f:((a,b)R) ->R, x₀(a,b).

x называется lim_x->x (f(x)-f(x₀))(x x f x df x dx

f x x lim_x->x (f(x)-f(x₀))(x x f x

f x x lim_x->x (f(x)-f(x₀))(x x f x

f x f x f x ) равны + или -, то производная f(x) в т. x называется б
222c27c 077;сконечной производной.

f a b])R) ->R x a x bмогут существовать только односторонние производные. В т. a - f b f

Пусть М₁ – любая т. ориентированной кривой L₁, лежащая справа от т.М₀, а М₂ – слева. Рассмотрим секаущие М₁М₀ и М₀М₂. Тогда

1.Правосторонней касательной к кривой L₁ в т. М₀ называется предельной положение М₁М₀, когда М₁ стремится вдоль L₁ к М₀, оставаясь справа.

2. Левосторонней касательной к кривой L₁ в т. М₀ называется предельной положение М₂М₀, когда М₂ стремится вдоль L₁ к М₀, оставаясь слева.

3.Если левосторонняя и правосторонняя касательные в т.М₀ совпадают, то такая прямая называется касательной к L₁ в т. М₀.

M x y M x x f x x f x x f x M M x M M

tg= f(x₀+x)- f(x₀) x…. tg = lim_{M->M0, dx->0} tg = f ’(x₀).

y f x f x x x f x x f x

y f x f x x x f x x f x

f a b) ->R наз-ся дифф-й в т.x₀ из (a b) если ее приращение в этой точке можно представить в виде f(x₀) = Ax (x)* x

(x) 0 при x 0.

f a b) ->R была дифф-ма в т.x₀, необх. и дост. f'(x₀) – конечная.

еобх(ф-ция дифф-значит,пр-я конечн): f(x₀) = Ax (x)* x f(x ₀)x (x) f x lim_dx->0(f x ) x A – конечн. Дост(наоборот): lim_dx->0(f x ) x f x ) – конечн. => f x )x f x (x x->0 => f x f x )* x (x)* x f x ) – конечное число=>мы пришли к опред дифф-й ф-ции => трм.док.

f a b) ->R дифф-ма в т. x₀ из (a b

f(x₀) = Ax (x)* x. (зам: x f x f x A x (( х-х₀))* ( х-х₀). При x->x₀, правая часть ->0 => f x f x ) -> 0 => lim_x->x f x f x ) => f x x

f a b) ->R g a b) ->R дифф-мы в x₀ из (a b) то (f*g)(x), (f g x c f x _c и (fg)(x) ^{g x} _{g x} тоже дифф-мы в т. x_0.

f g x lim_{dx->0 f} x +x g x +x f x g x )* (x lim f x +x f x )* (x lim g x +x g x )* (x f x g x c f x lim c f x +x c f x ))* (x c f x f g x lim f x +x g x +x f x g x f x g x +x f x g x +x)]* (x lim f x +x g x +x f x g x +x)] * (x lim f x g x +x f x g x )] * (x lim g x +x lim f x +x f x )]* (x limf x lim g x +x g x )]* (x g x f x f x g x f g x lim f x +x g x +x f x g x )]* (x lim f x +x g x f x g x g x +x f x f x g x ))]*[ x g x +x g x lim g x +x lim f x +x f x )]* (x limf x g x g x +x lim g x +x g x )]* x f x g x f x g x g x f x g x f x g x g x

f a b) ->R если эта ф-ция удовл-ет усл-ям: 1f(x a b) 2f(x) – возр-я или убыв-я на (a b x a b) сущ-ет f'(x₀) 0, тогда x= y y f x [y₀=f(x₀)]

Рассм. случай, когда ф-ция возр-ет. Тогда по трм о сущ-ии непрер. обратн. ф-ции на интервале (f(a), f(b)) следует что y->y => x->x тогда, x₀= y ), y₀=f(x₀). Тогда y lim_dy->0 y +y (y )]* y lim_y->y y (y y y lim_x->x x x f x f x lim x x f x f x f x c

y g x x a b) и ф-ция z = f(y) дифф-ма в т. y₀=g x z f g x x и имеет место равенство: (f(g(x)))’ = f_y y g_x x ). Д-во: Т.к. g(x) дифф-ма в x то ее приращ-е в этой точке можно представить в виде g(x₀) = g’(x₀) x (x)* x. и g(x₀) = y. А т.к. z=f y y , то ее приращ-е в этой точке можно представить в виде: f(y f y ) y (y)* y. Кроме того y ->0 =>x ->0 и х ->0 => y ->0 а тогда f(g(x₀)) = f g x g x ) х + (x)* x g x ) х +(x)* x g x ) х +(x)* x f g x g x ) х + (х) х. Отсюда видно (опр-е дифф-ти), что ф-ция дифф-ма и производная ее равна f g x g x ) = f'(y₀)* g x

Дифф-м ф-ции y=f(x) в данной точке х, соответствующим приращению аргумента х называют главную линейную относительно х часть приращения этой функции в точке х.

