BAZELE PSIHOPEDAGOCICE sI METODOLOGICE ALE REZOLVĂRII sI COMPUNERII PROBLEMELOR
II.1- Notinea de problema,clasificarea problemelor
Etapele rezolvarii problemelor
Rezolvarea problemelor în ciclul primar reprezinta o activiatate complexa, operatiile gândirii,analiza si sinteza fiind exersate la un nivel superior.Actiunea de rezolvare a problemelor presupune existenta unui complex de priceperi,deprinderi si abilitati de a aplica cunostintele matematice însusite intr-un context problematizat,de cele mai multe ori.De aceea stapânirea unor algoritmi de calcul nu este suficienta, rezolvarea problemelor presupune eforturi mintale de întelegere,îmbinate cu structuri cognitive creative.
Notiunea de problema are un continut larg;în sens psihologic,o problema este orice situatie,dificultate,obstacol întâmpinat de gândire în activitatea practica sau teoretica pentru care nu exista un raspuns gata formulat.
Un exercitiu de aritmetica consta în doua sau mai multe numere legate între ele prin semnele operatiilor aritmetice;rezolvarea lui presupune efectuarea unor calcule sau aplicarea unui procedeu dat.Distinctia între exercitiu si problema nu este totdeauna evidenta si nu se face dupa forma exterioara.
Problema de matematica reprezinta "transpunerea unei situatii practice în relatii cantitative si în care,pe baza valorilor numerice date si aflate într-o anumita dependenta unele fata de altele si fata de una sau mai multe valori necunoscute, rezolvarea consta în determinarea valorilor necunoscute.
Aflarea raspunsului problemei necesita elaborarea unui sir de rationamente logice pe baza datelor cunoscute.Acest sir de rationamente se constituie într-o metoda de rezolvare a problemelor.
Problemele se pot clasifica în functie de mai multe criterii:
1.Dupa numarul operatiilor:
Probleme simple-o singura opera& 939g64j #355;ie;
Probleme compuse-doua sau mai multe operatii;
2.Dupa continutul lor:
Probleme de geometrie;
Probleme de miscare;
Probleme de amestec si aliaj;
Probleme de tip algebric.
3.Dupa gradul de generalitate al metodei folosite:
Probleme generale;
Probleme tipice;
Probleme creative,rebisistice,de perspicacitate.
4.Dupa finalitate si dupa sfera de aplicabilitate:
Probleme teoretice;
Probleme practice.
5.Dupa gradul de implicare a creativitatii:
Probleme reproductiv-creative;
Probleme demonstrativ-aplicative;
Probleme euristic-creative;
Probleme inventiv-creative;
Probleme de optimizare.
6.Dupa rolul lor:
Probleme cu rol informativ;
Probleme cu rol formativ.
În rezolvarea problemelor intervin o serie de procedee,de moduri de actiune, deprinderi de munca intelectuala independenta.Unele deprinderi au caracter general ca:orientarea activitatii mintale asupra datelor problemei,separarea datelor cunoscute de cele necunoscute,sesizarea corelatiilor dintre date-cunoscute si necunoscute,selectarea acelor cunostinte care ar folosi la rezolvarea problemei etc.. Aceste deprinderi se formeaza prin exercitiu.
Cu toata varietatea lor,problemele nu sunt izolate,fiecare problema se încadreaza într-o anumita categorie.Actul recunoasterii si încadrarii problemei în categoria din care face parte este un act creativ.
În cazul rezolvarii unei probleme noi,activitatea de rezolvare poate fi în întregime un act de creatie.
Activitatea de rezolvare a problemelor presupune parcurgerea mai multor etape,în fiecare etapa având loc un proces de reorganizare a datelor si de reformulare a problemei pe baza activitatii de orientare a rezolvitorului în directia solutiei problemei.
Aceste etape sunt:
A. Cunoasterea enuntului problemei.
B. Întelegerea enuntului problemei.
C. Analiza problemei si întocmirea planului logic.
D. Alegerea si efectuarea operatiilor corespunzatoare succesiunii judecatilor din planul logic.
E. Activitati suplimentare.
A. Cunoasterea enuntului unei probleme se face prin citirea textului de catre învatator sau de catre elevi sau prin enuntarea libera a acestuia.Textul problemei poate fi din manual,culegere,fise de lucru,poate fi scris pe tabla, folie retroproiector etc.
