MEF PENTRU BARE SI STRUCTURI DIN BARE

MEF pentru bare si structuri din bare

2.1. Probleme unidimensionale. Bare solicitate axial

In problema unidimensionala deplasarile, deformatiile tensiunile si incarcarile depind numai de variabila x

(2.1)

Incarcarile sunt de 3 tipuri (fig. 1)

-forte masice (de volum), f [F/L³]; greutatea proprie

-forte de suprafata (de tractiune), p [F/L²]; forta de frecare, amortizarea vascoasa, forte de suprafata

-forte concentrate in puncte, P_i [F]

Elementul de volum diferential se scrie:

(2.2)

Fig. 1

Modelarea cu element finit

-Discretizarea (divizarea ) in elemente finite

Se considera bara din fig. 1. Primul pas este m 616e47g odelarea barei ca un arbore in trepte, constand dintr-un numar discret de elemente fiecare avand o sectiune transversala constanta.

De exemplu sa modelam bara utilizand 4 elemente finite. O schema simpla pentru a face aceasta este de a divide bara in 4 regiuni (subdiviziuni, tronsoane), ca in fig. 2a. Se evalueaza aria sectiunii transversale medii in cadrul fiecarei regiuni si apoi este utilizata pentru a defini un element cu sectiunea transversala uniforma (constanta). Modelul de element finit rezultat (modelul structural discretizat) cu m =4 e.f. si n = 5 noduri (puncte nodale) este aratat in fig. 2b

Fiecare e.f. se conecteaza prin 2 noduri. Numerele ce indica elementele finite sunt incercuite pentru a le distinge de numerele nodurilor.

Pe langa sectiunea transversala, fortele masice si de suprafata sunt de asemenea tratate ca fiind constante pe element. Totusi acestea pot diferi de la element la element. Aproximatii mai bune sunt obtinute prin cresterea numarului de elemente. Este convenabil a defini un punct nodal in fiecare loc unde este aplicata o forta concentrate.

-Acordarea de grade de libertate la noduri (fig. 3)

Intr-o problema unidimensionala fiecare nod are permisa deplasarea doar in directia ±x, deci are numai un grad de libertate (DOF sau GDL). Deplasarile de-a lungul fiecarui GDL sunt notate cu D₁, D₂,. D₅. Ele alcatuiesc vectorul deplasare global (vectorul deplasarilor nodale ale structurii), notat iar este vectorul incarcarilor globale obtinut prin reducerea echivalent la noduri a tuturor tipurilor de incarcari.

; -vectorul incarcare global obtinut

Informatia cu privire la conectivitatea elementelor poate fi reprezentata convenabil ca in fig. 4. Suplimentar se poate da un tabel de conectivitate a elementelor. In acest tabel capetele 1 si 2 se refera la numerele locale de nod ale unui e.f. si, corespunzator, numerele de nod de pe corp (structura) sunt denumite numere globale. Conectivitatea stabileste astfel corespondenta local-global.

Fig. 4 Conectivitatea elementelor

In acest exemplu simplu, conectivitatea poate fi usor generata deoarece nodul local 1 este acelasi cu numarul elementului e si nodul local 2 este e+1. Alte moduri de numerotare a nodurilor sau geometrii mai complicate sugereaza necesitatea unui tabel de conectivitatea. Acest lucru va fi mai evident in probleme bi si tri-dimensionale.

In MEF sunt importante si trebuie bine intelese conceptele de:

grad de libertate (GDL);

deplasari nodale;

forte nodale echivalente;

conectivitatea elementelor.

FUNCTII DE COORDONATE SI DE FORMA

Se considera un element finit tipic (standard) e ca in fig. 5, cu nodurile 1 si 2 (in schema de numerotare locala). Se noteaza cu x₁, respectiv x₂ - coordonatele (abscisele) nodurilor 1 si 2 in sistemul de coordonate global (al structurii). Definim un sistem de coordonate natural sau intrinsec, notat cu ξ, prin relatia:

(2.3)

1 e 2 1 2

x₁

x

x₂

a)                                          b)

Fig. 5

Lungimea unui element este acoperita cand ξ variaza de la -1 la +1.

Utilizam acest sistem de coordonate in definirea functiilor de forma care sunt folosite la interpolarea campului de deplasare. Campul de deplasare necunoscut din interiorul unui element va fi interpolat printr-o distributie liniara (Fig. 6).

