STRATEGII DIDACTICE PRIVIND REZOLVAREA SI COMPUNEREA PROBLEMELOR

STRATEGII DIDACTICE PRIVIND REZOLVAREA sI COMPUNEREA PROBLEMELOR

III-1 Probleme standard

O mare parte din problemele de matematica ce se rezolva în ciclul primar,urmaresc un anumit algoritm specific tipului,familiei de probleme din care fac parte.O problema este teoretic rezolvata în momentul în care i-am stabilit tipul si suntem în posesia algoritmului de rezolvare.

În continuare voi evidentia principalele genuri de probleme tipice.

III-1.1 Probleme care se rezolva prin metoda figurativa

Metoda figurativa presupune utilizarea unor elemente grafice pentru reprezentarea marimilor necunoscute si fixarea în desen a relatiilor dintre ele si marimile date în problema.

Elementele grafice pot fi:figuri geometrice,scheme,desene diverse,semne conventionale,puncte,linii etc.

Metoda figurativa are un caracter intuitiv permitând întelegerea vizualizata a relatiilor dintre datele problemei,un caracter general fiind aplicabila oricaror categorii de probleme ce se pot descrie grafic si un caracter creator deoarece apelam direct la inventivitatea si capacitatile creatoare ale rezolvitorului.

O categorie de probleme care se rezolva prin metode figurative este aceea în care marimile sunt "continue",pe care le reprezentam prin segmente.

Probleme de aflare a doua numere când se cunoaste suma si diferenta lor

decât al doilea aflati cele doua numere."

intervin în problema tinând cont ca nu au aceleasi valori.Diferenta de marime dintre cele doua 929f54j segmente reprezinta diferenta dintre cele doua 929f54j numere.

Rezolvarea se va face prin procedeul de egalare a celor doua valori (segmente) si prin interpretarea matematica a sensului egalarii.

Întrucât egalarea se poate face în doua moduri:egalare în raport cu valoarea cea mai mica si egalare în raport cu valoarea cea mai mare vor rezulta doua variante de rezolvare.

Varianta 1:egalare în raport cu valoarea cea mai mare

primul numar

al doilea numar 48

În acest caz rezolvarea tine cont de faptul ca daca al doilea numar ar fi egal cu primul atunci segmentul punctat din desen are ca semnificatie diferenta dintre cele doua 929f54j numere si ar avea valoarea 36 data în enunt.Daca al doilea numar ar fi egal cu primul,atunci acesta ar fi cu 36 mai mare si valoarea sumei celor doua numere ar creste cu 36.Aceasta observatie este esentiala pentru întele gerea modului de rezolvare si redactarea planului logic al problemei.

1. Cât este suma celor doua numere daca al doilea numar ar fi egal cu primul?

Numarul 84 reprezinta suma a doua numere egale cu primul numar.

2. Care este valoarea primului numar?

3. Care este valoarea celui de-al doilea numar?

Verificare: 42+6=48 suma celor doua numere

42-6=36 diferenta celor doua numere.

Rezolvarea se poate scrie sub forma a doua exercitii:câte unul pentru fiecare dintre datele necunoscute:

- exercitiul care descrie rezolvarea parcursa pentru aflarea primului numar:

- exercitiul care descrie rezolvarea parcursa pentru aflarea celui de-al doilea numar:

Varianta 2: egalare în raport cu valoarea cea mai mica

În acest caz rezolvarea tine cont de faptul ca daca primul numar ar fi egal cu al doilea,atunci segmentul de desen care marcheaza diferenta dintre cele doua 929f54j numere ar avea valoarea 36 data în enunt.

Daca primul numar ar fi egal cu al doilea,atunci acesta ar fi cu 36 mai mic si valoarea sumei celor doua numere ar scadea cu 36.

Reprezentarea prin desen va descrie aceasta modalitate de egalare a marimilor, astfel:

primul numar

al doilea numar 48

Rezolvarea va fi în acest caz diferita fata de prima varianta pentru ca s-a produs un rationament diferit.

1. Cât este suma celor doua numere daca primul numar ar fi egal cu al doilea?

Numarul 12 reprezinta suma a doua numere egale cu al doilea numar.

2. Care este valoarea celui de-al doilea numar?

3. Care este valoarea primului numar?

Rezolvarea se poate scrie sub forma a doua exercitii:

- exercitiul care descrie rezolvarea parcursa pentru aflarea primului numar

- exercitiul care descrie rezolvarea parcursa pentru aflarea celui de-al doilea numar

nr. de nuci al Denisei 58

nr. de nuci al Feliciei 6 nuci

N 24

n    86

Exemplu:

"O frânghie lunga de 86 de metri a fost taiata în doua parti,astfel încât una din ele sa aiba cu 24 mai mult decât cealalta.Câti metri are fiecare parte?"

Probleme de aflare a doua numere când se cunoaste suma/diferenta si raportul dintre cele doua 929f54j numere

mai mare decât celalalt."

În desen se reprezinta întâi printr-un segment numarul mai mic:unul din segmente este de 5 ori mai mare decât celalalt si este format din 5 segmente (unul dintre numere este de 5 ori mai mare decât celalalt).

Suma celor doua numere este formata din 6 segmente egale,fiecare reprezentând valoarea numarului mai mic.

primul numar

al doilea numar    480

Formularea judecatilor tine cont de observatia ca,în total cele 6 segmente egale reprezinta 480.

