alapvonások

OBJEKTIVITÁS

Két fajta objektivitásról is beszélhetünk a matematikával kapcsolatban. Az egyik a matematika egész rendszerének, állításai igazának abszolút volta, ami minden ember számára nyilvánvaló, nemcsak elfogadható, hanem kényszerítő erejű, sőt lehetséges, hogy az emberi világtól függetlenül is léteznek ezek az igazságok, ahogyan azt a platonisták gondolják. Nem tudjuk máshogyan elképzelni, nem igaznak gondolni bizonyított állításait, mert gondolkodásunk szövedékét teljesen átitatják az itt alkalmazott eljárások. Nem mindenki egyformán érzékeny az ilyen fajta bizonyosságra, de meggyőző erejüket valamilyen szinten mindenki tapasztalhatja. Ezen alapvonás megléte lehetséges lenne önmagában is, de ehhez hozzájárul még egy másik típusú objektivitás is, az ún. külvilágra, az emberi világon kívüli valóságra, a természetre való eredményes vonatkoztathatóság, annak leírásában betöltött szerepe. A természettudományokban a megértés fogalmához szorosan kapcsolódik a matematikai formákkal való leírhatóság.

Amikor egyre több és több mindenről kiderül, hogy nem 959c216j valósítja meg az abszolút igazságról alkotott elképzelésünket, amikor biztosnak gondolt alapok relativizálódnak, akkor a matematikai igazságok platonista abszolútságáról szóló idea jogos ellenérvként szolgál a teljes káoszról és értelmetlenségről szóló végkövetkeztetésünkkel szemben. Valóban, egy helyes matematikai bizonyítás sajátos időtlenségben létezik, más jelöléseket használunk mint régen és az egész nyelvezet már egész más, de a logikai következtetések ugyanúgy zajlanak. Egy természetes logika hozzánk tartozik. Úgy érezhetjük, különösen biztos tudáshoz jutunk általa. Bármiről való tudásunkat megkérdőjelezhetjük, de talán itt kell a legkevesebb bizonytalan előfeltevésre hagyatkoznunk. (Érdekes különbség van a matematika és már a természettudományok között is: egy bizonyítás, ha jó, akkor az örökre jó, míg kilépve a tiszta szellemi síkból a fizikában pl. valós kérdés, hogy ha egy atom százezer tapasztalt esetben ugyanúgy bomlott el, akkor legközelebb is úgy fog-e, vagyis itt a törvények időbelisége jogosan vethető fel.) A matematika lényegéhez tartozik, hogy a fogalmakat, módszereket pontosan határozzuk meg. Gondolatmeneteit elvileg bárki végigkövetheti, s így mindenki előtt ott van a lehetőség, hogy megértse miről is van szó. Valóban úgy érezhetjük, itt alappillérre bukkantunk.

Az objektivitás megnyilvánul olyan módon is, hogy szellemi életünkben itt juthatunk el az embertől legfüggetlenebb világba, az itteni létezők hordoznak legkevesebbet az emberi sajátságokból, ez tudatos törekvés eredménye, érdekességét jelentős mértekben ez adja.

