Cu ajutorul erorilor din tabelul 7.4. se calculeaza eroarea medie absoluta (deviatia medie absoluta - DMA), iar valorile acesteia s-au notat pe graficul din figura 7.4.

Fig. 7.4. Deverul saptamânal al unei statii "PETROM" si prognozele vânzarilor prin ajustari cu si si prin media mobila cu n = 4

Rezulta ca dupa criteriul erorii de prognoza minime, cea mai buna dintre cele 3 alternative de calcul a prognozei, în acest caz concret, este ajustarea exponentiala cu . Concluzia aceasta este valabila numai în cazurile în care erorile cu semnul (+) sunt de egala importanta cu cele de semn (-). Pentru statia de benzina erorile cu (+) si cele cu (-) nu sunt însa de egala importanta.

Asadar, pentru cazul de fata alegerea metodei optime de prognoza necesita rationamente suplimentare. Spre a efectua aceste rationamente se precizeaza ca erorile cu (+) semnifica o subaprovizionare fata de cererea reala, iar cele cu (-), o crestere inutila a stocului. Trebuie calculate, prin urmare, pierderile cauzate statiei de fiecare din cele 3 alternative de prognoza.

În ipoteza admiterii unui pret de 750 lei/litrul de benzina, a unei rentabilitati a statiei de benzina de 5% fata de vânzari si a dobânzii de 90% pentru creditarea stocurilor , pierderile asociate celor 3 alternative de prognoza sunt sistematizate în tabelul 7.5.

În vederea evaluarii pierderilor s-au însumat, pe baza tabelului 7.4, erorilor cu (+) si cele cu (-) la fiecare alternativa de prognoza, rezultând:

pentru ajustarea cu , erori cu (+) 41,8 tone, erori cu (-) 35,5 tone;

pentru ajustarea cu a=0,3 , erori cu (+) 41,7 tone, erori cu (-) 54,3 tone;

pentru media mobil\ cu n=4, erori cu (+) 32,2 tone, erori cu (-),

49,85 tone.

În urma calculelor economice prin care se evidentiaza pierderile datorate erorilor de prognoza, rezulta ca alternativa de prognoza cea mai buna este cea care foloseste media mobila cu n=4.

Tabelul 7.5

Pierderile datorate erorilor de prognoza pentru o statie de benzina

în decursul a 11 sapamâni în cazul a 3 alternative de prognoza

Se pune întrebarea daca o prognoza cum este cea optima realizata în cazul de mai sus prin folosirea mediei mobile cu n=4, pentru care pierderile determinate de eroarea de prognoza costa firma 1.890.540,9 lei pe 11 luni, este sau nu eficienta.

Spre a raspunde la aceasta întrebare, se cere a se cunoaste modul în care se desfasoara aprovizionarea reala a firmei. Graficul evolutiei deverului real de benzina al statiei reprezentat în figura 7.4., sugereaza ca spre a fi posibila o asemenea evolutie, aprovizionarea s-a facut în mod acoperitor fata de vârfurile deverului. Înseamna ca firma a suportat cheltuieli substantiale cu plata dobânzilor pentru creditarea stocului suplimentar.

Spre a avea comparabilitate cu situatia economica folosita în rationamentele referitoare la identificarea metodei optime de prognoza, urmeaza a evalua pierderea cu stocarea înregistrata de statie în acelasi interval de timp, de 11 saptamâni. Pe graficul din figura 7.4 se observa ca spre a face fata vârfurilor de consum al clientilor, firma s-a aprovizionat cu o cantitatea maxima de 87.000 litri, iar diferentele fata de consumul clientilor au reprezentat:

Pierderea datorata stocarii acestui plus de aprovizionare fata de cererea reala este,

De aici este evident ca oricare din cele 3 alternative de prognoza asigura un efect pozitiv pentru firma. Efectul maxim este asigurat de aplicarea prognozei prin metoda mediei mobile cu n=4. Efectul economic E adus firmei prin aprovizionarea saptamânala cu cantitatile prognozate prin metoda mediei mobile reprezinta:

saptamâni

Cantitatea prognozata pentru saptamâna 16, cu media mobila de ordin n=4, va fi:

litri

Prognoze prin extrapolarea tendintei

Metodele mediei mobile si ajustarii exponentiale sunt aplicabile în prognozele pe termen scurt, de pe o zi pe alta, de pe o luna pe alta, de pe un trimestru pe altul. Ca atare ele sunt utile în mod deosebit pentru elaborarea planurilor de actiune si la controlul îndeplinirii planurilor curente.

în care - reprezint\ timpii seriei, iar X_i - valorile indicatorului sau fenomenului ce necesita a fi prognozat. Seria poate fi extrapolata pe baza functiei matematice a evolutiei indicatorului respectiv în timp.

Tipul de functie matematica asociat seriei se identifica prin metoda diferentelor finite dupa cum urmeaza:

1) Daca momentele () sunt ordonate aritmetic, iar diferentele finite de ordinul 1 ale valorilor seriei, notate , sunt constante, relatia dintre si este o dreapta de forma:

Pentru exemplificarea modulului de calcul al diferentelor finite se considera o serie de 4 valori . Rezulta urmatoarele diferente finite anterioare :

2) Daca momentele sunt ordonate aritmetic, iar diferentele finite de ordinul notate sunt constante, atunci relatia dintre X_i si se exprima printr-un polinom de ordinul p

Exemplu: Fie seria

Diferentele finite de ordinul 1 vor fi:

în acest caz, functia ce trebuie extrapolata va fi polinomul de ordinul 2,

3) Daca diferentele finite calculate succesiv: , , ... nu ajung la valori constante, înseamna ca seria dinamica contine pe lânga trend si alte componente si intra în categoria extrapolarii seriilor decompozabile.

4) Daca se succed aritmetic, iar formeaza o progresie geometrica, relatia de legatura dintre acestea va fi o exponentiala de forma

În oricare din cazurile 1), 2), [i 4) de mai sus parametrii functiei se pot stabili prin metoda celor mai mici patrate (mcmmp). Potrivit cu aceasta se scrie o functie W a celor mai mici patrate ale diferentelor dintre valorile statistice si valorile obtinute cu functia de ajustare formulata. De exemplu pentru o serie de timp exprimata printr-o dreapta de forma (7.17) functia celor mai mici patrate va fi:

unde sunt valorile statistice ale seriei de la la .

Pentru a îndeplini conditia de minim, derivatele acestei functii în raport cu a si b se anuleaza astfel:

;

.

Rezulta sistemul de ecuatii normale:

(7.23)

În cazul functiei exponentiale (7.20) sistemul de ecuatii normale va rezulta dupa ce se face linearizarea prin logaritmare,

(7.24)

Sistemul de ecuatii normale asociat acestei noi exprimari va fi

(7.25)

Aplicatie numerica. Prognoza prin extrapolarea tendintei înzestrarii populatiei României cu autoturisme.

Din anuarul statistic rezulta ca înzestrarea populatiei cu autoturisme consemnata din 5 în 5 ani este cea redata în tabelul 7.6. (valori rotunjite, pentru simplificarea calculelor).

Tabelul 7.6

Înzestrarea populatiei cu autoturisme în perioada 1980-1995

Se cere:

a) Sa se stabileasca functia evolutiei înzestrarii cu autoturisme;

b) Sa se determine prognoza înzestrarii populatiei cu autoturisme pentru anul 2000;

c) Sa se estimeze volumul de productie al industriei de automobile destinate pentru piata interna, în anul 2000, daca se admite ca numai jumatate din automobilele cu care este înzestrata populatia în 1995 vor fi apte sa functioneze în anul 2000.

R\spuns: a). Se calculeaza diferentele finite de ordinul 1

O serie de timp având diferente finite de ordinul 1 constante, se rezolva printr-o dreapta de forma celei din formula (7.17).

Se calculeaza parametri a si b ai dreptei, folosind sistemul ecuatiilor normale (7.22). Din examinarea structurii sistemului de ecuatii normale rezulta ca este necesar sa se alcatuiasca tabelul ajutator 7.7.

Tabelul 7.7

Pregairea datelor numerice necesare rezolvarii sistemului (7.22)

Se înlocuiesc datele situate pe ultima liniei a tabelului, în sistemul (7.22):

Se rezolva acest sistem în raport cu a si b, rezultând:

.

Formula dreptei pentru prognoza înzestrarii populatiei cu automobile va fi,

b) Prognoza înzestrarii populatiei cu autoturisme în anul 2000, caruia îi corespunde , va fi: autoturisme /1000 locuitori.

c) Pentru a dispune de 70 autoturisme la 1000 locuitori în anul 2000, în conditiile în care numai jumatate din numarul de autoturisme existente la 1000 locuitori în 1995, adica autoturisme vor mai putea fi în functiune în anul 2000, înseamna ca în fiecare an, începând cu 1996 si terminând cu 2000 (5 ani), este necesar ca industria de automobile sa produca în medie auto / 1000 locuitori si an. Volumul de productie al uzinelor auto, destinat pentru piata interna în aceste conditii ar urma sa fie de aproximativ, .

Metoda seriilor de timp decompozabile

Din prezentarea metodei extrapolarii trendului s-a vazut ca atunci când seria de timp nu are diferente finite constante, ea comporta pe lânga trend si alte componente.

