Proiectul unitatii de invatare: ELEMENTE DE TRIGONOMETRIE

CONŢINUTURI

COMPETENŢE

SPECIFICE

ACTIVITĂŢI DE ÎNVĂŢARE

RESURSE

EVALUARE

Masura în grade si radiani a unghiurilor si arcelor de cerc

. Sa identifice legaturi între coordonate unghiulare, coordonate carteziene, pe cercul trigonometric.

. Sa calculeze masuri de unghiuri si arce, utilizând relatii trigonometrice, inclusiv calculatorul.

Sa determine masura unor unghiuri si lungimea unor segmente, utilizând relatii metrice.

       Identificarea goniometriei:stiinta care se ocupa de masurarea unghiurilor.

       Identificarea gradului ( respectiv a minutului, secundei) sexagesimal.

       Identificarea gradului ( respectiv a minutului, secundei) centesimal.

       Identificarea radianului : un radian, notat: 1 rad, corespunde unui arc de pe cercul de raza R, care are lungimea R.

Masura unui unghi în radiani o notam prin: ( ).

Arcul are masura 1 rad, adica ) = 1rad si ( ) = 1rad.

Comentarii:

       De obicei pentru masura unui unghi ( arc) în radiani, nu mai scriem cuvântul rad.

       Masura în radiani a unui arc de cerc, nu depinde de raza cercului din care face parte.

       Se stie ca masura unui unghi cu vârful la centrul unui cerc este egala cu masura arcului mic delimitat de laturile unghiului, de aceea se defineste radianul ca masura pentru arcele de c 232h78c erc.

       Daca un arc de cerc are masura ( în radiani), arc care face parte dintr-un cerc de raza R, atunci lungimea lui este egala cu l = R.

       Unghiul drept are radiani, unghiului de 180⁰ îi corespund radiani.

       Relatia de transformare: grade sexagesimale - radiani: utilizând regula de trei simpla, gasim relatia care leaga masura unghiului în grade sexagesimale de masura unghiului în radiani: 180⁰........................

1 rad

Aplicatii:

Scrieti formula de trecere de la grade sexagesimale la radiani.

Transformarea din masura în grade, în masura în radiani: cu formula (1) se completeaza tabelul urmator:

       Exercitii de transformare a masurii în radiani, în masura în grade sexagesimale.

Manual,culegere.

Metode:

explicatia, conversatia euristica, exercitiul, activitati frontale si individuale.

Tema pentru acasa: pag. 323, ex. 1, 2, 3, 4.

Observarea sistematica a elevilor si aprecierea verbala, chestionarea orala, aprecierea raspunsurilor primite, evaluare în ora urmatoare prin tema pentru acasa.

Cercul trigonometric;

definirea

functiilor trigonometrice

. Sa identifice legaturi între coordonate unghiulare, coordonate carteziene, pe cercul trigonometric.

. Sa calculeze masuri de unghiuri si arce, utilizând relatii trigonometrice, inclusiv calculatorul.

Sa determine masura unor unghiuri si lungimea unor segmente, utilizând relatii metrice.

       Rapoarete trigonometrice într-un triunghi dreptunghic: consider un triunghi ABC dreptunghic, cu () = , ca în figura

Avem: sin B = ; cos B == ;

tg B = = ; ctg B = ;

sec B = ( secanta unghiului B); cosec B = ( cosecanta unghiului B).

Asemanator se pot defini rapoartele trigonometrice pentru unghiul:

C = - B, din care deducem:sin (- B) = cos B; cos (- B) = sin B;

tg (- B) = ctg B; ctg (- B) = tg B; se observa de aici, ca:

tg B = , ctg B =

Definitii:

sin : (0,) (0,1), functia sinus

cos: (0,) (0,1), functia cosinus

tg : (0,) (0, ), functia tangenta.

ctg : (0,) (0, ), functia cotangenta

sec : (0,) (0, ), functia secanta.

cosec : (0,) (0, ), functia cosecanta.

