2001 metų informatikų 2-o koliokviumo uzdaviniai

Atsitiktinio dydzio x, , skirstinys uzrasomas sąrysiu:

;

a)      įsitikinkite, kad nurodytas sąrysis yra tikimybinis skirstinys;

b)      raskite atsitiktinio dydzio x vidurkį.

Pateikta dvimačio atsitiktinio vektoriaus (x h) pasiskirstymo lentelė:

a)      raskite atsitiktinio dydzio z x h tikimybinę lentel 20420e43u ę;

b)      apskaičiuokite tikimybę ;

c)      raskite atsitiktinių dydzių x ir h koreliacijos koeficientą;

d)      ar atsitiktiniai dydziai x ir h yra koreliuoti? Ar priklausomi? Ar tiesiskai priklausomi?

Dvimačio atsitiktinio vektoriaus (x h) pasiskirstymo funkcijos tankis nusakomas sąrysiu:

a)      įsitikinkite, kad yra tankio funkcija;

b)      apskaičiuokite tikimybę ;

c)      raskite Mx ir Mh

d)      patikrinkite ar atsitiktiniai dydziai x ir h yra priklausomi.

SPRENDIMAS

a)      Pazymėkime . Turi galioti tokios dvi sąlygos

Pirmoji sąlyga tenkinama (akivaizdu). Tikrinkime antrąją:

Taigi, įsitikinome, kad turime tikimybinį skirstinį.

b)      Skaičiuosime vidurkį

Mx

Sią sumą rasime tokiu būdu. Uzrasykime geometrinės progresijos sumą

(si lygybė galioja, kai )

Isdiferencijuokime parametro atzvilgiu

(si lygybė taip pat galioja, kai )

T.y. gavome tokią lygybę:

Remiantis sia lygybe nesunku paskaičiuoti ieskomą vidurkį:

Mx 2

Ats.: Mx

Turime pasiskirstymo lentelę

a)      Rasime atsitiktinio dydzio z x h visas įgyjamas reiksmes. Imkime x 0, tuomet, kai h -1, 1, 2 atitinkamai gauname, kad z 1, -1, -2. Dabar imkime x 1, tuomet, kai h -1, 1, 2 atitinkamai gauname, kad z 3, 1, 0. Taigi, atsitiktinis dydis z gali įgyti tik tokias reiksmes: -2, -1, 0, 1, 3.

Rasime tikimybes, su kuriomis įgyjamos sios reiksmės:

Uzrasome gautą atsitiktinio dydzio z pasiskirstymo dėsnį:

PASTABA. Reiksmių, kurių tikimybės yra lygios nuliui nebūtina rasyti į lentelę, nes tų reiksmių tas dydis tiesiog neįgyja (pas mus -2, bet tas galioja ir visoms kitoms reiksmėms, kurios nėra -1, 0, 1 arba 3).

b)      Skaičiuojame tikimybę

Ats.: 0,5

c)      Norint rasti koreliacijos koeficientą reikia rasti pirmiausiai vidurkius, po to dispersijas ir kovariaciją. Norint rasti vidurkius reikia rasti vienmačius skirstinius. Juos randame pagal formules: ,

Vidurkiai

Mx

Mh

Dispersijos

Dx M(x (Mx

Dh M(h (Mh

Sandaugos vidurkis

M(xh

Kovariacija

Koreliacijos koeficientas

d)      Atsitiktiniai dydziai x ir h yra koreliuoti, nes koreliacijos koeficientas nėra lygus nuliui. Atsitiktiniai dydziai x ir h yra priklausomi, nes jie yra koreliuoti. Atsitiktiniai dydziai x ir h nėra tiesiskai priklausomi (t.y. nėra tiesiskai susieti), nes neispildyta sąlyga, kad .

PASTABA. Jei atsitiktiniai dydziai būtų nekoreliuoti, tai is to dar neisplauktų tai, kad jie yra nepriklausomi. Kaip tuomet reikėtų patikrinti ar jie nepriklausomi? Nesvarbu ar dydziai koreliuoti ar ne, visada nepriklausomumą galima patikrinti pagal nepriklausomumo apibrėzimą:

Jei bent vienai indeksų porai si lygybė negaliotų, tai atsitiktiniai dydziai x ir h nebūtų nepriklausomi, t.y. jie būtų priklausomi.

Pvz.: , nes - is to jau isplaukia, kad atsitiktiniai dydziai x ir h yra priklausomi.

Klausimas: ar atsitiktiniai dydziai gali būti priklausomi ir nekoreliuoti?

Atsakymas: taip

Turime funkciją

a)      Norint, kad tai būtų tankio funkcija, reikia įsitinkinti, kad jai galioja tokios dvi sąlygos:

" (x,y) :

Pirmoji sąlyga akivaizdziai tenkinama. Tikriname antrąją:

Taigi, tenkinama ir antroji sąlyga. Vadinasi tikrai turime tankio funkciją.

b)     

y

Skaičiuosime tikimybę .

Norint apskaičiuoti tikimybę patekti į uzstrichuotą sritį, reikia tankio funkciją suintegruoti toje srityje, t.y.:

.

c)      Raskime vienmačius tankius.

Skaičiuojame vidurkius

d)      Atsitiktiniai dydziai x ir h yra nepriklausomi, nes visiems x ir visiems y galioja lygybė:

(nors nėra būtina, kad visiems x ir visiems y galiotų (zr. pastabą) )

Primename, kad

PASTABA. Jei bent viename tolydumo taske (x,y) ( siuo atveju, taske, kurio koordinatės nėra intervalo galai ) lygybė

  (1)

negaliotų, tai atsitiktiniai dydziai x ir h būtų priklausomi!

Jei taskas (x,y) nėra funkcijos tolydumo taskas, tai gali būti taip, kad atsitiktiniai dydziai x ir h yra nepriklausomi, nors tame taske:

Galima ir pasiskirstymo funkcijų pagalba patikrinti nepriklausomumą.

Jei bent viename (nebūtinai tolydumo) taske (x,y) lygybė

  (2)

negaliotų, tai atsitiktiniai dydziai x ir h būtų priklausomi. Jei x ir h yra tolydūs atsitiktiniai dydziai, tai jų pasiskirstymo funkcijos yra tolydzios, todėl visi taskai (x,y) (2) lygybėje čia yra tolydumo taskai; o jeigu x ir h būtų diskretūs atsitiktiniai dydziai, tai (2) lygybėje gali būti ir netolydumo taskų, tačiau (2) lygybės galiojimas vis tiek būtų nepriklausomumo kriterijus (t.y. ji galioja visiems x ir visiems y tada ir tik tada, kai x ir h yra nepriklausomi), nes (2) lygybė yra lygybė tarp tikimybių , kuri ir yra atsitiktinių dydzių x ir h nepriklausomumo apibrėzimas.