Logická výstavba matematiky

Pojmy: Axiom (postulát), vlastnosti axiomů, definice, věta, hlavní metody důkazů

Axiom (postulát) - výchozí matematický výrok, který se prohlásí za pravdivý bez dokazov 151b117b ání (fakt - tráva je zelená). Obsahuje základní primitivní pojmy, které se nedefinují (pokládají se za zavedené soustavou axiomů). Nelze je odvodit z něčeho jednodussího.

Vlastnosti soustavy axiomů

bezespornost - ze soustavy axiomů není mozné vyvodit zádný výrok a zároveň negaci

úplnost - ze soustavy axiomů je mozné vyvodit pravdivost nebo nepravdivost libovolného matematického výroku, který není axiomem

nezávislost - nelze odvodit jeden axiom z  ostatních axiomů (kazdý je nezávislý na ostatních)

Euklides vyjmenoval vsechny axiomy (14). 2 části (Aitemata - postuláty, Koinai ennoiai - vseobecně uznávané pravdy, zásady). Nezná slovo přímka - pouzíval slovo Eutheia (rovná konečná čára, která jde podle potřeby prodlouzit nebo zkrátit). Dokonalý axiomatický systém, Planimetrii, vypracoval David Hilbert na přelomu 19. a 20. století.

Definice - určení nově zaváděného pojmu pomocí pojmů jiz zavedených.

Ze soustavy axiomů s pouzitím definic se struktura matematiky buduje pomocí matematických vět.

Matematická věta (poučka, teorém) - matematický výrok, který na základě axiomů, definic a dříve dokázaných vět přinásí nová tvrzení týkající se právě studovaného objektu. Specifický příklad vět jsou pravdila (Binomická, Pythagorova věta).

Pomocné věty - Lemmy - něco říkají

Věta se musí dokázat, obsahuje nová tvrzení!

Obecná věta " x D; A(x) B(x)

Existenční věta x D; A(x) B(x)

(Př. Nultá mocnina neexistuje - 0)

Individuální věta - týkají se jediného objektu skupiny objektů mnoziny

(Př. Trojúhelník se stranami 3,4,5 je pravoúhlý)

Hlavní metody důkazů

1) přímý - implikace A B se provádí pomocí řetězce pravdivých implikací.

A(x) A₁ (x₁) A₂ (x₂) ..... B(x)

" n N; n je sudé n² je sudé

n je sudé k N; n=2k n²=4k² n²=2.2k² n je sudé

A₁(x) A₂(x) A₃(x) B(x)

2) nepřímý - implikace A B provádíme jako přímý důkaz její obměny B' A', neboť obě jsou ekvivalentní

A(x) B(x) dokázeme přímo

B(x) A(x)  má s původní stejné pravdivostní hodnoty

obměna původní věty

Není-li n sudé číslo není ani n² sudé číslo

n liché n=2k+1

3) důkaz sporem - Výroku V (např. A B) se provádí tak, ze se daný výrok V neguje a pomocí řetězce implikací se dospěje k logickému sporu. Ze sporu vyplývá, ze negované tvrzení V' neplatí, musí tedy platit původní výrok V.

A(x) B(x) neplatí

n² je sudé n je sudé

n² sudé n liché

n² - liché

n liché n²=(2k+1)² n²=2(2k²+2k)+1 n² je liché (spor)

4) důkaz matematickou indukcí - pouzívá se pro výroky, kde proměnné jsou prvky mnoziny m

a) indukční předpoklad - dokázeme ze věta platí pro n=n₀ (výrok platí pro n₀ - nejmensí mozné přirozené číslo)

b) indukční krok - dokázeme pro kazdé přirozené číslo k, které je n₀ jestlize platí výrok pro k, pak také platí výrok pro k+1. V(k)=V(k+1)

n N

1+2+ .... +n=1/2 n (n+1)

a) 1=1/2.1 (1+1) b)1+2+ ... +k=1/2k (k+1) .....S_k

1=1 platí 1+2+ ... +k+(k+1)=1/2(k+1)(k+1+1) ...(S_k+1)

S_k+1=S_k+(k+1)

1/2 (k+1)(k+2)=1/2 k(k+1)+(k+1) (k+1)(1/2 k+1)

1/2 (k+2)=1/2 k+1

1/2 k+1=1/2 k+1