       Forma trigonometrica a teoremei lui Pitagora Triunghiul ABC este dreptunghic în A a² = b² + c² sau 1 = + sau :

1 = sin² B + cos² B, sau 1 = sin² C + cos² C. Deoarece B ( 0, ), aceasta formula ramâne valabila, oricare ar fi unghiul B din primul cadran.

       Aplicatii: deducerea rapoartelor trigonometrice pentru unghiurile de ,,.

Din patratul de latura 1, se determina rapoartele trigonometrice pentru .

Din triunghiul echilateral de latura 1, se determina rapoartele trigonometrice pentru , .

       Identificarea cercului trigonometric: cercul unitate pe care s-a considerat un sens pozitiv ( sensul invers deplasarii acelor de ceasornic) si un sens negativ ( sensul de miscare a acelor de ceasornic). Notam acest cerc cu C.

Deci C

Un rol important/fundamental în teoria functiilor trigonometrice îl joaca functia de acoperire universala :R C, ce se defineste în trei etape :

: [ 0, 2] C;

: [ - 2, 0] C;

: R C

       Aplicatii.

Manual, culegere, calculator.

Lectie în A. E. L.

Metode:

explicatia, conversatia euristica, exercitiul, activitati frontale si individuale.

Tema pentru acasa: pag.323, ex. 6, de la cercul trigonometric

Verificarea temei pentru acasa, prin sondaj.

Observarea sistematica a elevilor si aprecierea verbala, chestionarea orala, aprecierea raspunsurilor primite, evaluare în ora urmatoare prin tema pentru acasa.

Definirea functiilor trigonometrice sin si cos pe R

Sa identifice legaturi între coordonate unghiulare, coordonate carteziene, pe cercul trigonometric.

Sa calculeze masuri de unghiuri si arce, utilizând relatii trigonometrice, inclusiv calculatorul.

Sa determine masura unor unghiuri si lungimea unor segmente, utilizând relatii metrice.

Sa caracterizeze configuratii geometrice utilizând calculul trigonometric.

       Identificarea functiilor trigonometrice sin si cos; extinderea functiilor trigonometrice sinus si cosinus, pentru un unghi situat în primul cadran, la multimea numerelor reale.

       Prin functia de acoperire universala a cercului trigonometric C, unui numar real îi îi corespunde punctul C.

       Definitii

Cosinusul lui este abscisa punctului , adica: cos= .

Sinusul lui este ordonata punctului , adica

=

Avem functiile sin : R R, sin ;

R R, cos ;

       Comentarii:

o        Axa O_x se numeste axa cosinusului.

o        Axa O_Y se numeste axa sinusului.   

       Exercitii: deducerea valorilor sin , cos , când .

       Proprietati ale functiilor sinus si cosinus:

- 1 sin 1 , - 1 cos 1 , R .

sin² + cos² = 1 , R .(formula fundamentala a trigonometriei).

Periodicitatea functiilor sinus si cosinus

+2k)=sin, R , k Z.

Functiile sinus si cosinus au perioada principala T .

Paritatea functiilor sinus si cosinus

Functia sinus este impara sin( - ) = - sin , R .

Functia cosinus este para cos( - ) =cos , R .

Semnul functiilor sinus si cosinus în primul cerc trigonometric este dat astfel:

Monotonia:

Functia sinus este strict crescatoare pe intervallele: [ 0,],[ 3, 2]

( , 3).

Functia cosinus este strict crescatoare pe interval [ 0 , ] si

, ].

       Aplicatii directe la proprietatile prezentate.

Manual,calculator. Lectie în A. E. L..

Metode

Explicatia, conversatia euristica, exercitiul, activitati frontale si individuale.

Tema pentru acasa: pag. 323, ex. 1, 2, 3.

Verificarea temei pentru acasa, prin sondaj.

Observarea sistematica a elevilor si aprecierea verbala, chestionarea orala, aprecierea raspunsurilor primite, evaluare în ora urmatoare prin tema pentru acasa.