у = Ax + (x)* x. dy = Ax).

Если x- незав-я перем-я, то формула дифф-ла ф-ции в т. x₀ можно переписать в виде: df x f x dx f x ) => df x f x )* х. Положим f x)x df x dx и f'(x₀)1 => dx = х. 2.Дифф-л ф-ции в т. М₀ представляет собой приращение ординаты касательной к графику ф-ции в т. М₀(х_0, f(x₀)) при переходе от точки с абсциссой x₀ к точке с абсциссой x₀+х. [ df(x₀) = f’(x₀) х = tgх ] (рисунок) 3. Пусть ф-ция f(x) дифф-ма в т. x₀ и f x )0 тогда df x ) – гл. часть бескмалой f x ) при x ->0. Д-во: lim_deltax->0f x df x lim f x ) х + (x) x f x ) х]^-1= lim (x f x )) = 1 => f x ) есть главная часть бескмалой….. чтд. 4. Инв-ть перового дифф-ла: Вид записи формулы первого дифф-ла не зависит от того, является ли аргумент ф-ции f(x) независимой переменной или дифф-й ф-цией от новой независимой переменной. Д x=x(t), t₀ ), x₀=x(t₀).. f(x).. x₀(a,b). df x t f x t dt f_x x x_t t dt f_x x dx x_t t dt dx t ). 5. дифф-л суммы, разн-ти, произв-я и частного вычисляется аналогично производным. Для Док-ва достаточно умножить аналогичные формулы для производных на dx и воспользоваться определением дифференциала.

f a b] ->R удовл-ет условиям 1)f(x) непр-на на [a b f x a b] 3)f(a) = f(b) тогда (с a b)):f'(c)=0. Д-во: т.к. f(x) непр-на на [a b a b]. Рассм 2 случая: 1)f(x)C a b] => M=m=>f'(x)=0 2)M>m => c a b), что f(c)=inf_{xc a b} f(x) (или supr, это неважно) т.к f(a)=f(b). Т . f(c)=inf_xc[a,b] f(x), (х(a,b)):(f(x)f(c))=>f(x)-f(c) f x f c)х-с0 если x>c и f x f c)х-с0 если x<c. Переходя в этих нер-вах к пределам имеем: lim_{x->c f} x f c f c f c) 0 и lim_{x->c f} x f c f c f c) 0. Отсюда f'(c)=0, чтд.

f a b] ->R g a b] ->R f x g a b] 2) f(x) и g(x) дифф-мы на (a b), то (с a b)): (g'(c)(f b f a f c g b g a h x)=g(x f b f a f x g b g a (a,b). h(a)=h(b) т.к. h(a) = g(a)f(b)-g(a)f(a)-f(a)g(b)+f(a)g(a)=g(a)f(b)-f(a)g(b) h (b) = …. = -f(a)g(b)+f(b)g(a). Получается, что вып-ся теорема Ролля и тогда (с a b)):h'(с)=0,те g’(c f b f a f c g b g a

f a b] ->R g a b] ->R f x g a b] 2) f(x) и g(x) дифф-мы на (a b), то (с a b)):(f(b)-f(a)=f'(c)(b-a)). Д-во: Положим в т.Коши х a b), g(x)x

Замеч: рассм-м х₀ и х₀+х. тогда ф-ла Лагранжа м.быть записана: f(x₀)=f x +x f x f x *x). (0<<1).

f O x cR)->R g O x cR) ->R lim_x->x f x lim_x->x g x f x g x O (x₀) (кроме самого x₀) и (х O x x f x g x g x) 0. 3) lim_x->x f x g x A lim_x->x f x g x lim_x->x f x g x A. Д-во: доопр-м f(x) и g(x f g lim_x->x f(x)g(x) = lim_x->x f x f x g x g x lim_c->x f x g x A Att f a )->R g a )->R lim_x->+8f x lim_{x->+8 g} x)=0 2) (х a f’(x) и g x)0) . 3) lim_x->+8 f x g x A lim_x->+8 f x g x lim_x->+8 f x g x A x t t->+0. тогда имеем lim_{t->+0 f(1t) = 0 limt->+0 g}(1t) = 0 и f_х’(1t g t)0) а также lim_t->+0 f_x t g_x t A => по 1й трм Лапит => lim_t->+0 f t g t lim_t->+0 f_x t g_x t lim_t->+0 f_x t t g_x t t A

№13. Правило Лопиталя. Раскрытие неопред-й .

f:[a,b]->R g:[a,b] ->R. 1)lim_x->x0f(x)=, lim_x->x0g(x)=

2) (х O x x f x g x) 0. 3) lim_x->x f x g x A lim_x->x f x g x lim_x->x f x g x A Att f a )->R g a )->R lim_x->+8f x)= , lim_{x->+8 g} x 2) (х a f’(x) и g x)0) . 3) lim_x->+8 f x g x A lim_x->+8 f x g x lim_x->+8 f x g x A

n

n f x xI a b nIN определяется по индукции и обозначается ¢

n f x xI a b nIN n

),

x dx d x d x d x dnx

f a b R n xI a b n f x n a b n a b

f a b R a b a b f x a b n a b f n

будем обозначать класс ф-ций, непрерывных на (a b n f x I

f(x)I

k=0,1,2,…,n): ;

