Číselné obory

Pojmy: základní pojmy, číselný obor, základní věty o operacích, absolutní hodnota

N N₀ Z Q R C

N - přirozená čísla - kladná, celá čísla bez nuly

N₀ - přirozená čísla včetně nuly

Z - celá čísla - kladná i záporná

Q - racionální čísla - desetinná čísla, zlomky

R - reálná čísla - vsechna čísla, p

C - komplexní čísla - odmocnina ze záporného čísla

Základní pojmy: vztah: < >

  : operace: a) základní +, sčítanec + sčítanec = součet

  činitel činitel = součin

b) inverzní základní -, : mensenec - mensitel = rozdíl

dělenec : dělitel = podíl

c) (-a) číslo opačné k číslu a

1/a číslo převrácené k číslu a

a číslo odmocněné k číslu a

a² číslo umocněné k číslu a

Číselný obor: Mnozina vsech čísel určitého druhu, v němz je bez omezení definováno sčítání a násobení.

Základní věty o operacích Komutativnost a+b=b+a (záměna sčítanců nebo činitelů)

a.b=b.a 

Asociativnost (a+b)+c=a+(b+c)

(a.b).c=a.(b.c)

Distributivnost (a+b).c=ac+bc (roznásobování závorky)

ac+bc=c(a+b) (vytýkání)

číslo je: kladné - a>

záporné - a<

nekladné - a

nezáporné - a

Absolutní hodnota: a - vzdálenost čísla od nuly (nalevo i napravo)

a =a ..... a

a = -a ..... a<

-a a

a+b a b

a-b b-a

a.b a b

a/b a b

Přirozená čísla

- čísla kladná (1,2,3..)

- obor přirozených čísel označovaný N je taková mnozina reálných čísel, která obsahuje číslo 1 a s kazdým číslem n číslo n+1, ale jiz zádná jiná čísla neobsahuje.

- platí zde princip matematické indukce: 1) 1 P

2) n P n+1 P

N=P

Přirozená čísla zapisujeme v: poziční číselné soustavě o základu 10 - desítková soustava

(můze být dvojková, sestnáctková...)

jednotky některých řádů ... 10²=100; 10¹⁸= trilión

:nepoziční číselné soustavě - římské číslice: I, V, X, L, C, D, M

Kritéria dělitelnosti: číslo a je dělitelné b právě tehdy, kdyz existuje takové přirozené číslo k, ze platí a=b.k. To je kdyz číslo a je násobkem čísla b. (b/a) - b dělí číslo a

1/20 - 1 dělí 20

2 - sudé

3 - ciferný součin dělitelný 3 (123=1+2+3=6... 6:3=2)

4 - poslední dvojčíslí dělitelné 4

5 - končí 0 nebo 5

6 - sudé a zároveň dělitelné 3

8 - poslední trojčíslí dělitelné 8

9 - ciferný součin dělitelný 9

10 - na konci 0

11 - 46834678....... kazdé druhé= 4+8+4+7=23

  = 6+3+6+8=23 ... 23=23

výsledek je buď stejný nebo násobkem 11

25 - končí-li 00,25,50,75

100 - končí-li 00

Prvočíslo: má pouze samozřejmé dělitele (dělitelné samo sebou a 1)

1 není prvočíslo ani slozené číslo (má kromě samozřejmých dělitelů jestě jiné dělitele)

Rozklad na prvočinitele: Eratosthenovo síto

První číslo nepřeskrtnuté je prvočíslo, najdu násobky toho čísla a vyskrtám. To co zbyde jsou prvočinitele.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

31 32 33 34 35 36 37 38 39 40

41 42 43 44 45 46 47 48 49 50

51 52 53 54 55 56 57 58 59 60

61 62 63 64 65 66 67 68 69 70

71 72 73 74 75 76 77 78 79 80

81 82 83 84 85 86 87 88 89 90

91 92 93 94 95 96 97 98 99 100

Zjistění, zda je číslo prvočíslo: 187 - 13,7 - prvočísla mensí nez 13 (13, 11, 7, 5, 3, 2)

Pokud jde číslo 187 vydělit některým z prvočísel 13, pak není č. 187 prvočíslem.

Je-li m> 1 slozené číslo, pak je dělitelné aspoň jedním prvočíslem p m

Společný dělitel: společný dělitel přirozených čísel n₁, n₂.... n_k nazýváme kazdé přirozené číslo, jez je dělitelem kazdého z nich. Ten ze společných dělitelů, který je větsí nez vsichni ostatní dělitelé, se nazývá největsím společným dělitelem.

D(n₁, n₂.... n_k) - krátíme jím zlomky

D(1284, 144)

144=2.2.2.2.3.3

D=2.2.3=12

Eukleidův algoritmus 1284=144.8+132 D=12

144=132.1+12

132=12.11+0

D(900, 588) D(450, -294)

900=588.1+312 450=-294.(-1)+156

588=312.1+276 -294=156.(-1)+138

312=276.1+36  156=138.1+18

276=36.7+24  138=18.7+12

36=24.1+12  18=12.1+6

24=12.2+0  12=6.2+0

D=12  D=6

Soudělná čísla jsou ta, která mají aspoň jednoho společného dělitele D>

Nesoudělná čísla jsou D(n₁, n₂.... n_k)=1

Společný násobek přirozených čísel n₁, n₂.... n_k nazýváme přirozené číslo, jez je nějakým násobkem kazdého z nich. Ten ze společných násobků, který je mensí nez kterýkoliv jený společný násobek, se nazývá nejmensí společný násobek n.

D (n₁, n₂).n (n₁, n₂)= n₁, n₂

n(900,588)

12.n=900.588

529200:12=44100

n=44100

Uzavřenost oborů vzhledem k operacím

Přirozená čísla uzavřená k +, x,

Celá čísla uzavřená k +, x, -

Racionální čísla uzavřená k +, x, -, : (s vyjímkou 0)

2k - sudé číslo

2k+1 - liché číslo

p/q < r/s ps < qr raciolnální č. = p/q (p - celé č., q - přirozené č.)

p/q = r/s ps = qr

p/q > r/s ps > qr

Desetinný rozvoj: ukončený

: neukončený - ryze (2:9=0,22222..)

- neryze (4,9285714285...) -- 4,9 - předperioda; 285714 - perioda

Diofantovské rovnice - hledáme číselné dělitele

14x+5y=6 (5y - násobek 5) (odečítám násobky č. 5) 14(5u-1)+5y=6

5y=6-14x (odečtu 5-15x) 70u-14+5y=6

5u=1+1x  5y=20-70u

x=5u-1  y=4-14u

za u dosazujeme celá čísla (obě stejná)

Př. 4x+5y=77  4x+5(1-4u)=77

4x=77-5y  4x+5-20u=77

4u=1-y  4x=72+20u

y=1-4u  x=18+5u

obráceně

5y=77-4x  4(5u-2)+5y=77

5u=2+x  20u-8+5y=77

x=5u-2  5y=85-20u

y=17-4u