Základní útvary v rovině, jejich vlastnosti

Pojmy: bod, přímka, rovina - povazujeme je za dostatečně známé na základě zkusenosti, proto je nedefinujeme (neexistují jednodussí pojmy, ze kterých by se daly odvodit). Ostatní pojmy jsou pomocí nich definovány.

Označení: Bod - velkými tiskacími písmeny

Přímka - malými písmeny latinské abecedy nebo AB, AB

V analytické geometrii - Euklidovský prostor jednoměrný (dimenze 1 - E¹) - jakákoliv přímka

Rovina - malými písmeny řecké abecedy a b c nebo ABC

Euklidovský prostor dimenze 2 - E² - jakákoliv rovina

Vzájemná poloha útvarů

A k - bod A lezí na přímce k (bod je Incidentní)

A r - bod A lezí v rovině r (rovina r prochází bodem A)

k r - přímka k lezí v rovině r (rovina r obsahuje přímku k, prochází přímkou k)

A k, A r, k r - opak (nelezí, neprochází)

Definice často uzívaných útvarů v E₁, E₂

a) Útvary v E¹: polopřímka (C,B - vnitřní body)

Bod A k dělí přímku k na dvě polopřímky

Polopřímka AB a k ní opačná polopřímka AC

( AB AC = ; AB AC = k)

: úsečka (A,B - koncové, krajní body; X - vnitřní bod)

Úsečka AB je průnikem polopřímek (AB nebo AB)

( AB BA = AB)

b) Útvary v E²: polorovina (k - hranice s polorovinou)

Přímka k r dělí rovinu r na dvě poloroviny, polorovinu kA a k ní opačnou polorovinu

( kA kB = k; kA kB = r

Vzájemná poloha dvou přímek v rovině:

p q - rovnobězky, p q =

p = q - splývající přímky, " x p x q

p// q - různobězky, jestlize p q = - průsečík

: úhel - průnik dvou polorovin s hranicemi vzájemně různoběznými - pouze konvexní úhel ( BAC = CAB - vrchol úhlu uprostřed)

( BAC = ABC ACB)

Konvexním úhlem je také kazdá polorovina, lezí-li body A,V,B na jedné přímce - přímý úhel

Nulový úhel Plný úhel

Nekonvexní úhel - značí se AVB

Vrcholové úhly a a b b a a b b

Vedlejsí úhly - dvojice ab ba a b ab

Pravý úhel je základem pro určení jednotky velikosti úhlu v míře stupňové

1 stupeň (1°) je 1/90 pravého úhlu

(1 grad (1^g) je 1/100 pravého úhlu, dělí se na dg, cg, mg nebo setinné minuty (^c), setinné vteřiny (^cc))

V souustavě SI je jednotka úhlu 1 radián (rad) - míra oblouková; velikost úhlu je dána délkou oblouku jednotkové kruznice k(V, 1). 1 rad = 57°

a) 1. konvexní - nulové (0°)

ostré (a

pravé (a

tupé (a

přímé (a

plné (a

2. nekonvexní - vsechny úhly a

b) dvojice úhlů - doplňkové (a b

výplňkové (a b rozhoduje součet velikostí, na poloze nezálezí

vrcholové

vedlejsí

styčné - jedno rameno společné, na velikosti nezálezí

souhlasné - p q a b

přilehlé - p q g d

střídavé - p q d b

: rovnobězný pás je průnik dvou polorovin s hranicemi vzájemně rovnoběznými

(p q; P p; Q q)

pás p, q = ( pQ) qP)

S - vnitřní bod pásu

: trojúhelník ABC - průnik tří polorovin určený body, které nelezí na jedné přímce

DABC = ( ABC) CAB) BCA)

ABC - vrcholy D

AB, BC, AC... - strany D

: rovnobězník ABCD - průnik dvou rovnobězných pásů; jejich hranice jsou vzájemně různobězné

(pás a, c) (pás b, d) = ABCD

: čtyřúhelník ABCD - sjednocení dvou D s jednou společnou stranou, lezících v opačných polorovinách vytvořených touto stranou jako hraniční

ABCD = (D ABD) D BCD)

nebo lze definovat jeho průnik 4 polorovin

: mnohoúhelník (n-úhelník) A₁, A₂, ... A_n s vnitřním bodem K je sjednocení n-trojúhelníků D A₁A₂K; D A₂A₃K...

Např. pětiúhelník A₁ A₂ A₃ A₄ A₅

: kruznice k; k=

S je daný bod E² - střed kruznice

r je dané číslo r R - poloměr kruznice

: kruh K; K =

kruznice tvoří hranici kruhu

: kruhový oblouk je průnik kruznice a poloroviny s hranicí, která má s kruznicí dva společné body (sečny k)

: kruhová úseč je průnik kruhu a poloroviny s hranicí, která má s kruznicí dva společné body

: kruhová výseč je průnik kruhu a úhlu s vrcholem ve středu K (středový úhelw

: mezikruzí - M =