CALCULUL PLACILOR PLANE.APLICATII

IPOTEZA a I-a. Se accepta ca deplasarile w ale punctelor planului median al placii pe directia axei z, in orice punct al sau, sunt cu mult mai mici decat grosimea h a placii, astfel incat Aceasta ipoteza ne permite sa consideram ca planul median al placii se deformeaza fara sa se intinda, respectiv ca deplasarile radiale ale punctelor lui se pot neglija (ipoteza se aseamana cu cea de la grinzile drepte, cand - la demonstrarea formulei lui Navier - am presupus ca fibrele din planul neutru nici nu se lungesc nici nu se scurteza, desi se deformeaza, acceptand ca sagetile grinzii sunt mult mai mici decat sectiunea inaltimi transversale).

Daca aceasta ipoteza nu este satisfacuta problema se complica deoarece pe de o parte nu mai apar deformatii foarte mici (care uneori pot fi neglijate), ci deformatii finite, iar pe de alta parte reactiunile de pe conturul de reazem influenteaza la randul lor asupra sagetilor placii, atunci cand deplasarea punctelor din planul placii este impiedicata de legaturi. Asemenea placi care nu satisfac aceasta ipoteza se numesc uneori placi de grosime mica sau rigiditate mica, de tipul membranelor.

IPOTEZA a II-a, este cunoscuta sub numele de "ipoteza Kirchhoff " sau ipoteza " nestrambarii normalei " - si este intr-o anumita forma - o generalizare la cazul corpurilor de tip placa a cunoscutei ipoteze a sectiunilor plane a lui Bernoulli de la grinzi. Ea spune ca: " punctele care se afla inainte de deformatia placii pe o normala oarecare la planul median al sau, raman dupa deformatie tot pe o dreapta care este insa normala la suprafata elastica a placii,(la planul mediu deformat ) ".

Mr Mr r r . . B . . D z h C A z o Fig.1.15.3

Evident ca ipoteza este perfect valabila numai in cazul incovoierii pure axial-simetrice a placii: in relitate, in cazul incovoierii cercetate de noi prin forte normale pe suprafata (incovoiere simpla) placii, au solicitari de forfecare in sectiunile paralele cu planul median ceea ce face ca normalele initial drepte sa se strambe putin. Intocmai ca la grinzile drepte si in calculul placilor se neglijeaza acest efect si rezultatele obtinute pentru incovoierea pura se utilizeaza si pentru incovoierea simpla. Transpusa intr-o forma pe care o vom utiliza mai departe, privita deci sub un aspect mai global, aceasta ipoteza ne spune ca sectiunile cilindrice coaxiale cu conturul - in starea neancarcata a placii - se transforma in urma deformatiei in suprafete conice. Astfel, generatoarele unei sectiuni initial cilindrice devin generatoarele unui con circular al carui varf se gaseste pe axa de simetrie "z" a placii (fig.1.15.3). Aceasta ipoteza denumita uneori si "ipoteza cinematica" sau "ipoteza elementului liniar" (care isi pastreaza lungimea in urma deplasarilor) permite sa se reduca problema spatiala a teoriei elasticitatii la o problema plana, respectiv la determinarea eforturilor si deplasarilor punctelor din planul median, care sunt functie numai de doua coordonate (ceea ce este un avantaj esential).

IPOTEZA a III-a. Este cunoscuta sub numele "ipoteza statistica" si se refera la starea de tensiune a placii. Intocmai ca la grinzile drepte unde se neglija interactiunea straturilor paralele cu planul neutru si la placi se considera ca tensiunile normale din actiunile paralele cu planul median ( ) sunt neglijabile in comparatie cu tensiunile normale din sectiunile perpendiculare pe planul median. Se accepta deci tot o lipsa de interactiune intre straturile orizontale ale placii, paralele cu planul median desi in realitate exista o presiune reciproca intre aceste straturi: in consecinta fiecare asemenea strat infinit suptire al placii poate fi considerat ca lucrand independent, aflandu-se intr-o stare plana de tensiune. Aceasta ipoteza este aplicabila numai pentru placile la care raportul dintre grosimea h a placii si diametrul este mai mic decat 1/5 (D>5h). Daca nu este satisfacuta aceasta conditie placa se considera "groasa". Ipoteza are in special implicatii matematice deoarece simplifica legea lui Hooke generalizata in care se neglijeaza termenii considerati mici, tensiunile intrand in categoria tensiunilor secundare.