1. Din câte parti egale este formata suma celor doua numere?

5+1=6 (parti egale)

2. Care este valoarea celui de-al doilea numar (cel mai mic)?

3. Care este valoarea primului numar?

Rezolvarea se poate scrie sub forma a doua exercitii:câte unul pentru fiecare dintre valorile necunoscute:

- exercitiul care descrie rezolvarea parcursa pentru aflarea primului numar:

- exercitiul care descrie rezolvarea parcursa pentru aflarea celui de-al doilea numar: 480:(5+1)

Compunere de probleme:

Compune câte o problema dupa desenele date:

a)                                                              x

y 840

b)                                                p

Exemple:

a)     "Doi muncitori au primit pentru o lucrare 840 de lei.Unul dintre ei a lucrat din cât a lucrat celalalt.Cât se cuvine fiecaruia dintre ei?"

b)     "O gospodina a facut dulceata de prune si de gutui.cantitatea de dulceata de prune este cu 9 kg mai mare decât cea de gutui,iar cantitatea de dulceata de gutui este de 4 ori mai mica decât cealalta.Câte kilograme de dulceata a facut din fiecare fel?"

Alte categorii de probleme rezolvabile cu metoda figurativa

Exemplul 1:

"Într-o curte sunt gaini si iepuri în total 35 capete si 100 picioare.Câte gaini si câti iepuri erau?"

Rezolvare:Figuram cele 35 de animale prin niste ovale

P M P P M P P M P................P M P

P P P P

Prin scoaterea celor 3 mere si adaugarea a 3 prune,structura existenta se distruge:

P P P P P

P P P P P P P M P.........P M P

P P P P P

P P P

Acum multimea fructelor se poate organiza astfel încât fiecarui mar sa-i corespunda 7 prune.Pentru aceasta,la fiecare dintre grupele existente,formate dintr-un mar si 4 prune se mai adauga câte 3 prune.Numarul prunelor disponibile pentru aceasta reorganizare este (din cele 3 grupe "distruse" prin scoaterea merelor respective) plus cele 3 prune ce s-au introdus.Cele 15 prune pot fi împartite, punând câte 3 prune la fiecare grupa,la 15:3=5 (grupe).

P P P P P

P M P P M P P M P P M P P M P

P P P P P

P P P P P P P P P P P P P P P

Deci,acum în fructiera sunt 5 mere (câte unul în fiecare grupa).Cum fusesera scoase 3 mere,înseamna ca numarul merelor a fost la început 5+3=8.Prunele fiind de 4 ori mai numeroase,numarul acestore a fost initial .

Asadar,în fructiera au fost la început 8 mere si 32 prune.

Exemplul 3:

"O cantitate de capsuni trebuie pusa în lazi.Daca în fiecare lada se pun câte 5 kg,ramân 180 kg. Daca se pun câte 6 kg în fiecare lada ramân 20 de lati goale si o lada cu numai 2 kg.Aflati câte lazi si ce cantitate de capsuni trebuia ambalata."

Rezolvare:

I 5kg 5kg 5kg ............... 5kg 180kg

Modificarea situatiei I,pentru a trece la situatia aII-a ne conduce la urmatoarele considerente:

S-au luat din cele 20 lazi câte 5kg si 3 kg din lada care are în ea 2kg:

Trebuie distribuita o cantitate de capsuni egala cu:

180kg+103kg=283kg

Diferenta care trebuie completata la o lada:

6kg-5kg=1kg

Se vor completa:

283:1=283 (lazi cu câte 6 kg fiecare)

Totalul lazilor:

283+20 (lazi goale) +1 (lada cu 2 kg)=304 (lazi)

Cantitatea totala:

Compunere de probleme:

Compuneti câte o problema dupa desenele:

a)

12 banci cu 2 elevi un numar necunoscut de banci cu câte

un elev

a) "Câte albine si trandafiri sunt în fata unui bloc,stiind ca,daca se aseaza câte o albina pe fiecare trandafir,ar ramâne 4 fara loc,iar daca s-ar aseza câte 3,ar ramâne 12 trandafiri fara oaspeti?"

b) "Într-o sala de clasa,daca se aseaza câte un elev în banca,ramân 12 elevi în picioare,iar daca se aseaza câte 2 elevi într-o banca ramân 2 banci libere. Aflati câti elevi si câte banci sunt în acea clasa."

_{III-1.2 Probleme care se rezolva prin încercari}

Uneori întâlnim probleme ce nu se pot rezolva direct.În acest caz,un procedeu ar fi încercarile,încercari care se pot "corecta",pas cu pas,pâna se obtin rezultatele care verifica toate conditiile problemei.

Rezolvarea prin încercari este utila si în cazul problemelor care admit mai multe solutii.Elevii sunt tentati ca atunci când au gasit o solutie pentru o problema,sa considere problema rezolvata si sa ignore faptul ca pot sa existe si alte valori care sa constituie solutie pentru problema data.Folosind încercarile succesive,pot constata ca se obtin mai multe solutii corecte (care verifica conditiile problemei) sau ca un amanunt "strecurat" în datele problemei,ce pare nesemnificativ,inutil sau chiar lipsit de sens,ajuta la eliminarea unor false solutii si la gasirea rezultatului final.

Activitatea de rezolvare de probleme prin încercare-eroare urmareste sa trezeasca curiozitatea elevilor pentru aflarea rezultatelor unor exercitii si probleme (clasa aII-a),sa determine elevii sa manifeste initiativa în a propune modalitati diverse de abordare a unei probleme (clasa aIII-a) si sa caute noi cai de rezolvare a acestora (clasa aIV-a).Folosind acest procedeu de rezolvare,elevii pot depasi unele blocaje în gasirea solutiilor.