Aplicatii

. Sa identifice legaturi între coordonate unghiulare, coordonate carteziene, pe cercul trigonometric.

. Sa calculeze masuri de unghiuri si arce, utilizând relatii trigonometrice, inclusiv calculatorul.

Sa determine masura unor unghiuri si lungimea unor segmente, utilizând relatii metrice.

. Sa caracterizeze configuratii geometrice utilizând calculul trigonometric.

Exercitii : aplicatii directe la proprietatile functiilor sin si cos , de genul

Sa se arate ca =1, 2cos² -11.

Sa se demonstreze ca:

R .

Calculati sin 750⁰ , cos(-860⁰), utilizând periodicitatea/paritatea.

Deducerea semnului functiilor sinus si cosinus pe R , utilizând periodicitatea.

Precizati x ] pentru care:

       Evaluare sumativa

Timp afectat în exclusivitate muncii individuale.

Fise de lucru

Activitate individuala.

Tema : subiectele de la teza

Evaluare sumativa:lucrare scrisa pe numere.

Discutarea tezei

Toate de la începutul anului scolar, algebra si geometrie/trigonometrie (fara utilizarea calculatorului)

Rezolvarea tuturor subiectelor propuse pentru teza, în conformitate cu baremele de corectare si notare, astfel încât fiecare elev sa se poata autoevalua.

Manual,culegeri; fise de lucru.

Metode exercitiul, conversatia,tema de lucru în clasa, fise de lucru,problematizarea, descoperirea dirijata,

activitati frontale si individuale, studiu de caz prin activitatea în grupe. Tema pentru acasa , din culegeri.

Observarea sistematica a elevilor si aprecierea verbala, tema de lucru în clasa: fise de lucru,observarea modului de lucru în perechi,raportare prin scriere la tabla, analiza comparativa a rezultatelor obtinute, verificarea corectitudinii rezolvarilor, aprecierea

Formule de dezvoltare trigonometrica

sin ( a b);

cos ( a b);

tg (a b).

Sa optimizeze calculul trigonometric prin alegerea adecvata

a formulelor

       Teorema: au loc identitatile

cos( a - b) = cosa cosb + sina sinb; cos( a+ b) = cosa cosb - sina sinb;

sin (a + b) = sina cosb + sinb cosa; sin (a - b) = sina cosb - sinb cosa;

a , b R .

tg( a + b) = , a , b , a - b R - .

tg( a - b) = , a , b , a - b R - .

       Aplicatii

Sa se calculeze : sin 75⁰ , cos

Sa se calculeze

sin17⁰ cos13⁰ + cos 17⁰ sin13⁰ ;

cos73⁰ cos17⁰ - sin73⁰ sin17⁰ ;

;

Daca sin a =, cos b = , a ( , ), b ( , 2), atunci sa se calculeze:

sin ( a b) , cos ( a b) , tg (a b).

Manual,culegere.

Metode: explicatia, conversatia euristica, demonstratia,

exercitiul, problematizarea, descoperirea, activitati frontale si individuale. Tema pentru acasa: pag. 326, ex. 6(1,2(1,.,8), 3(1,2,5), 4(1,2,3)).

Verificarea temei pentru acasa prin sondaj; observarea sistematica a elevilor si aprecierea lor verbala, chestionarea orala, aprecierea raspunsurilor primite, evaluare în ora urmatoare prin tema pentru acasa.

Aplicatii

Sa optimizeze calculul trigonometric prin alegerea adecvata

a formulelor.

       Aplicatii la formulele precedente

       Ffise de lucru.

Manual,culegeri

fise de lucru.

Metode: explicatia,exercitiul, tema de lucru în clasa, fise de lucru,problematizarea, descoperirea dirijata, studiu de caz prin activitatea în grupe. Tema pentru acasa , din culegeri si din fise.

Observarea modului de lucru în perechi: raportare prin scriere la tabla, analiza comparativa a raspunsurilor primite, corectitudinea rezolvarilor, aprecierea raspunsurilor primite.

