Az ellipszis

Legyen P a síkmetszet egy tetszőleges pontja. Illesszünk a kúpba olyan gömböket, amik érintik a kúpot és a metszősíkot is. A G₁ gömb a kúp palástját k₁ körben, a síkot F₁ pontban érinti. A G₂ gömb a kúpot k₂ körben, a metszősíkot F₂ pontban érinti. P-ből húzzunk a gömbökhöz érintőszakaszokat! Teljesül rájuk, hogy PP₁=PF₁ és PP₂=PF₂. Ugyanakkor PP₁ és PP₂ egy, közös alkotón vannak, az általuk alkotott alkotódarabot k₁ és k₂ határolják. A síkmetszetnek bármely pontjáról legyen is szó, a gömbökhöz rajzolt érintőszakaszok együtt a paláston mindig a két kör között helyezkednek el, nagyságuk így állandó. Másrészről az érintési tulajdonság miatt a síkbeli érintőszakaszok hosszának összege, PF₁+PF₂ PP₁+PP₂ is állandó nagyságú. Ezzel kaptunk két adott pontot: F₁-t és F₂-t, amelyektől mért távolságösszege P-nek mindig ugyanakkora. Definíció szerint síkmetszetünk egy ellipszis.

Az ellipszis egy másik, szintén "ponthalmazos" definíciójához is eljuthatunk. Messe ugyanis k₁ kör síkja a metszősíkot d egyenesben. P-ből merőlegest állítva d-re, D talppontot kapjuk. P távolsága az első kör síkjától PP^* szakasz hossza. Az így keletkezett PP^*P₁ háromszög derékszögű, P-nél levő szöge a kúp félnyílásszöge, tehát minden ellipszispontból szerkesztett háromszögre ugyan akkora. Ezek a derékszögű háromszögek hasonlóak. Másrészről d-re állított merőlegesek - bármely ellipszispontból indítva - a metszősíkban vannak és párhuzamosak. Most a DPP^* háromszögeket vizsgálva, ha P befutja az ellipszis pontjait, derékszögűek és a párhuzamosállású szögeik miatt hasonlóak egymáshoz. Tehát és , ahol a konstansok a megfelelő bezárt szögek cosinusai. Ekkor szögektől függő állandó. Vizsgálatunk eredménye, hogy az ellipszis pontjaira teljesül, hogy egy adott ponttól (fókusz) és egy adott egyenestől (direktrix) mért távolságuk hányadosa állandó, ami a konstrukció miatt 1-nél kisebb pozitív szám.