Problemele care se rezolva prin încercari apar precizate în Curriculumul National la continuturi în mod distinct,la clasa aIV-a.Cu toate acestea,rezolvarea prin

încercare-eroare este introdusa ca procedeu de lucru înca de la clasa I,prin activitatile de învatare ce vizeaza gasirea variantelor de descompunere si compunere a numerelor naturale sau aflarea necunoscutei.La clasa I se pot organiza diverse activitati de învatare:

exercitii-joc de grupare a unor obiecte (betisoare);

exercitii-joc de compunere si/sau descompunere a numerelor utilizând rigletele sau alte obiecte

exercitii de descompunere a numerelor în suma de numere mai mici;

exercitii de aflare a numarului care lipseste (dintr-o adunare sau scadere),prin încercari.

Aceste tipuri de sarcini se dovedesc a fi foarte utile tocmai pentru a întelege si

constientiza relatiile ce se stabilesc între numerele implicate în operatii matematice. În plus la clasa I proba operatiilor proba operatiilor nu este prevazuta în programa scolara.

Daca elevii învata în mod mecanic "formulele" de aflare a termenului necunoscut, se vor înregistra greseli frecvente,generate de confuzii ale formulei, care nu le vor sesiza (desi rezultatele obtinute sunt aberante:"termenii" sunt mai mari decât "suma","descazultul" mai mic decât "scazatorul" sau decât "restul" etc.).În acest sens este bine sa se formeze la elevi deprinderea de a estima întâi ordinul de marime al numaeului necunoscut,pe care apoi îl vor gasi utilizând încercarile succesive.

Exemple de activitati de învatare (si,respectiv,de sarcini de lucru care le corespund) prezentate pentru clasa I sunt organizate si la clasele II-IV,largind concentrul numeric si solicitând aflarea unui factor,a deîmpartitului sau a împartitorului.De altfel,obiectivele de referinta evolueaza,elevii trebuie "sa gaseasca modalitati variate de a descompune numere,utilizând oricare dintre operatiile învatate".

La clasele III-IV,exercitiile de descompunere a numerelor naturale utilizând anumite operatii pot fi prezentate si sub forma unor probleme inspirate din realitatea cotidiana sau de tip "ghicitoare",foarte iubite de copii si care le stimuleaza si dezvolta atentia si retionamentul logic.

Exemplu:

"Alina: Am 3 frati.Produsul varstelor lor este 16.Ce varsta au fratii mei?

_{Andrei: Nu pot raspunde la întrebarea ta!}

_{Alina: Cel mai mare dintre fratii mei are ochii albastri,iar cel mic verzi.}

Andrei: Acum stiu!

Cum a socotit Andrei ce varsta au fratii Alinei?Voi puteti?"

Rezolvare:

Elevii constata ca Andrei nu a putut raspunde initial deoarece,rezolvând problema,el a obtinut 3 solutii posibile ce verificau conditiile precizate de Alina.

, deci fratii ar putea avea 8,2 si 1 an

, deci ar putea avea doi frati de 4 ani si unul de 1 an

,deci ar putea avea un frate de 4 ani si doi de 2 ani

Pentru a elimina doua dintre aceste solutii si pentru a da raspunsul exact,mai avea nevoie de o conditie.Din afirmatiile Alinei,Andrei a dedus ca aceasta nu are frati gemeni,deci singura solutie posibila era ca fratii sa aiba vârstele de 1,2 si respectiv 8 ani.Daca Alina ar fi precizat "Am doi frati gemeni",Andrei ar mai fi avut nevoie de înca o precizare pentru a putea da raspunsul exact,în acest caz eliminându-se doar prima solutie gasita.

Rezolvând acest tip de problema,elevii constientizeaza faptul ca nu trebuie sa trateze cu superficialitate nici o informatie oricât de inutila ar parea la prima vedere, ea putându-se dovedi "cheia" rezolvarii problemei.

Exemplu:

"Simion a cumparat scânduri de brad si de stejar cu masa totala de 128kg.O scândura de brad cântareste 25kg,iar una de stejar 28kg.Câte scânduri de fiecare fel a cumparat?"

Rezolvare:

Daca ar fi fost precizat numarul total de scânduri cumparate,ar fi putut fi rezolvata problema utilizând metoda falsei ipoteze.În acest caz însa,se pote rezolva doar prin încercari succesive,existând doua "variante de actiune".

Varianta 1:Se pleacade la scândurile de brad,astfel:

Daca o scândura ar cântari 25 kg,ramân 103kg (128-25=103),numar care nu se împarte exact la 28, deci varianta nu convine;

Daca 2 scânduri ar cântari 50 kg,ramân 78kg (128-50=78), 78:28=2 (rest 22) varianta nu convine;

Daca 3 scânduri ar cântari 75kg,ramân 53kg (128-75=53) , 53:28=1 (rest 25) , varianta nu convine;

Daca 4 scânduri ar cântari 100kg,ramân 28 kg (128-100) , 28:28=1 (rest 0) , deci au fost cumparate 4 scanduri de brad si 1 scândura de stejar.