Formule trigonometrice pentru unghiul dublu, triplu.

Sa optimizeze calculul trigonometric prin alegerea adecvata

a formulelor.

       Plecând de la formulele : sin (a + b), cos (a + b), tg (a + b), se deduc formulele :

sin 2 = 2 sin cos , R,

cos 2 = cos² - sin² R, (forma omogena).

cos 2 = 2 cos² R,(numai în functie de cos

cos 2 = 1 - 2 sin² R,(numai în functie de sin

tg 2 = , cos 20 , cos 0 .

sin 3 = sin ( 3 - 4 sin² R.

cos 3 = cos ( 4 cos² R.

cos² = , R.

sin² = , R.

       Aplicatii

Daca sin x , x ( , ), sa se calculeze : sin 2x, cos 2x, tg 2x, sin 4x, cos 4x.

Sa se demonstreze identitatile

a) 3 -4 cos 2+ cos 4 = 8 sin⁴

b) tg 3x - tg 2x - tg x = tg 3x tg 2x tg x.

Daca sin + cos , sa se calculeze sin 2

Sa se demonstreze extremele functiei:

f: R R , f (x) = cos 2x + 3 sin x.

Manual,culegere.

Metode: explicatia, conversatia euristica, demonstratia,

exercitiul, problematizarea, descoperirea, activitati frontale si individuale.

Tema pentru acasa

Pag. 327, ex. 7 ( 1, 2, 3 ( 1,..., 6)).

Verificarea temei pentru acas[ prin sondaj; observarea sistematica a elevilor si aprecierea lor verbala, chestionarea orala, aprecierea raspunsurilor primite, evaluare în ora urmatoare prin tema pentru acasa

Aplicatii.

Sa optimizeze calculul trigonometric prin alegerea adecvata

a formulelor.

       Aplicatii la formulele precedente si în plus, la substitutia universala: daca t = tg , cos 0 , atunci :

sin = , cos = , tg = .

tg = .

       Exercitii: fise de lucru.

Sa se calculeze E = 3 sin - 4 cos + 5, daca tg = .

Daca 3 cos + 4 sin - 5 = 0, calculati tg , sin , cos

Manual,culegeri

fise de lucru.

Metode: explicatia,exercitiul, tema de lucru în clasa, fise de lucru,problematizarea, descoperirea dirijata, studiu de caz prin activitatea în grupe. Tema pentru acasa , din culegeri si din fise.

Observarea modului de lucru în perechi: raportare prin scriere la tabla, analiza comparativa a raspunsurilor primite, corectitudinea rezolvarilor, aprecierea raspunsurilor primite.

Transformarea sumelor de functii trigonometrice în produs.

. Sa caracterizeze configuratii geometrice utilizând calculul trigonometric.

Sa optimizeze calculul trigonometric prin alegerea adecvata

a formulelor.

       Teorema: au loc identitatile

sin + sin = 2 sin cos , , R.

sin - sin = 2 sin cos , , R.

cos + cos = 2 cos cos , , R.

cos - cos = -2 sin sin , , R.

       Pentru a transforma în produs suma sin + cos , se aduce la forma: sin + sin ( - ) , etc.

       Transformarea în produs : tg tg =, în ipoteza cos 0, cos 0.

       Aplicatii

• Sa se transforme în produs:a) sin 20⁰ + sin 40⁰;b)sin+sin .
• Sa se calculeze expresiile

a) 1 + sin + cos  ; b) 1 - cos  + cos2

c) sin + sin 3 + sin 5.

• Sa se demonstreze egalitatea

.

Manual,culegere.

Metode: explicatia, conversatia euristica, demonstratia,

exercitiul, problematizarea, descoperirea, activitati frontale si individuale. Tema pentru acasa: pag.328, ex. 9(1,2,3)

Verificarea temei pentru acasa prin sondaj; observarea sistematica a elevilor si aprecierea lor verbala, chestionarea orala, aprecierea raspunsurilor primite, evaluare în ora urmatoare prin tema pentru acasa.