и - класс бесконечных непрерывно диф-мых функций.

f:(a,b) R g:(a,b) R cIR,

1)(f g)ⁿ(x)=fⁿ(x) gⁿ(x) (a,b)

2)(сf)ⁿ=cfⁿ(x) (a,b)

dⁿ(f g)(x)=dⁿf(x) dⁿg(x)

dⁿ(cf)(x)=cdⁿf(x)

3)(fg)ⁿ(x)= (a,b)

dⁿ(fg)(x)=

n

n

x fⁿ x dⁿf x fⁿ x dx ⁿ fⁿ x dxⁿ

x x t n t tI a b f x n xI a b x x t tI a b x t I a b dⁿf x t f x t ⁿ dt ⁿ x

n n

df(x)=f’(x)dx

d²f(x)=d(df(x))=d(f’(x)dx)=df’(x)*dx+f’(x)d(dx)=f’’(x)(dx)²+f’(x)d²x=f’’(x)(dx)²

dⁿf x fⁿ x dx ⁿ

2)d²f(x(t))=(f(x(t)))’’(dt)²=(f’(x(t))*x’(t))’(dt)²=(f’’(x(t))(x’(t))²+f’(x(t))*x’’(t))(dt)²=f’’(x(t))*(x’(t))²(dt)²+f’(x(t))*x’’(t)(dt)²

d²f(x(t))=f’’(x)(dx)²+f’(x)d²x

f:[a,b] R:

1) f(x)I ,

xI(a,b)): f⁽ⁿ⁺¹⁾(x)

a b a b] и положим (1), тогда ( e a b): . Доказательство: Предположим для определённости, что b>a a>b

x=a P(x)=f(a

x=a P’(x)=f’(a

x a P ⁿ x f ⁿ a

M

f b P b M b a ⁿ , значит, нужно, чтобы , причём a<e<b

g x f x P x M x a ⁿ

g a g b g x Þ e a<e <b g e g a Þ a e g x e a<e<b g e

n e_n eI a e_n g ⁿ e

g⁽ⁿ⁺¹⁾(x)=f⁽ⁿ⁺¹⁾(x)-M(n+1)!

g⁽ⁿ⁺¹⁾(e)=f⁽ⁿ⁺¹⁾(e)-M(n+1)!=0

, a<e<b

a bI a b

Положим a x b x

f ⁿ x a b f x I M>0)( xI a b |f ⁿ £M, тогда остаточный член - бесконечно малая более высокого порядка, чем (x x ⁿ x x f x x x ⁿ

n

f(x)=f(x )+f’(e)(x-x Ûf(x)- f(x )= f’(e)(x-x ) (x <e<x)

x

, xIR

2)

f a b R a b

f x)>0 на (a b f x a b

f x)<0 на (a b a b

f x f x

x и x I a b x >x x x

f(x₂)-f(x₁)=f’(e)(x₂-x₁), x₁<e< x₂

f’(x)>0 (a,b)Þ f’(e)>0Þ f(x₂)-f(x₁)>0

f’(x)<0 (a,b)Þ f’(e)<0Þ f(x₂)-f(x₁)<0

f x a b Þ f e Þ f x f x

f a b R x I a b f x a b

f:(a,b) R.

x I a b f x

O x x x È x x

O (x xIO (x )):f(x)<f(x

x I a b f x O x xIO x f x)>f x

f a b R x x

x

( O x xI x x È x x f x)<f x

f x ) существует, т. е. , при x x Þ при x x и при x x

f x Þ x

f a b R

f x I - непрерывна

xI a b f x x

f x)<0 для xI x x f x)>0 для xI x x +б), где б>0 – достаточно мало, то точка x x x Ì a b x x Ì a b

f x)>0 для xI x x f x)<0 для xI x x +б), где б>0 – достаточно мало, то точка x x x Ì a b x x Ì a b

x x x x

f x f x f e )б<0, т.к. f e )<0, б>0, x -б<e <x

f x f x f e )б>0, x <e <x

f(x -б)> f(x

f(x +б)> f(x

f a b R

f x I

x I a b f x f x f ⁿ x

f ⁿ x ¹

n k f ^k ¹ x

n k f ^k ¹ f ^k <0 x max f ^k >0 x min

, где lima x x x

, т.к. a x x x

x xI x sgn f ⁿ x a x sgnf ⁿ x

n k f ^k ¹ меняет знак при переходе точки x

n k f ^k ¹0 и не меняет знак, т.е. f x)<f x max f x f x )>0 – min

Def

Def f a b R a b], называется выпуклой на этом сегменте , если , и она называется вогнутой на [a b], если

Def AC BC ³ AC BC £

- функция выпукла;

