentei intre sectiunea normala directa (normala la elipsoid in punctul considerat si punctul vizat) si linia geodezica (linia curba cea mai scurta dintre doua puncte situata pe o suprafata oarecare, avand ca si caracteristica principala unicitatea), pentru a trece de la sectiunea normala directa la linia geodezica.Aceasta corectie, notata cu c₁ din figura alaturata, mai este cunoscuta si sub denumirea ,,corectia de linie geodezica'', in care :

Corectia de linie geodezica

, -azimutul sectiunii normale determinata de normala la elipsoidul de referinta in punctul de statie P_i si P_j ,prin neglijarea termenilor de ordinul III si superiori se obtine:

=-(-),  A_ij- reprezinta azimutul liniei geodezice

expresia utilizata pentru calculul corectiei de reducere la linia geodezica este:

in care :

v     e - este prima excentricitate (numerica), e²=2f-f²

v     B_m - este latitudinea medie calculata intre punctele de la capetele directiei observate

v     R_m - reprezinta valoarea medie a razei de curbura

Valorile latititudinilor, daca nu sunt determinate din masuratori astronomice sau alte metode, se pot determina din coordonate rectangulare plane cu ajutorul coeficientilor constanti.

Corectia datorata altitudinii punctului vizat

Aceasta corectie sedatoreaza necoincidentei a doua sectiuni normale :

      a sectiunii normale determinate de intersectia planului care contine normala la elipsoid in punctul de statie si punctul vizat ( planul ce contine viza ) cu elipsoidul de rotatie, in ipoteza ca normala la elipsoid coincide cu verticala locului:

      si a sectiunii normale determinate de intersectia planului care contine normala la elipsoid in punctul de statie si proiectia pe elipsoid a punctului vizat.

Corectia datorata altitudinii punctului vizat are valori mici ceea ce face ca la stabilirea relatiei de calul sa se accepte unele aproximatii, folosind notatiile:

s distanta pe elipsoidul de referinta dintre cele doua puncte

α unghiul

, unde :

      cu indicele inferior m s-au notat valorile medii ale cantitatilor respective, aceasta corectie are, de aemenea, valori mici si putem observa:

      nu dpinde de altitudinea punctului de statie

      pentru directii de azimut 0^g sau 100^g are valoarea zero.

v     Corectia datorata deviatiei verticalei.

Dupa cum a mai fost precizat deviatia verticalei este datorata necoincidentei dintre verticala locului si normala la suprafata considerata ca aproximeaza Pamantul (elipsoid, geoid, cvasigeoid, etc.). Intr-un punct de statie, toate observatiile azimutale trebuie corectate pentru a fi aduse pe suprafata de referinta. Corectia ce trebuie aplicata are doua componente:

o       o componenta care depinde numai de pozitia punctului de statie ea are acceasi valoare pentru toate directiile unghiulare orizontale masurate din statia respectiva:

o       o componenta care cuprinde influenta deviatiei verticalei azimutului si a unghiului zenital ale directiei catre punctul vizat si care se modifica de la o directie la alta.

Pentru calculele curente, se pot utiliza, pentru componentele deviatiei verticalei pe cele doua directii urmatoarele valori determinate in mai multe puncte raspandite uniform pe teritoriul tarii.

v     Corectiile de centrare si reducere

c

corectii de centrare si reducere

Daca primele 3 corectii se aplica retelelor cu lungimi mari ale laturilor, corectia de centrare ca corectie de reducere se aplica, cand este cazul tuturor directiilor azimutale masurate, indiferent de lugimea laturilor geodezice.

Corectia de centrare se aplica atunci cand s-a stationat excentric adica atunci cand borna si pilastrul sau locul unde a fost instalat instrumentul, nu sunt pe acceasi verticala. In teren, pe foaia de centrare, se masoara in afara directiei M) si elementele de centrare. Aceste elemente sunt distanta orizontala l dintre pozitia aparatului (reprezentata de firul cu plumb) si punctul matematic (reprezentat de borna) precum Θ unghiul dintre aceasta directie si directia de referinta aleasa la intocmirea foii de centrare. Directia care trebuia masurata, daca nu exista aceasta necoincident a celor doua verticale, si care intereseaza pentru calcule ulterioare este:

a=M+c

Corectia c se numeste corectie de centrare si din triunghiul CP₁I ea poate fi calculata cu relatia:

Corectia de reducere se aplica atunci cand punctul matematic reprezentat prin borna nu este pe aceiasi verticala cu punctul vizat (proiectia semnalului), deci la efectuarea observatiilor in loc sa se masoare pe direcia bornei se masoara pe o alt directie, cea a semnalului.

Ceea ce este forte important de retinut este ca aceasta corectie se determina cu elementele de centrare masurate intr-un punct de statie dar se aplica directiilor masurate din alte puncte catre acest punct.

v     Corectia de reducere la planul proiectie stereografic 1970.