Metoda seriilor de timp decompozabile preconizeaza existenta a 4 componente ce însotesc o serie de timp de acest fel:

1) Trendul (T);

2) Variatia sezoniera (S);

3) O variatie ciclica (C);

Variatia aleatoare (R).

Fig. 7.6. Componentele unei serii de timp

În figura 7.5 sunt reprezentate grafic, distinct, 3 dintre aceste componente: trendul (T), ciclul (C) si variatia sezoniera (S). Economistii au ajuns la concluzia ca aceste componente pot exprima prognoza pentru o etapa t viitoare (an, cincinal....) ca si pe subetape ale acesteia, sub forma unui produs de termeni,

(7.26)

Trendul () se defineste ca fiind tendinta generala a evolutiei fenomenului sau indicatorului , desfasurata pe o perioada lunga de timp. Aceasta componenta poate fi relevata ca unica în cazul seriilor ale caror diferente finite sunt constante, sau ca o componenta fundamentala ce poate fi izolata de celelalte componente, în cazul seriilor de timp decompozabile. Identificarea trendului în acest din urma caz se poate efectua pe baza reprezentarii grafice la scara, pe hârtie milimetrica, a termenilor seriei asa cum se vede pe graficul din figura 7.5., unde trendul este o dreapta, sau se poate stabili cu calculatorul electronic, folosind un program de prognoza. Programul permite sa se aleaga dintre mai multe functii matematice (dreapta, parabola, exponentiala, functia putere), functia optima. Criteriul de alegere este deviatia standard minima estimata ca diferenta între valorile reale ale seriei introduse în calculator si valorile ajustate cu functiile matematice mentionate.

Componenta ciclica () din cadrul seriilor de timp se manifesta prin oscilatii relativ ample ale indicatorului sau fenomenului analizat, iar durata ciclului se poate observa în perspectiva mai multor ani. Aceste oscilatii sunt generate de alternanta perioadelor de crestere, cu perioadele de stagnare si recesiune economica, precum si de alte cauze generale (activitate politica), sau locale (actiunea sindicatelor, fluctuatiile pietii valutare - "sarpele" valutar - retehnologizarea s.a.).

Componenta sezoniera (S_t) se manifesta ca urmare a influentelor sezonale din timpul anului. Are oscilatie mai frecventa decât componenta ciclica. Uneori variatia sezoniera cantitativa coincide cu sezoanele ca, de exemplu, în cazul consumului casnic de energie electrica - mai mare iarna comparativ cu vara. Alteori, variatia sezoniera se manifesta în avans cu o etapa (sezon) ca de exemplu, productia de obiecte care constituie cadouri de iarna, accentuata în sezonul de toamna spre a face fata cerintei de cadouri în iarna.

Componenta aleatoare () se produce fara a avea cauze speciale care s-o determine si fara posibilitatea de a i se atribui un model de repetare sistematica. Dupacum îi spune si numele, este întâmplatoare.

Ca metodologie de evaluare, prognoza pe baza seriilor decompozabile, comporta doua tipuri de valuari:

trendul () se poate identifica grafic, în urma trasarii pe hârtie milimetrica a curbei evolutiei valorilor X_i ale seriei, sau analitic, prin încercarea mai multor functii plauzibile dintre care se alege cea care asigura deviatia standard minima; în ambele variante pentru determinarea parametrilor functiei se apeleaza la metoda celor mai mici patrate;

componentele ciclica, sezoniera si aleatoare se determina prin metodele indexarii, asa cum se va explica pe un exemplu metodologic în continuare.

În tabelul 7.8 sunt înregistrate valorile seriei vânzarilor de difuzoare stereofonice de catre firma "Stereoton" pe parcursul a 5 ani, divizati pe trimestre.

Tabelul 7.8

Vânzarile de difuzoare stereo ale firmei "Stereoton" pe

parcursul a 5 ani, în 10³ buc. / trimestru

Anul	Trimestrul	Vânz\ri		Anul	Trimestrul	Vânz\ri

Se cere sa se prognozeze vânzarile în anul 6, cu divizare pe trimestre

Raspuns

Tipul functiei trendului () rezulta pe cale grafica. Astfel, în figura 7.6, în care este trasat graficul variatiei vânzarilor, se observa ca o dreapta crescatoare reda sugestiv tendinta evolutiei vânzarilor în acest caz. Formula dreptei folosite va fi:

(7.27)

Dispunând de datele din tabelul 7.8 si aplicând mcmmp, se ajunge la sistemul de ecuatii normale asociat functiei (7.27),

De aici rezulta parametrii dreptei: si , iar functia tendintei,

(7.28)

Fig. 7.6. Graficul variatiei vânzarilor de difuzoare stereo pe 5 ani

la firma "Stereoton" si reprezentarea tendintei acestor vânzari - , verificata de ecuatia (7.28).

Calculul indexului componentei ciclice C_t. Pe graficul din figura 7.6 se observa ca în acest exemplu numeric exista o variatie ciclica quasievidenta în jurul tendintei. Indexul cu ajutorul caruia urmeaza a fi luata în calcul variatia ciclica se va exprima ca proportie în raport cu tendinta. În acest scop se utilizeaza media mobila de ordinul 4 menita sa elimine influentele sezoniere care, dupa cum arata curba vânzarilor din figura, sunt si ele prezente în acest caz. Ordinul 4 al mediei este, asadar, dictat de variatiile trimestriale. Media pe 4 trimestre netezeste iregularitatile sezoniere. De asemenea, este necesar a preciza ca pentru a asigura variatia cicloidala se face un calcul suplimentar care introduce în procesul constructiei cicloidei asa numitele medii centrate (MMC). Ele se calculeaza cu formula,

(7.29)

în care este media mobila la nivelul trimestrul t, iar - media mobila pentru trimestrul urmator. Indexul ciclului se calculeaza prin raportarea valorii la trendul , conform relatiei

În tabelul 7.9 se prezinta valorile indecsilor .

În figura 7.7 este reprezentata curba cicloidala a indecsilor () preluati din tabelul 7.9. Nivelul (1) al indecsilor respectivi corespunde pozitiei trendului ().

Fig. 7.7. Ciclul vânzarilor firmei "Stereoton" si extrapolarea lui în viitor

Tabelul 7.9

Calculul indecsilor ciclului, cu aplicatie la vânzarile firmei "Stereoton"

