Математическая индукция

Математические мето
515q1612f 076;ы, используемые при анализе алгоритмов, имеют свои отличительные особенности. Например, нам довольно часто придется выполнять суммирование конечного числа рациональных чисел или решать рекуррентные уравнения. Подобные темы обычно очень поверхностно освещаются при чтении математических дисциплин, поэтому назначение следующих разделов - не только потренироваться в использовании обозначений, но и проиллюстрировать типы и мето
515q1612f 076;ы вычислений, которые будут нам особенно необходимы.

- это некоторое утверждение, касающееся целого числа п например:

n n ⁿ > n ». Предположим, нам нужно доказать, что утверждение Р(п) верно для всех положительных целых чисел п. Существует важный мето
515q1612f 076; доказательства этого факта, который состоит в следующем:

(а) Доказать, что Р(1) верно.

(b Р(2), ..., Р справедливы, то Р 1) также справедливо»; это доказательство должно иметь силу для любого целого положительного числа п.

1 + 3 + n n (1.5)

и докажем, что оно верно для любого положительного n. Согласно мето
515q1612f 076;у, описанному выше, имеем следующее.

(b

1 + 3 +

Этот мето
515q1612f 076; можно считать алгоритмической процедурой доказательства. В самом деле, следующий алгоритм дает доказательство утверждения Р(п) для любого целого положительного п в предположении, что этапы нашего доказательства (а) и (b

I n верно.

Действие I Доказать Р(1).

k 1 и в соответствии с п. (а) выдать доказательство утверждения Р(1).

I k n

k n

I Доказать P k

b P k P k P k P k

Действие I Увеличить k k I 2. Поскольку этот алгоритм выдает доказательство утверждения Р для любого заданного п, мето
515q1612f 076; доказательства, сформулированный в пп. (а) и (b), логически обоснован. Он называется доказательством мето
515q1612f 076;ом математической индукции.

Понятие математической индукции следует отличать от того, что в научной практике обычно называют индуктивным мето
515q1612f 076;ом. Данный мето
515q1612f 076; заключается в том, что ученый делает некоторые наблюдения и создает «по индукции» общую теорию или выдвигает гипотезу, объясняющую эти факты. Например, на основании пяти соотношений (1.4), приведенных выше, мы могли бы сформулировать соотношение (1.5). В этом смысле индукция - не более чем догадка или попытка объяснить конкретную ситуацию; математики называют это эмпирическим результатом или предположением.

обозначает количество числа п, т.е. количество различных способов записи числа п в виде суммы целых положительных чисел (порядок слагаемых значения не имеет). Так как для числа 5 существует ровно семь таких способов записи, т.е.

то р(5) = 7. На самом деле установить первые пять значений функции р довольно легко:

р(2) = 2, р(3)=3, р(4) = 5, р(5) = 7.

пробегает множество простых чисел. Для проверки данной гипотезы продолжаем вычисления и находим р(6) = 11. - Ура! - Это подтверждает наше предположение. Но, к сожалению, оказывается, что р равно 15. Увы, все идет насмарку, и приходится начинать сначала. Из математической литературы известно, что значения р(n

Математическая индукция не имеет ничего общего с тем индуктивным мето
515q1612f 076;ом, который мы только что описали. «Индукцией» этот мето
515q1612f 076; назван только потому, что сначала нужно выдвинуть предположение о том, что нужно доказать, а затем уже применять мето
515q1612f 076; математической индукции. Начиная с этого момента, слово «индукция» будет использоваться только для обозначения доказательства мето
515q1612f 076;ом математической индукции.

п = 6 показано, что п² клето
515q1612f 082; разбиты на группы 1 + 3 + (2n - 1) клето
515q1612f 082;. Но, в конечном счете, этот рисунок можно считать «доказательством» только в случае, если мы покажем, что данное построение можно выполнить для любого п. А это, в сущности, и будет доказательством по индукции.

b следует справедливость Р 1). Это очень важный случай, который встречается довольно часто, но в следующем примере будут проиллюстрированы более широкие возможности мето
515q1612f 076;а математической индукции.

F F F F F F

. (1.6)

Докажем, что неравенство справедливо для всех целых положительных чисел n P n

n F f f ⁿ

заметим сначала, что Р(2) также справедливо, поскольку F = 1 < 1.6 < f f . справедливы и п > 1, то мы знаем, в 1) и Р(п). Поэтому и .

(1.7)

1 + f f (1.8

1). Таким b) выполнен, и формула (1.6) доказана мето
515q1612f 076;ом математической индук b 1) при п=1 и использовали индуктивный мето
515q1612f 076; при п > 1. Это было необходимо, так как при п= на Р 1) = Р была