Varianta 2 :Se pleaca de la scândurile de stejar,astfel:

Daca o scândura ar cântari 28kg,ramân 100kg (128-28=100),numar ce se împarte exact la 25 (100:25=4),deci varianta convine;

Daca 2 scânduri ar cântari 56kg,ramân 72kg (128-56=72), 72:25=2 (rest 22) , varianta nu convine;

Daca 3 scânduri ar cântari 84kg,ramân 44kg (128-84=44), 44:25=1 (rest19), varianta nu convine;

Daca 4 scânduri ar cântari 112kg,ramân 16kg (128-112=16),16:25=0 (rest 16)

deci au fost cumparate 4 scânduri de brad si 1 de stejar.

Se constata ca nu exista decât o singura solutie posibila,care verifica datele problemei.

La clasa aIV-a,prin încercari se pot rezolva si probleme de falsa ipoteza.

Exemplu:

"Bunicul are 30 animale,gaini si porci.În total sunt 70 picioare.Câte gaini si câti porci sunt?"

Rezolvare:

Elevii au patru posibilitati de abordare a problemei:

Sa utilizeze algoritmul de rezolvare specific metodei falsei ipoteze:

avantaje:procedeu de lucru relativ simplu,care nu implica foarte multe calcule

dezavantaje:nu toti elevii reusesc sa înteleaga rationamentul si sa retina algoritmul de lucru ("pasii" ce trebuie parcursi).

Sa plece de la informatia conform careia sunt 30 de animale,care pot fi "împartite" în mod sistematic."1 gaina si 29 porci,2 gaini si 28 porci...29 gaini si 1 porc" si sa calculeze pentru fiecare caz în parte numarul de picioare (numarul de gaini+numarul de porci),pâna se gaseste solutia convenabila (70 picioare).

avantaje:daca se fac calcule în mod corect,se gaseste solutia problemei fiind utilizate variantele de compunere a numarului 30 si un singur tip de rationament (modul de calcul al "picioarelor")

dezavantaje:existenta unui numar mare de "pasi" si a posibilitatii de a gresi la un moment dat calculul sau de a se plictisi si de renunta înainte de gasirea solutiei.

Sa scuteze numarul de pasi în rezolvarea prin încercari,luând variantele la întâmplare,pe sarite (în mod haotic).

avantaje:ar putea "avea norocul" sa gaseasca din 1,2 încercari solutia corecta

dezavantaje:nu exista un control asupra variantelor încercate,la un moment dat unele se vor repeta,iar altele vor fi omise.

Sa scurteze numarul de pasi în rezolvarea prin încercari,plecând "de la mijloc":considerând initial numarul animalelor ca fiind egal (varianta ce se dovedeste ca fiind cea mai convenabila).

Se poate "merge" pas cu pas sau se poate "pasi" logic:

daca contin un numar de picioare mai mare,mocsoreaza numarul animalelor cu mai multe picioare (respectiv numarul porcilor) si se maresc numarul animalelor cu mai putine picioare (respectiv numarul gainilor),astfel încât suma lor sa ramâna aceeasi (30 animale).

daca obtin un numar de picioare prea mic,maresc numarul animalelor cu mai multe picioare (respectiv numaarul porcilor) si se micsoreaza numarul animalelor cu mai putine picioare (respectiv numarul gainilor),astfe încât suma lor sa ramâna aceeasi (30 animale).

În acest sens,pentru a putea urmari mai usor rationamentul se poate utiliza un

tabel de tipul:

Tabelul astfel obtinut poate fi utilizat ulterior în compunerea de probleme

asemanatoare (de "falsa ipoteza").

Multe probleme pe care elevul nu site sa le rezolve utilitând metode standardizate (exemplu:metoda grafica pentru probleme de suma si diferenta) pot fi abordate si rezolvate în final prin încercari (chiar daca procedeul poate sa se dovedeasca mai anevoios).

Exemplu:

"Suma a doua numere este 14,iar diferenta lor este 2.Care sunt numerele?"

Rezolvarea se poate face analizând variantele posibile descrise în tabelul urmator:

Cel mai important în procesul de formare la elevi a capacitatii explorativ investigative si rezolutive este ca solutiile metodice adoptate sa îl determine pe elev sa nu abandoneze o problema dupa ce a citit datele,motivând ca nu stie sa o rezolve,ci sa o încerce pornind de la una din conditiile date încercând sa le îndeplineasca pe celelalte,eliminând rând pe rând solutiile eronate.Rezolvarea problemelor prin încercari este astfel o solutie la îndemâna oricarui elev.

Problemele care se rezolva prin încercari vizeaza adaptarea elevilor la situatiile problematice,îi obisnuieste sa-si valorifice si sa-si reorganizeze propriile cunostinte,pentru a ajunge la noi structuri cognitive,îi orienteaza spre descoperirea de noi procedee de actiune si de verificare a solutiilor gasite.Prin folosirea frecventa a acestui tip de problema,se constata o perfectionare a procedurilor de descoperire inductiva folosita de copii:cautare,tatonare,selectie.

Compunere de probleme

Compuneti o problema tinând cont de datele din tabelul urmator:

Exemplu:

"Sunt 30 de animale,rate si iepuri ce au împreuna 80 de picioare.Câte animale de fiecare fel sunt?"

III-1.3 Probleme de estimari

În viata cotidiana,elevii sunt foarte des pusi în situatia de a "estima" ,facând foarte bine acest lucru,dar neconstientizând ca în acel moment au retolvat o problema de estimare.

