AnalĪtiska Ģeometrija

ANALĪTISKA ĢEOMETRIJA

1. Analītiskas ģeometrijas jēdziens

Analītiska ģeometrija ir matematikas nozare, kas ģeometrijas objektus pēta ar algebras metodēm.

Analītiska ģeometrija radas no nepieciešamības izveidot vienveidīgu metodi ģeometrijas uzdevumu risinašanai. Elementaraja ģeometrija veido zīmējumus un no tiem veic aprēķinus vai 414g65e pieradījumus. Analītiskaja ģeometrija raksta formulas un uzdevumu risina, veicot algebriskus parveidojumus un aprēķinus.

Šīs matematikas nozares pamatlicēji ir 17. gs. pirmas puses ievērojamakie franču matematiķi Pjērs Ferma (Pierre de Fermat, 1601‑1665) un Renē Dekarts (Rene Descartes, 1596‑1650). Jau 1637. g. darba „Ģeometrija” Dekarts parada algebras saistību ar ģeometriju, algebrai ieradot pirmo vietu. Ferma pierada, ka linears vienadojums ar 2 nezinamajiem izsaka taisni (darbs publicēts 1679. gada pēc Ferma naves).

Analītiskas ģeometrijas pamata ir koordinatu metode. Šī metode balstas uz faktu, ka katru punktu nosaka sakartots realu skaitļu paris (plaknē) vai sakartots realu skaitļu trijnieks (telpa). Savukart katram sakartotu realu skaitļu parim plaknē atbilst punkts, bet trijniekam punkts telpa. Tatad starp skaitļiem un punktiem pastav savstarpēji viennozīmīga atbilstība. Šada atbilstība pastav arī starp vienadojumiem un līnijam, virsmam.

2. Attaluma starp punktiem aprēķinašana

Pieņemsim, ka ir dotas punktu koordinatas un . Uzrakstīsim vektora koordinatas:

.

Aprēķinasim vektora garumu:

.

Ta ka vektora garums ir nogriežņa AB garums, tad ta garumu rēķina ar formulu:

. (1)

Piemērs.

Aprēķinat attalumu starp punktiem un .

No attaluma aprēķinašanas formulas (1) iegūstam, ka

3. Līnijas vienadojums un ta sastadīšanas shēma

Analītiskaja ģeometrija aplūko tadas līnijas, kuru visiem punktiem piemīt kada noteikta īpašība. To izmantojot, var atrast līnijas vienadojumu, kura nezinamie ir līnijas brīvi izraudzīta punkta koordinatas x un y, ja līnija atrodas plaknē . Līnijas vienadojumu visparīga veida pieraksta .

Par kadas līnijas vienadojumu sauc vienadojumu , kuru apmierina dotas līnijas katra punkta koordinatas, bet neapmierina neviena cita punkta koordinatas.

Piemērs.

Parbaudīt, vai punkti un atrodas uz līnijas .

Ievietojot punkta A koordinatas dotaja vienadojuma. iegūstam aplamu vienadību . Tatad šī punkta koordinatas neapmierina dotas līnijas vienadojumu un punkta A uz tas neatrodas.

Līdzīgi rīkojoties ar punkta B koordinatam, atrodam, ka

.

Ta ka esam ieguvuši patiesu vienadību, tad secinam, ka punkts B atrodas uz dotas līnijas.

Sastadot līnijas vienadojumu parasti rīkojas pēc šada plana:

brīvi izvēlas kadu līnijas punktu ;

vienadības veida uzraksta šī punkta visparīgo īpašību, kas dota definīcija vai uzdevuma nosacījumos;

iegūtaja vienadība ģeometriskos lielumus izsaka ar punkta koordinatam un vienkaršo iegūto vienadojumu.

Piemērs

Sastadīt vienadojumu līnijai, kuras katrs punkts atrodas vienada attaluma no punktiem un .

Uzskatīsim, ka ir patvaļīgi izraudzīts meklējamas līnijas punkts. No uzdevuma nosacījuma seko, ka attalumi . Izteiksim šos attalumus ar formulu (1):

, .

Ja , tad . Tatad

.

Vienkaršojam iegūto vienadību:

.

Parnesam visus saskaitamos kreisaja pusē un savelkam līdzīgos locekļus:

.

Esam ieguvuši taisnes vienadojumu.

Ja nepieciešams, uzdevuma risinajuma aplūkotos punktus un nogriežņus var attēlot zīmējuma.

4. Taisnes vienadojums plaknē

4.1. Taisnes virziena leņķis un virziena koeficients

Taisne ir ģeometrijas pamatjēdziens, to nedefinē.

Taisnes virziena leņķis ir mazakais leņķis , par kuru japagriež ass pretēji pulksteņa radītaja kustības virzienam, lai šī ass sakristu ar taisni. Tas var būt šaurs, taisns, plats vai vienads ar nulli:

.