Textul va fi citit expresiv,cu intonatia corespunzatoare,cu accent pe datele
problemei .
Se vor scrie datele pe tabla si pe caietele elevilor,dupa care se va repeta problema de mai multe ori,pâna la însusirea ei de catre toti elevii clasei.Referitor la scrierea datelor,se recomanda sa nu se scrie semnele operatiilor +,*etc. în locul exprimarilor care conduc la aceste operatii.Aceste schematizari exagerate ar da elevilor "de-a gata" operatiile ce urmeaza a se efectua,lipsindu-i de efortul construirii unui rationament matematic,atât de necesar dezvoltarii gândirii logice.
B. Întelegerea enuntului problemei.Învatatorul va conduce elevii astfel încât acestia sa delimiteze datele problemei,relatiile dintre ele si sa depisteze întrebarile problemei.
Elevii vor distinge ipoteza de concluzie.În aceasta etapa se vor utiliza mijloace
auxiliare,cum ar fi ilustrarea prin imagini,punerea în scena,scheme grafice, reprezentare grafica etc.Întelegerea enuntului unei probleme se va solda cu posibilitatea abstractizarii acesteia prin constructia logica a unei scheme,prin care se extrage esentialul,se elimina aspectele descriptive,nematematice.
C. Analiza (examinarea) problemei si întocmirea planului logic este cea mai importanta etapa,ea conducând la descoperirea caii de rezolvarea a problemei.Rezolvitorul,sprijinit sau nu de un îndrumator,efectueaza un sir de rationamente prin care se stabilesc relatii între perechi de valori numerice, pâna se ajunge la aflarea raspunsului problemei.
Examinarea problemei se poate face prin doua metode generale,metoda sintetica si metoda analitica.
Metoda sintetica este cea mai accesibila elevilor,pornind de la simplu la complex,de la cunoscut la necunoscut.Examinarea sintetica consta în elaborarea unui rationament pe baza unor sinteze succesive.Mai detaliat,a examina o problema prin metoda sintetica înseamna a orienta gândirea elevilor asupra datelor problemelor,a grupa aceste date dupa relatiile dintre ele,astfel încât sa se formuleze cu aceste date toate problemele simple posibile si a le aseza într-o succesiune logica astfel alcatuita încât sa se încheie cu acea problema simpla a carei întrebare coincide cu întrebarea problemei date.Metoda sintetica se aplica,mai ales în clasele I si aII-a si la acele probleme la care datele sunt astfel aranjate,înlantuite,încât arata de la sine mersul problemei.
Metoda analitica necesita examinarea problemei în întregul sau.Aceasta examinare porneste deductiv de la valoarea necunoscuta a problemei catre valorile numerice cunoscute.Ea solicita gândirea logica,se utilizeaza,mai ales la clasele aIII-a si aIV-a.
A analiza o problema prin metoda analitica înseamna a o privi în ansamblul sau, apoi pornind de la întrebarea ei,a o descompune în probleme simple din care este alcatuita si a orândui aceste probleme simple într-o succesiune logica astfel încât rezolvarea lor sa contribuie în mod convergent la formularea raspunsului pe care îl reclama întrbarea problemei date.
Indiferent de metoda aleasa,examinarea problemei se face frontal,printr-un dialog euristic cu întreaga clasa de elevi,astfel încât la finele acestei etape,fiecare elev sa aiba în "minte" o schema logica de rezolvare a problemei.
D. Alegerea si efectuarea operatiilor corespunzatoare succesiunii din planul
logic .Elevii aleg si efectueaza calculele din planul de rezolvare care poate fi
oral sau scris.Se va acorda atentia cuvenita redactarii planului de rezolvare,
numerotarii "judecatilor" consemnate în propozitii enuntiative sau interogative,
utilizarii corecte a unitatilor de masura si finalizarii pe înscrierea rezultatului
problemei.
E. Activitatile suplimentare se pot concretiza în:
Verifcarea solutiei problemei;
Scrierea sub forma de exercitiu;
Identificarea altei cai de rezolvare;
Generalizare;
Compunerea unor probleme,dupa modelul celei rezolvate.