Ani	Trim ti	Vânzari xi	Mmti	MMCti	Tti	Cti
Se observa ca ciclul are o perioada de 4 ani. Pe acelasi desen este redata o proiectie în viitor a ciclului, acoperind anii 5, 6 si o parte din anul 7. Calculul indexului componentei sezoniere . Formula (7.31) arata modul în care variatia vânzarilor poate fi simplificata spre a izola componenta sezoniera (S) împreuna cu componenta aleatoare (R). (7.31) Valorile obtinute cu aceasta formula sunt trecute în ultima coloana a tabelului 7.10. Mai departe, este necesar sa se determine indecsii propiu zisi (S) ai variatiei sezoniere. În acest scop, în tabelul 7.11 sunt trecute valorile grupate pe trimestrele omonime ale celor 5 ani, iar indecsii , redati în ultima coloana, sunt determinati ca medii aritmetice ale valorilor astfel grupate. Rationamentul este corect deoarece abaterile întâmplatoare se identifica prin raportarea la medie. Tabelul 7.10 Valorile asociate seriei vânzarilor firmei "Stereoton" Anul Trim Vânz\ri MMCti (S R)i Anul Trim. Vânz\ri MMCti (S R)i Tabelul 7.11 Calculul indecsilor sezonieri (S) în cazul seriei dinamice a vânzarilor firmei "Stereoton" Trimestre Valorile preluate din tabelul 7.10 Indexul S I (5, 9, 13, 17) II (6, 10, 14, 18) III (3, 7, 11, 15) IV (4, 8, 12, 16) Diferentele valorilor în plus si în minus, fata de indexul S evaluat ca medie a acestor valori vor reprezenta componenta aleatoare, iar indexul componentei aleatoare R se poate evalua cu formula (7.32) Valorile rezultate prin aplicarea acestei formule sunt înscrise în tabelul 7.12. Tabelul 7.12 Indexul variatiei aleatoare a vânzarilor firmei "Stereoton" Anul Trim. ti i Ri Anul Trim. ti i Ri La acest moment se dispune de toate elementele pentru a calcula prognoza vânzarilor de difuzoare stereo ale firmei "Stereoton" în anul 6, global si pe trimestre. În primul rând se va efectua calculul prognozei pe trimestre deoarece acestea reprezinta variabila independenta a functiei trendului. Numarul de ordine al trimestrelor anului 6 va fi: 21; 22; 23 si 24. Ca urmare componenta , în mii difuzoare pe trimestru, este: pentru trimestrul 21, trim I, anul 6: pentru trimestrul 22, trim II, anul 6: pentru trimestrul 23, trim III, anul 6: pentru trimestrul 24, trim. IV, anul 6: Suma valorilor trimestriale calculate mai sus constituie trendul pentru anul 6, adica: mii de difuzoare. În continuare, valorile trendului pe trimestrele se multiplica cu indecsii corespunzatori variatiei ciclice , variatiei sezoniere si variatia aleatoare potrivit formulei prognozei (7.26). Idecsii se citesc de pe curba cicloidei extrapolata în figura 7.7, pornind de la coordonata numarului de ordine al trimestrelor, asa cum se poate observa pe graficul respectiv în cazul trimestrului (24), caz în care indexul este (1.35). Indec[ii pe trimestrele I - IV se afla în ultima coloana a tabelului 7.11. În fine, indecsii vor fi extrasi din tabelul 7.12, asociindu-se pozitiilor ce revin trimestrelor 21, 22, 23 si 24 de pe curba cicloidei extrapolata în figura 7.7. De exemplu, trimestrului 21 i se atribuie indexul din tabelul 7.12, deoarece pe curba cicloidei, construita cu datele originale ale seriei, indexul cel mai scazut, similar cu cel aflat pe curba extrapolata, corespunde trimestrului 7. În urma acestor precizari, aplicând formula: , rezulta: pentru trimestrul 21, i.e. trim I, anul 6: pentru trimestrul 22, pentru trimestrul 23, pentru trimestrul 24, Se observa ca acest produs este deosebit de solicitat în trimestrul IV. Probabil difuzoarele stereo oferite de firma reprezinta obiecte solicitate în mod deosebit în trimestrul IV al anului (octombrie, noiembrie, decembrie). Într-adevar, daca, de exemplu, este vorba de difuzoare stereo pentru discoteci, restaurante, cazinouri si baruri de noapte, atunci în trimestrul IV se fac pregatirile pentru desfasurarea activitatilor în aceste unitati frecventate cu prioritate în lunile de iarna. Vara, distractiile se desfasoara mai mult în aer liber. Ca atare sezonalitatea rezultata este justificata. Determinarea prognozei în cazul de mai sus s-a referit la un orizont de prognoza pe termen mijlociu (prognoza pentru trimestrele anului 6, an imediat urmator fata de ultimul an al seriei statistice de date). Este necesar a preciza ca prognoza prin aceasta metoda poate fi elaborata si pentru un orizont mai lung de timp ca, de exemplu, pentru trimestrele anului 7 sau 8. Se considera însa ca orizontul de prognoza prin extrapolarea seriilor de timp nu poate fi mai mare decât perioada de timp pentru care exista date statistice. În cazul de mai sus, acest orizont nu poate depasi 5 ani. A2. Modele de prognoza, cauzale Modelele cauzale se caracterizeaza prin aceea ca variabila dependenta (y) a carei valoare este necesar a se determina poate depinde de una sau mai multe variabile independente denumite predictori. Legatura dintre y si x poate fi facuta prin diferite metode, ceea ce duce la existenta mai multor tipuri de modele cauzale: regresia simpla si multipla, modele econometrice, modele input-output s[.a. Regresia simpla este o tehnica statistica prin care variabila dependenta, sau de raspuns y, este legata print-o relatie functionala de o variabila predictor, x. Legatura poate fi liniara sau neliniara. În cazul unei dependente liniare relatia de legatura este o dreapta de forma: unde predictorul amintit, x, este asemanator variabilei timp, t, din modelul de prognoza bazat pe serii de timp simple. Pentru concretizarea domeniilor de aplicatie se pot cita câteva exemple privind asemenea interdependente: n      salariul y în func]ie de performanta x a muncii; n      intensitatea constructiei de locuinte y, în functie de venitul national pe cap de locuitor x; n      dezvoltarea automatizarilor y, în functie de cresterea industriala x; n      cererea de manageri performanti y, în functie de intensitatea concurentei x. Dispunând de date statistice cu privire la variabilele independente si predictori, regresia simpla permite ca prin m.c.m.m.p sa se calculeze parametrii functiei de legatura, dupa care pentru orice x dat se poate prognoza valoarea y. Regresia multipla extinde modelul regresiei simple prin luarea în considerarea a mai multor variabile - predictori. Si în acest caz relatia de legatura dintre variabila dependenta si predictori poate fi lineara, sau nelineara. Cea mai simpla forma a ecuatiei de regresie multipla este cea lineara cu 2 variabile independente si de forma, în care a este ordonata la origine, b - rata schimbarii lui y ca urmare a modificarii lui , c - idem în cazul variabilei . Sunt numeroase situatii ale dezvoltarii planificate în care prognoza se stabileste prin regresie multipla. Se prezinta câteva exemple de regresii cu 2 variabile - predictori: n      dezvoltarea automatizarii y functie de cresterea industriala si de fondul de investitie alocat de firme; n      pretul actiunilor y în functie de profitul firmei si de cota de piata a firmei x2; n      volumul vânzarilor functie de cererea pietei si de intensitatea concurentei . Aplicarea modelelor regresiei simple si multiple în prognoza impune masuri de asigurare a existentei unei corelatii suficient de strânse între variabile. În acest scop se calculeaza coeficientul de corelatie . Potrivit literaturii de specialitate [5] formula de calcul a lui pentru regresia liniara simpla este: (7.35) Valoarea lui r se prezinta sub forma uneia din expresiile: [i (EE) Prima conditie din (EE) corespunde corelatiei directe dintre si . Daca , nu exista nici o corelatie între si . Daca , exista corelatie perfecta între y si x. O corelatie suficient de strânsa pentru asigurarea prognozelor folosite în planificare trebuie sa îndeplineasca conditia . Cea de-a doua precizare din (EE) corespunde corelatiei inverse dintre si . Daca exista o corelatie inversa perfecta între si . O corelatie inversa strânsa, valabila pentru planificare în acest caz este asigurata daca . În corelatia directa, dreapta este crescatoare cu , iar în corelatia inversa - este descrescatoare. În literatura de specialitate si în programele de calculator pentru prognoze sunt folosite formule adecvate determinarii coeficientilor de corelatie si pentru regresia multipla. Uneori programele de calculator determina în loc de (r) pe care se numeste coeficient de determinare. Pentru a ajunge la întelesul dat mai sus folosirii coeficientului de corelatie, ramâne ca în asemenea cazuri sa se efectueze operatia . Modelele econometrice formuleaza nu numai o ecuatie de regresie ci o serie de astfel de ecuatii prin care se lamuresc interdependentele dintre variabile. Acestea se rezolva simultan. Urmatorul sistem de 5 ecuatii reprezinta un model econometric folosit de tarile cu economie de piata pentru prognoze la nivel national [6]: (7.36) (7.37) (7.38) (7.39) (7.40) În sistemul de 5 ecua]ii s-au notat: C - consumul; I - investitiile; T - taxele si impozitele; G - produsul intern brut; Y - venitul na]ional; - profiturile anului precedent; E - cheltuielile guvernamentale (armata, administratie,....). Constantele reprezinta parametrii ecuatiilor de regresie. Prin urmare, în acest model econometric sunt incluse 3 ecuatii de regresie: (7.36) - referitoare la consum în functie de venitul national, (7.37) - referitoare la investitii functie de beneficiile din anul precedent si (7.38), exprimând taxele functie de produsul intern brut; urmatoarele 2 ecuatii (7.39) si (7.40), sunt ecuatii de definitie pentru produsul intern brut si respectiv