Sinteza. Limbajul logicii predicatelor

A. Introducere. Pe de o parte exista o asteptare generala ca orice discurs sa îndrepte prin semantica sa, catre lume, catre stari de fapte, deci catre afara discursului însusi si a proceselor mentale. Ori expunerea unui limbaj tocmai asa ceva nu face. Pe de alta parte un asemenea discurs este de al doilea ordin, fiind discurs despre limbaj, adica o metalimba. Prin natura sa, în expunerea sintaxei, limba vorbeste despre limbaj. Prin urmare nu î 21221j92v ndreapta atentia catre exteriorul mintii sau al discursului. În plus, limbajul fiind unul artificial este strain cunoasterii comune. Coliziunea dintre cele doua aspecte: posibila asteptare a mintii pe de o parte si natura discursului despre sintaxa pe de alta parte, pot justifica greaua inteligibilitate a unui asemena discurs. Posibila solutie ar fi schimbarea asteptarilor despre intentiile unui discurs în genere, despre cele ale discursului despre sintaxa în special.

B. Obiective: definirea limbajul logicii predicatelor de ordinul 1; definirea expresiei bine formate, a formulei bine formate si a termenilor; definirea si stipularea regulilor de buna formare; descompunerea alfabetului logicii predicatelor. Astfel, punctele în ordinea expunerii lor sunt: alfabetul, regulile de buna formare pentru termeni (T - reguli pentru atomi (A - reguli), pentru formule (F - reguli), definirea limbajului.

C. Concepte cheie: alfabet regula de buna formare, termen, atom, expresie bine formata, formula bine formata, limbaj.

D.Rezumat

Scopul este de a prezenta: 1. o clasificare a expresiilor limbajului logicii predicatelor; 2 alfabetul, adica o multime de "caramizi" din care se construieste limbajul; 3 reguli pentru buna formare a limbajului, adica "liantul" care leaga componentele alfabetului în expresii bine formate. Clasificarea expresilor bine formate este:

Urmeaza prezentarea întâi a alfabetului din care se construieste limbajul si apoi a regulilor de buna formare.

1. Alfabetul. Alfabetul logicii predicatelor are menirea de a codifica sau simboliza diferitele componente ale limbii naturale. Ceea ce se numeste alfabet în logica predicatelor se compune din mai multe alfabete.

1. A_ci, adica alfabet de constante indviduale redate prin: a, b, c, a₁,. a_n. Acestea stau pentru nume proprii de oameni (Ion), denumiri geografice (Ceahlau), de intreprinderi, de firme, etc, si în genere ceea ce se presupune a fi cunoscut.

2. A_vi, adica alfabet de variabile individuale redate prin: x, y, z, x₁,...y₁,.}. Acestea stau pentru ceea ce momentan este presupus necunoscut (ceva, cineva). Aceste prime doua alfabete impun distinctia între indivizii însisi pe care îi desemneaza si simbolurile prin care acestia sunt redati.

3. A_f, adica alfabet de simboluri functionale redate prin: f, g, h, f₁, ... Acestea stau pentru dependente functionale cunoscute sau presupuse cunoscute precum operatiile aritmetice dar si altele.

4. A_P, adica alfabet de simboluri predicative redate prin: P, Q, R, P₁, ...}. Acestea stau pentru proprietati acestea fiind scindabile în: nsusiri si relatii. Asemenea proprietati pot fi aceea de a fi om, animal, a avea, casatorit, a da. Alfabetele 3 si 4 impun distinctia între simbolul functional, respectiv predicativ pe de o parte si functia respectiv proprietatea în sine pe care o semnifica.

5. A , adica alfabet al semnului de egalitate =. Acesta stau pentru relatia de identitate între doi termeni de limba naturala respectiv ai limbajului logicii predicatelor. Acestia se exprima prin primele trei alfabete deja aratate.

6. A_Q adica alfabet al semnelor de cantitate redate prin: " (oricare, fiecare, toti) care este cuantificatorul universal si prin (unii) care este cuantificatorul existential. Acestea stau pentru cantitatea de indivizi care au o anumita proprietate sau stabilesc între ei o anumita dependenta functionala.

7. A_cl, adica alfabet al conectivelor logice redate prin & (si) v (sau), (daca.atunci.), ≡ (.daca si numai daca.), ~ (nu, este fals ca., nu este adevarat ca.).

8. A_G, adica alfabet al semnelor de grupare si sunt parantezele acolade , dprete [ ], rotunde ( ).

A_LP = A_ci A_vi A_f A_P A A_Q A_cl A_G

A_ci, adica alfabetul de constante indviduale

Numim alfabet al logicii predicatelor de ordinul 1reuniunea dintre alfabetele de: constante indviduale, variabile individuale, simboluri functionale, simboluri predicative, alfabetul semnului de egalitate, semne de cantitate, conective logice, semne de grupare;

2. Reguli de buna formare

2.1. Reguli de buna formare pentru termeni (T-reguli)

T1. Daca a apartine A_ci atunci a este termen

T2. Daca a apartine lui A_vi atunci a este termen

Pentru simbolurile functionale si predicative intervine conceptul de aritate a lui f: d(f), adica numarul de termeni la care se aplica simbolul functional sau predicativ. Aritatea se exprima astfel printr un numar natural, indiferent de natura obiectelor desemnate de acei termeni.

