Главные и эквивалентные напряжения

Главные и эквивалентные напряже& 121t1924b #1085;ия

Напомним некоторые основные положения теории напряже& 121t1924b #1085;ий, излагаемые обычно в курсе теории упругости или в подробных учебниках сопротивления материалов.

Если выделять из тела в окрестности некой точки (рис. 12.1) элементарный объем в виде бесконечно малого парал­лелепипеда, то действие на него окружающей среды заменя­ется напряже& 121t1924b #1085;иями, компоненты которых действуют на грани параллелепипеда.

В силу закона парности касательных напряже& 121t1924b #1085;ий

; ; . (12.1)

В общем случае в точке имеется только шесть независимых компонент напряже& 121t1924b #1085;ий, которые образуют симметричный тензор напряже& 121t1924b #1085;ий

(12.2)

n имеет направляющие косинусы l, m, n с осями x, y, z, действует нормальное напряже& 121t1924b #1085;ие s_n и касательное напряже& 121t1924b #1085;ие t_n (рис. 12.2) с равнодействующей S_n. Проекции этой равнодействую­щей на координатные оси S_nx, S_ny, S_nz связаны с компонентами напряже& 121t1924b #1085;ий условиями равновесия (формула Коши):

Рис

Существуют три таких взаимно перпендикулярных площадки, на которых касательные напряже& 121t1924b #1085;ия отсутствуют. На этих, так называемых, главных площадках действуют главные напряже& 121t1924b #1085;ия s s s При этом имеется в виду, что s s s . Известно также, что главные напряже& 121t1924b #1085;ия обладают экстремальными свойствами, а именно - на любой площадке результирующее напряже& 121t1924b #1085;ие и .

Направляющие косинусы l_k , m_k и n_k нормалей главных площадок n

s s_k) l_k + t_xy m_k + t_xz n_k = 0;

t_xy l_k + (s_y s_k) m_k + t_yz n_k = 0;

t_xz l_k + t_yz m_k + (s_z s_k) n_k = 0;

l_k² + m_k² + n_k² = 1.   (12.4)

Из (4) следует, что главные напряже& 121t1924b #1085;ия s_k

. (12.5)

,

а его коэффициенты являются инвариантами (т.е. не зависят от выбора системы координат). Первый инвариант равен утроенному среднему напряже& 121t1924b #1085;ию (гидростатическому давлению) .

Направление главных площадок может быть определено не девятью направляющими косинусами, а тремя Эйлеровыми углами:

q - угол (нутации) между положительными направ­лениями оси Z и n q p

y - угол (прецессии) между осью X и осью А, идущей вдоль линии пересечения плоскостей XOY и n n так, чтобы ОА, Z и n y увеличивается от оси X к оси Y (0 y p

j n n n j p

,

m m m 1 при чистом растяже& 121t1924b #1085;ии.

В принятых обозначениях при выводе результатов расчета тензор напряже& 121t1924b #1085;ий (2) в общем случае выглядит как

(12.7)

В SCAD главные напряже& 121t1924b #1085;ия обозначаются как .

Для углов Эйлера введены обозначения:

q

y - PSI,

j - FI.

12.1 Главные напряже& 121t1924b #1085;ия для конечных элементов различных типов

Каждый тип элемента обладает определенными особенностями напряже& 121t1924b #1085;но-деформиро­ванного состояния (НДС), которое также определяет и особен­ности расположения главных площадок.

В зависимости от рассматриваемого типа элемента в каждой точке, где определены усилия (напряже& 121t1924b #1085;ия), вычисляются главные напряже& 121t1924b #1085;ия и углы, характеризующие положение главных площадок.

Если результаты выданы в одной точке - то это центр тяже& 121t1924b #1089;ти элемента (центр тяже& 121t1924b #1089;ти поперечного сечения тела вращения для осесимметричных элементов). Для большего числа точек вычисления будут проведены в узлах элемента и центре тяже& 121t1924b #1089;ти.

главные напряже& 121t1924b #1085;ия N₁ , N₂ и N₃.;

q), PSI(y) и FI(j

m

угол наклона главного напряже& 121t1924b #1085;ия N1 к оси X1.

Для случая плоского НДС (балка-стенка) тензор напряже& 121t1924b #1085;ий имеет вид:

(12.8)

Так как элемент всегда расположен в плоскости XOZ, то для срединной поверхности его вычисляются только два главных напряже& 121t1924b #1085;ия по формуле

. (12.9)

Положение главных площадок характеризуется углом наклона главного напряже& 121t1924b #1085;ия N1 к оси X1

. (12.10)

Если T_xz=0, то считается, что j

моменты - M_x , M_y и M_xy;

перерезывающие силы - .Q_x и Q_y.