venitul national. Constantele si se stabilesc pe baza regresiei, folosind seriile de timp ale variabilelor implicate. Valorile ecuatiilor de definitie pot fi stabilite numai dupa prognozarea consumului, investitiilor si impozitului pe proprietati si venituri. Ca atare în folosirea unui astfel de model econometric pentru prognoza este necesar sa se porneasca de la precizarea predictorilor. Unul dintre predictori si anume - beneficiul din anul precendent, fiind cunoscut, se poate introduce în (7.37) si astfel se obtine voluml de investitii prognozat pentru anul t. Mai ramân sa fie precizati predictorii Y si G din ecuatiile (7.36) si (7.38). În ecuatia de definitie a lui G se cunosc în acest moment I si E. Spre a-l dimensiona pe G este necesara explicitarea lui C în functie de Y si astfel se ajunge la definirea produsului intern brut. Substituirea lui G astfel identificat în (7.38) permite sa se afle volumul impozitelor ce trebuie încasate în anul t. În ultima instanta se înlocuieste T astfel evaluat în ecuatia (7.40) si se afla care este venitul national Y pe care se poate conta în anul t. Acesta serveste ca predictor pentru ecuatia de regresie (7.36) cu ajutorul careia se prognozeaza consumul C. În vederea exemplificarii se prezinta o aplicatie numerica referitoare la un stat ipotetic care a înregistrat în anul 1997 un beneficiu miliarde unitati monetare (u.m) si care foloseste pentru prognozele la nivel national ecuatiile de regresie: si ecuatiile de definitie: Urmeaza rezolvarea problemei. Dispunând de predictorul se determina volumul investitiei: miliarde u.m. Se substituie C si în G si se obtine: Se substituie G astfel evaluat în T si rezulta volumul taxelor si impozitelor Se introduce acum G=681,81 si în relatia lui Y si astfel se determina prognoza venitului national: Folosind Y ca predictor în ecuatia de regresie a lui C, se ajunge înfine la prognoza consumului pentru anul 1998, Aceasta nu este unica schema de rezolvare a problemei. S-ar putea, de exemplu, ca pornind de la politica impozitelor sa se evalueze T si sa se afle celelalte valori, sau pornindu-se de la politica consumului (mai auster sau mai populist) sa se evalueze în prealabil C, urmând ca de aici sa se gaseasca prognozele evolu]iei celorlalte variabile ale modelului. Modelele input - output au la baza schema balantei legaturilor dintre ramuri care în forma sa cea mai restrânsa se exprima prin sistemul de ecuatii (7.41) în care reprezinta productia ramurii i; xij - productia ramurii i consumata în decursul perioadei de plan în ramura j; - produsul final (output-ul) generat de ramura i. Modelul devine operational prin introducerea coeficientilor tehnologici care exprima consumul specific de produse din ramura i pentru o unitate de produs din ramura j în perioada de plan. Explicitarea modelului în functie de acesti coeficienti este redata în sistemul urmator Pentru un caz simplificat cu 3 ramuri, modelul arata astfel: iar în urma gruparii termenilor, sistemul devine: Pentru folosirea acestui tip de model în cadrul prognozei se poate porni de la venitul national si de la coeficientii tehnologici adoptati pentru anul de plan, având rol de predictori. În urma rezolvarii sistemului se poate ajunge la prognozele productiei pentru oricare ramura i. În alternativa este posibil sa se dispuna de si , , ca predictori, urmând a se determina venitul national posibil de obtinut în perioada de plan. Înfine, daca se pot evalua coeficientii tehnologici pentru mai multe variante tehnologice ale functionarii ramurilor, acestia pot fi considerati pedictori urmând sa se rezolve sistemul de mai sus pentru fiecare varianta de tehnologii. Devine astfel posibil sa se identifice sistemul cu tehnologiile cele mai performante care asigura (max ). Daca într-un sistem cu un astfel de obiectiv se fixeaza restrictii privind dezvoltarea diferitelor ramuri de tipul sau/si , sau alte restrictii privind output-ul, atunci se ajunge la un model de prognoza input-output cu optimizare prin programare matematica. Cea mai simpla optimizare de aceasta natura este cea care se bazeaza pe programarea liniara. Un asemenea model devine important pentru orientarea tehnologica a economiei nationale sau a firmei deoarece modelul input-output poate fi aplicat si la nivelul companiilor diversificate. B. Metode de prognoza calitative Notiunea de calitate implicata în denumirea prognozelor calitative nu se refera la performantele prognozelor ci mai degraba, la faptul ca pentru elaborarea acestor prognoze nu se opereaza cu date cantitative, cum ar fi datele statistice ale seriilor de timp, ci se folosesc rationamentele si parerile unor profesionisti în materie, deci capacitatile lor logic - intuitive de a prezice evenimentele viitoare. Metodele calitative se folosesc pentru prognoze în mai multe cazuri cum ar fi: lipsa datelor statistice asupra evolutiei unor fenomene sau procese; insuficienta siguranta asupra valabilitatii datelor din trecut atunci când acestea exista; nesiguranta cu privire la transpunerea în viitor a tendintei rezultata din datele statistice. Viitorul poate pune probleme noi fata de trecut astfel încât multe serii de timp din trecut nu mai au relevanta pentru viitor. Dintre metodele de prognoza calitative cele mai des întâlnite în practica planificarii se citeaza: analiza scenariilor (scenario analysis); opinia expertilor; metoda Delphi. Ultimele 2 tehnici apartin unui domeniu mai larg, al anchetarii specialistilor. Analiza scenariilor implica redactarea de texte prin care se descriu situatii posibile sa aiba loc în viitor. Exista 2 tipuri de scenarii [4]; longitudinale, care arata cum prezentul va fi proiectat în viitor si transversale, care descriu modul în care s-ar putea prezenta realitatile la un moment dat. Pentru a fi posibila analiza scenariilor si un proces de decizie legat de evolutia fenomenelor, scenariile trebuie redactate în 2 - 4 variante, cel mai probabil -3 variante, din care se opteaza pentru varianta cea mai buna. Scenariile longitudinale pot fi transpuse grafic sub forma de arbori de decizie, iar cele transversale pot fi reprezentate sub forma de structuri spatiale. O analiza relevanta a scenariilor necesita ca în procesul redactarii sa se contureze traiectele evolutiei fenomenelor, punctele de decizie si punctele de diferentiere a sanselor, probabilitatile asociate, precum si eforturile si efectele asteptate. În cadrul scenariilor pot fi folosite si unele modele cantitative. Pentru exemplificare se relateaza despre un scenariu necesar conducerii afacerilor pe 5 ani ale unei companii care exporta cereale [4]. În acest caz se au în vedere 3 situatii ce pot surveni în cei 5 ani: 1) recolta de cereale peste medie; 2) recolta medie; 3) recolta sub medie. Aceste evenimente pot avea loc cu anumite probabilitati în fiecare din cei 5 ani. Scenariile evolutiei recoltei sunt uitlizate în planurile firmei referitor la constructia sau închirierea de spatii pentru depozitare, la angajarea si instruirea personalului s. a. Daca scenariul este reprezentat sub forma unui arbore de decizie, toate evenimentele viitoare importante sunt luate în considerare si la fiecare punct de decizie, care trebuie sa aiba loc, în acest caz anual, vor fi adoptate ad-hoc deciziile optime. Pe masura ce timpul se scurge, deciziile fiind "prefabricate" deja, se spune ca urmând un asemenea scenariu se are de aface cu o planificare "fara surprize". Astfel planificarea bazata pe scenarii asigura risc minim. Metoda folosirii opiniei expertilor. Expertii sunt considerati în primul rând managerii executivi ai firmelor. La acestia se pot adauga specialisti din cercetare si analisti specifici domeniului dat. De exemplu, pentru a prognoza evolutia cererii pe piata a unui nou produs, nivelul pretului la care poate fi comercializat, fondul banesc necesar pentru reclama, cel mai nimerit este sa se apeleze la managerii vânzarii produselor din categoria respectiva. Metoda opiniei expertilor are la baza cunoscuta axioma potrivit careia "doua capete judeca mai bine decât unul" (binenteles, unul dintre ele). În acelasi timp este necesar sa se semnaleze, ca asa cum s-a aratat si cu ocazia tratarii metodei deciziei de grup, consultarea expertilor poate fi viciata de fenomenul influentarii opiniilor unor experti de catre personalitati dominante ale grupului sau de catre persoanele cele mai verbale. În cazul capitolului referitor la teoria deciziei au fost numite doua metode care pot elimina pericolul influentarii reciproce a opiniilor expertilor: metoda grupurilor nominale si metoda Delphi. Metoda Delphi în stabilirea prognozelor este folosita pentru precizarea termenelor la care urmeaza a se produce evenimentele. Evenimentele se formuleaza cel mai judicios de catre experti în cadrul unor sesiuni de brainstorming. De exemplu, firma de cercetari stiintifice RAND Corporation din California (SUA) initiatoare în 1965 a acestei tehnici [7], s-a remarcat printr-o importanta prognoza asupra automatizarilor sustinuta de firmele de profil. S-au formulat câteva zeci de evenimente ce urmau sa se produca în viitorul apropiat dintre care s-au confirmat evenimente ca introducerea calculatoarelor la politie si în justitie, automatizarea organizarii circulatiei pe autostrazi, trecerea la productia de calculatoare pe banda, crearea de roboti pentru supravegherea fermelor marine s.a. Metoda Delphi a fost folosita la fixarea termenelor evenimentelor. Pentru aceasta