Aceasta etapa este facultativa,se efectueaza sau nu,în functie de conjunctura. Totusi,etapa finala din rezolvarea unei probleme poate fi valorificata de învatator în directia cultivarii creativitatii elevilor,independentei în gândire,a cresterii interesului pentru matematica.
II-2 Didactica rezolvarii si compunerii problemelor la
matematica la clasele I-IV
II-2.1 Rezolvarea si compunerea problemelor simple
Problemele a caror rezolvare se realizeaza prin efectuarea unei singure operatii se numesc probleme simple.Acestea se introduc chiar din clasa I când stabilirea operatiei corespunzatoare constituie un proces de gândire dificil.Ca si în elaborarea altor notiuni matematice,învatatorul va avea în vedere etapele:
Etapa intuitiva;
Etapa experimental-instructiva;
Etapa formal-conceptuala.
Se vor regiza probleme-actiune,material didactic fiind initial chiar elevii,apoi
acestia vor manipula obiecte din mediul apropiat,într-o multitudine de posibilitati.Se poate regiza urmatoarea situatie:de la o alta clasa vin în vizita 4 baieti,apoi 3 fete.
Se formuleaza problema:
"În clasa noastra au venit 4 baieti,apoi 3 fete.Câti elevi au venit în clasa noastra?"
Se repeta problema de catre elevi,se identifica datele cunoscute si se precizeaza care este întebarea problemei.Elevii vor stabili operatia corespunzatoare si vor formula raspunsul.
Situatia creata poate fi valorificata si pentru formularea altei probleme:
"În clasa noastra au fost 7 elevi,4 dintre ei au plecat.Câti elevi au ramas?"
În continuare se formuleaza probleme folosind materialul intuitiv,elevii opereaza cu obiecte (carti,nuci,baloane etc.) treptat,se trece de la situatii concrete la imagini.Ilustratiile trebuie sa orienteze atentia elevilor catre ceea ce se cunoaste si ceea ce se cere în problema.
Procesul asimilarii notiunii de problema se continua cu rezolvarea problemelor în care se folosesc expresii "cu atât mai mult","cu atât mai putin","mai mare cu","mai mic cu".
Este necesar ca elevii sa cunoasca toate cazurile în care procesele de gândire duc la operatia de adunare,toate cazurile care duc la operatia de scadere, astfel încât alegerea unei anumite operatii sa fie justificata în mod rational.
Rezolvarea de probleme simple trece prin mai multe etape,desprinse si întelese de elvi numai în cadrul rezolvarii de probleme:
enuntarea problemei-crea se poate face prin citirea ei sau spunerea din memorie.
însusirea enuntului problemei:
-repetarea problemei cu scrierea datelor pe tabla si în caiete;
-explicarea cuvintelor sau expresiilor neîntelese;
-repetarea problmei de catre elevi;
-ilustrarea problemei cu ajutorul materialului didactic (jetoane,betisoare,planse cu figuri mobile etc.)
separarea întrebarii de continut-se va preciza ceea ce se da în probleme si ceea ce se cere;
alegerea operatiei corespunzatoare-scrierea operatiei si efectuarea calculului;
formularea raspunsului,precizarea semnificatiei si scrierea lui.
Voi exemplifica rezolvarea unei probleme respectând etapele de mai sus:
Elevii unei clase au colectionat 10 timbre românesti si 8 timbre straine.Câte
timbre au colectionat în total?
Am prezentat textul problemei din memorie.
Am cautat ca elevii sa-si însuseasca enuntul problemei:
-am repetat problema si am scris datele pe tabla,iar elevii în caiete:
10t.......... ..... ...... 8t..............................?t (la început)
10 timbre românesti (mai târziu)
8 timbre straine
Câte timbre au colectionat în total?
-am explicat cuvântul "a colectiona",a aduna,a strânge obiecte de acelasi fel si am dat lamuriri pe scurt despre filatelie;
-am realizat ilustrarea problemei cu ajutorul materialului didactic-am folosit timbre,totodata am prezentat un clasor si o plansa care sa reprezinte esentialul din enuntul problemei.
