Komplexní čísla

Komplexní číslo - kazdé číslo ve tvaru a+bi, kde a,b jsou reálná čísla a i je číslo pro něz platí i²=-1

            a+bi    a=reálná část, b=imaginární č 757k1012h ;ást, i=imaginární jednotka

Př. (1+2i)(3-1)=3-i+6i-2i²=3+5i+2=5+5i

            Př. i⁵⁵=i³=-i

Komplexní čísla sdruzená s číslem a+bi je číslo a-bi.

Značí se Z

            Př. 3-3i=3+3i

            Př. 2i=-2i

            Př.

Dělení komplexních čísel

            Př.

Absolutní hodnota komplexního čísla  - |Z|= ZZ    |z|= a³b³

vyjadřuje vzdálenost obrazu komplexního čísla od počátku Gaussovy roviny

Př.  z=(1+i)

|z|= (1+i)(1-i)=

|z|= a³b³

|z₁z₂|=|z₁||z₂|

|z₁/z₂|=|z₁|/|z₂|

Komplexní jednotka - komplexní číslo, jehoz absolutní hodnota = 1

            Obrazy komplexních jednotek vyplní v Gaussově rovině jednotkovou kruznici se středem O(0,0). Číslo (0,1) se označuje i a nazývá se imaginární jednotka

            Př.  i...... 0+1i=

Geometrické znázornění - rovina komplexních čísel, neboli Gaussova rovina, je rovina, jejíz body povazujeme za  obrazy komplexních čísel

osa x - reálná část, reálná osa

            osa y - imaginární část, imaginární osa

            Př. (2+2i), (1-3i)

            Př. V Gaussově rovině zobrazte vsechna komplexní čísla, pro něz platí: |1+i| |z| >

1+i |z|

|z|

            Př.  |z-i| |z+1-2i|    (|z-i| - vzdálenost čísla komplexního od imaginárního

                        |z-(-1+2i)|

                        i -1+2i   

Goniometrický tvar komplexního čísla - z=|z|(cosφ+i sinφ)      |z|= a²+b²

cosφ=a / |z|    sinφ=b / |z|

            Př. z=2-2i

                 |z|=

            Př. z=4(cosp/6+i sin p

Pravidla: z₁ z₂=|z₁|.|z₂|(cos(φ₁+φ₂)+i sin (φ₁+φ₂)

Moivrova věta: [|z|(cosφ + i sinφ)]ⁿ=|z|ⁿ(cos n φ+ i sin n φ)

Př. z=(-1+i