s-a procedat la chestionarea unui mare numar de specialisti. Specialistii sunt consultati individual, fara a fi nevoie sa comunice între ei. Lor li se trimit chestionarele cu lista evenimentelor, în dreptul carora li se cere sa estimeze data la care considera ca se va produce fiecare eveniment. În schema logica din figura 7.8 se arata procesul de precizare a acestor termene care, datorita dispersiei opiniilor diversilor experti, se deruleaza în mai multe runde însotite de prelucrari statistice ale raspunsurilor. Se calculeaza parametrii distributiei normale a raspunsurilor - termenul mediu la care se crede ca se va produce evenimentul i si abaterea medie patratica . Acestea se comunica celor chestionati dupa fiecare runda spre a avea feed-back în raport cu termenul individual pentru care s-a optat. De obicei dupa runde se ajunge la consensul raspunsurilor. Consensul este apreciat pe baza dispersiei raspunsurilor date de specialisti fata de termenul mediu al evenimentului i. Indicatorul acestei dispersii poate fi considerat egal cu abaterea medie patratica a raspunsurilor date de specialistii , participanti la ancheta. Când dupa o runda oarecare rezultat din prelucrarea statistica îndeplineste conditia , unde reprezinta indicatorul consensului, se cheama ca termenul al evenimentului i poate fi admis ca prognoza de timp pentru acel eveniment. Fig. 7.8. Procesul iterativ al stabilirii prognozelor prin metoda Delphi. - chestionare; - raspunsuri aferente rundelor . Evenimentul i la care se observa acest consens este scos de pe lista. Numai evenimentele la care nu s-a ajuns la consensul raspunsurilor continua sa fie supuse reconsiderarii termenelor în rundele urmatoare. Pentru unele evenimente opiniile specialistilor pot fi atât de contradictorii încât nici dupa 4-5 runde nu se ajunge la consens. Evenimentele respective sunt fie insuficient de bine descrise pentru a putea fi percepute corect de catre specialisti, fie pur si simplu sunt imcompatibile cu viata sau progresul stiintific si tehnologic. Pentru aprecierea consensului, în afara de indicatorul , se mai pot folosi mediana si cvartilele superioara si inferioara ale distributiei termenilor , utile mai ales în cazul în care distributiile nu sunt normale. 7.3. Tehnici de planificare operationala (Operational planning tools) Au fost definite mai sus trei tipuri de planuri - strategice, tactice si operationale. Planurile operationale sunt cele pe baza carora se desfasoara operatiunile proceselor - în primul rând de productie. Planurile operationale sunt componente ale planurilor tactice si strategice. Tehnicile cele mai cunoscute si mai des uitlizate pentru planificarea operationala sunt: A. ordonantarea; B. graficele Gantt; si C. planificarea în retea. A. Tehnici de ordonantare În conditiile în care pe anumite capacitati de productie (uzine, sectii productive, utilaje) specifice fabricatilor de unicate si de serie este necesar sa se lanseze mai multe comenzi solicitate de clienti, sau mai multe repere din compunerea unor produse complexe, apare problema fixarii ordinii în care urmeaza a fi lansate în productie si fabricate. Aceasta activitate de programare a productiei este denumita ordonantare. În industriile prelucratoare, cu productie de unicate si serie mica, ordonantarea comenzilor se poate face intuitiv, tinând seama de preferintele si urgentele specificate de clienti, sau se poate efectua pe baza unor calcule de optimizare a folosirii resurselor dupa care clientilor li se comunica termenele la care ar fi posibila livrarea comenzilor. Prima metoda da prioritate totala clientului. Metoda a doua cauta sa îmbine interesele clientului si producatorului, concomitent. Exista un algoritm de ordonantare a comenzilor unicale ale clientilor denumit Algoritmul Johnson dupa numele autorului sau. Acest algoritm este aplicat în cazul parcurgerii de catre comenzi a unor procese care pot fi divizate în 2 si 3 faze, cu sens unic de "trecere". Algoritmul Johnson cu 2 faze implica existenta urmatoarelor date initiale: numarul de comenzi m, denumirea comenzilor , fazele si si timpii si de trecere a comenzilor prin aceste faze. Pasii algoritmului sunt urmatorii: a). Cele m comenzi se împart în doua submultimi disjuncte si conform relatiilor: (7.44) care reprezinta ordinea optima a executarii comenzilor dupa criteriul timpului minim de trecere prin proces a întregului ansamblu de comenzi. Aceasta conditie asigura implicit cea mai buna folosire a mijloacelor tehnologice ale firmei, adica "timpi morti" minimi ai utilajelor si instalatiilor de lucru. Desi algoritmul prezentat pare limitat ca domeniu de aplicare la procese cu 2 faze, este necesar a se preciza ca o mare majoritate de procese pot fi sistematizate conventional în doua faze. În tabelul 7.15 sunt prezentate câteva exemple de firme cu productii ce pot fi sistematizate în doua faze. Tabelul 7.15 Exemple de firme cu procese în 2 faze Nr. Firme Faze crt. Santier naval Constructia în doc a corpului navei Completarea interioara a navei lansata la apa Uzina de masini electrice Prelucrarea mecanica a pieselor si miezurilor magnetice. Bobinaj si montaj Fabrica de ascensoare Constructie cabine si dispozitiv de ac]ionarea liftului Instalarea ascensoarelor la clienti Tesatorii integrate Filatura Tesatorie Fabrici de pâine Malaxare coca Coacere Exemplu numeric de aplicare a algoritmului Johnson cu 2 faze O firma de montaj instalatii de automatizare pentru industria alimentara este solicitata ca în cadrul unui trimestru sa realizeze 5 comenzi de sisteme de automatizare pentru fabrici de ulei, pâine, produse lactate, fabrici de conserve si sucuri de fructe. În tabelul 7.16 sunt înscrise duratele de executie ale comenzilor sistematizate pe 2 faze - confectie panouri si tablouri de automatizare si instalare si probe tehnologice la clienti . Tabelul 7.16 Timpii si de executie a 5 comenzi de siteme de automatizare, în saptamâni Comenzi Timpii de executie pe faze (Fabrica de ulei) (Produse lactate) (Fabrica de pâine) (Fabrica de sucuri) (Fabrica de conserve) Rezolvare a) Se formeaza cele 2 submultimi disjuncte si astfel: . b) Se ordoneaza cele 2 submultimi dupa crescator, dupa descrescator, c) Se concateneaza cele 2 submultimi ordonate: În figura 7.9 se prezinta graficul calendaristic al executarii comenzilor în ordinea data de sirul optim (varianta V1) comparativ cu esalonarea comenzilor în ordinea înregistrarii la serviciul vânzari a solicitarilor clientilor (varianta V2). Fig. 7.9. Grafic de productie pentru 5 comenzi în 2 variante V1 si V2 Pe graficul calanderistic din figura 7.9 se observa ca varianta ordonantarii optime are un ciclu total de productie al celor 5 comenzi cu o saptamâna mai scurt decât varianta V2. Ca atare, varianta V1 raspunde mai bine intereselor firmei de automatizari decât V2. Întrucât în practica primeaza interesele clientilor, o optimizare a ordonantarii realizata ca în varianta V1 din figura 7.9 este oportuna la tratativele cu clientii asupra termenelor livrarii comenzilor ce urmeaza a fi trecute în contracte. Algoritmul Johnson cu 3 faze. În problemele de ordonantare cu m comenzi si procese cu 3 faze, ai caror timpi sunt ti1, ti2 si ti3, algoritmul Johnson se poate aplica daca (7.45) sau daca (7.46) Când are loc (7.45), problema ordonantarii comenzilor se reduce la cazul cu 2 faze, concatenând submultimile disjuncte, , (7.47) în care , iar când are loc conditia (7.46), ordonontarea optima rezulta prin concatenarea multimilor disjuncte , (7.48) în care   B. Grafice Gantt Graficele Gantt sunt instrumente de programare dezvoltate de Henry L. Gantt la începutul secolului 20. Aceste grafice programeaza derularea unor actiuni în timp. Duratele actiunilor sunt reprezentate prin segmente de dreapta într-un sistem de coordonate în care pe axa orizontala este marcat timpul, iar pe verticala se trec activitatile sau executantii. În figura 7.10 este redat un grafic Gantt în care sunt programate activitatile privind realizarea unei case de locuit. Fig. 7.10 Grafic Gantt al programarii si urmaririi realizarii unei case de locuit tip vila. Graficul arata ca obiectivul este prevazut sa fie terminat în 4 luni, iar la sfârsitul lunii a 3-a, când s-a raportat asupra îndeplinirii planului, s-a constatat ca primele 3 activitati au fost realizate, în schimb acoperisul trebuia sa fie realizat în propozitie de 1/2 si în realitate s-a realizat doar 1/3, iar montarea instalatiilor are o întârziere de 3 saptamâni. Asadar, pe un asemenea grafic este posibil sa fie înregistrate atât prevederile planului cât si realizarile la zi, ceea ce reprezinta, pentru managementul operational si chiar si pentru cel tactic, repere utile referitoare la organizarea lucrarilor si la actiunile corective care se impun în vederea încadrarii lucrarilor în program. Constructia graficelor Gantt pe executanti se practica atât în cazul programarii încarcarii utilajelor, cât si în cazul folosirii timpului de lucru pe fiecare individ. Un exemplu de astfel de grafic este cel prezentat anticipat referitor la ordonantarea comenzilor pe cele 2 faze, în figura 7.9. Spre deosebire de graficul Gantt al desfasurarii unor operatii, care în figura 7.10 sunt notate pe ordonata, în acest caz pe ordonata se noteaza atelierele, utilajele de lucru, formatiile de lucru sau persoanele. Ca si în cazul graficelor precedente, pe acelasi grafic se pot evidentia realizarile lucrarilor, iar în caz de întârzieri se