CALCULUL SUPRAFETELOR

CALCULUL SUPRAFETELOR

Cunoasterea marimii unor suprafete din teren constituie o problema  topografica curenta ce poate reprezenta uneori obiectivul principal al ridicarii. Intotdeauna se obtine suprafata productive sau utila de con^­structie, adica suprafata terenului ploiectata in planul orizontal de refe­rinta

(fara a tine cont de relieful terenului)

Se disting : metode numerice, grafice si mecanice. Metodele numerice, permit calculul suprafetelor de contur poligonal functie de-a dreptul de elementele masurate pe teren (distante, unghiuri) si mai ales din coordonatele virfurilor deduse din acestea ; se asigura astfel o precizie ridicata in acord cu precizia de masurare in teren. Metodele grafice si mecanice, mai putin riguroa 818d35i se, presupun planul redactat ; suprafetele, indi­ferent de contur, se deduc din marimi determinate grafic, pe plan, sau prin planimetrare. Precizia determinarilor depinde in principal de metoda si de scara planului, dar si de forma si conturul suprafetei.

CALCULUL ANALITIC

Presupunem patrulaterul delimitat de punctele 1, 2, 3, 4 de coordonate cunoscute si proiectiile lor 1', 2', 3', 4' pe axa y .Suprafata S, simplu hasurata, a acestui patrulater, rezulta din suprafata S a poligo­nului 1, 2, 3, 3', 1' din care se scade

suprafata S dublu ha^surata, 1, 4,3, 3', 1'. Primul poligon este compus de fapt din doua trapeze 1, 2, 2', 1' si exprimind bazele si inaltimile in functie de coordonate, suprafata lui va fi

2S_{I X}I + xz) (y₂ y₁) + (x'₂ + X ) (Y₃-Y₂)

Suprafata celui de-al doilea poli­gon, care trebuie scazut din primul, se calculeaza in acelasi fel, ca suma a trapezelor 1, 4, 4', 1' si adica

2S_1I = (x_I + x₄) (y₄ y₁) + (x ₄ + x₃) (y₃ y₄ )

Desfacind parantezele, scazind relatia 1 din 2 si grupind termenii dupa x si apoi dupa y rezulta

2S = x₁(y₂-y₄) + x₂(y₃ - y₁) + x₃(y₄ - y₂) + x₄ (y₁ - y₃)

2S = y₁(x₄ - x₂) + y₂(x₁ - x₃) + y₃ (x₂ - x₄) + y₄(x₃ -x_I)

Relatiile generalizate pentru un poligon cu un numar oarecare de laturi vor fi

2S = å xi(y_i+I - y_i-I)

2S = åyi,(x_i-I - x_i-I)

Relatia a doua din grupul 3, care serveste drept control de calcul, poate fi adusa sub o forma asemanatoare cu prima, adica yi sa se inmulteasca cu diferenta  x_i+I - x_i-I, cind se obtine suprafata negativa

Relatiile 3 se rezolva cu masina de calculat san cu calculatoarele simple, prin cumularea produselor partiale, si direct, prin simple introdu­cere a coordonatelor si a programului, la calculatoarele cu program. Punctele se inscriu prin parcurgerea poligonului in sens direct 1, 2, 3, 4. Daca se dispune de o masa de cartare moderna, cu un calculator, suprafata unui contur poligonal se determina automat : prin parcurgerea poligonului se inregistreaza coordonatele virfurilor functie de care, in baza programului corespunzetor, calculatorul furnizeaza suprafata.

Controlul de ansamblu se face prin planimetrare cind se evi­dentiaza eventualele greseli de inscriere a coordonatelor, de omisiune a unui punct.

Suprafetele poligonale pot fi descompuse in figuri geometrice simple: triunghiuri, trapeze, dreptunghiuri. Daca pe teren se masoara laturile lor, eventual unghiurile intrun triunghi, se pot utiliza relatiile geometrice sau trigonometrice care dau suprafetele partiale, din masurarea carora rezulta suprafata totala.

Metode grafice

Suprafetele cu contur rectiliniu, poligonal, se determina prin impartirea lor in triunghiuri , trapeze, dreptunghiuri. Elementele necesare calculului (baze , inaltimi) se masoara pe plan , iar suprafata totala rezulta ca suma a suprafafetelor partiale.