T3. Daca f apartine A_f si aritatea lui f (d(f)) este n si t .t_n sunt termeni atunci f(t .t_n este termen.

Reguli de buna formare pentru termeni sunt T1, T2, T3, si numai ele.

Termenul este secventa de semne obtinuta din A_ci A_vi A_f prin aplicarea T - regulilor, de un numar finit de ori.

Sintetic spus, variabilele si constantele individuale sunt termeni, la fel si simbolurile functionale aplicate termenilor sunt termeni.

2.2. Reguli de buna formare pentru atomi predicativi (A-reguli)

A1. Daca P apartine A_P si aritatea lui P (d(P)) este n si t .t_n sunt termeni atunci P(t .t_n este atom predicativ.

A2 Daca "=" apartine A₌ si t t sunt termeni atunci t = t este un atom predicativ..

Reguli de buna formare pentru atomi predicativi sunt A1, A2 si numai ele.

Atomul predicativ este secventa de semne obtinuta din A_ci A_vi A_f A_P A prin aplicarea A-regulilor de un numar finit de ori.

Sintetic spus, simbolurile predicative aplicate la n upluri de termeni si = intercalat între termeni alcatuiesc atomi predicativi.

2.3. Reguli de buna formare pentru formule predicative (F-reguli)

F1. Daca a este atom predicativ atunci a este formula bine formata (FBF) în logica predicatelor. (a A a FBF).

F2. Daca a si β sunt FBF în logica predicatelor * apartine A_cl atunci a ~a sunt FBF în logica predicatelor. ((a FBF & FBF(β) & A_cl & x a a FBF & ~a FBF

F3. Daca x apartine lui A_vi a este FBF în logica predicatelor si Q apartine lui A_Q atunci Qx a(x) este FBF în logica predicatelor. ((a FBF & x a & Q A_Q FBF(Qx ax))

Reguli de buna formare pentru formule predicative sunt F1, F2, F3 si numai ele.

Formula bine formata este o secventa de semne obtinuta din A_LP prin aplicarea F-regulilor de un numar finit de ori. Sintetic spus, o formula bine formata este fie un simplu atom, fie o agregare de atomi prin conective logice cu sau fara cuantificatori.

E. Daca a este termen sau FBF atunci a este expresie bine formata.

L. Totalitatea expresiilor bine formate alcatuiesc limbajul logicii predicatelor.

3.Unele semnificatii ale sintaxei

1. Infinit si totalitate. Expresiile generate cu ajutorul sintxei sunt potential infinit de multe. Tautologiile unui sistem axiomatic complet necoontradictoriu sunt de asemenea potential infinit de multe. Totusi potentialitata infinita a sintaxei este mai numeroasa dcât aceea a axiomaticii. Deoarece prima contine inlcusiv contradcitii si formulele simplu realizabile, pe când cea de a doua contine doar tautologiile.

2. Decizia este prin excelenta problema logicii. Aceasta poate însemna ca orice rationament este sau ar trebui sa fie decidabil de exemplu, ca valid sau ca nevalid. Sintaxa unui limbaj ca si logica în genere, raspunde în mod specific la problema deciziei. Logica în genere are ca scop decizia daca un rationament este sau nu valid. Sintaxa are ca scop decizia daca o expresie este sau nu este bine formata.

3. Contradictia a, ~a. Un sistem de premise, eventual unul axiomatic, care permite derivarea atât a unei concluzii a cât si a contradictoriei a acesteia, ~a, este criticat drept contradictoriu. Scopul construirii sistemului este de a nu deriva chiar toate formulele apartinând aceluiasi limbaj. Sintactic, este chiar necesar sa fie construibile atât a cât si ~a, fara a fi criticabila, ci mai degraba meritoasa pentru aceasta. Scopul este tocmai de a construi chiar toate formulele unui anumit limbaj.

5. Sintaxa si descoperire. Sintaxa permite sa se considere ca toate multimile de perechi a, ~a sunt date deodata. Cel putin din unele perechi este adevarata câte o formula. Aparent ar echivala cu o descoperire prin simpla generare sintactica, fara a fi asa deoarece nu s ar putea sti care dintre ele este adevarata.

6. Cel de al doilea sens al termenului sintaxa, este oarecum în continuarea primului sens. Generarea limbajului pune la dispozitie formulele supuse derivarii prin calcul. Sunt avute în vedere aici diferite metode de calcul prin care: pe de o parte se deriva sintactic consecinte, pe de alta parte se decide cu mijloace semantice daca cele pretinse a deriva, sunt într-adevar în aceasta relatie. Astfel sunt posibile doua laturi sau aspecte al relatiei de consecinta logica anume latura sintactica a acestei relatii. Existenta anumitor reguli si metode de calcul are un substrat semantic. Semantica este cea de a doua latura a relatiei de consecinta semantica si cu asa ceva se ocupa sectiunea urmatoare.

A. Introducere

B. Obiectiv

C. Concepte cheie

D. Rezumat 2 - 4

E. Întrebari, test ca pentru examen 20 de întrebari