Mnoziny a mnozinové operace

Pojmy: mnozina, zadání mnozin (způsob určení), mnozinové vztahy a operace, grafické znázornění mnozin, kartézský součin, relace, zobrazení

Mnozina - soubor libovolných, navzájem různých objektů, které mají určitou vlastnost V. Mnozina je určená, jestlize o kazdém objektu mnoziny (prvku mnoziny) lze jednoznačně rozhodnout, zda danou vlastnost V má nebo nemá (jestli do mnoziny p 313b18d atří nebo ne).

Specifická mnozina je prázdná.

Zadání mnozin Výčtem prvků (M ) - pouzívá se u konečných (M 1,3,5) mnozin, nekonečné vyjímkou (M

: charakteristickou vlastností (M

U - základní univerzální mnozina - obsahuje vsechny objekty, které nás v dané situaci zajímají

Mnozinové vztahy inkluze - (A B) - u výroků implikace (" x U; x A x B)

kazdý prvek mnoziny A je zároveň prvkem mnoziny B

rovnost - (A = B) - u výroků ekvivalence (" x U; x A x B)

vsechny prvky mnozin A a B jsou tytéz

Mnozinové operace sjednocení - (A B) - u výroků alternativa ( x U; x A x B)

prvky patří alespoň do jedné z mnozin A a B

průnik - (A B) - u výroků konjunkce ( x U; x A x B)

prvky patří do A a zároveň do B

rozdíl - (A - B) - u výroků konjunkce a negace ( x U; x A x B)

prvky patří do mnoziny A a zároveň nepatří do mnoziny B

doplněk - (A B; B - A ) - doplněk mnoziny A v mnozině B ... A'_B

prvky patří do mnoziny B a nepatří do mnoziny A

sjednocení:  průnik:

Grafické znázornění mnozinové diagramy; mnoziny disjunktní - A B

Vénovy diagramy

Znázornění mnozin na číselné ose (i v Gaussově rovině s komplexníma číslama)

Znázornění mnozin srafováním a hranicí

Sjednocením: rovina; průnik: úhel

Kartézský součin - nejmensí n-tice (musí být konečná); uspořádaná dvojice bodů

Nechť je dán systém mnozin M₁, M₂... M_n (n N; n 2). Vytvořme mnozinu vsech uspořádaných n-tic prvků x₁ M₁; x M₂ ... M_n (v uvedeném pořadí)

Př. A, B

x₁, x₂ x₁ A; x₂ B  AxB

Př. A= B= C=

AxB=

Počet prvků kartézského součinu je MxN M N

Zobrazujeme je v pravoúhlé soustavě souřadnic.

Prvky mnoziny a - osa x; b - osa y

Relace - binární relace (U) je kazdá podmnozina kartézského součinu zpravidla daná nějakou podmínkou, kterou musí prvky x, y splňovat nebo jen uspořádaná dvojice z kartézského součinu.

" x A je první obor - definiční " x B je druhý obor - obor hodnot

Zobrazení - je taková relace, kde ke kazdému x A existuje nejvýse jeden prvek y B, takový ze uspořádaná dvojice x, y F

F - mnozina vsech uspořádaných dvojic x, y AxB

Zobrazení A do B - D(F)=A; H(F) B

z A vsechny prvky, z B jen některé

Zobrazení z A na B - D(F) A; H(F)=B

z A některé prvky, z B vsechny

Zobrazení A do sebe (zobrazení v A) - A=B

x - vzor; y - obraz

Zobrazení prosté

Jsou vzájemně různé vzory a vzájemně různé obrazy (ke kazdému x je vlastní y a naopak)

Zobrazení vzájemně jednoznačné

Musí být i prosté D(F)=A; H(F)=B musí tam patřit vsechny prvky