Для оболочек вычисляются также напряже& 121t1924b #1085;ия - N_x , N_y и N_xy. Тензор напряже& 121t1924b #1085;ий имеет вид

, (11)

так как касательные напряже& 121t1924b #1085;ия не учитываются.

Для каждой точки, в которой вычислены усилия, главные напряже& 121t1924b #1085;ия определяются на нижней (Н), срединной (С) и верхней (В) поверхностях. При этом

N_x^{B H} = N_x M_x h

N_y^{B H} = N_y M_y h (12)

N_xy^{B H} = N_xy M_xy h

Тогда главные площадки для верхней и нижней поверхности параллельны одна другой, а главные напряже& 121t1924b #1085;ия определяются по формуле:

, (13)

Положение главных площадок характеризуется углом наклона главного напряже& 121t1924b #1085;ия N1 к оси X1

(14)

Если T_xy = 0, то считается, что j

Главные напряже& 121t1924b #1085;ия в стержневых элементах определяются по формуле

. (12.15)

s_x t_x t^y нормальное и касательные напряже& 121t1924b #1085;ия в характерных точках поперечного сечения стержня.

Для того чтобы определить главные напряже& 121t1924b #1085;ия, сечение элемента должно быть задано:

Во всех других случаях главные напряже& 121t1924b #1085;ия не вычисляются.

В точках, которые не располагаются на материальной части поперечного сечения (например точка 9 для коробчатого сечения), значения главных напряже& 121t1924b #1085;ий не вычисляются.

Рис.12.2 Прокатные профили

12.2 Вычисление эквивалентных напряже& 121t1924b #1085;ий

При простых видах деформации, в частности при одноосном напряже& 121t1924b #1085;ном состоянии, об опасности действующих напряже& 121t1924b #1085;ий судят, сопоставляя их с экспериментально устанавливаемой величиной (с пределом текучести для пластических материалов или с временным сопротивлением для хрупких тел). Для сложного напряже& 121t1924b #1085;ного состояния, характеризующегося главными напряже& 121t1924b #1085;иями s s s , обычно используется некоторая гипотеза (теория прочности) о преимущественном влиянии на прочность материала того или иного фактора. При этом предусматривается возможность сопоставления некоторого эквивалентного напряже& 121t1924b #1085;ия s с пределом , который соответствует простому одноосному растяже& 121t1924b #1085;ию. Условие невоз­никно­вения предельного состояния в материале записывается в виде

,

где k₁,...,k_n - некоторые константы материала, которые могут и отсутствовать.

Приведем обозначения некоторых используемых констант:

- среднее напряже& 121t1924b #1085;ие (гидроста­тическое давление);

- интен­сив­ность напряже& 121t1924b #1085;ий;

- предельные напряже& 121t1924b #1085;ия материала соответ­ственно при одноосном растяже& 121t1924b #1085;ии, одноосном сжатии и чистом сдвиге;

;

;

;

.

Иногда удобнее сопоставлять эквивалентное напряже& 121t1924b #1085;ие с пределом , соответствующим сопротивлению образца материала при простом одноосном сжатии. Соответ­ствующее эквивалентное напряже& 121t1924b #1085;ие обозначается как s_S

В комплексе реализовано четыре теории прочности, сведения о которых приведены в таблице 121. Все они относятся к изотропным материалам и условиям статического нагружения, когда история поведения конструкции не сказывается на формулировке условий разрушения.

12.1

12.3 Подготовка данных для расчета главных и эквивалентных напряже& 121t1924b #1085;ий

Исходные данные для расчета главных и эквива­лентных напряже& 121t1924b #1085;ий готовятся в диалоговом окне (рис. 12.3.1), которое вызывается из раздела Специальные исходные данные Дерева проекта. Расчет можно выполнить как для загружений, так и для комбинаций загружений. Вид данных, для которых выполняется расчет, назначается путем активи­зации опций, расположенных в верхней части диалогового окна. Теория, по которой выполняется расчет, выбирается при помощи кнопок в группе Теория прочности. Результаты расчета можно вывести на печать в табличной форме из раздела Дерева проекта Печать таблиц или в Документаторе.

Для пластинчатых элементов в режиме графического анализа результатов предусмотрено построение изолиний и изополей главных и эквивалентных напряже& 121t1924b #1085;ий, а также отображение направлений главных площадок.

Расчет главных и эквивалентных напряже& 121t1924b #1085;ий