A matematika sajátos fogalomrendszerében és eljárásaiban megnyilvánuló kétségbevonhatatlansággal kapcsolatban felmerül a kérdés, csak azért tűnik-e számunkra abszolútnak, mert emberi alkotás és a saját értelmi horizontunkon mozog, ezért érezzük abszolútnak, ezért jelenti ezt nekünk, vagy itt valóban mindenre érvényes általános elvekről beszélhetünk. Például logikusan működik-e a világ, vagyis érvényes-e rá a mi logikánk, valóban törvényszerű-e mindenhol az, amit mi magától értetődőnek találunk? Enyhe kételyt ébresztenek ez iránt a kvantummechanika "paradoxonjai", amikor is észlelünk bizonyos rendet, mert fogalmainkkal megragadható jelenségekkel találkozunk, csak éppen ezek nem logikusak, annak a leginkább használatos értelmében. A lehetőség fennáll arra, hogy később, amikor már több mindent tudunk, megértsük, tehát értelmesnek, sőt logikusnak mondjuk ezeket, ahogy megtörtént ez már nagyon sokszor: felfedezésükkor érthetetlen dolgokon ma már nem is csodálkozunk. Ha viszont elfogadjuk ezt a lehetőséget, akkor lényegében semmire nem mondhatjuk, hogy nem logikus, hiszen lehet, hogy csak azért gondoljuk ezt, mert nem tudunk eleget. Így a világ logikussága egy képlékeny valami lesz, ami önmagában nem jelent semmit. Nem kell viszont a tudománynál maradnunk, számtalanszor szembesülhetünk azzal, hogy egymásnak ellentmondó meglátásaink vannak, s ezeknek utánajárva egyre inkább az lehet az érzésünk, hogy a világ nem a matematikában megszokott vagy igen, vagy nem szerint működik.

A matematika fogalmai gyakran logikai konstrukciók, amelyeket aztán logikával kötünk össze más hasonló objektumokkal. A világnak ez a fajta megközelítése, vagyis annak tisztán logikai vizsgálata lehetetlen, erre - különös módon - azt mondhatjuk, hogy saját (de nem tisztán matematikai) logikánkkal jöhetünk rá. Egy logikai hálót valóban felépíthetünk, ennek tartalma azonban önmagában nincs, további kérdéseket tehetünk fel azzal kapcsolatban, amire vonatkoztatjuk ezt a rendszert. Mondhatjuk azt is, hogy ez sem fontos, a lényeg az összefüggésekben van (a formalistákra utalhatunk itt), de ez a kijelentés megkerül néhány nagyon is lényeges, értelmesnek mondható kérdést. Biztos alapunk nincs tehát a logikán belül, ezeket máshonnan kell szereznünk. Vannak dolgok, amiket nem tudunk kizárólag logikával vizsgálni. Az emberi lét kérdései csodálatosak, de a logika számára egyszerűen paradoxak.

"Az ész nem annyira teremtő erő, mint inkább összehangoló és ellenőrző. Még a legtisztább logikai szférában is az intuíció az, ami először érkezik el az újhoz."

Bertrand Russel

Nem esünk kétségbe azon "logikai paradoxonon", hogy a következő képen a négyzetek között, a sarkoknál sötét foltokat látunk, holott tudjuk, nincs ott ilyesmi, bizonyos szempontból tehát - látásunk szerint - van ott valami, értelmünk szerint viszont nincsen:

M.C. Escher: Körhatár IV. c. képéről ismeretes, hogy szerkezetének a matematikában pontos megfelelője van és az összefüggés több részlétet csak azután lehetett teljes mértékben tisztázni, amikor az később megszületett a matematikában. Ez lehet érv amellett, hogy sajátos látásmódunk mindenütt megnyilvánul, tehát egy kép megszerkesztésénél működő érzékünk tevékenykedik a matematika megalkotásánál is, így a matematika terén is csak azt tudjuk meglátni ami sajátos szemszögünkből látható, de amellett is érvelhet, hogy a világban objektíven benne lévő formára bukkantunk, így nem véletlen, hogy a matematikában is és a művészi tevékenységünkben is felbukkan.

M.C. Escher: Körhatár IV

A matematika abszolút voltához hozzátartozik, hogy annak megítélése, mi az, ami megüti a magasra tett mércét úgy tűnik nem egyértelmű, nehéz általános kritériumokat találni.

"A halmazelméletben olyan gyönyörű teorémák vannak, mint Cantoré a kontinuum ,megszámlálhatatlanságáról', amelyeket elég könnyű bizonyítani, ha kezelni tudjuk a nyelvet, de rengeteg magyarázatra van szükség, hogy megvilágosodjék a teoréma jelentése."