Fig. 6. Interpolarea liniara a campului de deplasare pe un e.f.

Pentru a implementa aceasta interpolare liniara, se vor introduce functiile de forma liniare cu expresiile:

Graficele functiilor de forma N₁ si N₂ sunt aratate in fig. 7a, respectiv 7b.

N N u

1 1 u₁ u₂

1 2

a)Functia de forma N₁  b)Functia de forma N₂ c)Interpolare liniara intre N₁ si N₂

Fig. 7

Odata ce functile de forma sunt definite, campul de deplasare liniar din interiorul elementului poate fi scris in functie de deplasarile nodale u₁ si u₂

(2.5) sau, in notatie matriciala

(2.6)

Se poate observa ca transformarea de la x la ξ in rel. (2.3) se scrie in functie de N₁ si N₂ astfel:

(2.7)

Comparānd (2.5) si (2.7) se vede ca atat deplsarea u cat si coordonata sunt interpolate pe element utilizand aceeasi fuctie de forma N₁ si N₂. Acest lucru este cunoscut in literatura de specialitate ca o formulare izoparametrica.

Desi mai sus au fost utilizate functii de forma liniare, si alte alegeri sunt posibile (de exemplu functii de forma cuadratice). In general functiile de forma trebuie sa satisfaca urmatoarele conditii:

Primele derivate trebuie sa fie finite pe un e.f.

Deplasarile trebuie sa fie continue pe frontiera elementului.

Relatia deformare-deplasare (ecuatia geometrica) este:

(2.8)

Utilizānd regula de diferentiere obtinem

(2.9)

Din relatia dintre x si ξ (rel. 2.3) avem

(2.10)

De asemenea din

(2.11)

Cu care ecuatia (2.8) devine

(2.12)

Ecuatia (2.12) poate fi scrisa matricial ca:  (2.13)

unde matricea [B] de dimensiuni (1x2), denumita matrice deformatie-deplasare de element, este data de

(2.14)

Nota. Folosirea de functii de forma liniare conduce la o matrice [B] constanta si din acest motiv, la o deformatie constanta pe element.

Tensiunea, din legea lui Hooke, este:

(2.15)

Tensiunea data de ecuatia de mai sus este de asmenea, constanta pe element. In scopul interpolarii, totusi tensiunea obtinuta din (2.15) poate fi considerata a fi valoarea din centrul elementului.

Expresiile

asociaza deplasarea, deformatia si respectiv tensiunea in functie de valorile deplasarilor nodale. Aceste expresii vor fi acum inlocuite in expresia energiei potentiale a barei pentru a aobtine matricea de rigiditate si de incarcare ale elementului.

ABORDARE CU AJUTORUL ENERGIEI POTENTIALE

Expresia generala pentru energia potentiala data in mecanica structurilor

(2.16)

In ultimul termen de mai sus, P_i, reprezinta o forta actionand in punctul i iar u_i este deplasarea din punct pe directia x. Sumarea dupa "i" da energia potentiala datorata incarcarilor din toate punctele. Intrucat continutul a fost discretizat in elementele finite, expresia pentru π devine:

(2.17)

Ultimul termen de mai sus presupune ca fortele punctuale P_i sunt aplicate la noduri. Ec. (2.17) mai poate fi scrisa ca:

(2.18)

unde (2.19)

este energia de deformatie a elementului finit.

MATRICEA DE RIGIDITATE A ELEMENTULUI

Inlocuind pe si in relatia de mai sus rezulta

(2.20 a)

Sau

(2.20 b)

In modelarea cu elemete finite, aria sectiunii transversale a elementului e , notata cu A_e, este constanta. De asemenea, [B] este o matrice constanta.

Transformarea din x in ξ (rel. 2.3)

Conduce la (2.21)

Unde si este lungimea elementului finit.