1.15.2. STUDIUL STARII DE DEFORMATII

Aspectul geometric. Calculul deformatiilor specifice

1.Ipotezele adoptate simplifica foarte mult problema studiata si ne dau o imagine foarte clara despre geometria starii deformate a placii in conditile incarcarii axial-simetrice pe baza unei corelati gemetrice simple se pot determina deformatiile in orice punct al placii, introducand o anumita variabila specifica problemei. Vom adapta un sistem de coordonate polare (v.fig.1.15.4); vom face o sectiune radiala prin placa si vom fixa atentia asupra unui element de suprafata cu lungimea dr (ABCD), aflat la distanta r de axa z. Din planul acestui element vom examina ce se intampla cu segmentul MN (de lungime initiala dr ) care se afla la distanta z de planul median.

z

B

D

O

P

Fig.1.15.4

2.In conformitate cu prima ipoteza (v.fig.1.15.1) punctele O si P care apartineau planului median al placii inainte de deformatie, raman in suprafata mediana deformata, si tot la distantele initiale r si r+dr de axa y. Dupa cea de-a doua ipoteza (Kirchhoff) segmentul AOB care era paralel cu axa z si normal la planul median - inainte de incarcare si deformarea placii - se roteste cu un anumit unghi fata de axa z, ramanand tot rectiliniu si normal la suprafata elastica a placii (planul median stambat). O alta normala , infinit apropiata de prima se va roti cu unghiul . Am introdus in felul acesta o functie (r), cu ajutorul careia putem caracteriza complect starea deformata a placii.

In acest sens se definesc

- deformatia specifica radiala ( ) reprezentand lungirea specifica in directia razei a unui element de lungime , dispus radial. Dupa deformatia placii elementul MN ocupa pozitia M'N' astfel incat lungirea lui totala va fi:

=M'N'-MN=(M'N'-M'N)-(MN-M'N)=NN'-MM'=

(1.15.2.1)

-deformatia specifica circumferentiala ( ) reprezentand lungirea specifica a unei fibre inelare care trece initial prin punctul M inainte si dupa deformatia placii. Inainte de deformatia placi punctul M se afla pe un cerc cu raza r avand lungimea circunferintei 2 r; dupa deformatia placii punctul M trece intr-o noua pozitie M' care se gaseste pe un cerc de raza r+MN'=r+z , cu lungimea circumferintei2 .

Lungirea totala a aceste circum ferintei este deci:

. Rezulta deci lungirea specifica pe directia circumferintiala, in punctul M: (1.15.2.2)

1.15.3. ASPECTUL FIZIC. EXPRIMAREA TENSIUNILOR

CU AJUTORUL FUNCTIEI .

In conformitate cu cea de-a treia ipoteza (v.fig.1.15.1) privind absenta tensiunilor normale in sectiunile paralele cu planul median ( =0), legea lui Hooke generalizata obtine o forma mult mai simpla; tinand cont ca deformatiile specifice si le corespund ca directie tensiunile normale si se obtine:

(1.15.3.1)

Din aceste relatii se deduce (ca o consecinta a modelului de deformatie acceptat) ca tensiunile normale sunt nule in plan median (z=0) si variaza proportional cu distanta z de la planul median; ele sunt deci tnsiuni de intindere sub planul median (pentru z>0) si de compresiune in cealalta parte a planului. Evident ca aceasta distributie de tensiuni depinde si de modul de rezemare si de incarcare a placii. Aceste tensiuni nu pot fi inca calculate deoarece functia (r) este necunoscuta.

1.15.4. ASPECTUL STATIC. RELATII INTRE EFORTURI SI

TENSIUNI

D

E

G

C

D

B

F

Tr

A

z

A

E

G

H

B

F

z

dz

z

Fig.1.15.5

1.15.4.1. TENSIUNI.

Pentru studiul starii de tensiune vom decupa din placa un element de volum prismatic ABCDEFHG cu ajutorul a patru suprafete de sectionare: dupa plane radiale care contin axa z si care fac intre ele unghiul infinit mic d ; doua suprafete cilinrdice concentrice coaxiale cu axa z, cu razele r si r+dr (fig.1.15.5).

Sa cercetam ce tensiuni sunt posibile sa apara pe suprafetele acestui element de volum tinand cont de ipotezele adoptate si de cazul particular simetric (geometric si mecanic) pe care-l studiem.

I.In "sectiunile radiale" (suprafetele ABCD si EFHG ) datorita simetriei geometrice si simetriei incarcarii exterioare, nu este posibila aparitia tensiunilor tangen tiale deoarece deformatia placii se face astfel incat nu apar deformatii unghiulare (altfel spus suprafetele ABCD si EFHG nu luneca una in raport cu cealalta, nici in directia axei z nici in directia axei r). Inseamna ca pe aceste elemente de suprafata apar numai "ten siunile normale circumferen tiale" care sunt aceleasi in toate sectiunile radiale aflate la distante r de axa z.