G. H. Hardy

Ezt az elméletet megszületésekor akkor is és azóta is elismert, jelentős matematikusok közül többen bizarrnak, értelmetlennek tartották. Hasonló sorsa volt a Bolyai-Lobacsevszkij féle nemeuklidészi geometriának is. Úgy tűnik ezen abszolút igazságok nem hatottak mindjárt a tőlük elvárható meggyőző erővel. A következő szöveg Lebesgues és Hadamard vitáját idézi a cantori halmazelméletről:

"Nem térhettünk ki az elöl a következtetés elől, hogy annak ami evidens - vagyis ami a bizonyosság kiindulópontja a gondolkodás minden területén - nem ugyanaz a jelentése az ő számára és az én számomra."

Jacques Hadamard

Az tudományos igazság keresése közben az objektivitásra való törekvés többek szerint korántsem az egyetlen meghatározó tényező, például:

"Azt hiszem, mostanra három dolgot sikerült minden ésszerű kétséget kizáróan megállapítani: azt, hogy az intellektuális szépség ereje igazságot fed fel a természetről, azt, hogy életbevágóan fontos megkülönböztetnünk ezt a szépséget a pusztán formális attraktivitástól, és hogy a kettő közti finom különbséget ellenőrizni oly nehéz, hogy az a legélesebb tudományos elméket is zavarba hozhatja."

Vagy:

"A matematikában a lényeges, a fogalmi reformokat magába foglaló haladást a szépség keresése irányítja. A helyzet lényegében ugyanaz, mint a matematikai fizikában: az intellektuális szépséget egy rejtett realitás jeleként ismerik el. De míg a természettudományokban a valósággal való kapcsolatteremtés érzése egy küszöbönálló felfedezés nem is álmodott jövőbeli empirikus igazolásainak előjele, addig a matematikában a matematikán belüli jövőbeli új elágazások meghatározatlan sokaságára utal.

Polányi Mihály

"A szigorú bizonyítás rendszerint az utolsó lépés! Előtte sok sejtést kell tenni, és ezeknél az esztétikai meggyőződés rendkívül fontos."

Roger Penrose

A matematikához fűződő kapcsolatunkat az is meghatározza, hogy egyáltalán hogyan viszonyulunk a tőlünk független, kényszerítő erejű "igazságokhoz", szükségünk van-e ténylegesen valamiféle biztos tudásra, avagy nagyon jól megvagyunk nélküle is. Elképzeléseink világa néha határozottan jobb számunkra, mint az ami egy másik nézőpontból a valóságnak látszik. Egy matematikai problémával való foglalkozás megmérettetés is valami objektívhez, s ezt nem mindenki szereti, a matematikát pedig leggyakrabban platonista felfogásban tanítják, örök igazságok gyűjteményeként. Mások számára kihívást jelent egy-egy logikai feladvány, leküzdendő akadályt, ami becsületbeli ügy, amit nem lehet megkerülni. Sokan azért is kedvelik, mert az egyén teljesítményének mérése is kevesebb szubjektív elemtől függ, megítéltetésénél kevesebb esetlegességet kell elviselnie a társadalomtól. Az élvezet mellett fontos lehet ezek megoldása azért is, mert sikereket tudunk vele elérni gyerekkorban éppúgy, mint később, s ez mindenkinek sokat jelent. Hírneves matematikusok egész sora szenvedett attól, hogy életükben nem értékelték kellőképpen munkájukat, s egyáltalán nem elégedtek meg a saját alkotásukban való gyönyörködéssel. Igen nehéz és fáradságos munkára van szükség a sikerhez, de ha megvan, a jutalom sem akármilyen.

A matematika objektivitása fontos, érdekes tapasztalat az egyén számára, de szellemiségének ez a vonása azonban nem vihető át korlátlanul életünk egyéb területeire, életterünket sok szempontból nem jelentheti, nem abszolút minden vonatkozásban.