- функция вогнута;

f a b R

1)f(x)IC[a,b]

xI[a,b]):( f '(x));

f x a b f x a b

f x a b a b], т.е.

x x x x

x x f x f x )<

x x f x f x )>

f x )< f x f x x a b

f x a b), и пусть . Тогда на сегментах [x x x x

[x₁,x] f(x)-f(x₁)=f '(x )(x-x₁)

[x,x₂] f(x₂)-f(x)=f '(x )(x₂-x)

x <x <x x<x <x , получаем, что , а это - условие выпуклости.

f a b R

1)f(x)IC[a,b]

xI a b f x

f x a b f x)>0 на [a b f x)<0 на [a b

f x)>0 на [a b a b f x a b f x a b

Def x f x f x a b R x I a b

f a b R

1)f(x)IC[a,b]

f x a b

x I a b f x x x f x f x ¹ _d x

_d x

x d x f x f x x d x

x x d f x f x x x d

y f x x f x

Def F a b R f a b R a b xI a b F x F x f x

f x a b F x F x C C f x F x C const

F x C F x f x

j x f x

j(x)-F(x))'=j'(x)-F '(x)=f(x)-f(x)=0 j(x)-F(x)=C₀=const; j(x)=F(x)+C₀

Def f x) назовём неопределённым интегралом:

f a b)->R g a b)->R существуют неопр.интегралы, то они обладают след. св-вами: 1) 2)

3) 4) Д-во Для док-ва дост-но найти дифф-л от правых частей

d()=dF x F x dx f x dx d(F(x)+c)=dF(x) 3)d() = d()=f x dx d() = f x dx g x dx

Пусть x=(t t =E f x) определеная на (Е) интегрируема на этом мн-ве. Тогда всюду на Е сущ-ет неопр. интегр. f(x) и справ-во = = F((t c. Д-во = f((t))’(t dt f x dx. Инт-е по частям пусть f(x) и g(x) дифф-мы на интервале и Тогда . Д-во: d(fg - ) = d fg d = fdg gdf fdg g x df x g x f x dx

z=(x+iy), тогда = (x – iy). z и - комплексносопряж-е. Св-ва: 1) 2) 3) 4) ⁿ. Трм Пусть z = a + bi (a,bR b P_n x =a-bi тоже корень. Д z a₀zⁿ + a₁z^n-1++a_n-1z + a_n = 0

_ ___ ___ ___ _

a₀zⁿ + a₁z^n-1++a_n-1z + a_n = 0 => a₀zⁿ + a₁z^n-1++a_n-1z + a_n = 0 => a₀ⁿ + a₁^n-1++a_n-1 + a_n = 0 => тоже корень по

P_n x) на (x-a) равняется P_n P_n x)=(x-a) P_n x r P_n r P_n x)=(x-a) P_n x P_n x P_n x) имеет ровно n корней, действ или компл, считая их кратность. докво: пусть х₁ корень, тогда разложим и по основной трм алг будем иметь в оставшемся многочлене еще один корень. проделаем так n раз и поимеем n корней.следств2 всякий многочлен нечетной степени с действит. коээф имеет хотя бы один действ корень.

A x a ^k и (Mx N x px q ^k наз-ся простейшими рац. все коэфф – действит, p²-4q<0, k

пусть дана правильная рац дробь P(x)Q(x) и Q(x) имеет один действ корень а кратности m. т.е. Q(x)=(x-a)^mQ x Q x) не имеет действ. корней. тогда: P(x)Q(x) = A₀(x a ^m+ A₁(x a ^m A_m-1(x-a)+ P₁(x)Q₁(x). (P₁(x)Q₁(x)- A_k находятся по формуле: A_k k * d((x-a)^mP(x)Q(x)) dx^k = 1k! d P x Q x dx^k _{x a}

Пусть дана правильная рац дробь P(x)Q(x) и Q(x) имеет корнями z=a + bi и =a-bi кратности m. (b не 0). тогда Q(x)=(x²+px q ^mQ x Q (z) не 0 и Q () не 0 и p²-4q<0. тогда эту дробь можно представить в виде: P(x)Q(x) = (M₀x N x px q ^m ++(M_m x N_m x px q P x Q x P x Q x M M_m N N_m действительные и находятся единственным образом. Д-во: P(x)Q(x) = P x x px q ^mQ x M x N x px q ^m P x x px q ^m Q x P x M x N Q x P x x px q). подставим x = a+bi . Имеем: P a bi M a bi N Q a bi M a N и bM => M b N - a b N M . Проделав это все нужное количество раз найдем все N и M. Att Если P_k x P_m x) – неправильная (km) то ее единственным образом можно преобразовать к: P_{k m} x P_s x P_m x s<m

I), (A,a¹ ;

II),(mIN,m³ ;

III),

(M, N, p, qIR =t, dx=dt,   

IV)

M,N,p,qIR,nIN³2, p²-4q<0-компл. ;=t, dx=dt,),

=A; ;

J_n

A

1) четвёртый пункт предыдущего билета - ;