II. In "sectiunile periferice" (ABEF si CDGE) care se inscriu dupa deformatie pe niste suprafete conice care luneca una in raport cu cealalta, este posibila aparitia unor tensiuni tangentiale de tipul -dirijate paralele cu axa z -care sunt rezultatul modului de deformatie al placii. Apar de asemenea "tensiuni normale radiale" . Aceste tensiuni sunt evident constante (au aceias valoare) in tote punctele elementului de suprafata circumferential aflat la un anumit nivel z=const. de planul neutru, deoarece o ipoteza de neuniformitate ar contrazice simetria axiala.

III. Sa mai precizam ca nu este posibila aparitia unor tensiuni tangentiale deoarece nu exista dualele lor din sectiunile radiale

Am reprezentat aceste tensiuni pe elementul de volum din fig.1.15.5.b.

1.15.4.2. EFORTURI SECTIONALE

Sa punem acum in evidenta eforturile N,T,M_i care solicita acest element de volum si care apar ca rezultantele fortelor interioare pe fetele lui.

P

r

r

dr

r+dr

Fig.1.15.6

I.Pe sectiunea periferica ABEF fortele tangentiale elementare de forma au ca rezultanta o forta taietoare dirijata paralel cu axa z, de intensitateT, distribuita pe unitatea de lungime a arcului . Deci in sectiunea ABEF actioneaza o forta taietoare egala cu ; in sectiunea infinit apropiata CDGH forta taietoare capata o crestere infinit de mica si are valoarea .

Sa stabilim sensul pozitiv pentru forta taietoare; pentru acasta vom decupa din placa in mod succesiv o serie de cilindri concentrici, avand aceas axa centrala z -ca in fig.1.15.6. -si vom pune in evidenta fortele taietoare care actioneaza pe suprafetele cilindrice de sectionare, stabilindu-le sensul pe baza principiului actiunii si reactiunii.

Astfel pentru partea centrala a placii, -cilindrul de raza r -(fig.1.15.6.a) forta taietoare de pe suprafata exterioara va trebui sa echilibreze actiunea fortei exterioare distribuite si deci va avea sensul de jos in sus (contrar sensului pozitv al axei z). Rezulta atunci automat ca suprafata cilindrica al elementului inelar (fig. 1.15.6.b) forta taietoare este indreptata in sensul pozitiv al axei z (in jos); vom conveni sa consideram aceasta forta taietoare ca fiind pozitiva.

Pe suprafata cilindrica exterioara a inelului (de raza r+dr) conform principiului actiunii si reactiunii, forta taietoare pozitiva va fi indreptata spre partea negativa a axe z. Pe fig.1.15.5. s-au reprezentat fortele taietoare pozitive pe cele doua sectiuni periferice ale elementului de volum.

II. Tot in sectiunile periferice actioneaza si niste momente incovoietoare radiale, de intensitate M_r distibuite pe arcul rd care sunt rezultatele momentelor fortelor inerioare normale de tipul Rezulta deci ca momentul incovoietor care actioneaza in suprafata ABEF este , iar in suprafata infinit apropiata CDGH este (Momentele incovoietoare le-am indicat in fig.1.15.5 prin vectori cu dubla sageata).

III. In sectiunile radiale, actioneaza momente incovoietoare circumferentiale a caror intensitate se noteaza cu M_t si care se obtin evident ca rezultat al momentului fortelor interioare de tipul . Astfel in sectiunile ABCD si EFGH, actioneaza momentele incovoietoare M_tdr.

Momentele incovoieri se considera pozitive daca pe grosimea placii, in punctele care corespund valorilor pozitive ale coordonatei z apar tensiuni normale de intindere.

IV. Ne putem pune evident problema daca pe fortele elementului de volum considerat, ca rezultat al reducerii fortelor elementare normale si ,nu actioneaza si niste eforturi sectionale normale N, in ideea ca torsorul de reducere poate avea atat un vector moment, cat si un vector forta. Vom arata ca in cazul in care am acceptat o distributie a tensiunilor de forma (1.15.3.1) aceste forte normale sunt nule.

Astfel

1.15.4.3. RELATII DE ECHIVALENTA INTRE EFORTURI SI TENSIUNI

Urmarim explicitarea aceluias principiu al egalitatii dintre momentele fortelor elementare interioare, in raport cu urma in planul sectiunii a suprafetei neutre si eforturile sectionale privite ca solicitari exterioare. Putem astfel scrie (integrand pe toata grosimea placii)

Analog:  

Se introduce notatia

[daNm] (1.15.4.1)

Aceasta marime se numeste "rigiditatea la incovoierea cilindrica a placii Cu aceasta notatie expresiile precedente devin:

(1.15.4.2)

OBSERVATII:

1.Din aceste relatii se poate obtine expresia unghiului de rotatie al normalei in functie de intensitatile momentelor incovoietoare:

(1.15.4.3.)