Situatii de estimari apar peste tot:la magazin,la scoala,la joaca,în gospodarie etc. prescolarul,înainte de a învata sa calculeze,apreciaza marimile doar prin estimare,apropiindu-se,în majoritatea cazurilor,foarte mult de realitate.scolarul mic,dupa ce învata sa calculeze,are tendinta sa se concentreze pe calcul,de multe ori rezultatele (datorita calculului eronat) fiind aberante (ca ordin de marime an raport cu numerele si operatiile date),iar el nu mai realizeaza acest aspect (având foarte mare încredere în calcul).Din acest motiv,scolarii trebuie stimulati "sa estimeze" constient, "sa aiba idee" la ce rezultat sa se astepte,facând acest lucru chiar înaintea calculului propriu-zis.Altfel,o data cu trecerea timpului,scolarul obisnuit sa se bazeze doar pe calcul,va deveni ulterior dependent de calculator,aflat în situatia de a apasa o tasta din greseala si a obtine rezultate eronate (fara sa sesizeze eroarea deoarece nu a estimat anterior rezultatul).

Datorita rolului si frecventei estimarilor în viata de zi cu zi acestea au fost introduse în noul Curriculum National pentru învatamântul primar.Le gasim precizate distinct,la continuturi,doar la clasa aIV-a (probleme de estimare),desi estimarile sunt introduse înca din clasa I chiar din primul capitol,atunci când elevul opereaza cu multimi.

De fapt,estimarile se dovedesc a fi foarte utile:

în scop de comparare a numerelor (prin estimarea ordinului de marime), folosind proprietatile sistemului zecimal;

ca procedeu de verificare,tinând cont de realitatile dintre numerele care intervin în operare si de ordinul de marime al rezultatului;

ca procedeu de calcul rapid,prin rotunjirea numerelor si estimarea rezultatului;

în justificarea unor algoritmi de calcul;

în rezolvarea unor situatii în care calculul nu este posibil sau relevant.

Astfel,la clasaI se pot utiliza:

jocuri de estimare a numarului de obiecte din mediul cotidian;

exercitii-joc de comparare a doua dimensiuni (multimi) folosind estimarea.

La clasa aII-a:

exercitii-joc de estimare a numarului de obiecte dintr-o multime fixata din mediul cotidian;

exercitii de comparare a rezultatelor unor operatii fara a efectua calculele;

exercitii de estimare a ordinului de marime al rezultatului unei operatii,tinând cont de relatiile între numerele care intervin în operatie.

La clasa aIII-a si aIV-a:

exercitii de rotunjire a numerelor prin adaugare sau omisiune la sute sau zeci;

exercitii de estimare a rezultatului unei operatii;

exercitii de exprimare a rezultatului unei estimari utilizând diferite sintagme;

exercitii de aproximare convenabila (prin lipsa sau adaos) a numerelor mai mici decât un milion;

exercitii de utilizare a rotunjirilor în estimarea rezultatului unei operatii;

exercitii de utilizare a exei numerelor pentru a preciza daca un numar este "mai îndepartat" sau "mai apropiat" de un altul;

exercitii de înlocuire a calcului matematic riguros cu calculul estimativ;

probleme practice de estimare bazate pe experienta cotidiana.

Estimarile se dovedesc a fi foarte importante în verificarea unor calcule (când

numerele au valori mari este foarte util ca elevul sa estimeze ordinul de marime al rezultatului,ca "sa nu piarda" vreo cifra pe parcursul calculelor) si în efectuarea unor calcule rapide (atunci când nu este solicitata o precizie foarte mare).

Exemplu:

"Andrei îsi propune sa rezolve 6 probleme în timp de 40 de minute.Daca pentru a rezolva o problema are nevoie de 8 minute,îi va ajunge timpul?"

Raspunsul poate fi estimat astfel :

8 se rotunjeste prin adaos la 10.

Timpul necesar estimat va fi:(minute).

Raspuns: cele 40 de minute propuse nu ajung pentru rezolvarea problemelor (40<60).

Verificam prin calcul raspunsul: (minute),cele 40 de minute propuse nu ajung pentru rezolvarea problemelor (40<48).

III-1.4 Probleme de logica si probabilitati

Problemele de logica nu necesita efectuarea unui calcul.Pentru a gasi solutia este suficient un rationament logic.

Prin comparatie cu problemele calsice,problemele de logica ies din tiparul obisnuit al problemelor lucrate de elevi,le plac,îi stimuleaza,îi amuza,fiind deseori o cale atractiva pentru însusirea notiunilor obligatorii din Curricusum National.Aceasta se explica prin faptul ca în aceasta categorie sunt incluse multe tipuri de exercitii si probleme care nu fac apel la cunostinte cu continut aritmetic.Multi elevi care,datorita lipsurilor în achizitia unor cunostinte,întâmpina de obicei dificultati de rezolvare a problemelor reusesc sa rezolve asfel de probleme pentru ca utilizeaza doar rationamente logice.

Problemele de logica utilizeaza cultivarea si exersarea creativitatii elevilor (îndrazneala,istetime,spirit novator,flexibilitatea si originalitatea gândirii, neconfor- mism),crearea unor situatii generatoare de motivasie intrinseca ce favorizeaza stimularea interesului pentru matematica,exersarea gândirii divergente,dezvoltarea placerii si priceperii de a rationa riguros.

Datorita formelor atractive în care sunt prezentate (adresare directa,accesibila si nepretentioasa) cât si faptul ca nu implica,în mod obligatoriu un anumit "bagaj de cunostinte",problemele de logica fac ca sa creasca gradul de implicare a elevilor si sa mareasca interesul acestora pentru activitatile în care le sunt propuse spre rezolvare astfel de sarcini.

