xMatematiska analīze

Definīcijas

Dekarta reizinājums. Visu sakārtoto pāru (x, y), x X, y Y, kopu sauc par kopu X un Y Dekarta reizinājumu un apzīmē X×Y.

Funkcijas definīcija. Trijnieku f = (X, Y, G), kur G X × Y, sauc par funkciju, ja visiem kopas G elementiem (x, y), (x, z) ir spēkā vienādība y = z. Kopu X sauc par funkcijas f starta kopu, Y - par f finisa kopu, bet G - par f grafiku.

Visur definēta funkcija. Funkciju f: X→Y sauc par visur definētu, ja "x X y Y ((x, y) G

Sirjekcija. Funkciju f: X→Y sauc par sirjekciju, ja Ran(f) = Y.

Injekcija. Funkciju f: X→Y sauc par injekciju, ja dazādiem elementiem x₁, x₂ X atbilst atsķirīgi elementi f(x₁), f(x₂) Y, t.i., x₁ x₂ => f(x₁) f(x₂).

Funkciju kompozīcija. Ja f: X→Y un g: W→Z, tad funkciju F: X→Z, kas definēta ar nosacījumu: "x X (F(x) = g(f(x))), sauc par funkciju f un g kompozīciju un apzīmē f ○ g.

Funkcijas robezas punktā definīcija. Skaitļi a sauc par funkcijas f(x) robezu, kad x tiecas uz c, ja katram pozitīvam skaitlim ε eksistē tāds pozitīvs skaitlis δ, ka visiem funkcijas f definīcijas apgabala elementiem x, kuriem 0 < |x - c| < δ izpildās nosacījums: |f(x) - a| < ε. Simboliskais pieraksts: .

Labās (kreisās) puses funkcijas robezas punktā definīcija.

Funkcijas nepartrauktības definīcija. Funkciju f(x) sauc par nepārtrauktu punktā c, ja .

Funkcijas pārtraukuma punkti. Puktu c sauc par funkcijas f(x) pārtraukuma punktu, ja c Dom(f) vai arī sajā punktā funkcija nav nepārtraukta. Ja pārtraukuma punktā eksistē vienpusējās robezas, tad so pārtraukuma punktu sauc par pirmā veida pārtraukuma punktu. Sajā situācijā starpību sauc par funkcijas f(x) lēcienu punktā c. Ja lēciens vienāds ar 0, tad pārtraukuma punktu c sauc par funkcijas f(x) novērsamu pārtraukuma punktu. Pārtraukuma punktu, kas nav pirmā veida pārtraukuma punkts, sauc par otrā veida pārtraukuma punktu.

Funkcijas atvasinājums punktā. Funkciju f sauc par atvasināmu punktā c, ja eksistē robeza .

Apsleptā funkcija. Ja funkcija y = y(x) uzdota ar vienādojumu, kas nav atrisināts attiecībā pret y, tad sādu funkciju sauc par apslēptu funkciju.

Diferenciālis. Funkciju y = f(x) sauc par diferencējamu punktā c, ja kādā punkta c apkārtnē funkcijas pieaugums ∆y izsakāms kā summa ∆y = a∆x + ε(∆x)∆x, kur a R un ε(0) = 0 =. Reizinājumu a∆x sauc par funkcijas f(x) diferenciāli punktā c un apzīmē ar dy. Simetrisku apsvērumu dēļ ∆x apzīmē ar dx, tāpēc dy = adx.

Funkcijas lielākā (mazākā) vērtība kopā. Pieņemsim, ka funkcijas f definīcijas apgabals S satur punktu c. f(c) sauc par funkcijas lielāko (mazāko) vērtību kopā S, ja "x S (f(c) ≥ f(x)) ("x S (f(c) ≤ f(x))).

Ekstremālās vērtības.   Pieņemsim, ka funkcija f ir nepārtrauktā slēgtā intervalā [a; b]. Funkcijas mazāko un lielāko verību sajā intervalā sauc par ekstremālajām vērtībām.