2. Introducand relatiile (4.4.2) in (4.3.2) se poate obtine:

(1.15.4.4)

Aceste relati seamana formal cu cunoscuta formula a lui Navier si evidenteaza distributia simetrica a tensiunilor normale pe grosimea placii, care obtin valori maxime la suprafata placii, (pemtru z= ):

(1.15.4.5)

1.15.5 ECUATIILE DE ECHILIBRU ALE ELEMENTULUI

DE VOLUM AL PLACII

r

dr

A

p

C

D

B

G

E

A

C

Fig.1.15.7

Consideram din nou elementul de placa caruia ii aplicam pe langa eforturile sectionale (T,M_r,M_t) si fortele exterioare provenind - de exemplu - din actiunea unei presiuni normale pe suprafata exterioara a placii, distribuita dupa o lege oarecare p=p(r). Elementul de volum fiind infinit mic se poate presupune ca presiunea p [daN/c²] a fortelor super ficiale este constanta, iar forta concentrata rezulta ta, echivalenta din punct de vedere static avand valoarea pdA=prd dr.

In fig.1.15.7 s-a desenat din nou elemen tul de volum in doua vederi pentru a scrie mai usor ecuatiile de echilibru, care sunt:

I.Proiectia tuturor fortelor dupa axa z:

Trd -[Trd +d(Trd )]+prd dr=0

de unde: (1.15.5.1):

Dar, deoarece marimea d nu variaza cu raza, putem simplifica cu d si prima ecuatie de echilibru se poate scrie:

(1.15.5.2)

II. Suma momentelor tuturor fortelor aplicate elementului in raport cu axa

In aceasta ecuatie ce doi termeni pr d dr si se pot neglija ca infiniti mici de ordin superior fata de restul termenilor, astfel incat ecuatia precedenta devine (pentru sin

Impartind cu dr d avand in final

(1.15.5.3)

Celelalte ecuatii de echilibru, datorita conditiilor de simetrie sunt satisfacute in mod identic.

1.15.6.ECUATIA DIFERENTIALA A PLACILOR CIRCULARE

IN FUNCTIA REZOLVATA

Starea de echilibru a placii este guvernata de cele doua ecuatii diferentiale (1.15.5.2) si (1.15.5.3) care contin trei functii necunoscute: T= T(r); M_r=M_r(r); M_t=M_t(r). Problema este deci static nedeterminata, insa dupa metodologia generala a unor astfel de probleme, tinand cont de celelalte aspecte (geometric si fizic) se poate reduce numarului necunoscutelor la una singura.

Practic, se procedeaza astfel:

P

F

F

T

T

r

r

Fig.1.15.8

I.In primul rand integrand ecuatia (1.15.5.2), in conditiile in care se cunoaste functia incarcarii p=p(r) se poate determina intensitatea fortei taietoare T ca functie de raza T=T(r). In mod concret insa, aceasta marime se determina mult mai simplu din examinarea echilibrului partii cilindrice centrale a placii avand raza curenta r (v.fig.1.15.8).

Pentru generalizarea problemei, in fig.1.15.8 am mai introdus si o forta concentrata F actionand in centrul placii. Scriind suma proiectiilor fortelor dupa axa z, rezulta:

de unde, pentru p=const,(incarcare uniform distribuita):

[daN/m] (1.15.6.1)

II. Procedand astfel inseamna ca functia T(n) se poate determina intotdeauna in mod independet de celelalte necunoscute ale problemei. Rezulta deci ca ecuatia diferentiala de echilibru (1.15.5.3) contine numai doua functii necunoscute M_r si M_t. Punand insa in locul acestora expresiile lor (1.15.4.2), se obtine o ecuatie diferentiala cu o singura funtie necunoscuta (r), care este unghiul de rotire al normalei la planul median al razei, functie de raza. Se poate considera ca in acest caz functia joaca rolul unei "functii rezolvante" analoaga functie de tensiune a lui Airy (v.vol.II,pag.191), deoarece cu ajutorul ei putem rezolva toate problemele privind starea de tensiune si de deformatie a placii. Considerand ca grosimea h a placii, deci si rigiditatea sa D sunt constante, se obtine succesiv

Aceasta este ecuatia diferentiala a placilor circulare (obtinuta si rezolvata de S.D.Poisson in 1929), care se integreaza usor daca vom observa ca poate fi pusa sub forma;

Identitatea ultimelor doua expresii se poate verifica cu usurinta dezvoltand prin diferentiere parte stanga a relatiei (1.15.6.3).

Printr-o dubla integrare din relatia (1.15.6.3) se obtine expresia unghiului de rotatie (r):

(1.15.6.4)

unde C₁ si C₂ sunt constante de integrare care se determina pentru fiecare caz particular in parte punand conditiile la limita specifice.