Taisnes virziena leņķa tangensu sauc par taisnes virziena koeficientu. To apzīmē ar burtu k:

. (2)

Ja , tad (taisne paralēla Ox asij vai ar to sakrīt).

Ja , tad .

Ja , tad virziena koeficients neeksistē (taisne perpendikulara Ox asij).

Ja , tad .

Ja zinamas taisnes divu punktu koordinatas un , tad tas virziena koeficientu aprēķina ar formulu

. (3)

Piemēri

Noteikt virziena koeficientu taisnei, kuras virziena leņķis ir liels.

Šīs taisnes virziena koeficientu aprēķinasim ar formulu (2):

.

Aprēķinat virziena koeficientu un virziena leņķa lielumu taisnei, ka iet caur punktiem un .

Virziena koeficientu aprēķinasim ar formulu (3):

.

Virziena leņķa lielums ir:

.

4.2. Taisnes vienadojums, ja dots tas punkts un virziena koeficients

Pieņemsim, ka taisne iet caur punktu un tas virziena koeficients ir k. Brīvi izraudzītu mainīgo šīs taisnes punktu apzīmēsim ar . Tad saskaņa ar formulu (3) ir pareiza vienadība

.

No tas iegūstam vienadojumu taisnei, kas iet caur doto punktu ar doto virziena koeficientu

. (4)

Ja , tad . Ta ir tiešas proporcionalitates sakarība.

Sakarība (4) atverot iekavas un izsakot y, iegūstam:

()

Tas nozīmē, ja no taisnes vienadojuma izsaka y, tad reizinatajs pie x ir taisnes virziena koeficients k.

Piemēri

Taisnes virziena koeficients ir un ta iet caur punktu . Sastadīt šīs taisnes vienadojumu.

Pielietojot sakarību (4), varam rakstīt

Tatad taisnes vienadojums ir .

Uzrakstīt vienadojumu taisnei, kas iet caur punktu un kuras virziena leņķis ir liels.

Vispirms ar formulu (2) noteiksim virziena koeficientu

.

Talak sastadīsim taisnes vienadojumu ar sakarību (4) un to vienkaršosim

.

4.3. Taisnes vienadojums, ja doti divi tas punkti

Pieņemsim, ka un ir dotie taisnes punkti, bet ‑ šīs taisnes mainīgais punkts. Izmantojot (3) sakarību, taisnes virziena koeficientu varam izteikt divējadi

un .

Pielīdzinot abu vienadību labas puses, iegūstam taisnes vienadojumu caur diviem dotajiem punktiem

jeb

(5)

Ja , tad taisne paralēla Oy asij un tas vienadojums ir .

Ja , tad taisne paralēla Ox asij, tas vienadojums ir .

Jaievēro, ka, sastadot vienadojumu, nav svarīgi, kura dota punkta koordinates apzīmēsim ar indeksu 1 un kura ar 2.

Piemērs

Doti punkti , un . Sastadīt taišņu AB un BC vienadojumus.

Taisnes AB vienadojuma sastadīšana ar sakarību (5):

Taisne BC vienadojums: ta ka , tad taisne paralēla Oy asij, tas vienadojums ir .

4.4. Taisnes vienadojums koordinatu asu nogriežņos

Ja ir zinami taisnes krustpunkti ar koordinatu asīm un , tad taisnes AB vienadojumu varam sastadīt, izmantojot sakarību (5)

Vienadojumu

(6)

sauc par taisnes vienadojumu koordinatu asu nogriežņos.

Piemēri

Uzrakstīt zīmējuma redzamas taisnes vienadojumu

No grafika varam nolasīt, ka

un .

Ar formulu (6) rakstam taisnes vienadojumu

.

Veicam šī vienadojuma algebriskus parveidojumus:

.

Zīmējuma redzamas taisnes vienadojums ir .

Dots taisnes vienadojums . Parveidot to par vienadojumu koordinatu asu nogriežņos un konstruēt šo taisni.

Doto vienadojumu parveidosim par vienadojumu koordinatu asu nogriežņos:

.

Tagad redzams, ka taisne koordinatu asis krusto punktos un .

Pēc šiem punktiem viegli konstruēt taisni.

4.5. Taisnes vienadojums caur doto punktu perpendikulari dotajam vektoram

Pieņemsim, ka taisne iet caur punktu perpendikulari vektoram . Uz taisnes brīvi izraudzīsimies punktu un uzrakstīsim vektora

koordinatas:

.

Ta ka vektori un ir perpendikulari, tad to skalarais reizinajums ir vienads ar nulli, t. i., . Pielietojot skalara reizinajuma koordinatu formu, varam rakstīt, ka

.

