Pagrindiniai teoriniai klausimai

Uzduotys

1. Atlikti kelis tūkstančius β dalelių arba γ kvantų skaičiaus matavimų, kurių kiekvieno trukmė - kelios desimtosios sekundės. Siuos matavimus atlikti, esant trims spinduliuotos intensyvumo vertėms.
2. Kiekvienam intensyvumui nubraizyti dalelių skaičiaus histogramą, apskaičiuoti vidurkį, dispersiją ir standartinį nuokrypį.
3. Ismatuotąjį daleliu skaičiaus skirstinį palyginti su Puasono skirstiniu.

Pagrindiniai teoriniai klausimai

1. Kodėl per tam tikrą laiką uzr 131g622b egistruotų α, β arba γ dalelių skaičius yra atsitiktinis dydis?
2. Atsitiktinio dydzio skirstinio sąvoka. Tikimybės tankis.
3. Atsitiktinio dydzio vidurkis, dispersija ir standartinis nuokrypis.
4. "Trijų sigma" taisyklė.
5. Gauso skirstinio funkcija. Gauso skirstinio atsiradimo sąlygos.
6. Puasono skirstinio funkcija. Puasono skirstinio atsiradimo sąlygos.
7. Puasono skirstinio pavidalo prieklausa nuo vidurkio.
8. Kuriuo atveju Puasono skirstinį galima pakeisti Gauso skirstiniu?
9. Tikimybės, kad matuojamojo dydzio vertė priklausys duotajam intervalui, skaičiavimas.

Teorinis įvadas

Per tam tikrą laiką uzregistruotų α, β arba γ dalelių skaičius visuomet yra atsitiktinis skaičius, nes negalima is anksto pasakyti, kuris branduolys skils duotą akimirką. Tačiau statistiniai metodai gali nusakyti tikimybę, kad duotu laiko momentu skils  tam tikras branduolių skaičius. Taisyklė (lentelė arba funkcija), kuri nusako sias tikimybes (arba tikimybės tankį), vadinama atsitiktinio dydzio skirstiniu.

Pagrindiniai atsitiktinio dydzio skirstinio parametrai yra vidurkis, standartinis nuokrypis ir dispersija. Vidurkis apibrėziamas taip:

čia n - matavimų skaičius, x_i - atskirų matavimų rezultatai.

Atsitiktinio dydzio "issibarstymą" apie vidurkį nusako standartinis nuokrypis :

Standartinis nuokrypis yra lygus kvadratinei sakniai is dispersijos:

Visi trys minėti parametrai taip yra atsitiktiniai dydziai, nes skaičiuojami naudojant baigtinį matavimų rezultatų skaičių. Tačiau rezultatų skaičiui augant į begalybę, vidurkis, dispersija ir standartinis nuokrypis artėja prie tam tikros, empirinės, vertės.

Matematiskai yra įrodoma, kad, kai matavimų skaičius ir vieno matavimo metu uzregistruotų dalelių skaičius yra pakankamai dideli, 99,7% matavimų rezultatų patenka į intervalą Sis teiginys vadinamas "trijų sigma taisykle": beveik visi matavimų rezultatai nuo vidurkio nukrypsta maziau nei 3 .

Kai matavimo paklaida lygi sumai didelio skaičiaus vienodos eilės nepriklausomų paklaidų, atsitiktinio dydzio skirstinys vadinamas Gauso skirstiniu, ir yra tokio pavidalo:

Branduolių skilimą visiskai apraso binominis skirstinys:

čia N - skilusių branduolių skaičius. Kadangi bandinyje N paprastai būna labai didelis - didesnis nei 10¹⁰, galime pereiti prie ribos, ir gausime, kad:

Si formulė nusako Puasono skirstinį. Paprastai atsitiktinis dydis būna pasiskirstęs pagal Puasono skirstinį, kai jo prasmė - kokių nors vienarūsių dydzių skaičius per fiksuotą laiko tarpą. Be to, atsitiktinis dydis turi tenkinti sias sąlygas: ordinarumo (įvykiai atsiranda po vieną, o ne grupėmis), stacionarumo (vidutinis įvykių skaičius per laiko tarpą yra pastovus), poveiksmio nebuvimo (matavimo rezultato tikimybė nepriklauso nuo ankstesnių matavimų).