1.15.7. CALCULUL DEPLASARILOR.

FUNCTIA REZOLVANTA w(r).

De multe ori in locul unghiului de rotatie al normalei se alege ca necunoscuta unica a problemei sageata w(r). De altfel legatura analitica dintre cele doua marimi pentru placile de mare rigiditate pe care le studiem (cu deplasari mici) se stabileste cu usurinta; urmarind fig.1.15.9. daca notam cu w deplasarea punctelor placii aflate pe un cerc de raza r, se poate scrie

(1.15.7.1)

De aici: (1.15.7.2)

C₃ fiind constanta de integrare care se determina de obicei din conditia ca deplasarile w pe contururile de rezemare ale placii sa fie nule.

w

r

z

Fig.1.15.9

Daca se lucreaza direct cu aceste variabile, momentele incovoietoare pentru o unitate de lungime de placa vor fi

(1.15.7.3)

iar ecuatia de echilibru a elementului de volum:

(1.15.7.4)

In cazurile in care placa are mai multe portiuni pentru care functia T=T(r) are forme diferite, integrarea se efectueaza pentru fiecare dintre aceste portiuni pe domeniile unde functia T(r) si derivatele ei sunt continui. In aceste cazuri numarul constantelor de integrare creste deoarece in procesul de rezolvare expus expresia unghiului de pe fiecare portiune contine cate doua constante de integrare independente de aceea numarul total de constante ce urmeaza a fi determinate este egal cu dublul numarului de portiuni.

Ecuatia (1.15.7.4) se poate scrie sub forma echivalenta:

(1.15.7.5)

1.15.8. CONDITII LA LIMITA PENTRU DETERMINAREA

CONSTANTELOR DE INTEGRARE

Rezolvarea unei probleme de placa circulara revine, din punct de vedere matematic, la determinarea unei functii (r) care sa satisfaca ecuatia diferentiala

(1.15.6.2) si anumite conditii la limita sau conditii de rezemare pe conturul placii. Trebuie sa observam insa ca determinare constantelor C₁ si C₂ din (1.15.6.4) este independenta de calculul lui C₃ din (1.15.7.2).

Intocmai ca la grinzi si aici avem doua categorii de conditii la limita

I. Conditii de rezemare, care pot fi

1.Pe un contur incastrat al placii, trebuie sa avem =0 si w =0. Tot aici,intre intensitatile momentelor incovoietoare, in conformitate cu (1.15.4.3) trebuie sa avem satisfacuta relatia de legatura M_t= M_r (fig.1.15.9).

a.

+m

-m

b.

portiunea i

portiunea (i+1)

c.

.

Fig.1.15.10

2.Pe marginea libera (din punct de vedere al rezemarii) sau pe o margine articulata, pe care nu sunt aplicate cupluri exterioare, trebuie sa admitem M_r=0. Daca pe aceste margini se aplica un cuplu exterior uniform distribuit de intensitate m [daN m/m], conditia la limita are forma M_r= m (fig.1.15.10).

3.La placile care nu au orificiu central, constanta C₂ este nula deoarece unghiul de rotatie, din conditii de simetrie, la r=0 este nul atunci din (1.15.6.4) rezulta C₂=0.

II. Conditii de continuitate

Acestea se pun in situatia in care placa are sau mai multe portiuni de rigiditate diferita, sau mai multe domenii concentrice pe care functia T=T(r) are forme analitice diferite. In acest caz integrarea se efectueaza pentru fiecare din aceste domenii in mod separat, ceea ce face sa creasca numarul constantelor de integrare care vor fi egale cu dublul numarului de domenii (deoarece expresia unghiului de pe fiecare portiune contine cate doua constante de integrare independente) -conditiile de continuitate exprima faptul ca suprafata elastica a placii este o suprafata continua, fara zone de discontinuitate sau variatii brusce ale parametrilor geometrici care o caracterizeaza. Transpusa analitic, aceasta constatare fizica, se scrie astfel:

-la contactul portiunilor cilindrice i si i+1, de raza comuna r_i+1 (v.fig.1.15.10), din conditia de continuitate a deplasarilor avem ;

-din conditia de egalitate a fortelor interioare , i=1,2,...,n

Aceasta conditie este echivalenta cu egalitatea derivatelor unghiurilor de rotatie pe contururile comune portiunilor

-Evident ca pentru determinarea constantelor de integrare C_3i se scrie egalitatea sagetilor pe razele comune ale portiunilor considerate w_i=w_i+1.

Pe cazurile concrete ce le vom studia in continuare se va intelege mai bine modul de formulare a conditiilor la limita si de determinare a constantelor de integrare.