Funkcijas kritiskie punkti slēgtā intervālā. Punkti, kuros funkcija f slēgtā intervālā [a; b] sasniedz ekstremālās vērtības sauc par funkcijas f kritiskajiem punktiem. Kritiskie punkti: intervāla galapunkti.; stacionārie punkti - punkti, kuros funkcijas atvasinājums ir 0; singulārie punkti - punkti, kuros funkcijas atvasinājums neeksistē.

Augosa (dilstosa) funkcija. Pieņemsim, ka funkcija f ir definēta intervālā I. Funkciju f sauc par augosu (dilstosu) intervālā I, ja "x , x₂ I [x₁ < x₂ => f(x₁) < f(x₂)]   ("x , x₂ I [x₁ < x₂ => f(x₁) > f(x₂)]).

Monotona funkcija. Funkciju f sauc par stingri monotonu intervālā I, ja tā ir dilstosa vai augosa sajā intervālā.

Izliekta (ieliekta) funkcija. Diferencējamu funkciju f(x) un tās grafiku intervālā ]a; b[ sauc par izliektu (ieliektu), ja grafiks atrodas zem (virs) jebkuras grafika pieskares minētajā intervālā.

Funkcijas pārliekuma punkts. Funkcijas grafika punktu, kas atdala grafika izliekto daļu no ieliektās daļas, sauc par grafika pārliekuma punktu.

Funkcijas lokāla minimālā (maksimālā) vērtība. Pieņemsim, ka funkcijas f definīcijas apgabals S satur punktu c. f(c) sauc par funkcijas f lokālo minimālo (maksimālo) vertību, ja eksistē tāds intervals ]a; b[, kurs satur punktu c, ka f(c) ir minimāla (maksimālā) vērtība kopā ]a; b[ ∩ S.

Robeza, kad arguments tiecas uz +∞ (-∞). ;;.

Robeza, kas vienāda ar +∞ (-∞). ;.

Bezgalīgi maza funkcija. Funkciju f(x) sauc par bezgalīgi mazu x-am tiecoties uz c, ja .

Bezgalīgi liela funkcija. Funkciju f(x) sauc par bezgalīgi lielu x-am tiecoties uz c, ja .

Vertikāla asimptota. Taisni x = c sauc par funkcijas f(x) grafika vertikālo asimptotu, ja izpildas kaut viens no nosacījumiem jeb + vai jeb +

Slīpā asimptota. Ja eksistē tādi skaitļi a un b, ka , tad taisni y = ax+b sauc par funkcijas f(x) slīpo asimptotu.

Primitīvā funkcija. Par dotas funkcijas f(x) primitīvo funkciju sauc tādu funkciju F(x), kuras atvasinājums ir vienāds ar doto funkciju.

Nenoteiktais integrālis. Funkcijas f(x) primitīvās funkcijas vispārīgo veidu F(x) + C, kur F(x) ir f(x) kaut kāda primitīvā funkcija un C ir patvaļīga konstante, sauc par funkcijas f(x) nenoteikto integrāļi un apzīmē ar simbolu, t.i., .

Rīmaņa summa. Summu sauc par izvēles sadalījumam P_n atbilstoso funkcijas f Rīmaņa summu.

Integrējama funkcija. Ja eksistē jebkuram izvēles sadalījumam P_n, tad saka, ka funkcija f ir integrējama intervālā [a; b].

Noteiktais integrālis. Ja eksistē jebkuram izvēles sadalījumam P_n, tad saka, ka funkcija f ir integrējama intervālā [a; b] un so summas robezu sauc par noteikto integrāli, un apzīmē .

Integrālis ar mainīgu augsējo robezu. Pieņemsim, ka funkcija f ir integrējama intervālā [a; b] un x ir patvaļīgs punkts no sī intervāla. Funkciju ar definīcijas apgabalu [a; b] sauc par integrāli ar mainīgu augsējo robezu.