Spre deosebire de alte tipuri de probleme ce sunt introduse fie din clasaI,fie de la clasele mai mari (datorita faptului ca presupun "apelarea" la un anumit bagaj de cunostinte),problemele de logica sunt accesibile,în general,indiferent de vârsta.Un elev de 7 ani poate gasi "cheia" unei probleme pe care un alt coleg mai mare sau chiar un adult va reusi cu greu sa o descopere.Din acest motiv nu se poate numi cu exactitate momentul (clasa) în care se pot propune elevilor probleme ce presupun utilizarea rationametelor logice.De altfel,în Curriculum National,ele apar în mod explicit,doar la clasa aIV-a.

Exersarea rationametelor logice se face însa prin activitatea de rezolvare de probleme.În rezolvarea problemelor cu una sau mai multe operatii,elevul învata:

sa ordoneze logic datele problemei;

sa analizeze ipotezele date;

sa deduca consecintele posibile ce decurg din acestea,astfel de activitati de învatare putând fi extrase prin rezolvarea problemelor de logica.

Experienta arata ca elevul rationeaza logic la orice vârsta,fara ca acest aspect sa implice antrenamente îndelungate.Problemele de logica pot fi "presarate" pe parcursul întregului ciclu primar,în diverse momente ale lectiilor,în cadrul tuturoe disciplinelor de învatamânt,nefiind abordabile doar la orele de matematica.Ele contituie de multe ori un liant între diversele discipline (având unpronuntat caracter interdisciplinar),gasindu-si aplicabilitatea imediata si fiind în majoritatea cazurilor inspirate din problemele împlinite în viata de zi cu zi.

Elevii sunt pusi mereu în situatia de a aprecia valoarea de adevar a unor afirmatii.Înca de la gradinita,prin diverse jocuri,copiii se deprind sa deosebeasca afirmatiile adevarate de cele false.Prin diverse activitati de învatare se urmareste ca elevii sa aprecieze corect valoarea de adevar a unor afirmatii,sa verifice validitatea unor afirmatii generale pe cazuri particulare.

Exemplu:

"Care din propozitii sunt adevarate si care sunt false?

Numarul 9 se împarte exact la 3 si la 2.

Dupa luni urmeaza duminica.

Un kilogram de pene este la fel de greu ca un kilogram de fier.

8 se împarte exact la 2,deci este un numar par."

Unele propozitii solicita un anumit bagaj de cunostinte matematice (propozitiile 1,3,4),pe când altele doar atentie si folosirea experientei personale (propozitia 2). Elevilor li se poate solicita sa faca diverse afirmatii,pe care colegii lor sa le analizeze si sa stabileasca valoarea de adevar.

Probleme în care se utiliteata relatii cauzale

Relatia cauza-efect ste una dintre cele mai întâlnite în situatii practice,si,ca urmare,una dintre cele mai folosite în exersarea rationamentelor logice.Prin acest tip de exercitiu-problema se urmareste ca elevii sa înteleaga sensul implicatiei daca-atunci prin exemple simple,inspirate din cotidian,sa exemplifice si sa exprime relatii cauzale.

Exemplu:

"Ai la dispozitie 3 figuri geometrice:un triunghi rosu,un triunghi albastru,un patrat rosu.Raspunde la urmatoarel înrebari prin:da,nu,nu neaparat.

Motiveaza raspunsul dat!

Daca figura este albastra,atunci este triunghi?

Daca figura este albastra,atunci este patrat?

Daca figura este rosie,atunci este triunghi?

Daca figura nu este rosie,atunci ea nu este patrat?

Daca figura este patrat,atunci ea este rosie?

Daca figura este triunghi,atunci ea este albastra?"

Problema poate fi propusa începând de la gradinita,unde se poate oferi un

suport concret (pise din trusa Logi II) sau elevii pot avea fise pe care sunt desenate cele 3 figuri geometrice.

Un alt tip de sarcina este cea în care se solicita verificarea validitatii unor afirmatii de tip cauza-efect.

Exemplu:

"Care dintre afirmatiile urmatoare sunt adevarate si care sunt false?

Daca a=2 atunci a+59=61.

Daca a=100,b=5,c=12,atunci axb-c<488.

Daca a+b=15,atunci b+a=16.

Daca stiu ca 8x47=376,atunci 9x47=376+47."

Pentru a afla valoarea de adevar a afirmatiilor date,elevii trebuie sa efectueze unele calcule matematice sau sa faca apel la unele cunostinte teoretice dobândite în cadrul orelor de matematica.

În cazul primelor doua propozitii,ei înlocuiesc necunoscuta (necunoscutele) din concluzie cu valoarea data în ipoteza si fac calculele.Apoi,compara rezultatele obtinute de ei cu cel dat în exercitiu.

În cazul celei de-a treia propozitii,elevii utilizeaza una din proprietatile adunarii,respectiv comutativitatea verificata pentru valorile a si b.

În cazul ultimei propozitii,elevii au doua posibilitati:

Sa efectueze calculele direct.

Sa sesizeze faptul ca înmultirea este o adunare repetata si ca produsul 9x47 poate fi calculat ca 8x47+47.

Acest tip de exercitiu este util elevilor si în însusirea unor procedee de calcul

rapid(propozitia 4),în întelegerea si utilizarea proprietatilor unor operatii(propozitia 3), în formarea deprinderii de a verifica solutiile unor ecuatii sau inecuatii (propozitiile 1,2).