Aplicatii

Sa caracterizeze configuratii geometrice utilizând calculul trigonometric.

. Sa optimizeze calculul trigonometric prin alegerea adecvata

a formulelor.

       Aplicatii la formulele de transformare a sumelor de functii trigonometrice în produs.

       Fise de lucru.

Manual,culegeri

fise de lucru.

Metode: explicatia,exercitiul, tema de lucru în clasa, fise de lucru,problematizarea, descoperirea dirijata, studiu de caz prin activitatea în grupe. Tema pentru acasa , din culegeri si din fise.

Observarea modului de lucru în perechi: raportare prin scriere la tabla, analiza comparativa a raspunsurilor primite, corectitudinea rezolvarilor, aprecierea raspunsurilor primite.

Transformarea produselor în sume.

Sa caracterizeze configuratii geometrice utilizând calculul trigonometric.

Sa optimizeze calculul trigonometric prin alegerea adecvata

a formulelor.

       Teorema: au loc egalitatile

• sin cos = [ sin ( ) + sin ( ) ] , , R.
• cos cos = [ cos () + cos () ] , , R.
• sin sin = [ cos () - cos () ] , , R.

       Aplicatii

• Transformati produsele în sume

a)       sin 42⁰ cos 12⁰ ; b) sin 22⁰ sin 8⁰ ; c) cos cos

• Demonstrati egalitatile

a)       cos + cos + cos = - .

b)       cos 2 cos - sin 4 sin = cos 3 cos 2

• Daca sin B cos C sin A , atunci ABC este isoscel.
• Sa se demonstreze inegalitatea

2 sin 2x sin 2y < 1 + 8 sin²x sin²y , x , y R.

Manual,culegere.

Metode: explicatia, conversatia euristica, demonstratia,

exercitiul, problematizarea, descoperirea, activitati frontale si individuale. Tema pentru acasa: pag: 329,ex. 10 ( 1,2,3( 1,..,4))

Verificarea temei pentru acasa prin sondaj; observarea sistematica a elevilor si aprecierea lor verbala, chestionarea orala, aprecierea raspunsurilor primite, evaluare în ora urmatoare prin tema pentru acasa.

Aplicatii

Sa caracterizeze configuratii geometrice utilizând calculul trigonometric.

Sa optimizeze calculul trigonometric prin alegerea adecvata

a formulelor.

       Aplicatii la formulele de transformare a produselor în sume

       Fise de lucru.

Manual,culegeri

fise de lucru.

Metode: explicatia,exercitiul, tema de lucru în clasa, fise de lucru,problematizarea, descoperirea dirijata, studiu de caz prin activitatea în grupe. Tema pentru acasa , din culegeri si din fise.

Observarea modului de lucru în perechi: raportare prin scriere la tabla, analiza comparativa a raspunsurilor primite, corectitudinea rezolvarilor, aprecierea raspunsurilor primite.

Aplicatii.

Sa caracterizeze configuratii geometrice utilizând calculul trigonometric.

Sa optimizeze calculul trigonometric prin alegerea adecvata

a formulelor.

       Aplicatii la toate formulele trigonometrice , începând cu functiile trigonometrice si proprietatile lor;

       Fise de lucru.

Manual,culegeri

fise de lucru.

Metode: explicatia,exercitiul, tema de lucru în clasa, fise de lucru,problematizarea, descoperirea dirijata, studiu de caz prin activitatea în grupe. Tema pentru acasa , din culegeri si din fise.

Observarea modului de lucru în perechi: raportare prin scriere la tabla, analiza comparativa a raspunsurilor primite, corectitudinea rezolvarilor, aprecierea raspunsurilor primite.

Elemente de trigonometrie - test de evaluare sumtiva

       Evaluare sumativa a unitatii de învatare

Activitate individuala

Tema : subiectele

din teste.

Test de evaluare sumativa ( pe numere)