1.15.9. CERCETAREA STARII DE TENSIUNE A PLACII

1.Vom completa rezultatele obtinute pana acum privind starea de tensiune a placii. Am stabilit distributia tensiunilor normale pe grosimea placii in sectiunile ei radiale ( ) si coaxiale ( ) -rel.1.15.4.4 -rezultat al ipotezelor de deformabilitate pe care le-am acceptat. Pentru a avea o imagine completa a starii de tensiune trebuie sa stabilim si legea de distributie a tensiunilor tangentiale pe grosimea placii in sectiuinile ei coaxiale. In sectiunile radiale am aratat ca tenisunile tangentiale sunt nule din motive de simetrie. Aceste tensiuni le-am figurat pe elementul de volum din fig.1.15.5.

2. Ne propunem deci sa calculam tensiunile tangentiale . Pentru aceasta vom folosi un rationament similar cu cel de la stabilirea formulei lui Juravski). Consideram elementul de volum din placa ABCDEFGH (fig.1.15.11), pe care-l sectionam cu un plan paralel cu planul median la distanta z de acesta; pe portiunea inferioara astfel izolata figuram tote tensiunile (fig.1.15.11.b), in suprafata de sectionare 1234 actionand, prin dualitate, = .

Scriem, ca o ecuatie de echilibru a acestui element de volum ca suma proiectiilor tuturor fortelor dupa axa r, este nula, deci:

A

E

dr

C

G

r

z

suprafata mediana

4

H

2

D

B

1

3

F

z

1

3

F

B

2

4

H

D

Fig.1.15.11

Reducand tensiunii asemenea, considerand ca si simplificand cu dr se obtine

Dar (v.1.15.4.4)

Se obtine:

(1.15.9.2)

Dar folosind ecuatia (4.6.2) putem exprima tensiunea cu ajutorul fortei taietoare T

z

z

.

.

h

distributia

(1.15.9.3)

S Fig.1.15.12

Relatia obtinuta ne arata ca tensiunile tangentiale sunt distribuite parabolic pe grosimea placii (fig.1.15.12), intocmai ca la grinzile drepte de sectiune dreptunghiulara. Ele sunt nule pe suprafetele superioara si inferioara a placi ( ) si sunt maxime in suprafata mediana(z=0)

(1.15.9.4)

3. Putem sa examinam acum starea de tensiune intr-o serie de puncte caracteristice pe grosimea placii.

-in punctele situate pe suprafetele exterioare ale placii, precum si in suprafata mediana are loc o stare de tensiune biaxiala; in planul median, deoarece tensiunile normale sunt nule aceasta stare biaxiala este de forfecare pura. In toate celelalte puncte ale placii datorita tensiunilor tangentiale din sectiunile cilindrice coaxiale are loc o stare triaxiala de tensiune.

-daca pe suprafata placii actioneaza o presiune exterioara, atunci si pe suprafata incarcata a placii are loc o stare de tensiune triaxiala.

-sectiunile radiale ale placii reprezinta una din suprafetele principale, deoarece pe ele nu lucreaza tensiuni tangentiale. De aceea tensiunea circumferentiala este intotdeauna o tensiune normala principala. Celelalte doua tensiuni normale principale se pot calcula cu relatia cunoscuta

-pe suprafata neancarcata a placii cele trei tensiuni principale sunt

Daca suprafata placii este incarcata cu presiunea p [daN/cm²] tensiunile principale vor fi

PLACI DREPTUNGHIULARE. TEORIA INCOVOIERII

PLACILOR DREPTUNGHIULARE.

ECUATIA SOPHIE-GERMAIN

1.16.1. STABILIREA ECUATIEI DIFERENTIALE A SUPRAFETEI

ELASTICE A PLACII. ECUATIA LUI SOPHIE-GERMAIN.

.

x

a

w

b

W(x,y)

b

z

u

a

y

w

c

W(x,y)

z

c

v

Fig.1.16.1

1.Calculul placilor dreptunghiula re de grosime constanta poate fi facut dupa aceeas metodologie ca la placile circulare studiind aspectul static, geometric si fizic. Vom adapta o metoda mai generala pornind de la ecuatile teoriei elasticitati in spatiu introducand in acesta ipotezele enumerate la inceputul capitolului. Se evita in felul acesta calculul eforturilor sectionale, deter minand direct tensiunea cu ajutorul functiei w(x,y)

2. Vom nota -in mod similar- cu w sageata suprafetei mediane, adica distanta pe verticala dintre punctul luat de planul median inainte de deformatie si pozitia acelui punct de pe suprafata elastica. Datorita faptului ca se admite ca un segment rectiliniu de lungime egala cu grosimea placii normal pe suprafata mediana isi pastreaza lungimea, deplasarea w-cu exactitate care merge pana la infinitii mici de ordin superiori- va fi aceeasi pentru toate punctele care apartin acestui element rectiliniu. Cu alte cuvinte deplasarile punctelor de pe placa care sunt paralele cu axa Oz si care in cazul unei placi groase sunt functii de trei coordonate W(x,y,z) in cazul placilor subtiri de care ne ocupam vor fi functii numai de doua coordonate, deci toate punctele planului median capata numai deplasari verticale.

