Lineární rovnice a nerovnice, rovnice s parametrem

Lineární rovnice - kazdá rovnice tvaru ax+b=0, kde a,b jsou libovolná reálná čísla nebo komplexní čísla.

Obecně má rovnice ax+b=0, kde a R, b R tyto kořeny:

Lineární nerovnice - s neznámou x R nazvýváme kazdou nerovnici tvaru ax+b> 0, ax+b< 0, kde a,b jsou libovolná reálná čísla. O lineární nerovnosti se mluví také v případě, ze má tvar ax+b 0, ax+b

Řesení rovnice - Pro její řesení v oboru R nebo C mohou nastat právě tyto tři případy:

a) je-li a 0, je ekvivalentní s rovnicí ax= - b, takze má přávě jeden kořen

b) je-li a=b=0, má nekonečně mnoho řesení: jejím kořenem je kazdé reálné (komplexní) číslo

c) je-li a=0, b 0, nemá zádné řesení

Řesení nerovnice - nerovnici ax+b >0, ax+b < 0 upravíme tak, ze odečteme b od obou stran nerovnice (ekvivalentní úprava č.3) na tvar ax >c, ax <c (c= - b). Pro řesení pak mohou nastat tyto tři případy

a) a > 0 je ( ax > c a zároveň x > c/a) nebo (ax < c a zároveň x < c/a)

b) a < 0 je (ax > c a zároveň x < c/a) nebo (ax < c a zároveň x > c/a)

c) a = 0 je 0x > c nebo 0x < c. Podle toho, jakých hodnot nabývá c, je tato nerovnice splněna buď pro kazdé R anebo pro zádné R

Ekvivalentní úpravy rovnic

vzájemná výměna stran rovnice

nahrazení libovolné strany rovnice výrazem, který se jí rovná v celém oboru řesení rovnice

přičtením téhoz čísla nebo výrazu s neznámou, který je definován v celém oboru řesení rovnice, k oběma stranám rovnice

vynásobění obou stran rovnice týmz číslem nebo výrazem s neznámou

umocnění obou stran rovnice přirozeným mocnitelem, jsou-li obě strany rovnice nezáporné

odmocnění obou stran rovnice přirozeným odmocnitelem, jestlize jsou obě strany rovnice nezáporné

zlogaritmování obou stran rovnice při témz základu, jsou-li obě strany rovnice kladné

Ekvivalentní úpravy nerovnic

vzájemná výměna stran nerovnice se současnou změnou znaku nerovnosti v obrácený

nahrazení libovolné strany nerovnice výrazem, který se jí rovná v celém oboru řesení nerovnice, přitom znak nerovnosti se nemění

přičtením téhoz čísla nebo výrazu s neznámou, který je definován v celém oboru řesení, k oběma stranám nerovnice, znak nerovnosti se nemění

vynásobění obou stran nerovnice kladným číslem nebo výrazem s neznámou, přičemz znak nerovnosti se nemění

vynásobění obou stran nerovnice záporným číslem nebo výrazem s neznámou, přitom znak nerovnosti se změní v obrácený

umocnění obou stran nerovnice přirozeným mocnitelem, jsou-li obě strany nerovnice nezáporné, přitom znak nerovnosti se nemění

odmocnění obou stran nerovnice přirozeným odmocnitelem, jestlize jsou obě strany nerovnice nezáporné, přitom zank nerovnosti se nemění

zlogaritmování obou stran nerovnice při témz základu větsím nez 1, jsou-li obě strany nerovnice kladné, přitom znak nerovnosti se nemění

Rovnice s parametrem - obsahuje jestě dalsí proměnné, kterým se říká parametry. Značí se a,b nebo p apod. Rovnice se pak nazývá rovnice s parametry nebo parametrická rovnice. Představuje zápis mnoziny vsech rovnic, které získáme dosazením konstant za kazdý z parametrů dané číselné mnoziny (oboru parametru). Řesení rovnic s parametry spočívá v určení jejich kořenů v závislosti na přípustných hodnotách parametrů. 

Při řesení lineární rovnice s parametrem rovnici postupně upravujeme v závislosti na hodnotách parametru. Výsledek shrneme do tabulky.

U kvadratické rovnice zjisťujeme, pro které hodnoty parametru se redukuje rovnice na lineární a pomocí diskriminantu D diskutujeme počet kořenů pro ty hodnoty parametru, pro něz je rovnice kvadratická.