J_n lnx

- рациональная дробь от своих аргументов a b c dIR - простые несократимые дроби.

m

Обозначим , r IN A

рац. дробь - рац. дробь

Def Выражения , где a bIR m n p - рациональные числа, называется б
222c27c 080;номиальным дифференциалом. Найдём условия на показатели m n p, при которых (1) находится в квадратурах:

pIZ

x t^s S m n

(1)=, m s

pÏZ, но - целое, тогда , где s p

, sp

, а т.к. , то

pÏZ, ÏZ, но ÏZ, тогда , s

a b cIR a¹

- отбросим;

a<0,c<0,D<0 - отбросим;

1)если a>0, то

(2);

c>0, то

3) если раскладывается на множители , то

- рациональная дробь;

- рациональная дробь; т.е. (2) - интеграл от рациональной дроби.

Интегрирование выражений .

- (1) - находится в квадратурах. Подстановкой (универсальная подстановка) выражение (1) всегда находится в квадратуре.

;

;

(1)=

R U V - нечётное относительно U R U V R U V

R(U,V)=R₁(U²,V)V;

R U V V R U V R U V

R(U,V)=R₂(U,V²)V;

R U V U V R U V R U V

Док-во: - чётное относительно U

1);

V¹

Def P a b и связанных следующим соотношением:;

Def P a b f a b R P a b

C

S s

P называется верхним интегралом Римана и обозначается:

P, называется нижним интегралом Римана и обозначается:

f x a b

a b

f x a b Û m MIR m£M xI a b m£f x £M

, т.е. оба множества сумм ограничены сверху и снизу, т.к. m M

1)

2), ч.т.д.

Def P a b и связанных следующим соотношением:;

Def P a b f a b R P a b

C

S s

P называется верхним интегралом Римана и обозначается:

P, называется нижним интегралом Римана и обозначается:

f x a b

Def f a b R a x a b a b P a b], то положим , и тогда верхняя и нижняя суммы Дарбу запишутся в виде:

;

;

(1)

f x a b a x

Def P a b P PÌP P называется общим измельчением P₁ и P P P ÈP

измельчении разбиения сегмента [a b

,

P P

x ; находимся внутри , обозначим , . Очевидно, что , где . Тогда для разности получим:

Если P k P k

;

P P P

; считая P фиксированным и вычисляя точную верхнюю границу , получим

Для существования интеграла Римана - Стильтьеса необходимо и достаточно чтобы

, т.е. . По определению точной нижней границы имеем:

(1)

(2)

, а т.к. P P ÈP

f a b R a b

e>0, и пусть

f x a b a b], т.е.

(i=1,2,…), тогда

f x a b , то f x a b

e>0, то

a x a b

a a a b

f x

, (i=1,2,…)

n можно взять сколь угодно большим для <e

Def a b] положим и назовём его m

Def a b]. Выберем точки , тогда для ограниченной на [a b f x) составим сумму и назовём её интегральной суммой для f x a b t x

1);

2),

£i£n

1)

2), ;

- аналогично.

Будем считать эквивалентными следующие утверждения:

f a b R

, то и ;

Док-во: Пусть существует предел , тогда, согласно понятию

(*)

Зафиксируем такое разбиение Р, для которого . Тогда используя свойство (2) для интегральной суммы мы из последнего неравенства (*) получим, что

(1)

(2)

- получили, что выполняются два неравенства Þ из (*)

, т.е. получили, что , ч.т.д.

f(x)=0, -1x0; 1, 0<x1. (x)=0, -1x<0; 1, 0x x попадает в число точек разбиения. (ik _i x_i x_i i k _k x_k x_k S P f M_ii M_kk M_k supf x x x_k x_k s P f m_ii m_kk m_k inff x x_k x_k x ik _i i k => _n S P f M_ii M_kk M_k supf x x x_k x_k s(P_2,f, ) = m_{ii =} m_kk=m_k=inff(x) =0. infS(P_,f,)=sup s(P_,f,)=0. f x R_alpha a b f x на [-1;1] равен 0. Рассм-м теперь интегр.сумму для любого разбиения. (P_,f,)= f(t_i) _i | t_i[x_i-1;x_i] =  f(t_k)=1,0<t_kx_k; 0, x_k-1<t_k lim_{M P)->0}(P f lim _{M P)->0 f} t_k

t_i[x_i-1;x_i] t_k[x_k-1;x_k]

f:[a,b]->R, f(x)C_[a,b]. lim_{M (P)->0}(P_,f,) = f(x)C_[a,b]=> t_i[x_i-1;x_i]

f(x)R _[a,b]=> P : s(P_,f,) (P_,f,) S (P_,f,) s(P_,f,) S (P_,f,). (P_,f,) - | S(P_,f,) – s(P_,f,). .f(x) C_[a,b], f(x) [a,b]. Тогда для любого разбиения, для к-рого Мю(Р)<выполняется