Probleme de probabilitati

În natura si în viata noastra au loc diferite întâmplari sau evenimente.Elevul este pus de foarte multe ori în situatia de a aplica gradul de probabilitate,sansele ca un eveniment,o situatie,o întâmplare sa se produca.

O afirmatie legata de o întâmplare poate fi cotata de catre un elev ca fiind sigura ca se va produce,în timp ce un alt elev o poate aprecia ca fiind posibila sau chiar imposibila.În functie de datele pe care acestia le detin,fiecare dintre ei poate avea dreptate.

Daca,de exemplu se cere elevilor sa aprecieze pe o scala data (de la sigur la imposibil),sansele de realizare în cazul afirmatiei:"Mâine merg la scola",vom putea avea rezultate concrete pe întreaga scala,caci fiecare va tine cont de informatiile personale pe care le poseda,afiramatia fiind legata strict de persoana lor.Este foarte important ca elevul de azi,viitorul adult,sa poata judeca si interpreta corect unele evenimente din viata cotidiana,sa poata calcula probabilitatea (sansa) ca acestea sa se produca,sa le poata ordona si clasifica pe o scla a sanselor de realizare (de la sigur la imposibil) sau pe o scala a preferintelor (de la foarte placut la foarte neplacut).

Pentru a dezvolta aceste abilitati,în noul Curriculm-ul National au fost incluse în mod explicit doar la clasa aIII-a si la clasa aIV-a,în cadrul obiectivului de referinta "sa colecteze date,sa le sorteze si sa clasifice pe baza unor criterii simple",tipuri de activitati de învatare ce presupun clasificari probabilistice,desi copilul este familiarizat cu nosiuni de probabilistica înca din graadinita si familie.

Acestea s-au concretizat în sarcini-problema,pe care elevii le-au rezolvat în mod practic,manipulând diverse materiale (bile,jetoane etc.).

Exemplu:

"Care este probabilitatea ca aruncând doua zaruri sa obtinem o "dubla" (la fiecare zar acelasi numar de puncte)?"

Rezolvare:

Numarul cazurilor egal posibile la aruncarea a doua zaruri este 6x6=36.

"Dublele"sunt:(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(5,5) si (6,6),deci numarul cazurilor favorabile este 6.

Daca A este evenimentul obtinerii unei "duble",atunci probabilitatea ceruta este

Exemplul 2:

"O urna contine 6 bile albe si 5 bile negre.Se extrag succesiv 3 bile (fara întoarcerea bilei extrase).Care este probabilitatea ca prima bila sa fie alba,iar celelalte doua negre?"

Rezolvare:

Daca A este evenimentul "prima bila extrasa este alba",B,"a doua bila extrasa este neagra" si C,"a treia bila extrasa este neagra",atunci realizarea simultana a acestora este intersectia evenimentelor A,B si C.

Pentru evenimentul A,numarul cazurilor egal posibile este 6+5=11 (numarul total de bile din urna),iar numarul cazurilor favorabile este 6 (sunt 6 bile albe în urna).Deci probabilitatea ca evenimentul A sa se produca este .

Evenimentul B este conditionat de realizarea evenimentului A,în sensul reducerii cu 1 a numarului cazurilor egale posibile (s-a realizat A,deci a fost scoasa o bila alba din urna,fara întoarcerea acesteia).Pentru evenimentul B numarul cazurilor egal posibile este 5+5=10,iar numarul cazurilor favorabile este 5 )sunt 5 bile negre în urna). Deci probabilitatea ca evenimentul B sa se produca este .

Evenimentul C este conditionat de realizarea simultana a evenimentelor A si B. Aceasta înseamna ca numarul cazurilor egal posibile va fi 9 (au fost scoase 2 bile),iar numarul cazurilor favorabile va fi 4 (cele 4 bile ramase în urna). Deci probabilitatea ca evenimentul C sa se produca este .

Probabilitatea ca evenimentele A,B si C sa se realizeze simultan este : .

Un alt tip de activitati de învatare ce pot fi utilizate la clasaI sunt exercitiile-joc de gasire a numerelor ce se scriu cu ajutorul unor cifre date.

La clasa aII-a,elevii învata sa utilizeze unitati de masura pentru timp si sarcinile de lucru pot solicita:

plasare în timp a unor evenimente în functie de un reper si sortarea evenimentelor dupa un anumit criteriu dat;

exercitii de ordonare cronologica a unor imagini;

exercitii de evaluare a sanselor ca o situatie sa se produca;

descrierea de situatii ce reprezinta evenimente imposibile,probabile,sigure;

exercitii de ordonare a evenimentelor pe o scala a sanselor de realizare.

III-1.5 Probleme de organizare a datelor în tabele

În noul Curriculum National s-au introdus,în mod explicit,înca de la clasa aII-a, continutul si obiective de referinta care viteata formarea unor deprinderi de organizarea a datelor în problema,diagrame si grafice.Aceste competente sunt necesare pentru a apropia si pregati elevul de realitatea practica pentru a da aplicabilitate cunostintelor pe care si le-a însusit pentru a-l deprinde sa înteleaga si sa interpreteze corect diversele informatii cu care se confrunta si care îi sunt "livrate" sub forme variate de prezentare.