S-a trecut la construirea rationamentului-elevii aseaza 10 timbre românesti într-o mâna si 8 timbre straine în cealalta mâna.
Vor pune pe caiet toate timbrele la un loc (datele problemei).Se pune mare accent pe cuvântul "straine".Elevii sesizeaza întrebarea problemei si faptul ca pot afla necunoscuta fara a mai face alte legaturi.
S-a ales operatia de adunare pentru rezolvare pornind de la expresia..."si"...si de la întrebarea "în total".S-a scris operatia si s-a facut calculul: 10+8=18
Elevii au formulat raspunsul "18",au aratat semnificatia lui,"timbre în total" si l-au scris pe caiete:
a) adunarea
-aflarea sumei a doi sau mai multi termeni;
-aflarea unui numar mai mare de unitati decât numarul dat;
-probleme de genul "cu atât mai mult";
-aflarea descazutului când se cunosc scazatorul si diferenta.
Exemple:
-În parec sunt 10 tei si 15 brazi.Câti copaci sunt în parc?
-Aflati numarul cu 3 mai mare decât 5.
-Irina are 7 ani.Ana are cu 3 ani mai mult.Câti ani are Ana?
-De pe un aeroport au zburat 4 avioane si au mai ramas 2.Câte avioane au fost la început?
b) scaderea
-aflarea restului;
-aflarea unui numar care sa aiba un numar de unitati mai putin decât numarul dat;
-aflarea unui termen atunci când se cunosc suma si un termen al sumei;
-probleme de genul "cu atât mai putin";
-aflarea scazatorului când se cunosc descazutul si diferenta.
Exemple:
-Pe o creanga se aflau 10
-Aflati numarul cu 3 mai mic decât 7.
-Irinuca are în mâna 10 baloane.stiind ca 2 sunt albe,iar restul rosii,câte baloane rosii are Irinuca?
-Ioana a citit 9 pagini dintr-o carte,iar Vasilica cu 3 pagini mai putin.Câte pagini a citit Vasilica?
-Într-un acvariu erau 19 pesti.Din cauza frigului o parte au murit si au ramas 13 pesti.Câti pesti au murit?
c) înmultire
-aflarea rezultatului repetarii unui numar ca termen al adunarii de câteva ori sau de un alt numar de ori;
-aflarea produsului;
-aflarea unui numar care sa fie de un numar de ori mai mare decât numarul dat;
-aflarea deîmpartitului când se cunosc împartitorul si câtul.
Exemple:
-Într-un cos erau 8 pere.În alt cos erau de 2 ori mai multe.Câte pere erau în al doilea cos?
-Aflati produsul numerelor 2 si 9.
-Aflati numarul de 4 ori mai mare decât 3.
-Împartitorul este 3,iar câtul 5.Care este deîmpartitul?
d) împartire
-aflarea câtuluiîn cazul împartirii în parti egale;
-aflarea câtului în cazul împartirii prin cuprindere;
-micsorarea unui numar de câteva ori sau de un numar de ori;
-aflarea unei parti (a unei singure unitati fractionare) dintr-un numar (marime, cantitate,întreg);
-aflarea raportului a doua numere (de câte ori un numar este mai mare decât celalalt sau mai mic).
Exemple:
-Într-un cos sunt 16 mere.Ele trebuie distribuite în mod egal în 4 farfurioare.Câte vor fi în fiecare farfurioara?
-La câti copii pot da câte 3 creioane, daca eu am 9 creioane?
-Bunicul lui Vasile are 64 de ani.Vârsta lui Vasile este de 8 ori mai mica.Câti ani are Vasile?
-Aflati jumatatea numarului 6.
-Aflati numarul de 4 ori mai mic decât 20.
Învatatorul trebuie sa aiba în vedere si perspectiva acelor probleme în care limbajul "derutant" poate conduce elevii la alegerea eronata a operatiei aritmetice.
