ALTE DOCUMENTE |
Kombinatorika - zabývá se vlastnostmi konečných mnozin
Kombinační pravidlo součtu - Jsou-li A1, A2,..., An konečné mnoziny, které mají po řadě p1, p2, ...., pn prvků, a jsou-li kazdé dvě disjunktní, pak počet prvků mnoz 535e417f iny A1 A2 An je roven p1+p2+...+pn.
Kombinační pravidlo součinu - Počet vsech uspořádaných k-tic, jejichz první člen lze vybrat n1 způsoby, druhý člen po výběru prvního členu n2 způsoby atd.., az k-tý člen po výběru vsech předcházejících členů nk způsoby, je roven n1.n2.....nk.
Př. Určete počet vsech trojcigerných přirozených čísel, v jejichz dekadickém zápisu se kazdá číslice vyskytuje nejvýse jednou.
n1=9 č. (1,2,3,4,5,6,7,8,9) n1.n2.n3=9.9.8=648 mozností
n2=9 č. (0,1,2,...)
n3=8 č.
Variace k-té třídy z n prvků bez opakování dané základní n-prvkové mnoziny je kazdá uspořádaná k-tice sestavená z těchto prvků tak, ze zálezí na pořadí prvků (a prvky se neopakují).
|
V(k,n)= |
1!=1 2!=2.1 3!=3.2.1 atd. n!=n(n-1)!=n(n-1)(n-2)!=n(n-1)(n-2)(n-3)!=...
Př. Výbor sportovního klubu tvoří sest muzů a čtyři zeny. Určete:
a) kolika způsoby z nich lze vybrat předsedu, místopředsedu, jednatele a hospodáře.
V(4,10)=
b) kolika způsoby z nich lze vybrat funkcionáře tak, aby ve funkci předsedy byl muz a ve funkci místopředsedy zena nebo obráceně.
předseda muz: 6
místopředseda zena: 4 6.4.8.7=1344 a obráceně .2=2688
jednatel: 8
hospodář: 7
c) kolika způsoby z nich lze vybrat funkcionáře tak, aby právě jedním z nich byla zena.
P - 4 P - 6 P - 6 P - 6
M - 6 M - 4 M - 5 M - 5 - zena
J - 5 J - 5 J - 4 J - 4
H - 4 H - 4 H - 4 H - 4
4.6.5.4 + 480 + 480 + 480 = 1920
PERMUTACE
Variace n-té třídy z n prvků, pokud n=k. Uspořádaná n-tice sestavená z prvků tak, ze kazdý se v ní vyskytuje právě jednou.
|
P(n)=n! |
Př. Určete, kolika způsoby se v sestimístné lavici můze posadit sest hochů, jestlize:
a) dva chtějí sedět vedle sebe
2P (5)=5!=120
b) dva chtějí sedět vedle sebe a třetí chce sedět na kraji
2P (4)=4!= 24
KOMBINACE
K-členná kombinace z n prvků je neuspořádaná k-tice sestavená z těchto prvků tak, ze kazdý se v ní vyskytuje nejvýse jednou a na pořadí prvků nezálezí. Platí pro vsechna nezáporná čísla, kde k n
|
K(k,n) = |
Př. Určete kolika způsoby je mozno ze dvaceti osob vybrat deset, pozadujeme-li, aby mezi vybranými:
a) nebyl pan A -> K(10,19)=
b) nebyli zároveň pánové A,B 
c) byl alespoň jeden
z pánů A,B k1(9,18);
k2(8,18) k1+k2=
VARIACE S OPAKOVÁNÍM
K-členná variace s opakováním z n prvků je uspořádaná k-tice sestavená z těchto prvků tak, ze kazdý se v ní vyskytuje nejvýse k-krát.
|
V'(k,n)=nk |
Př. Kufřík má heslový zámek, který se otevře, kdyz na kazdém z pěti kotoučů nastavíme správnou číslici; těchto číslic je na kazdém kotouči devět. Určete největsí mozný počet pokusů, které je nutno provést, chceme-li kufřík otevřít, jestlize jsme zapomněli heslo.
V'(5,9)=95=59049
PERMUTACE S OPAKOVÁNÍM
Uspořádaná k-tice sestavená z prvků tak, ze kazdý se v ní vyskytuje aspoň jednou.
|
P'(k1,k2, ....kn)= k1,+k2,+ ....+kn k1! k2! ....kn! |
Př. Určete počet vsech pěticiferných přirozených čísel, jez lze sestavit z číslic 5 a 7, má-li v kazdém z nich být číslice 5
a) právě
třikrát P'(2,3)=
b) nejvýse třikrát
7x5 0x5 P1'(5,0)=
1+5+10+10=26
7x4
1x5 P2'(4,1)=
7x3
2x5 P3'(3,2)=
7x2 3x5 -||-
c) aspoň třikrát
P1'(3,2)=10
P2'(4,1)=5 10+5+1=16
P3'(5,0)=1
KOMBINACE S OPAKOVÁNÍM
Neuspořádaná k-tice sestavená z prvků tak, ze kazdý se v ní vyskytuje nejvýse k-krát.
|
K'(k,n)= |
Př. 32 karet a) vybrat 4 karty rozlisující se barvami
K'(4,4)=
b)vybrat 4 karty rozlisující se hodnotami
K'(4,8)=
|
= 