Atverot iekavas un savelkot līdzīgos locekļus, iegūstam

(7)

Piemērs

Uzrakstīt vienadojumu taisnei, kas iet caur punktu L perpendikulari vektoram , ja un .

Vispirms uzrakstīsim vektora koordinatas:

.

Izmantojot sakarību (7), rakstīsim taisnes vienadojumu:

jeb .

4.6. Taisnes visparīgais vienadojums

Ja vienadojuma (7) izteiksmi aizstaj ar , tad iegūst taisnes vienadojumu

, (8)

kura vismaz viens no koeficientiem A un B ir atšķirīgs no nulles.

Skaitļi A un B ir taisnei perpendikulara (normala) vektora koordinates.

Arī lineara vienadojuma ar diviem mainīgajiem visparīgais veids ir

.

Tapēc vienadojumu (8) sauc par taisnes visparīgo vienadojumu.

Katrai taisnei plaknē xOy atbilst noteikts linears vienadojums un katram linearam vienadojumam atbilst noteikta taisne.

Zinot taisnes visparīgo vienadojumu , var noteikt tas virziena koeficientu k:

. (9)

Piemērs

Dots taisnes vienadojums . Noteikt šīs taisnes virziena koeficientu.

Koeficientu k var noteikt, izmantojot sakarību () vai (9).

No dota vienadojuma izsakam . Reizinatajs pie x ir vienads ar virziena koeficientu . Tadu pašu rezultatu dabūjam arī ar sakarību (9).

4.7. Taisnes vienadojums caur doto punktu paralēli dotajam vektoram

Uz taisnes doto punktu apzīmēsim ar , bet taisnei paralēlo vektoru ar . Taisnes mainīgais punkts ir . Tad vektora koordinatas ir:

.

Ta ka vektori un ir kolineari, tad to koordinatas ir proporcionalas:

(10)

Šo vienadojumu parveidojot, iegūstam

.

Salīdzinot atrasto vienadojumu ar taisnes visparīgo vienadojumu (8), redzam, ka

un .

4.8. Attalums no dota punkta līdz dotajai taisnei

Pieņemsim, ka ir dota taisne a ar vienadojumu un punkts . No šī punkta pret taisni a novilksim perpendikulu . Iegūta no nogriežņa garums ir punkta attalums līdz taisnei, to apzīmēsim ar d:

.

Aplūkosim vektoru un kadu taisnes a vektoru . Uz šiem vektoriem konstruēsim taisnstūri un aprēķinasim ta laukumu

Ta ka punkts atrodas uz taisnes a, tad

.

Tapēc

.

Attalumu d atradīsim, izmantojot taisnstūra laukuma formulu

(11)

Piemēri

Aprēķinat attalumu no punkta līdz taisnei .

Attalumu aprēķinasim, izmantojot formulu (11):

.

Dotas trijstūra virsotņu koordinates , un .

Aprēķinat no virsotne C novilkta augstuma garumu.

Vispirms uzrakstīsim taisnes AB vienadojumu, izmantojot formulu (5) (vienadojums taisnei caur diviem dotajiem punktiem):

Tagad aprēķinasim punkta C attalumu līdz taisnei AB ar sakarību (11):

.

Tas arī ir no virsotnes C novilkta augstuma garums.

5. Taišņu savstarpēja novietojuma plaknē pētīšana

5.1. Leņķis starp divam taisnēm

Pieņemsim, ka ir zinami taišņu virziena koeficienti un . Ja un ir šo taišņu atbilstošie virziena leņķi, tad

un .

Izmantojot sakarības starp leņķiem trijstūrī, iegūstam leņķi starp taisnēm

.

Ta ka vienadu leņķu tangensi ir vienadi, tad

.

Parveidojuma izmantota divu leņķu starpības tangensa formula.

Esam ieguvuši formulu divu taišņu veidota leņķa tangensa aprēķinašanai

.

Divam taisnēm krustojoties veidojas 4 leņķi. Pa pariem tie ir vienadi, divi leņķi šauri, divi plati vai visi 4 taisni. Zinot šaura leņķa lielumu, varam atrast plata leņķa lielumu (blakusleņķu īpašība). Ja gribam noteikt šaura leņķa lielumu starp taisnēm, tad jalieto sakarība

(12)

Šo sakarību nevar lietot, ja kada no taisnēm paralēla Oy asij.

Ja ir doti taišņu visparīgie vienadojumi un , tad varam uzrakstīt to normalvektoru koordinates

un .

Leņķis starp taisnēm ir tikpat liels, ka starp to normalvektoriem. Šī leņķa kosinusu varam aprēķinat, izmantojot vektoru skalaro reizinajumu koordinatu forma:

(13)

Piemēri

1. Vienas taisnes virziena koeficients ir , bet otra iet caur punktiem un . Aprēķinat mazaka pozitīva leņķa lielumu starp šīm taisnēm.