Exemple:
"În fructiera sunt 2 mere.Câte pere sunt,daca în total sunt 15 fructe,mere si pere?" (falsa problema de adunare)
"Câte pasari erau în copac,daca au zburat 3 si au ramas 7 pasari?" (falsa problema de scadere)
"Într-o vaza sunt de 3 ori mai multe garoafe decât trandafiri.Câti trandafiri sunt, daca numarul garoafelor este 12?" (falsa problema de înmultire)
"O gaina manânca de 2 ori mai putine graunte decât o gâsca.Cât manânca o gâsca intr-o saptamâna,daca în aceeasi perioada o gaina manânca 6 kg de graunte?" (falsa problema de împartire)
Rezolvarea de probleme simple este unul din primii pasi orientati spre exersarea flexibilitatii si fluentei gândirii.
Compunerea de probleme simple este un act de creatie.Dupa ce elevii rezolva cu usurinta probleme simple,se poate trece la activitatea de compunere a problemelor simple,începând chiar din clasa I.
Exemple de compunere a problemelor simple:
a) dupa desene date
-probleme de adunare
"Ionel are 3 masinute si mai primeste una de la mama sa. Câte masinute are Ionel?"
-probleme de scadere
"Mircea are 7 mingi.El da colegului sau 2 mingi.Câte mingi are acum Mircea?"
b) dupa exercitii date
"Dana are 12 baloane rosii si 13 baloane albastre.Câte baloane are Dana?"
"Pe o sârma sunt 26 de vrabiute.Dintre acestea 12 si-au luat zborul.Câte pasarele au ramas pe sârma?"
"Ioana are 2 ani,iar fratele are de 7 ori mai mult.Câti ani are fratele Ioanei?"
"Andrei are 9 timbre,iar colegul lui de clasa are de 3 ori mai putine.Câte timbre are colegul lui Andrei?"
c) dupa anumite cerinte
-compune o problema care sa se rezolve printr-o operatie de adunare
"Sanda are 25 de garoafe si sor ei are 14 trandafiri.Câte flori au împreuna?"
"Ionel are 13 mere si sora sa cu 3 mai multe.Câte mere are sora sa?"
- compune o problema care sa se rezolve printr-o operatie de scadere
"În clsa noastra sunt 26 de elevi dintre care 11 fete.Câti baieti sunt în clcsa?"
"Într-o vaza sunt 18 garoafe rosii si cu 3 mai putine garoafe albe.Câte garoafe albe sunt în vaza?"
-compune o problema care sa se rezolve printr-o operatie de înmultire
"Adriana are 4 ani,iar fratele ei este de 2 ori mai mare.Câti ani are fratele Adrianei?"
- compune o problema care sa se rezolve printr-o operatie de împartire
"Într-o vaza sunt 12 lalele rosii si de 3 ori mai putine lalele albe.Câte lalele albe sunt în vaza?"
II-2.2 Rezolvarea si compunerea problemelor compuse
Problemele compuse sunt acele probleme a caror rezolvare presupune mai mult de o operatie.Descompunerea problemei compuse în cel puti doua probleme simple,ridica o serie de dificultati pentru elevul ciclului primar,rezolvarea problemei constând în sesizarea legaturilor dintre problemele simple componente.
Daca în rezolvarea problemelor simple,învatatorul a acordat un sprijin substantial elevilor,acum va pune accentul pe activiatea elevului,acestia trebuie sa-si formeze deprinderi de a lucra independent.
Trecerea de la rezolvarea problemelor simple la cele compuse se poate face astfel:
Se rezolva o problema simpla;
Se rezolva o problema simpla având una din date rezultatul primei probleme;
Se contopesc cele doua probleme simple,în acelasi enunt,se obtine astfel o problema compusa.
Exemplu:
"Într-un autobuz sunt 13 pasageri.La prima statie urca 5 pasageri.Câti pasageri sunt acum în autobuz?" (13+5=18 pasageri)
"În autobuz sunt 18 pasageri din care coboara 7.Câti pasageri mai sunt în autobuz?" (18-7=11 pasageri)
Se rezolva cele doua probleme si se observa legatura dintre ele realizata de data "18 pasageri".
Se compune enuntul unei singure probleme:
"Într-un autobuz sunt 13 pasageri.La prima statie urca 5 pasageri,iar la urmatoarea statie coboara 7 dintre ei.Câti pasageri ramân în autobuz?"
Se analizeaza problema si se rezolva:
Exemplu:
"Un slep transporta 100 saci cu grâu a câte 76 kg fiecare,100 saci cu secara a câte 69 kg si 10 saci cu orez a câte 63 kg.Ce cantitate de cereale transporta slepul?"