Ultima corectie ce trebuie aplicata directiilor unghiulare orizontale este aceea prin care aceste directii se reduc la planul proiectiei utilizate (daca prelucrarile ulterioare se fac intr-un plan de proiectie si nu pe elipsoid). In cazul in care prelucrarile se vor face in planul proiectie stereografice 1970, relatia de calcul a acestei corectii este:

In relatia de mai sus, coordonatele punctului de statie si ale celui vizat sunt exprimate in metri.

Observatii privind aplicarea corectiilor de reducere a directiilor azimutale.

• Trebuie specificat faptul ca pentru lucrari curente, este suficient ca directiile corectate sa fie determinate pane la zecimea de secunda inclusiv.
• De asemenea, pentru a usura efectuarea unor calcule este bine ca aceste directii corectate sa^, fie reduse la o directie origine, de regula acceasi ca la compensarea in statie.
• Daca s-ar efectua o prelucrare a observatiilor pe elipsoidul referinta atunci ultima corectie nu ar mar fi aplicata pentru ca ea reduce observatiile la planul de proiectie stereografic 1970. Evident daca prelucrarea s-ar efectua pe un alt plan de proiectie atunci relatia referitoare la componentele fortei elementare de atractie pe cele trei axe de coordonate ar fi alta, functie de proiectia considerata.
1. Reducerea distantelor la suprafata de referinta

In cazul in care in reteaua geodezica au fost efectuate masuratori de distante, acestea trebuie reduse la suprafata de referinta aleasa (elipsoid, plan de proiectie). Dupa ce au fost corectate fizic, pentru reducerea distantelor, masurate trebuie aplicate, in ordine, urmatoarele relatii, corespunzatoare reducerilor succesive care se efectueaza:

    Reducerea la coarda

      Reducerea la suprafata elipsoidului de referinta

   Reducerea la planul de proiectie.

Pentru proiectie Stereografica 1970 reducerea se efectueaza cu relatia :

In aceste relatii s-au utilizat urmatoarele notatii

- valoarea distantei masurate dupa ce s-au aplicat reducerile fizice (instrumentele moderne de masurat distante aplica automat corectiile necesare reducerilor fizice astfel ca distanta afisata de instrument ;;distanta masurata'' , este deja redusa fizic)

- valoarea distantei reduse la coara;

s_ij - distanta redusa la suprafata elipsoidului de referinta;

- distanta redusa la planul de proiectie stereografic

H^e - altitudinea elipsoidala;

R_A raza sferei medii Gauss cu care, in practica, se inlocuieste elipsoidul. De regula se calculeaza o valoare medie a razelor de curbura ale sferelor medii Gauss care trec prin punctele de la capetele distantei masurate pentru latitudinea medie;

x_m ,y_m - coordonatele punctelor (neafectate de translatii)de la capatul distantei masurate (coordonate la miilocul distantei, este suficient ca acestea sa fie cunoscute cu precizie de ordinul metrilor );

Δx_ij , Δy_ij - diferentele de coordonate ( precizie de ordinul metrilor);

c - coeficient subunitar (in proiectie stereografica 1970, acest coeficient are valoarea a c = 0.99975) necesar trecerii de la coordonatele stereografice din planul tangent in planul secant.

Calculul elementelor provizorii.

Dupa calculul elementelor preliminarii si reducerea observatiilor efectuate la o suprafata de referinta unitara urmeaza determinarea unor alte coordonate pentru punctele noi ale retelei, coordonate denumite coordonate provozorii . Valorile coordonatelor provizorii trebuie sa fie suficient de apropiate de valorile cele mai probabile pentru ca sa se poata renunta la termenii de ordinul II si mai mari din dezvoltarile in serie Taylor care se efectuiaza.

Aceste coordonate provizorii se determina cu o precizie mai ridicata decat coordonatele preliminarii, pentru cea mai mare parte a retelelor geodezice utilizate, precizia fiind de ordinul centimetrilor.

Determinarea acestor coordonate provizorii, in cazul retelelor de triangulatie, se face prin parcurgerea mai multor etape de calcul si anume:

In general intr-o retea geodezica exista cel putin doua puncte vechi (au coordonatele cunoscute), din care sa se poata determina coordonatele punctelor noi din retea (daca nu exista puncte vechi -avem o retea libera), intre aceste puncte vechi exista o legatura directa prin efectuarea de observatii unghiulare orizontale si trebuie sa determinam distantele si orientarile.

Consideram (fig.) doua puncte vechi si un sistem de coordonate ( in cazul in care se schimba orientarea axelor se vor modifica si relatiile)cartezian cu axa x orientata pe directia nord (ca in cazul proiectiei stereografice 1970).

• Θ si D - orientarea si distanta intre cele doua puncte vechi A si B se pot determina cu relatiile :

_AB=arctan  D_AB=

Daca calculele de compensare se efectueaza manual (calculator de buzunar), trebuie sa se faca un control cu relatiile :

D_AB=

Rezultatele obtinute prin cele trei relatii trebuie sa fie identice paana la zecimea de milimetru.