M_i-m_i< /(a)-(b). (P_,f,) - | <

*( _i ) /(a)-(b) = (т.к. _i = (a)-(b)). lim_{M (P)->0}(P_,f,) =

f(x)C_[a,b] f(x)R _[a,b] lim_{M (P)->0}(P_,f,) = f(x)R_[a,b], S(P*_,f,)-s(P*_,f,)< По тКантора f(x) равномнепр => |(x)-(t)|<(2(M m k kN Непрерывность в т.разб-я: _i<2(M m k k-число т. разб-я. Пусть Р₁-общее разб-е. Р₁=РР*. S( f,)-s( f,) S( *_,f,)-s( *_,f,)<2. P )< => S( f,)-s( f,)= =(x*[x_i-1;x_i])+ (x* [x_i-1;x_i]). Но (x*[x_i-1;x_i]) S( f,)-s( f,)<2. A (x* [x_i-1;x_i]) (M-m)*2(M-m)* 1 (x* [x_i-1;x_i])= )<имеем S( f,)-s( f,)< : s(P_,f,) (P_,f,) S (P_,f,) s(P_,f,) S (P_,f,) (P_,f,) - | S(P_,f,) – s(P_,f,)< lim_{M (P)->0}(P_,f,) = f(x)R _[a,b] т.е. . Тогда наз-ся интегр.Р. опр2. ( t_i x_i x_i]). f(x)-огранич на [a,b]. Если lim_{M P)->0}(P f,) = , тогда этот интеграл наз-ся интегралом Римана. Трм. Опр-я 1 и2 эквив. д-во Пустьlim_{M P)->0}(P f,) тогда по трм о пределе инт.суммы в случае (x)x получаем . 2)Пусть f(x) интегр по Р в смысле опр1, т.е. , т.к. (x)xC _{a b} то в силу второго усл-я сущ-я предела инт.суммы получаем lim_{M P)->0}(P f,) = .

f a b]->R ограниченная. ЕЕ колебанием на [a,b] называется разность = M-m. Att a b] можно определить и по-другому, а именно как точную верхнюю границу множества всевозможных разностей f(x)-f(t) или как точную верх. границу мн-ва |f(x)-f(t)|, где x,t [a,b]. Лемма f a b]->R g a b]->R cR. Тогда 1)[f+g] [f]+ [g] 2) [cf c| [f] 3) [fg] L [f K [g 4) [|f|] [f f x g x f t g t)| |f x f t g x g t)|. тогда [f+g]=sup|f(x)+g(x) – f t g t)| sup f x f t sup g x g t)| = [f]+ [g c f x c f t c f x f t)|. [cf sup cf x c f t c sup f x f t c [f |f(x)g(x) – f(t)g(t)| = |f(x)g(x)-g(x)f(t)+g(x)f(t)-f(t)g(t)| |g(x)||f(x)-f(t)|+|f(t)|(|g(x)-g(t)|) L|f(x)-(t)|+K|g(x)-g(t)|. [fg sup f x g x f t g t)| Lsup f x f t Ksup g x g t L [f K [g f x f t)|| |f x f t)| => [|f|]sup f x f t)|= [f

C

f(x) g(x) R _[a,b]. Т 1) f(x)+g(x) R _[a,b]. 2)(R):cf(x) R _[a,b]. 3)f(x)g(x) R _[a,b]. 4)|f(x)| R _[a,b]. 5)((a,b)):f(x) R _[a,c], f(x) R _[c,b] Д-во: 1) f(x) R _[a,b] => . g(x)R _[a,b] => .

< P P P . Тогда для P выполняются одновременно эти два неравенства.

S P f g s P f g S P f s P f S P g s P g )<2 +2 =.2) f x R _{a b} => S P ,cf, s P cf ) ==|c S P ,f, s P f ))<|c||c| = . если с=0, утв-е очев-но. 3) f x g x R _{a b} => L < K. P P P K>0, L>0, |f x K g x L a b S(P,fg, )-s(P,fg, )= = L (S(P,f, )-s(P,fg, )) + K(S(P,g, )-s(P,g, )) < L2L + K2K = S(P₁,|f|,)-s(P₁,|f|,) = S(P₁,f, )-s(P₁,f, )< f(x)R_[a,b] => . P*=P₁; S(P*,f, ) - s(P*,f, )=<

P*: a=x₀<x₁<<x_k=c<x_k+1<<x_n=b. S_[ac](P*,f, )-s_[ac](P*,f, )= => f(x) R _[a,c].

c b

f(x) g(x) R _[a,b]. 1) f(x)+g(x) R _[a,b]. 2)(R):cf(x) R _[a,b]. и 3) ((a,b)):f(x) R _[a,c], f(x) R _[c,b] lim _)->0 =limf(t_i)deltax_i + limg(t_i)deltax_i = (t_i[a,b]); 2) cf(x) R _[a,b].! = limcf(t_i)deltax_i = c limf(t_i)deltax_i = c 3) P*=P; P*: a=x₀<x₁<<x_k=c<x_k+1<<x_n=b. lim_Мю(Р*)->0 =

f x g x R _{a b} f x R _{a b} 2)Если то и 0. 3). Док-во: 1) | lim_Мю(Р)->0 | lim_Мю(Р)->0 = f x) 0<=>0. Перейдем к пределу: lim_Мю(Р)->0 0 <=> 0. 3) F x g x f x) тогда а отсюда по 1) из предыдущ. теоремы имеем