Puasono skirstinio vidurkis sutampa su dispersija.

Nesunku pastebėti, kad

.

Todėl, kai <1, P_k monotoniskai mazėja, augant k. Kai >1, skirstinyje atsiranda maksimumas, kurio vieta apytiksliai sutampa su . Augant k, P_k darosi vis labiau simetriskesnė maksimumo atzvilgiu. Praktiskai, kai >20, Puasono skirstinį galime pakeisti Gauso skirstiniu.

Eksperimento planas

1. Įjungiami dalelių skaitiklio (detektoriaus) maitinimo blokas, registravimo įrenginys ir kompiuteris, kuris naudojamas registravimo įrenginio valdymui ir histogramos skaičiavimui.
2. Salia skaitiklio padedamas radioaktyvusis saltinis. Jeigu radioaktyvusis saltinis yra apsauginiame konteineryje, tuomet konteinerį reikia atidengti ir nukreipti į skaitiklį.
3. Atstumas tarp radioaktyviojo saltinio ir skaitiklio parenkamas taip, kad vidutinis dalelių skaičius per vieną matavimą būtų tarp 30 ir 50.
4. Atliekami 3000 matavimų po 0,2 s.
5. Darbo sąsiuvinyje uzrasomi histogramos duomenys, t.y., skirtingų rezultatų pasikartojimo skaičiai.
6. Punktai 4 ir 5 pakartojami, esant didesniam atstumui tarp radioaktyviojo saltinio ir skaitiklio. Atstumas turi būti toks, kad vidurkis būtų tarp 3 ir 5.
7. Atstumas tarp radioaktyviojo saltinio ir skaitiklio dar labiau padidinamas. kad vidurkis būtų tarp 0,5 ir l. Pakartojami punktai 4 ir 5.
8. Pagal formules ir kiekvienai vidurkio verto apskaičiuojami dispersija D ir standartinis nuokrypis . Skaičiuojant dispersiją, patogiau uzrasyti taip, kad būtų sumuojama ne atskirų matavimų atzvilgiu, o galimų dalelių skaičiaus verčių k atzvilgiu: čia n yra pilnutinis matavimų skaičius, kuris atitinka duotąją vertę, yra maziausias ir didziausias dalelių skaičiai, kurie buvo uzregistruoti, esant duotai saltinio padėčiai atzvilgiu skaitiklio, o yra skaičius matavimų, kurių metu buvo uzregistruota k dalelių.
9. Vidurkiai, dispersijos ir standartiniai nuokrypiai surasomi į lentelę. Kiekvienai vidurkio vertei patikrinama lygybė .
10. Kiekvienai vidurkio vertei nubraizoma dalelių skaičiaus per vieną matavimą histograma. Tame pačiame grafike nubraizoma teorinė kreivė, kuri nusako histogramos stulpelių auksčius, kurie būtų gauti tuo atveju, jeigu visų galimų matavimo rezultatų dazniai tiksliai atitiktų Puasono skirstinį Jeigu stulpelio plotis lygus l, teorinę kreivę reikia skaičiuoti pagal formulę, o jeigu didesnis uz l -pagal formulę. Siose formulėse tikimybė P_k turi būti skaičiuojama pagal Puasono skirstinio funkciją Jeigu vidurkis k didesnis uz 20, galima naudoti apytikslę formulę
11. Įvertinamas eksperimento ir teorijos atitikimas.

Matavimų rezultatai

Pirmas bandymas:

Antras bandymas:

Trečias bandymas:

Pagrindiniai rezultatai ir jų aptarimas

Geriausiai teoriniai skaičiavimai su eksperimentiniais sutapo trečio bandymo metu (3 pav.). Tai susiję su tuo, kad jo metu buvo uzfiksuoti tik 6 skirtingi matavimo rezultatai (palyginimui - pirmo bandymo metu uzregistruota apie 50 skirtingų rezultatų). Dėl to trečio bandymo metu matavimo rezultatai kartojosi daug dazniau, nei pirmo ar antro. Kuo daugiau pasikartojančių rezultatų, tuo santykinė paklaida yra mazesnė.