pot lua masuri de accelerare a activitatilor sau de supraveghere mai atenta si de corectare a planului. C. Metode de planificare în retea Graficele de tip retea reprezinta proiectele sau programele prin retele constând din noduri si arce orientate. Exista conventia prin care arcele semnifica activitati, iar nodurile-evenimente în cadrul retelelor pentru proiecte sau programe. Sunt si cazuri în care semnificatiile acestor elemente se inverseaza. Introducerea planificarii în retea în locul graficelor Gantt se justifica în cazurile în care programele sunt deosebit de complexe, cuprinzând sute sau mii de activitati componente, când graficele Gantt nu mai pot fi practic construite. De asemenea, graficele tip retea permit efectuarea de optimizari prin metodele "Analizei Drumului Critic" (ADC) si "PERT" (Program Evaluation and Review Technique). Un important avantaj al retelelor fata de graficele liniare consta în facilitarea modelarii matematice a planurilor desfasurarii activitatilor pentru realizarea de obiective complexe. Prin aceasta monitorizarea realizarii obiectivelor complexe poate fi automatizata cu calculatorul electronic, existând deja pachete de programe de calculator comercializabile. Metoda ADC (CPM = Critical Path Method) Prezentarea tehnicii planificarii în retea începe cu metoda ADC, ca fiind mai simpla. Duratele activitatilor în acest caz sunt deterministe. Reteaua, sau graful, utilizat ca element de baza al planificarii realizarii unui obiectiv (proiect sau program) se construieste prin parcurgerea urmatoarelor etape: 1. Pe baza proiectului lucrarii se identifica activitatile componente, iar momentele încheierii acestora reprezinta setul de evenimente asociate; 2. Se fixeaza ordinea în care este necesar a se realiza evenimentele; 3. Se construieste graful desfasurarii activitatilor si respectiv evenimentelor, începând cu evenimentul (0) sau (1), care coincide cu originea grafului si terminând cu evenimentul final (n). Pe graf, evenimentele sunt reprezentate sub forma de noduri, iar activitatile sub forma de arce orientate; 4. Pentru scopurile planificarii termenelor de realizare a diverselor evenimente, reteaua astfel reprezentata la care sunt asociate duratele activitatilor, se supune unor prelucrari. Pentru orice eveniment se determina termenele minim si maxim si rezervele de timp ca diferente între acestea. Evenimentele ce au rezerve de timp nule se vor situa pe drumul critic. Drumul critic reprezinta cel mai lung traseu dintre toate traseele sau drumurile ce pot fi identificate pe graf între nodul initial si nodul final, ale acestuia. Desi, drumul critic este cel mai lung drum din graf, el este definit ca reprezentând timpul minim de realizare a obiectivului, si aceasta pentru ca evenimentele de pe drumul critic au rezerve nule. Constructia grafului si toate determinarile utile în planificarea activitatilor vor fi explicate cu ajutorul unui exemplu simplu, în continuare. Exemplificarea construirii grafului ADC aferent unui obiectiv În tabelul 7.17 sunt trecute activitatile privind realizarea unei case de locuit pentru o familie. Tabelul 7.17 Activitatile implicate de un proiect de constructie a unei case de locuit Evenimente Denumirea activitatii Durata activitatii (saptamâni) Evenimente imediat precedente A Executie fundatie B Executie sistem de rezistenta si pereti A C Tencuire pereti si plafoane B D Zugravire interioara C, H E Tapetare pereti D,I F Executie acoperis B G Instalatii electrice B H Instalatii sanitare G I Montare ferestre si usi F K Curatenie generala E Se cere sa se determine durata constructiei cladirii si termenele evenimentelor si activitatilor pentru a fi aduse la cunostinta executantilor. Fig. 7.11 Graful desfasurarii activitatilor necesare construirii unei case de locuit potrivit datelor din tabelul 7.17. Arcele reprezentate cu linii întrerupte sunt introduse în graf sub forma de activitati fictive cu durata zero, ele fiind impuse de conditionarile succesiunii dintre activitati conform precizarilor din ultima coloana a tabelului 7.17 Graful construit în figura 7.11 contine 3 drumuri complete (încep în origine si se termina în nodul final). Ele se pot descrie enumerativ astfel: . Lungimile acestor drumuri se pot calcula, însumând duratele activitatilor componente: = 2+5+6+2+0+2=17 saptamâni = 2+5+2+2+1+2=14 saptamâni = 2+5+5+8+0+1+2=23 saptamâni Drumul critic este cel care îndeplineste conditia: = 23 saptamâni În cazul grafurilor complicate, cu zeci sau sute de activitati, drumurile complete care pot fi foarte numeroase, nu se mai pot stabili usor pe cale enumerativa. De aceea pentru stabilirea drumului critic si a termenelor evenimentelor si activitatilor în asemenea situatii, se recurge la algoritmi de calcul speciali (Algoritmul marjelor de timp, Algoritmul Ford, Algoritmul Bellman) Algoritmul marjelor de timp ale evenimentelor comporta avantaje în aplicare atunci când se cere sa se stabileasca concomitent drumul critic si termenele evenimentelor si activitatilor, asa cum este specificat si în cazul de fata. Algoritmul se deruleaza conform urmatoarelor 3 etape. 1. Fiecarui eveniment Ei din graf i se calculeaza 2 termene de realizare si anume un termen de realizare cel mai devreme, ti si un termen de realizare cel mai târziu, . Termenul de realizare ti se calculeaza începând din originea grafului, considerata aici nodul 1, cu formula, unde Diz este drumul partial de transmitanta z care intra în nodul i, iar este drumul critic . Termenul se stabileste începând cu nodul final, dupa ce s-au calculat toate termenele ti. în acest scop se foloseste relatia în care Dif este drumul partial de transmitanta f ce iese din nodul i si merge în nodul final. 2. Cunoscând termenele ti si pentru orice eveniment Ei si termenele similare tj si pentru un eveniment imediat urmator Ej, precum si durata tij a activitatii situata între evenimentele Ei si Ej, se poate trece la determinarea rezervelor de timp ale realizarii activitatilor. Este vorba de rezerva totala RT, rezerva libera - RL si rezerva sigura - RS ale caror marimi sunt reprezentate în figura 7.12. Fig. 7.12 Rezervele totala RT, libera RL si sigura RS, ale unei activitati yij de durata tij. Din grafic rezulta urmatoarele formule de calcul ale rezervelor: (7.51) (7.52) (7.53) Activitatile yij care vor avea rezerva totala nula vor fi situate pe drumul critic. Cunoasterea rezervelor celorlalte, RL si RS, este necesara pentru reprogramari si optimizarea grafului. 3. Se calculeaza termenele de începere cel mai devreme si cel mai târziu , precum si termenele de terminare cel mai devreme si cel mai târziu , ale fiecarei activitati yij, astfel: (7.54) (7.55) (7.56) . (7.57) În urma aplicarii acestui algoritm la datele cazului prezentat mai sus, au rezultat informatiile cu privire la termenele evenimentelor, termenele activitatilor si rezervele de timp ale programului aferent, înscrise în tabelul 7.18. Tabelul 7.18 Termenele si rezervele activitatilor grafului din figura 7.11 Acti- vitati(yij) Noduri tij ti tj RT RL RS Obs. i j y1A A y1A Dcr yAB A B yAB Dcr yBC B C yCD C D yDE D E yDE Dcr yBF B F yFI F I yIE I E yBG B G yBG Dcr yGH G H yGH Dcr yHD H D yHD Dcr yEK E K yEK Dcr În vederea urmaririi cât mai usoare a modului în care sunt folosite formulele (7.49)....(7.57) ale algoritmului, si a completarii pe aceasta baza, a rubricilor tabelului 7.18, se reprezinta din nou, în figura 7.13, graful programului, cu marcarea cuplului de termene asociate evenimentelor Ei. Fig. 7.13. Marcarea nodurilor i si j ale grafului programului analizat, cu termenele evenimentelor Valorile înscrise în coloana 12 a rezervelor RT confirma constatarea facuta mai înainte cu privire la activitatile de pe drumul critic. Într-adevar, activitatile având RT=0, mentionate în coloana 15, se regasesc în graful din figura 7.11 pe drumul D3, având lungimea =23 saptamâni. Deci, algoritmul prezentat functioneaza corect pe linia identificarii activitatilor de pe drumul critic si a lungimii lui. În plus, acest algoritm ofera un tablou de valori ale termenelor evenimentelor si activitatilor deosebit de util pentru programatori. De exemplu, în tabelul 7.18 se arata ca activitatea yBC nu este o activitate critica. Durata ei poate fi, ca atare, depasita fara sa afecteze termenul final de 23 saptamâni la care urmeaza a fi predat la "cheie" obiectivul, cu precizarea ca depasirea respectiva nu trebuie sa fie mai mare de 9 saptamâni de la termenul cel mai devreme programat pentru începerea ei (aceasta cifra reprezinta rezerva de timp a activitatii mentionata în coloana 12 a tabelului). Potrivit acestui tabel, fiecarui executant al activitatilor yij i se poate transmite programul calendaristic al desfasurarii lucrarii ce-i revine în cazul realizarii obiectivului planificat. Datele concrete pe zile pot fi trecute în acest program în functie de termenul final de predare a obiectivului. Metoda PERT Metoda PERT are 2 versiuni "PERT-time" si PERT-cost". Aici va fi prezentata metoda "PERT-time" care este de baza pentru programarea executarii de obiective complexe. A aparut pentru prima data spre finele deceniului 1950-1960. Spre deosebire de metoda ADC sau CPM (Critical Path Method), în acest caz se poate opera cu durate aleatoare ale activitatilor. În scopul de a mentine aceeasi algoritmi de calcul pentru drumul critic si termene, ca în cazul CPM se procedeaza la stabilirea unor durate medii ale activitatilor si a dispersiilor