ит-лаР. как ф-ции верх. предела.

f x R _{a b} по трм о св-вах интегр-х по РС ф-ций R _a И F(x) = .

f x R _{a b} => F(x) непр-на на [a,b]. Д-во: . F y F y F x | M = M y x)<. Тогда если |y x|<=M Att Тк. мы доказали, что ф-ция F(x) будет непр-на то по т.Кантора она будет и равном-но непрерывна.

f x IC _{a b} xI a b a b a b F x f x xI a b

f x IC _{a b} x I a b

Распишем неравенство :

S t

, или .

S x

t x

t=x₀

_Þ

F'(x)=f(x), xI[a,b].

Если и F x f x a b], то .

a b t_i

1) ,

2)

3) ,(или).

Тогда

f x g x) , то и f x g x). Предположим, что

(случай доказывается аналогично)

g x

и проинтегрируем от a b

(это можно сделать, т.к. )

1)Þ m

2), тогда из (1) получаем

m=I a b e

Если и m£f x £M

g(x)=1 [a,b]

f x IC _{a b} , а и ( xI a b g x ³ g x £

именно

WITHOUT PROOV

f x a b R a b a , то

f a ¥ R f x IR _{a A} ³а, тогда называется несобственным интегралом 1-го типа на бесконечном промежутке. Если этот предел существует и конечен, то говорят, что он сходится, в противном случае расходится.

f ¥ a R f x IR _{A a} £a, тогда называется несобственным интегралом 1-го типа.

f ¥ ¥ R f x IR _{A A} £A , тогда - несобственный интеграл 1-го типа на промежутке (-¥ ¥

f a b R f x b; 2) , тогда называется несобственным интегралом 2-го типа на полуинтервале [a b

f a b R f x a; 2) , тогда называется несобственным интегралом 2-го типа от f x

f a c È c b R f x c; 2) интегрир. на , тогда называется несобственным интегралом 2-го типа от f x

1) , если l=1 то , если l¹1, то , значит исходный интеграл расходится при l£ l>1

2) , сходится при l<1, расходится при l³

3) , сходится при l<1, расходится при l³

1) 1.Если сходится, то - сходится и наоборот. Имеет место формула

2. Если сходится, то - сходится и наоборот. Имеет место формула

Если сходится, то

Если сходится, то

3) 1. Если сходится и сIR, то - сходится и (Доказательство – свойства предела функции).

Если - сходится, то - сходится и

4) 1. Если и сходятся, то сходится и

2. Если и сходятся, то сходится и . (В свойстве 4 обратное утверждение неверно)

Для сходимости несобственного интеграла необходимо и достаточно, чтобы

Для сходимости несобственного интеграла необходимо и достаточно, чтобы

Доказательство. 1) Рассмотрим функцию , где 0<h<b a g h h 0 необходимо и достаточно, согласно критерия Коши существования предела функции, чтобы

Пусть , тогда из сходимости следует сходимость .

Если , то из расходимости следует расходимость .

Доказательство. 1) Пусть выполнены условия пункта 1, т.е. ( - сходится)Þ , тогда - сходится.

2) Пусть выполняются условия пункта 2. Предположим противное - сходится, то согласно 1-му пункту - сходится, а это противоречит пункту 1.

Пусть и , тогда из сходимости следует сходимость , а из расходимости - расходимость .

Доказательство. Пусть Û ; Воспользуемся общим признаком сравнения сходимости, тогда для сходимости необходимо и достаточно, чтобы сходился . Из неравенства 1 используя общий признак сравнения получаем результат.

Несобственный интеграл называется абсолютно сходящимся если - сходится.

Интеграл называется условно сходящимся если сам интеграл сходится, а - расходится. (Замечание: если в общем признаке сходимости положить g x f x)|, то мы получим из сходимости , сходимость ).

f a ¥ R g a ¥ R удовлетворяют условиям : 1) - сходится; 2) g x) – монотонна и ограниченна, т.е. , тогда - сходится в общем случае условно.

Доказательство. По 2-ой теореме о среднем для интегралов Римана мы имеем где А₁<x<A . В силу условия 1, т.е. - сходится и согласно критерия Коши, имеем Þ . Оценим модуль интеграла (*) . Согласно критерия Коши получили сходимость интеграла .

f a ¥ R g a ¥ R f x IR _{a A} ³ a ¥ Û ; 2) g x x ¥, тогда - сходится в общем случае условно.

Доказательство. По 2-ой теореме о среднем для интегралов Римана мы имеем где

£x£A . Из условия, что .

Согласно первому условию теоремы : .