Aceasta ecuatie a fost stabilita de Sophie-Germain in 1815. Ea este atribuita si lui Lagrange care a obtinut-o in 1811 cand examina memoriul prezentat Academiei de Stinte franceze de Sophie-Germain.

Punctele placii care nu apartin planului median vor avea evident si deplasari dupa axele x si y pe care le vom nota cu u si v.

3. Ecuatile geometrice. Se stabilesc urmarind fig.1.16.1 din care rezulta imediat ca

(1.16.1)

Daca tinem cont de relatiile :

rezulta imediat:

(1.16.2)

Acestea sunt ecuatiile geometrice ale problemei.

4. Ecuatile fizice

(1.16.3)

0

y

z

dz

z

x

suprafata mediana

Aceste ecuati ne arata ca tensiunile sunt liniar distribuite pe grosimea placii.

Trebuie sa remarcam insa ca pe fetele elmentului pot aparea de data aceasta si tensiuni tangentiale (fig.1.16.2)

Fig.1.16.2

5. Sa transformam acum ecuatile statice in care nu tinem cont de fortele masice

(1.16.4)

Integrand ultimele ecuatii se obtine:

Determinarea functiilor si se face impunand conditii la limita care sa exprime faptul ca pe fetele placii nu actioneaza sarcini tangentiale deci pentru z avem . Se obtine evident:

Rezulta atunci:

(1.16.5)

Rezulta de aici ca aceste tensiuni variaza parabolic pe grosimea placii (este o generalizare a formulei lui Juravsky de la grinzi).

Trebuie sa remarcam ca toate tensiunile care pot sa apara in placa date de (1.16.3) si (1.16.5) se pot obtine din ecuatia suprafetei elastice a placii w(x,y) prin simple ecuati de derivare. Deci, intocmai ca functia Airy, ecuatia suprafetei elastice joaca rolul unei "functii rezolvante".

6. Pentru a gasi aceasta ecuatie sa facem apel la conditile la limita pe care nu le-am utilizat inca si anume: pentru z=h/2 avem iar pentru z=-h/2 avem . Asta inseamna ca am presupus ca placa noastra este incarcata cu sarcini transversale aplicate pe suprafata ei exterioare. Insa la acelasi rezultat se ajunge daca presupunem ca sarcina se aplica pe suprafata inferioara sau pe suprafata mediana.

In acest sens trebuie sa gasim expresia lui pe care o scoatem din cea de-a treia ecuatie de echilibru static

Introducem (1.16.5) si obtinem

Avem astfel:

Prin integrare obtinem:

(1.16.6)

Aplicam conditiile la limita

(1.16.7)

Insumand ultimele expresii rezulta

(1.16.8)

Inlocuind aceste rezultate in (1.16.8) rezulta:

Daca notam rigiditatea la incovoiere a placii relatia precedenta devine:

(1.16.9)

Scrisa cu ajutorul operatorului Laplace

(1.16.9)

Aceasta este ecuatia diferentiala fundamentala a teoriei incovoierii unei placii plane de grosime mijlocie solicitate numai de forte transversale, dedusa in sistemul cartezian de coordonate cunoscuta sub numele de ecuatia lui Sophie-Germain.

Observatii.

I.Ecuatia stabilita este adevarata nu numai pentru placile dreptunghiulare ci in general pentru orice placa daca se respecta ipotezele pe care le-am formulat.

p

+

p

+

-p

p

a.

b.

c.

II.Conform (1.16.6) tensiunea poate avea una din formele din figura 1.16.3. in raport cu planul superior, median sau inferior pe care este aplicata sarcina. Mai repetam ca teoria este valabila daca in planul median sau in planele paralele cu aceasta nu exista forte paralele cu aceste plane.

