Графічний метод розв’язування задач лінійного програмування

Графічний метод розв’язування задач ліні 646g64g 81;ного програмування

Для розв’язування двовимірних задач ліні 646g64g 81;ного програмування, тобто задач із двома змінними, а також деяких тривимірних задач застосовують графічний метод, що ґрунтується на геометричній інтерпретації та аналітичних властивостях задач ліні 646g64g 81;ного програмування. Обмежене використання графічного методу зумовлене складністю побудови багатогранника розв’язків у тривимірному просторі (для задач з трьома змінними), а графічне зображення задачі з кількістю змінних більше трьох взагалі неможливе.

(2.17)

(2.18)

. (2.19)

Згідно з геометричною інтерпретацією задачі ліні 646g64g 81;ного програмування (§ 2.4) кожне і-те обмеження-нерівність у (2.18) визначає півплощину з граничною прямою (і = 1, 2, …, т). Системою обмежень (2.18) графічно можна зобразити спі

Умова (2.19) невід’ємності змінних означає, що область допустимих розв’язків задачі належить першому квадранту системи координат двовимірного простору. Цільова функція задачі ліні 646g64g 81;ного програмування геометрично інтерпретується як сім’я паралельних прямих с₁х₁ + с₂х₂ = const.

Скористаємося для графічного розв’язання задачі ліні 646g64g 81;ного програмування властивостями, наведеними в § 2.5:

якщо задача ліні 646g64g 81;ного програмування має оптимальний план, то екстремального значення цільова функція набуває в одній із вершин її багатокутника розв’язків. Якщо ж цільова функція досягає екстремального значення більш як в одній вершині багатокутника, то вона досягає його і в будь-якій точці, що є ліні 646g64g 81;ною комбінацією цих вершин.

Отже, розв’язати задачу ліні 646g64g 81;ного програмування графічно означає знайти таку вершину багатокутника розв’язків, у результаті підстановки координат якої в (2.17) ліні 646g64g 81;на цільова функція набуває найбільшого (найменшого) значення.

розв’язування задачі ліні 646g64g 81;ного програмування складається з таких кроків:

3. Знаходимо багатокутник розв’язків задачі ліні 646g64g 81;ного програмування.

4. Будуємо вектор , що задає напрям зростання значення цільової функції задачі.

5. Будуємо пряму с₁х₁ + с₂х₂ = const, перпендикулярну до вектора .

6. Рухаючи пряму с₁х₁ + с₂х₂ = const в напрямку вектора (для задачі максимізації) або в протилежному напрямі (для задачі міні 646g64g 84;ізації), знаходимо вершину багатокутника розв’язків, де цільова функція набирає екстремального зна

7. Визначаємо координати точки, в якій цільова функція набирає максимального (міні 646g64g 84;ального) значення, і обчислюємо екстремальне значення цільової функції в цій точці.

У разі застосування графічного методу для розв’язування задач ліні 646g64g 81;ного програмування можливі такі випадки:

1. Цільова функція набирає максимального значення в єдині 646g64g 81; вершині А багатокутника розв’язків (рис. 2.5).

2. Максимального значення цільова функція досягає в будь-якій точці відрізка АВ (рис. 2.6). Тоді задача ліні 646g64g 81;ного програмування має альтернативні оптимальні плани.

3. Задача ліні 646g64g 81;ного програмування не має оптимальних планів: якщо цільова функція необмежена згори (рис. 2.7) або система обмежень задачі несумісна (рис. 2.8).

Рис. 2.6

Рис. 2.7 Рис. 2.8

4. Задача ліні 646g64g 81;ного програмування має оптимальний план за необмеженої області допустимих розв’язків (рис. 2.9 і 2.10). На рис. 2.9 у точці В маємо максимум, на рис. 2.10 у точці А — міні 646g64g 84;ум, на рис. 2.11 зображено, як у разі необмеженої області допус­тимих планів цільова функція може набирати максимального чи міні 646g64g 84;ального значення у будь-якій точці променя.

Рис. 2.9 Рис. 2.10

Розв’язувати графічним методом можна також задачі ліні 646g64g 81;ного програмування n-вимірного простору, де , якщо при зведенні системи нерівностей задачі до системи рівнянь шляхом введення додаткових змінних кількість змінних n на дві більша, ніж число обмежень m, тобто .

Тоді, як відомо з курсу вищої математики, можна дві з n змінних, наприклад х₁ та х₂, вибрати як вільні, а інші m зробити базис­ними і виразити через вільні. Припустимо, що це зроблено. Отримаємо рівнянь вигляду:

Оскільки всі значення , то мають виконуватись умови:

,

(2.19.1)

.

Це рівняння прямої. Для такої прямої , по одну сторону від неї , а по другу — . Відмітимо ту сторону прямої , де .

В аналогічний спосіб побудуємо і всі інші обмежуючі прямі: ; ;; і відмітимо для кожної з них півплощину, де відповідна змінна більше нуля.

У такий спосіб отримують n – 2 прямі та дві осі координат (,). Кожна з них визначає півплощину, де виконується умова . Частина площини в належить водночас всім півплощинам, утворюючи багатокутник допустимих розв’язків.

.

Підставивши вирази для , , , ; з (2.19.1) у цей функціонал, зведемо подібні доданки і отримаємо вираз ліні 646g64g 81;ної функ­ції F всіх n змінних лише через дві вільні змінні та :

,

де — вільний член, якого в початковому вигляді функціонала не було.

Очевидно, що ліні 646g64g 81;на функція досягає свого максимального значення за тих самих значень та , що й . Отже, процедура відшукання оптимального плану з множини допустимих далі здійснюється за алгоритмом для випадку двох змінних.

Розв’язати графічним методом задачу ліні 646g64g 81;ного програмування

.

. Маємо n = 7 — кількість змінних, m = 5 — кількість обмежень. Виберемо як вільні змінні х₁ та х₂ і виразимо через них всі інші базисні змінні. З першого рівняння маємо:

(2.19.2)

, (2.19.3)

. (2.19.4)

;

.

. Відкидаючи вільний член, маємо: . Будуємо вектор (–5, –2), перпендикулярно до нього — пряму F . Рухаючи пряму F в напрямку, протилежному (необхідно знайти міні 646g64g 84;альне значення функції F), отримаємо точку міні 646g64g 84;уму — А (рис. 2.13).

Розв’язком системи є = 8,5; = 5. Підставивши ці значення у відповідні вирази, знайдемо оптимальні значення базисних змінних:

= 0,5; = 16,5; = 17,5; = 0; = 0.

Підстановкою значень та в ліні 646g64g 81;ну функцію F отримуємо значення цільової функції:

.