Suprafetele cu contur oarecare, sinuos, se pot geometriza ajungandu-se la cazul precedent. De obicei se folosesc grafice, desenate pe hartie transparenta, ce se suprapun pe plan, suprafata totala se obtine in cazul patratelor module din impartirea numarului lor (cele intregi plus fractiunile estimate) cu suprafata unitara, iar in cazul liniilor echidistante din suma trapezelor de inaltime constanta d si bazele medii l masurate pe plan.

Suprafata reala, din teren, rezulta fie prin folosirea in calcul a lungi­milor naturale D obtinute prin transformarea celor de pe plan (d) cu numito­rul scarii X fie transformand suprafata determinata pe plan (s) cu numitorul scarii la patrat

S = s . N²

Pentru control se face o noua determinare, impartind poligolul in triunghiuri diferite sau schimbind pozitia graficului cu patrate sau linii paralele. Daca diferenta se incadreaza in toleranta generala se ia ca valoare definitiva media celor doua determinari.

Metode mecanice

Evaluarea suprafetelor dupa reprezentarea lor plana se face de obicei pe cale mecanica, prin planimetrare. metoda, de mare randament, se impune in special in cazul suprafetelor cu contur neregulat. Planimetrele sunt, instrumente simple, iar modul de lucru este usor, accesibil si rapid.

Planimetrul polar, cel mai raspindit, se compune din doua brate mecanice articulate intre e1e: bratul polar, de lungime constanta si cu un capat fix, bratul trasor, gradat milimetric sau direct pentru scrarile guzuale, de lungime variabila.   La unul din capete acest brat are stil cu care se contureaza suprafata iar la celalalt o rola integratoare. Rotatiile acesteia sunt inregistrate de un dispozitiv constituit dintr-un contur de ture cu 10 diviziuni, rola integratoare ce poarta 100 de diviziuni si un vernier pentru evaluarea unitatilor

in principiu, orice suprafata planimetrata este echivalenta cu suprafata unui   dreptunghi ce are ca baza lungimea utila a bratului trasor (L) si ca inaltime drumul parcurs de un punct a1 rolei de circumferinta R, pentru o rotire completa suprafata planimetrala va fi LR, iar pentru un caz general

S = n (LR)

Practic, ca unitate de masura se ia a mia parte din suprafata. (RL,), respectiv   valoarea unitatii vernierului, denumita si constanta planimetrului (c). relatia de calcul va fi S=n .c

Unde n reprezinta numarul generator citit la dispozitivul de inregistrare Lungimea bratului trasor se calculeaza astfel incat, pentru o anumita scara, sa

rezulte o constanta rotunda (2,5,10) care imnultita cu n sa dea suprafata S direct in m²

Pentru planimetrare, planul se dispune pe o masa orizontala. Se de­plaseaza dispozitivul de inregistrare pe bratul trasor la diviziunea cores­punzatoare scarii planului si se fixeaza polul) astfel incat, parcurgind cu stilul intreaga suprafata, cele doua brate sa nu formeze unghiuri limita. Plecind dintr-un punct de pe contur se noteaza citirea initiala (C_I) la inregistratorul de ture cu patru cifre (una pe contor, doua de pe rola si una pe vernier, se parcurge cu stilul perimetrul suprafetei pana ce revine in punctul de plecare si se noteaza citirea finala

(C₂). Numarul generator rezulta din diferenta citirilor n=C₂-C_l iar suprafata din relatia S=n .c.

Constanta c este inscrisa pe fisa planimetrului sau pe bratul trasor.

Daca suprafata este mai mare se fractioneaza in suprafete mai mici, ce se planimetreaza comod cu polul exterior sau se lucreaza cu polul interior, in acest caz se utilizeaza relatia S = (k n )c.

Unde k - reprezinta suprafata cercului de baza sau a cercului descris de rola fara a se roti si fara a inregistra numar generator n.

Tolerantele sunt diferentiate dupa suprafata si scara, oricum numarul generator n se determina de cel putin trei ori, daca diferentele dintre valori nu depasesc 1-3 unitati se iau in calcul media lor.