Fig.1.16.3

1.16.2. CONDITIILE PE CONTUR (LA LIMITA)

1. Din punct de vedere matematic rezolvarea unei probleme de placi plane revine la determinarea unei functii w(x,y) care sa satisfaca ecuatia diferentiala (1.16.9) si anumite conditii la limita (pe conturul placii). Astfel spus aceasta este o problema tip Cauchy pentru ecuatia Sophie-Germain. Ne reamintim ca o functie care satisface o ecuatie diferentiala de tipul se numeste functie armonica, iar functia care satisface ecuatia (omogena) f=0 se numeste functie biarmonica. Se observa de altfel ca orice functie armonica este in acelasi timp si o functie biarmonica. Astfel integrala ecuatiei (1.16.9) se poate scrie sub forma: w=f(x,y)+ f(x,y) unde functia f(x,y) este integrala particulara a ecuatiei (1.16.9) care in general poate fi determinata intotdeauna iar (x,y) este o functie biarmonica care de obicei nu este greu de ales. Totusi nu orice functie biarmonica care satisface ecuatia diferentiala (1.16.9) constituie o solutie a problemei examinate; unica solutie este doar aceea care satisface totodata si conditiile la limita date, iar o altfel de functie nu mai este usor de aflat! Tocmai in aceasta consta dificultatea principala a rezolvarii problemelor legate de placi. Din acest motiv suntem nevoiti a ne multumi de obicei cu solutii aproximative, obisnuite prin metoda diferentelor finite sau sa cautam solutia sub forma unor serii trigonometrice infinite sau sa utilizam teoria functiilor de variabila complexa etc. Fac exceptie placile circulare incarcate simetric pentru care ecuatia (1.16.9) transformata in sistemul de coordonate polare se rezolva prin cuadraturi; o alta exceptie cunoscuta o constituie placa eliptica incastrata pe contur si incarcata cu presiunea p uniform repartizata pentru care ecuatia suprafetei elastice se poate scrie exact.

2.Asadar conditiile la limita pentru functia w trebuie sa fie date in functie de modul de rezemare al placii. Vom examina cateva conditii de contur importante, in cazul unei placi dreptunghiulare.

1. Una din marginile placii este incastrata.

Daca una din marginile placii este incastrata, atunci sunt impiedicate deplasarile punctelor acestei margini, normale la planul placii, cat si rotatia acestei margini. (astfel spus intelegem ca planul tangent la suprafata mediana deformata de-a lungul acestei margini va coincide cu pozitia initiala a planului median al placii ). Admitand ca marginea incastrata este rectilinie si normala pe axa y si este data de ecuatia x = a, conditiile la limita se scriu: , (1.16.10)

2. O margine de placa este simplu rezemata.

.

y

x=a

x

Fig.1.16.4

Daca marginea x = a a unei placi este simplu rezemata ( fig.1.16.4), atunci deplasarile marginii normale pe planul placii sunt impiedicate, deci w = 0; in acelasi timp aceasta margine se poate roti liber, deci momentul incovoietor in lungul acestei margini trebuie sa fie nul ( ).

In particular, daca este vorba de o margine rectilinie normala pe axa Ox, conditiile la limita se scriu: ,

(1.16.11)

Dar cum in lungul marginii simplu rezemate w=0, deci si , relatiile precedente se utilizeaza sub o forma echivalenta:

care nu contin coeficientul lui Poisson.

Aceste conditii pot fii exprimate si in tensiuni: sectiunea de rezemare putandu-se roti liber inseamna ca in ceasta sectiune de rezemare atat tensiunile normale , cat si tensiunile tangentiale paralele cu axa Oy trebuie sa fie nule (tensiunile paralele cu axa Oz pot si trebuie sa existe intrucat ele sustin placa). Din punct de vedere analitic dupa (1.16.3) aceasta revine la:

Daca insa este greu de ales ecuatia w = f (x,y) care sa satisfaca toate conditiile la limita fara exceptie, atunci conditiile la limita pot fi putin atenuate, renuntand de exemplu la conditia obligatorie ca si impunand numai ca suma acestor tensiuni pe grosimea placii sa se reduca la un sistem de tensiuni autoechilibrate (cu alte cuvinte conditiile la limita ar urma sa fie satisfacute numai sub forma integrala ).

3. O margine de placa este libera.

Daca marginea unei placi, de exemplu marginea x = a este nerezemata, atunci este logic sa admitem ca in aceasta suprafata nu apar nici un fel de tensiuni, adica

Tinand cont de expresiile acestor tensiuni, conditiile se transcriu sub forma:

,

Deoarece conditiile la limita pot fii satisfacute mai usor sub forma integrala decat in fiecare punct al conturului de rezemare uneori este indicat ca formulele tensiunilor sa fie transformate, exprimandu-le prin integralele lor care ne duc la eforturile sectionale. De aceia pe o margine libera nu avem nici momente incovoietoare, nici momente de rasucire si nici forta taietoare, verticale, adica:

Sub aceasta forma conditiile pentru o margine libera au fost exprimate de Poisson; mai tarziu Kirchhoff a aratat ca aceste trei conditii sunt prea multe pentru o margine libera si ca doua conditii ar fii suficiente pentru a determina complet deplasarile w. De aceia conditiile precedente se scriu intr-o forma echivalenta:

;