Pirmas taisnes virziena koeficients ir . Noteiksim otras taisnes virziena koeficientu ar sakarību (3):

.

Ar formulu (12) aprēķinasim tangensa vērtību mazakajam leņķim starp taisnēm

.

Tad .

2. Aprēķinat mazaka pozitīva leņķa lielumu starp taisnēm un .

Leņķa lielumu varam noteikt divējadi. Vispirms izmantosim sakarību (13):

;

.

Šaura leņķa lielums starp taisnēm ir .

Uzdevumu var atrisinat ar formulu (12), ja iepriekš nosaka taišņu virziena koeficientus. No taišņu visparīgajiem vienadojumiem izteiksim y. Tad reizinatajs pie x būs atbilstošas taisnes virziena koeficients:

;

.

Tagad noteiksim mazaka leņķa lielumu starp taisnēm

,

bet

.

5.2. Divu taišņu perpendikularitates nosacījums

Ja taisnes un ir perpendikularas, tad arī to normalvektori un veido taisnu leņķi. Tapēc šo vektoru skalarais reizinajums ir nulle, t. i.

jeb

. (14)

Šo sakarību algebriski parveidojot, iegūstam, ka

.

Talak pielietojam vienadību (9) un atrodam sakarību starp perpendikularu taišņu virziena koeficientiem

(15)

Iegūto formulu var pierakstīt arī ta: .

Vienadības (14) un (15) uzskata par divu taišņu perpendikularitates nosacījumu.

Divu taišņu paralelitates nosacījums

Ja divas taisnes ir paralēlas, tad to virziena leņķi un ir vienadi. Līdz ar to vienadi ir šo leņķu tangensi, tatad arī virziena koeficienti:

(16)

Paralēlu taišņu normalvektori ir kolineari, t. i. to koordinates ir proporcionalas, tapēc

(17)

Vienadības (16) un (17) ir divu taišņu paralelitates nosacījumi.

5.4. Divu taišņu krustpunkta koordinatu noteikšana

Taišņu un krustpunkta koordinates nosaka, atrisinot vienadojumu sistēmu

Ja sistēmu risina ar Kramera formulam, tad

, ,

kur ir sistēmas determinants, un  ‑ palīgdeterminanti.

• Ja sistēmas determinants , tad sistēmai ir tikai viens atrisinajums. Tas nozīmē, ka taisnes krustojas, un sistēmas atrisinajums ir krustpunkta koordinatas.
• Ja , bet vismaz viens no un nav vienads ar nulli, tad sistēmai nav atrisinajuma. Tatad taisnēm nav kopīga punkta, t. i. tas ir paralēlas.
• Ja , un , tad sistēmai bezgalīgi daudz atrisinajumu. Tas nozīmē, ka taisnes sakrīt.

Piemēri

1. Sastadīt vienadojumu taisnei, kas iet caur punktu perpendikulari taisnei .

Vispirms noteiksim dotas taisnes virziena koeficientu . Pēc tam ar sakarību (15) aprēķinasim perpendikularas taisnes virziena koeficientu

.

Tagad sastadīsim taisnes vienadojumu, ja zinams tas virziena koeficients un punkta koordinates:

.

2. Noteikt punkta projekciju uz taisnes, kas iet caur punktiem un .

Noteiksim taisnes virziena koeficientu ar formulu (3)

un uzrakstīsim tas vienadojumu ar sakarību (4)

.

Pielietojot sakarību (15), atradīsim taisnei MN perpendikularas taisnes PK virziena koeficientu un uzrakstīsim taisnes PK vienadojumu

.

Punkta P projekcija uz taisnes MN ir abu taišņu krustpunkts. Ta koordinates atradīsim, atrisinot sistēmu

ar Kramera formulam

;

Tatad punkta P projekcija uz taisnes MN ir .

3. Romba divas malas atrodas uz taisnēm un , bet diagonales vienadojums ir . Atrast romba parējo divu malu vienadojumus.

1) Vispirms ievērosim, ka doti romba paralēlo malu vienadojumi. Pieņemsim, ka tas ir malas AB un CD. Ta ka zinams arī diagonales BC vienadojums, tad punkta B koordinates ir

,

bet C koordinates

.

2) Noteiksim romba diagonaļu viduspunkta O koordinates

.

3) Atradīsim taisnes BC virziena koeficientu un tai perpendikularas taisnes AD virziena koeficientu

.

4) Tagad varam uzrakstīt diagonales AD vienadojumu ar formulu (4)

un atrast punkta A koordinates

.

5) Malas AC vienadojumu uzrakstīsim, izmantojot formulu (5):

6) Ievērosim, ka , un uzrakstīsim malas BD vienadojumu