Оценим модуль интеграла (*):   Согласно критерия Коши получили сходимость интеграла .

f a ¥ R g a ¥ R g a ¥ a ¥ f x IC _{a ¥} x g t I и , тогда из сходимости одного из интегралов или следует сходимость другого и справедлива формула : .

Доказательство. В силу условия 1 получаем , а из монотонности функции g t g¢ t)>0) следует g a a g B A ¥ ¥ A ¥

f a ¥ R g a b R g a b a ¥ f x IC _{a ¥} x g t I и , тогда из сходимости одного из интегралов или следует сходимость другого и справедлива формула : .

аналогично теореме 1: .

u x I , V x I ; 2) , тогда из сходимости одного из интегралов или следует сходимость другого и справедлива формула: , где .

A ¥ в известном равенстве для интеграла Римана:

f ¥ ¥ R А>0):f x IR _{A A} , тогда называется главным значением несобственного интеграла 1-го типа от f x ¥ ¥ V p..

f ¥ ¥ R А>0):f x IR _{A A} f x Þ V p.; 2) f x) – четная и - сходится Þ .

. Пункт 1 следует из того, что для нечетной функции переходя к пределу мы получим, что V p

Пункт 2 следует из того, что для четной функции .

f x - интегрируемую на каждом конечном симметричном промежутке по Риману, то ее можно представить в виде , где - четная, а - нечетная и - при условии, что этот интеграл сходится.

f a c È c b R , тогда называется главной частью несобственного интеграла от функции f x

Def W W

Def W

U

V

Def A B

5) События А и называются противоположными, если

Def 1.: _n W _n U

Def 2.: W

Def 3.: _n образуют полную группу попарно несовместимых равновозможных событий в W

k¹s (k,s =1,2,….,n)

Def W n A m A W m n P A m n

£P(A)£ 2) P(U)=1; 3) P(V)=0;

Def No definition

W

n m

k m k Þ m k n m n k n

'm'-A P(A) m/n;

'n'-B P(B) k/n;

Def D R^k k n GID , то вероятность А==. Определённую таким образом вероятность называют геометрической вероятностью.

два совместимых события в W

S D mes D S A mes A S B mes B), получаем

Def

P(A)=P(A|B)=P(A| P(B)=P(B|A)=P(B|

Def

P(A|B) P_B(A)

Пусть А и В - два события W

P(A*B)=P(A)*P(B|A)=P(B)*P(A|B).

n m

n l P A m n P A B l n P B A l m P A B l n l n m m l m m n P B A P A

_{n n}

Т.к. сумма всех гипотез из полной группы – достоверное событие, тогда . Т.к. Н_{i i}

.

_n P H P H P H_n) и . Тогда вероятность гипотезы H_k при появлении А: .

По теореме умножения вероятностей имеем , тогда .

Величина Х называется дискретной случайной величиной, если она может принимать конечное число возможных значений и имеет вероятность , удовлетворяющую условию .

Пусть дана дискретная или непрерывная случайная величина Х, тогда функцией распределения этой случайной величины называется функция вида , где .

Для дискретной величины, принимающей значения , события несовместимы и по теореме о сложении вероятностей , где .

1) , 2) ,

3) - неубывающая 4)

Плотностью распределения вероятностей непрерывной случайной величины в точке х называется .

Пусть функция распределения вероятностей непрерывной случайной величины непрерывна для и дифференцируема всюду, тогда для справедливы свойства:

1) определена во всех точках дифференцируемости и . 2) 3) 4) 5)

1) Из определения непрерывной случайной величины , , тогда .

3) Переходя к пределу в при получаем , , , по свойству интегралов получаем .

4) Перейдем в равенстве к пределу при , тогда .

5) .

Математическим ожиданием (центром распределения вероятностей) дискретной случайной величины Х с рядом распределения называется величина .

Математическим ожиданием (центром распределения вероятностей) непрерывной случайной величины Х с плотностью распределения вероятностей называется величина .

Дисперсией случайной величины Х с функцией распределения называется число , где - математическое ожидание случайной величины Х.

Пусть Х – случайная величина с распределением

1) Начальным моментом «» порядка «k» случайной величины Х называется математическое ожидание .

2) Центральным моментом «» порядка «k» случайной величины Х называется математическое ожидание .

1) Для дискретной случайной величины , . 2) Для непрерывной случайной величины , .

При равномерном распределении непрерывной случайной величины ее значения лежат в пределах некоторого отрезка и плотность распределения на постоянна.

, тогда , тогда

, .

m, …, тогда случайная величина Х распределена по закону Пуассона, если , где - положительная величина, называемая параметром Пуассона.

По формуле Тейлора:

, .

Распределение вероятностей непрерывной случайной величины Х называется нормальным если ее плотность распределения вероятностей равна , где - параметры. Выясним смысл этих величин и , входящих в .

- интеграл Эйлера-Пуассона. , делаем замену , тогда , , имеем , тогда m

, делаем замену , , , имеем . Замена , . В итоге получаем . Тогда - среднее квадратичное отклонение.