asociate,. Formulele de calcul pentru si ale activitatilor aleatoare yij sunt: , (7.58) , (7.59) unde t0 reprezinta o estimatie optimista (deci cea mai mica) a duratei activitatii yij; tp - estimatia pesimista (cea mai mare) a duratei activitatii; tm - estimatia cea mai probabila a duratei respective. Cele 3 estimatii corespund distributiei b a frecventei j(t) a duratelor activitatilor aleatoare reprezentata în figura 7.14. Demonstratia celor doua formule este expusa în lucrarea "Metoda Drumului Critic" de Kaufmann si Desbazeille [3]. Estimatiile timpilor t0, tp si tm se fac de catre specialisti si manageri care au experienta în domeniile obiectivelor ce trebuie realizate. Fig. 7.14 Curba repartitiei "b" a duratelor realizarii activitatilor aleatoare. Spre deosebire de metoda ADC, în acest caz lungimea drumului critic Dcr va fi aleatoare. Ea va avea o distributie normala, sustinuta prin "teorema limita centrala" care afirma ca suma unor variabile aleatoare cu distributii oarecari este o variabila aleatoare cu distributie normala, daca numarul de variabile care se însumeaza este suficient de mare. În graficul din figura 7.15 este reprezentata partea finala a grafului din figura 7.13 la care sunt atasate elementele noi care ar aparea în ipoteza activitatilor cu durata aleatoare. Fig. 7.15 Distributia termenului final al drumului critic TDCr într-un graf PERT Se observa ca în cazul în care drumul critic are o durata TDcr = 23 saptamâni, daca ne gasim în prezent, respectiv în momentul zero al axei timpului din sistemul de coordonate "timp-activitati" si daca ni se fixeaza un timp planificat Tpl = 25 saptamâni pentru realizarea proiectului, curba normala a distributiei drumului critic va fi de un real folos pentru aprecierea fezabilitatii lucrarii. Aceasta curba are o împrastiere a termenului drumului critic egala cu 6sD. Abaterea medie patratica - sD se calculeaza pe baza dispersiilor ale activitatilor cu durate aleatoare de pe drumul critic, folosind formula . (7.60) Suprafata de sub curba normala, având împrastierea de , corespunde unei probabilitati de 0,9997 100% ca termenul final al drumului critic se va situa în limitele . În aceste conditii nu ramâne decât sa se determine probabilitatea suprafetei hasurate a curbei distributiei normale din figura 7.15 pentru a cunoaste în ce masura este posibil sa se îndeplineasca termenul planificat Tpl = 25 saptamâni. Potrivit desenului, aceasta probabilitate depaseste 50% (partea hasurata a curbei), iar determinarea concreta se poate face pe baza tabelului de probabilitati, în care valorile probabilitatilor notate P(z) sunt asociate factorilor de probabilitate z, relatiile dintre aceste elemente fiind adica daca se stie (z) se gaseste cu ajutorul tabelului - P(z), sau daca se da P(z), se poate identifica la ce factor de probabilitate (z) corespunde aceasta. În cazul metodei PERT factorul z se calculeaza cu formula, 7.4 Optimizarea programelor CPM si PERT În afara timpului, programele de tip retea implica folosirea de resurse materiale, banesti si umane. Algoritmul stabilirii drumului critic si sistemului de termene cele mai devreme si cele mai târzii de începere si terminare a activitatilor optimizeaza derularea programelor dupa criteriul timpului minim de realizare a acestora (drumul critic). Este necesar ca optimizarea programului sa fie completata cu optimizarea folosirii resurselor. În acest sens se pot folosi doua tehnici consacrate: 1. Nivelarea resurselor si 2. Metoda PERT-cost În cazul tehnicii de nivelare a resurselor se porneste de la respectarea duratei programului rezultata din aplicarea algoritmului drumului critic, manevrând pe axa timpului pozitionarea activitatilor necritice în limitele permise de rezervele de timp, astfel încât resursele asociate executarii acestor activitati sa poata fi folosite cât mai uniform. Manevrarea respectiva poate fi efectuata prin metoda "trial-and-error" (încercare si eroare) pentru care exista programe de calculator posibile de aplicat la proiecte izolate, precum si la pachete de proiecte concurente pentru aceleasi resurse (programe elaborate de ICI-Bucuresti, IBM, Unisys s.a.). În continuare se prezinta un exemplu simplu de nivelare a resurselor pentru un proiect independent. Aplicatie numerica privind nivelarea resurselor. Din proiectul de realizare a unei statii electrice de transformare, de cartier, s-au extras datele din tabelul 7.19 referitoare la activitatile implicate de constructie, duratele acestora si necesarul de forta de munca normat. Se cere sa se stabileasca programul optim de desfasurare a proiectului si sa se sublinieze avantajele nivelarii resurselor de forta de munca. Fig. 7.16 Graful realizarii unei statii electrice de transformare si trasarea drumului critic. În continuare se cauta o solutie optima pentru nivelarea resurselor. În graficele din figura 7.17 se reproduce graful construit în figura 7.16, precum si 3 grafice Gantt asociate, reprezentând tot atâtea încercari de programare a activitatilor care se încadreaza în drumul critic si care angajeaza diferit resursele. În toate cele 3 variante de programare a activitatilor statia se construieste în 8 saptamâni, reprezentând drumul critic si se folosesc aceleasi resurse, respectiv 24 om-saptamâni. În programul minorant (a), care dupa cum se poate observa, este construit pe baza sistemului de termene "cele mai devreme" de începere a activitatilor, distributia fortei de munca are un vârf de 5 persoane în saptamâna a 2-a, iar în programul majorant (b), construit în baza sistemului de termene "cele mai târzii" de începere a activitatilor, vârful distributiei fortei de munca este de 4 persoane, în saptamânile 4 si 5. Programul optim (c) are o distributie uniforma de 3 persoane pe tot parcursul celor 8 saptamâni. Fig. 7.17 Graful programului de construire a unei statii electrice si 3 programe operationale asociate: a) Programul minorant a1) grafic Gantt; a2) graficul utilizarii resurselor. b) Programul majorant b1) grafic Gantt b2) graficul utilizarii resurselor c) Programul optim c1) grafic Gantt; c2) graficul utilizarii resurselor. Se pot remarca 2 dezavantaje majore ale programelor (a) si (b) fata de programul optim (c). Adesea firmele angajeaza personalul pentru realizarea proiectelor la nivelul cerintelor maxime ale graficului distributiei fortei de munca în raport cu timpul, personalul fiind policalificat. În aceste conditii înseamna ca programul (a) va functiona cu 2 persoane, iar programul (b), cu o persoana în plus fata de programul (c). Asadar, pe linia salariilor platite, programul (a) va fi cel mai scump, iar programul (c) - cel mai ieftin. Al doilea dezavantaj posibil este cel referitor la disponibilitatea de plata a firmei. Firma are de obicei o resursa de plata limitata. Daca se admite ca în exemplul prezentat mai sus fondul disponibil din care firma poate face plati corespunde valorii a 3 salarii saptamânale, înseamna ca programul (c) nu va pune nici o problema de insuficienta, pe când programul (a) va determina firma sa împrumute de la banca pe termen scurt bani spre a plati 2 salarii saptamânale în plus, iar programul (b) - un salariu. Evident, aceasta va scumpi suplimentar lucrarea din cauza dobânzilor la împrumut. Chiar daca firmele nu angajeaza întregul personal necesar la un proiect de la începutul lucrarilor, ci demareaza cu personal mai putin, urmând sa faca angajari ulterioare, dupa necesitate, eliberând personalul la momentul când graficul arata o scadere de efective, programele (a) si (b) sunt mai greu de aplicat de cât programul (c), pentru ca angajarile temporare sunt evitate, fiinta umana dorind stabilitate. În plus, chiar daca asemenea angajari pot fi facute, este de asteptat ca va avea de suferit calitatea muncii. Avantajele optimizarii prin metoda nivelarii resurselor pot fi extinse si la alte resurse decât forta de munca. Exemplul de mai sus este un exemplu simplu care a putut fi prezentat usor din punct de vedere didactic. În viata aplicatiile sunt variate, ajungând, asa cum s-a mentionat, la complicatii impresionante, cu sute si mii de activitati. Importanta metodei nivelarii resurselor si a consecintelor optimizarii pe aceasta cale a programelor capata o relevanta deosebita mai ales pentru asemenea cazuri. A doua metoda de optimizare a planurilor de tip retea denumita mai sus "PERT-cost" este caracterizata de faptul ca drumul critic nu mai ramâne constant ca în cazul nivelarii, ci poate fi redus, iar problema care se pune este cât de mult se poate reduce si pe seama caror activitati sa se faca reducerea. Programul corespunzator drumului critic se numeste program normal, duratele activitatilor tij si costurile aferente cij sunt si ele considerate normale. Reducerea drumului critic Dcr se face prin reducerea duratelor activitatilor critice, obtinându-se astfel un program accelerat, care poate costa mai scump din cauza orelor suplimentare platite cu tarif majorat fata de orele regimului normal de lucru si a folosirii unor tehnologii mai productive, dar mai scumpe, pentru efectuarea operatiilor. Toate acestea pot fi contrabalansate de avantajele reducerii duratei programului. Durata tij a unei activitati yij este cuprinsa între durata normala Dij si durata accelerata dij, potrivit formulei, (7.62) Costul pij se interpreteaza aproximativ ca functie liniara de tij conform relatiei, , (7.63) unde kij reprezinta ordonata la origine a dreptei, iar cij - costul specific pentru reducerea cu o unitate a duratei accelerate. Relatia (7.63) arata ca costul pij creste daca timpul tij descreste, pâna în dij, dincolo de care nu se mai poate efectua lucrul. În tabelul 7.20 sunt prezentate datele care intervin în aplicarea metodei PERT-cost la cazul construirii statiei electrice de care a fost vorba în modelul nivelarii resurselor. Tabelul 7.20 Timpi si costuri pentru construirea în regim normal si accelerat a unei statii de transformare Activitati Normal Accelerat Panta timp (s\pt.) cost (103 lei) timp (s\pt) cost (103 lei) costului A B C D E F G Total Panta cresterii costului este data de relatia De exemplu în cazul activitatii A, activitate notata si y12, panta va fi mii lei/saptamâna. Cu datele timpilor si costurilor pentru regim normal si accelerat si folosind graful din figura 7.16, se poate construi curba costurilor minime ale realizarii programelor comprimate prezentata în figura 7.18. Pentru a construi aceasta curba, reducerile duratei programului se efectueaza pe seama activitatilor de pe drumul critic. Luând exemplul statiei electrice, pentru care sunt prezentate date mai sus, se procedeaza dupa cum urmeaza. Se identifica activitatea de pe drumul critic cu cost specific de accelerare minim. Este activitatea G. Aceasta se reduce cu 1,5 saptamâni, iar programul va dura 6,5 saptamâni si va costa cu 100 mii lei mai mult decât programul normal, adica 2450+100 = 2550 mii lei. Fig. 7.18 Costul minim al programelor posibile pentru construirea statiei electrice Întrucât reducerea cu 1,5 saptamâni a activitatii G reduce drumul critic la 6,5 saptamâni, iar în urma acestei interventii nu apare un alt drum critic, se continua reducerea identificând urmatoarea activitate critica cu costul specific al reducerii cel mai mic. Este oricare dintre activitatile C si D. Astfel, activitatea D se poate reduce cu 1 saptamâna. Daca se efectueaza reducerea, drumul critic ar însemna sa devina 6,5-1 = 5,5 saptamâni, iar programul ar urma sa coste 2550+100 = 2650 mii lei. Din pacate la aceasta reducere pâna la 5,5 saptamâni apare un alt drum critic ce trece prin evenimentele (1-3-5). Acesta are 6 saptamâni. Ca atare, devine necesar sa se efectueze si reducerea duratei activitatii F cu 1 saptamâna, iar programul accelerat la 5,5 saptamâni va costa 2650+100 = 2750 mii lei. O ultima posibilitate de reducere a duratei programului este sa se accelereze activitatea C aflata pe drumul critic, neafectata înca de reducere. Drumul critic se va scurta astfel cu 1 saptamâna, va trece prin evenimentele 1-3-4-5 si va avea o lungime de 4,5 saptamâni, iar costul asociat al programului va deveni 2750+100=2850 mii lei. Toate aceste interventii asupra accelerarii programului, urmarind costul minim de accelerare, sunt consemnate de trasarea prin puncte a curbei costului minim al programelor în figura 7.18. S-au identificat urmatoarele programe si costuri asociate: - program normal de 8 saptamâni având cost normal 2450 mii lei; - program accelerat de 6,5 saptamâni cu cost accelerat 2550 mii lei; - program accelerat de 5,5 saptamâni cu cost accelerat 2750 mii lei; - program accelerat de 4,5 saptamâni cu cost accelerat 2850 mii lei. Pentru cazul unor programe cu zeci si sute de activitati identificarea programelor accelerate, cu costuri minime poate fi efectuata mecanizat pe baza unui model de programare liniara parametrica. Se considera un program cu durata de executie tn corespunzatoare ultimului eveniment En al grafului si se propune sa se minimizeze costul total al programului respectiv. În acest scop programul liniar asociat va fi [3]; ; ; , unde U reprezinta multimea arcelor care constitue graful programului; - multimea drumurilor care ies din nodul 1 si converg în nodul final n. Admitând ca prin accelerare durata totala de executie a programului tn devine variabila si înlocuind [min] prin [max] se ajunge la modelul de programare liniara parametrica: , , unde reprezinta parametrul care variaza de la o etapa la alta. Aceasta este doar o parte a optimizarii programelor în retea. A doua parte implica luarea în considerare a unor cheltuieli care cresc cu durata de executie a proiectului. Cele 2 curbe consemnând ambele tipuri de cheltuieli, precum si curba C care rezulta prin însumarea acestora, sunt reprezentate în figura 7.19. Fig. 7.19 Cheltuielile asociate programelor "CPM (PERT) - cost". Pe graficul din figura 7.19 s-au notat: P(tn) - curba costului programului obtinuta prin constructie grafica, sau cu ajutorul algoritmului Fulkerson. K(tn) - cheltuielile cu imobilizarea capitalului sau/si nerealizari din cauza prelungirii programului; C(tn) = P(tn) + K(tn), suma cheltuielilor; - durata optima a programului; Dcr - drum critic. Curba rezultanta C(tn) are un minim a carei proiectie pe abscisa t*n marcheaza durata optima a programului. În vederea exemplificarii modului de calcul al duratei programului optim pe baza rationamentului prezentat în figura 7.19 se va lua cazul constructiei statiei de transformare a carei curba a costului minim al programelor accelerate este redata în figura 7.18. Se considera ca pe parcursul duratei de executie a statiei au loc doua categorii de "pierderi" si anume - profitul net nerealizat de catre compania de electricitate din cauza întârzierii legarii consumatorilor la reteaua electrica si DS - dobânda la creditul bancar necesitat de companie pentru a plati echipamentele si materialele folosite la constructia statiei. În tabelul 7.21 sunt înregistrate aceste doua categorii de pierderi si suma lor pe fiecare saptamâna S = 1,2,...,8 a programului normal. Tabelul 7.21 Pierderile firmei de electricitate cauzate de durata programului constructiei unei statii electrice Sapta-mâna S Profit brut neîncasat (mil.lei) Profit net neîncasat (mil.lei) Dobânda pentru credit DS (mil. Lei) Pierderi totale KS=PS + DS PS costul programului accelerat (mil. lei) CS=KS+PS Profitul brut din coloana 1 s-a calculat pe baza volumului de energie electrica nelivrata, cu formula, în care Pa este puterea activa a statiei electrice (s-a considerat Pa = 2500 kW); h - numarul mediu de ore pe zi în care consumatorii absorb energie din retea (s-a considerat în medie h = 10 ore/zi); z - numarul de zile pe saptamâna (z = 7 zile); p - pretul cu care se factureaza energia la consumatori (s-a considerat p = 70 lei/kWh); 0,05 - corespunde procentajului de 5% profit brut fata de pret. Astfel, folosind aceasta formula, profitul brut neîncasat în prima saptamâna înregistrat în coloana 1, va fi: = 2500 kW 10 ore/zi 7 zile/s\pt 70 lei/kWh 0,05 = 612.500 lei. Pe 2 saptamâni rezulta = 612500 2 = 1.225.000 lei, s.a.m.d. În coloana 2 este înregistrat profitul net obtinut prin înmultirea profitului brut cu 0,62 luându-se astfel în considerare impozitul pe profit în proportie de 38% (situatie valabila în România în anul 1997) d - dobânda anuala, în procente (s-a considerat d = 10%); S - numarul de ordine al saptamânii programului (S = ). Fig. 7.20 Variatia cheltuielilor pentru accelerarea programului constructiei si a pierderilor datorate întârzierii punerii în functiune a unei statii electrice de cartier. Pentru exemplificarea aplicarii acestei formule se ia dobânda la nivelul saptamânii S = 1, rezultând lei Pentru un program cu durata de 2 saptamâni dobânda va fi, lei s.a.m.d. Valorile , înregistrate în coloana 4-a a tabelului 7.21, sunt trecute pe graficul din figura 7.20, în care s-a trasat si curba PS a cheltuielilor pentru programele accelerate. Se observa ca în cazul acestui exemplu numeric, durata optima a programului care minimizeaza suma tuturor cheltuielilor si pierderilor, corespunde cu durata celui mai accelerat program si anume 4,5 luni. Optimul corespunde programului celui mai accelerat datorita presiunii deosebite pe care o exercita curba KS, reprezentând dobânzile si pierderile de profit cauzate de întârzierea punerii în functiune a statiei electrice, asupra costului total Cs. BIBLIOGRAFIE Stancioiu, I., Militaru, Gh., Management. Elemente fundamentale. Editura TEORA, Bucuresti, 1999 Ivancevich, John M., James H. Donnelly, jr, James L. Gilbson. Management: Principles and Functions. Fourth Edition. Homewood Il., IRWIN, 1989. Kaufmann, A., G. Desbazeille. Metoda drumului critic. Bucuresti, Editura Tehnica, 1971. Kreitner, Robert. Management. Fifth Edition. Boston Ma., Houghton Mifflin, 1992. Lapin, Lawrence L. Statistics for Modern Business Decisions. Fourth Edition. New York, Harcourt Brace Jovanovich Inc., 1987. Maynard, H.B. (Editor {ef). Conducerea activitatii economice (I). Bucuresti, Editura Tehnica, 1970. Robbins, Stephen. Management. Third Edition. Englewood Cliffs, NJ., Prentice-Hall, 1991. "n" este denumit ordinul mediei mobile si poate varia între 4 si 7. Date valabile în aprilie, 1996. Document Info Accesari: 7709 Apreciat: Comenteaza documentul: Nu esti inregistrat Trebuie sa fii utilizator inregistrat pentru a putea comenta Creaza cont nou A fost util? Daca documentul a fost util si crezi ca merita sa adaugi un link catre el la tine in site Copiaza codul: in pagina web a site-ului tau. <a href="https://www.scritub.com/management/Managementul-productiei223616918.php" target="_blank" title="Managementul productiei - https://www.scritub.com">Managementul productiei</a> eCoduri.com - coduri postale, contabile, CAEN sau bancare Politica de confidentialitate | Termenii si conditii de utilizare Copyright © Contact (SCRIGROUP Int. 2024 )