Tabelele ,diagramele si graficele sunt utilizate în toate domeniile de activitate sintetizând si sistematizând informatiile clarificându-le si oferind totodata o imagine usor de interpretat prin asocieri si corelari între date.Elevul deprins sa utilizeze aceste forme de prezentare va fi capabil sa-si realizeze propriile "scheme" de sistematizare a cunostintelor.Redactând solutiile unor exercitii si probleme sub forma tabelara sau utilizând diagramele si graficele,elevii vor învata sa economiseasca timp si energie,sa extraga esentialul,sa prezinte cu mai multa usurinta si claritate demersul parcurs în rezolvarea acestora,sa sesizeze si sa sublinieze relatiile existente între date,sa le interpreteze.

Urmarind evolutia obiectivelor de referinta care se refera la prelucrarea de date statistice observam ca la început elevul învata sa extraga informatii din tabele si liste,sa colecteze date prin observari pe o anumita tema,ca treptat sa reuseasca sa le clasifice pe baza unor criteri (la început mai simple), sa le prezinte în tabele si diagrame si sa interpreteze aceste date prin compararea numerelor implicate,prin gasirea de asemanari si deosebiri.

Înca din primile saptamâni de scoala,elevii sunt pusi în situatia de a realiza corespondente între elementele unei multimi.Într-o prima etapa,elevii au la dispozitie doua multimi distincte (exemplu:multimea copiilor si multimea jucariilor) si trebuie sa sesizeze regula de asociere a elementelor acestora (fiecare elev foloseste o jucarie).

Pasul urmator consta în familiarizarea elevilor cu tablourile de corespondenta, în care trebuie sa marcheze cu un simbol prestabilit,asocierile determinate.Astfel se pot utiliza sarcini care solicita:

Asocieri

Exemplu:

"Gaseste instrumentele specifice foecareia dintre profesiile de mai jos."

Completând un astfel de tabel,elevii vor constata ca,pentru un acelasi element (stilou) au putut fi facute doua conexiuni (poate fi utilizat atât de catre elevi,cât si de medic) si ca nu întotdeauna toate elementele dintr-o multime au corespondent în cealalta multime (cazul rachetei).De asemenea,ei se vor familiariza cu modul de prezentare a datelor sub forma de tabel,cu modalitatea de a extrage informatii prezentate sub aceasta forma si cu posibilitatile de a le interpreta.

Într-o etapa ulterioara,elevilor li se da o regula de corespondenta (de ex. fiecare animal manânca anumite alimente) si elementele multimilor care sunt amestecate (de ex. multimea anumalelor si multimea alimentelor) si au ca sarcina sa realizeze corespondentele si sa separe cele doua multimi.Prezentarea rezultatului final poate fi facuta fi utilizând diagramele,fie sub forma tabloului de corespondenta (tabelar).Aceasta sarcina îi pregateste pe elevi pentru a organiza si reprezenta diferite date în tabele sau diagrame.

Apoi,elevii vor avea la dispozitie doar elementele unei multimi si regula de corespondenta,având ca sarcina sa identifice elementele celei de-a doua multimi (de ex. "Asociaza fiecarui obiect o figura geometrica cu care se aseamana").Acest tip de activitate de învatare va fi utilizat în diferite etape pe parcursul întregului an,cât si în clasele mai mari,concretizându-se în sarcini de

Completare de tabele

Exemplu:

Calculati:

Tot la clasa I pot fi introduse exercitii de colectare a datelor ca urmare a unui proces de observare derulat într-un interval de timp,de prelucrare a acestora prin sortarea dupa un criteriu simplu (de ax. culoare,forma,marime etc.) si de organizare a lor în forme variate de prezentare (tabel,desen,diagrama).

La clasa aII-a,se vor relua activitatile de învatare de la clasa anterioara,utilizând operatii cu numere naturale în concentrul 0-100,introducând si înmultirea si împartirea numerelor naturale.Unele sarcini se vor complica prin adaugarea de noi cerinte.De exemplu,în sortarea datelor si organizarea lor în tabele,se pot folosi simultan doua criterii (forma si culoare),prelucararea realizându-se prin comparare si numarare.

Datele astfel colectate si ordonate pot fi reprezentate si sub forma unor diagrame simple,de diverse forme (segmente,patratele etc.) si pot fi utilizate în compunerea de probleme (ca date suport).

Elevilor li se prezinta diverse tipuri de diagrame si grafice cu scopul de a-i obisnui sa poata citi,interpreta (prelucra) datele,informatiile prezentate în forme diferite.

Diagramele pot fi folosite si în rezolvarea de exercitii,de tipul:

"Calculeaza produsul tuturor numerelor care se afla în interiorul:

a)     dreptunghiului;

b)     cercului;

c)      numai al dreptunghiului;

d)     numai al cercului;

e)     si al dreptunghiului si al cercului.

Compunere de probleme

Imagineaza-ti ca esti la gradina zoologica si compune probleme folosind datele mai jos ilustrate:

Exemplu:

"La o gradina zoologica erau 5 lei,20 de maimute,10 vulturi si 15 serpi.Câte animale erau în total?"

Repartizarea pe clase a elevilor ciclului primar dintr-un oras este reprezentata în graficul de mai jos.

mii de elevi

I II III IV clasa

Compune trei probleme pornind de la enuntul de mai sus.

Exemplu:

"Într-un oras,la ciclul primar,au fost înscrisi în clasaI 50000 de elevi,la clasa aII-a 40000,la clasa aIII-a 45000,iar la clasa aIV-a 30000.Câti elevi au fost înscrisi la ciclul primar?"