Se observa ca textul problemei delimiteaza în mod clar problemele simple si stbileste succesiunea lor.De acce problema poate fi examinata usor prin metoda sintetica.În acest caz,procesul de gândire se desfasoara în felul urmator:
Cunoscând numarul sacilor cu grâu si cât cântareste un sac,ce se poate afla?
(cantitatea de grâu)
Cunoscând numarul sacilor cu secara si masa unui sac,ce putem afla?
(cantitatea de secara)
Cunoscând numarul sacilor cu orez si masa unui sac cu orez,ce putem afla?
(cantitatea de orez)
Daca se afla cantitatea de grâu,cntitatea de secara si cantitatea de orez,ce se
poate afla? (cantitatea totala de cereale transportata de slep)
Schema rezolvarii prin metoda sintetica
Examinarea prin metoda analitica s-ar realiza astfel:
Ce ne cere problema sa aflam? (cantitatea totala de cereale)
Pentru a afla cantiatatea de cereale,ce ar trebui sa cunoastem? (cantiatea de grâu,cantiatea de secara si cantitatea de orez)
Se poate afla cantitatea de grâu? (Da,deoarece cunoastem numarul sacilor de grâu si masa unui sac de grâu)
Se poate afla cantitatea de secara? (Da,deoarece cunoastem numarul sacilor de srcara si masa unui sac de secara)
Se poate afla cantitatea de orez? (Da, deoarece cunoastem numarul sacilor de orez si masa unui sac de orez)
Schema examinarii prin metoda analitica:
O caracteristica importanta a desfasurarii procesului de examinare a unei probleme si de stabilire a planului logic de rezolvare o constituie faptul ca în tot acest timp se lucreaza numai cu marimi si cantitati,deci cu cât mai putine numere,fara sa se efectueze nuci un fel de calcule.De acce,aceste procese apar ca procese de gândire,de stabilire a reporturilor cantitative dintre marimi si nu au nicidecum aspectul unor relatii de calcul.
În legatura cu cele doua metode de examinare a unei probleme,trebuie sa mentionam ca procesul analitic nu poate fi izolat de cel sintetic,întrucât cele doua metode formeazao unitate în cadrul proceselor de gândire,deci nu poate fi vorba de utilizarea cu exclusivitate a uneia sau a alteia dintre aceste metode.
Compunerea de probleme compuse este mai dificila decât compunerea de probleme simple.
Exemple de compunere a problemelor compuse:
a) dupa exercitii date
"Într-o livada sunt 150 de caisi,iar meri cu 13 mai mult.Câti pomi sunt în livada?"
"La o ferma de pasari sunt 250 de gaini,iar curci cu 100 mai putine.Câte pasari sunt la ferma?"
"La o florarie s-au primit 36 de garoafe,iar trandafiri de 3 ori mai multi.Câte flori s-au primit la florarie?"
"Maria are 24 de baloane,iar sora sa de 8 ori mai putine.Câte baloane au împreuna cele doua fete?"
b) dupa anumite cerinte
-compune o problema care sa se rezolve printr-o operatie de adunare si una de scadere
"Pe un lac sunt 45 de rate,iar gâste cu 5 mai putine.Câte pasari sunt pe lac?"
-compune o problema care sa se rezolve prin doua operatii de adunare
"Mama a cumparat 5 kg de mere si cu 2 kg mai multe prune.Câte kilograme de fructe a cumparat mama?"
-compune o problema care sa se rezolve printr-o operatie de adunare si una de înmultire
"Într-o livada sunt 45 de meri,iar peri de 3 ori mai multi.Câti pomi sunt în livada?"
-compune o problema care sa se rezolve printr-o operatie de adunare si una de împartire
"În clasa noastra sunt 20 de fete, iar baieti de 4 ori mai putini.Câti elevi sunt în clasa noastra?"
-compune o problema care sa se rezolve prin 3 operatii
"La o cantina s-au primit 50 kg de mere,portocale cu 3 kg mai putine decât mere,iar banane cu 5kg mai multe decât portocale.Câte fructe s-au primit la cantina?"
|