Acum, energia de deformatie a elementului, U_e, se scrie:

(2.22)

Unde E_e este modulul Young al elementului e . Notand cu , si īnlocuind [B] din (2.14), gasim:

(2.23)

care conduce la (2.24)

Ecuatia de mai sus este de forma:

(2.25)

Unde s-a notat cu [k_c] - matricea dse rigiditate a elementului

(2.26)

Termenii forta (incarcare)

Se considera mai intai, termenul fortei masice de element   , care apare in energia potetiala totala. Īnlocuind avem:

(2.27)

(2.28)

Integralele din functie de forma pot fi evaluate facand substitutia (2.21): Atunci

(2.29)

Geometric, este aria de sub curba N₁, cum se arata in fig. 8, care este egala cu . Similar

Termenul functiei masice din (2.28) se reduce la:

(2.29)

1

l_e

Fig. 8 Integrala din functia de forma

Astfel, vectorul fortei masice de element, , este (2.30)

Vectorul fortei masice de element are o explicatie fizica simpla. Deoarece A_el_e este volumul elementului si f este forta masica pe unitatea de volum, vedem ca A_el_ef da forta masica totala care actioneaza pe element. Factorul ½ in ec. (2.30) arata ca forta masica totala este egal distribuita la cele doua noduri ale elementului.

Se considera acum termenul fortei de tractiune pe element care apare in expresia energiei potentiale totale. Avem:

(2.31)

Deoarece forta de tractiune este constanta pe element, avem:

(2.32)

S-a arata deja ca si ec. (2.32) este de forma

(2.33)

unde vectorul fortei de tractiune pe element, este (2.34)

Avand [k_e], , si la nivelul elementului finit e se stabileste relatia fizica elementala (modelul numeric elemental)

(2.35)

Daca se neglijeaza fortele masice si se iau in considerare numai fortele distribuite pe suprafata (de tractiune) si fortele concentrate in noduri, atunci vectorul fortelor nodale se poate scrie.

= (2.36)

unde - vectorul eforturilor din nodurile e.f. si - vectorul reactiunilor date de incarcarile distribuite pe element

ASAMBLAREA

Este operatiunea de refacere a structurii din elementele finite componente.

Dupa ce s-au stabilit matricele de rigiditate [k_e] si vectorul reactiunilor din incarcarile distribuite (sau vectorul actiunilor distribuite reduse echivalent la noduri, ), pentru toate elementele finite, este necesara asamblarea lor in matricea de rigiditate a intregii structuri [k], respectiv in vectorul (sau daca se lucreaza cu reactiunile )

Pe baza incidentei componentelor fiecarui vector (e=1,2,3,...,m) cu componentele vectorului , al deplasarilor nodale din structura se realizeaza expandarea relatiei fizice elementale respective la dimensiunile vectorului , obtinandu-se:

unde (2.37)

care reprezinta modelul numeric elemental expandat ; aceasta incidenta intre gradele de libertate elementale si structurale se face direct, deoarece deplasarile din cele doua sisteme de axe (global sau structural, respectiv local sau elemental) coincid ca directie, iar elementul finit leaga doua noduri consecutive.

D₁ D₂ D_i D_i+1 D_n

Conditia de echilibru static a fiecarui nod, exprimata printr-o ecuatie de proiectie dupa axa generala X, presupune adunarea membrului stang al relatiei expandate (2.37) pentru toate elementele finite si egalarea rezultatului cu - vectorul fortelor nodale echivalente, obtinandu-se:

unde (2.39)

; sau

, sau (2.40)

[k] - matricea de rigiditate globala a structurii (simetrica dar singulara, deci neinversabila). In cazul barelor drepte aceasta matrice este de tip banda deoarece elementele nenule se gasesc in imediata apropiere a diagonalei principale.

Observatie. Pentru ca un element finit leaga doua noduri consecutive, incidenta, expandarea se pot face direct in constructia matricei [k]; se incepe de la o extremitate a barei, care constituie nodul 1 si se pune matricea primului e.f. (1-2); urmeaza matricea celui de-al doilea e.f. (2-3) si asa mai departe:

In casutele care se suprapun, componenetele a doua matrice elementale se aduna, datorita faptului ca nodul respectiv apartine la doua e.f. vecine (este extremitatea dreapta -2 pt e.f. din stanga si extremitatea stanga -1 pentru e.f. din dreapta.

Matricea [k] devine nesingulara prin introducerea conditiei la limita, adica a conditiei de rezemare a structurii. Pentru a pune in evidenta necunoscutele problemei, relatia (2.39) se partitioneaza si se ordoneaza (rearanjeaza) sub forma:

(2.41)

Unde  , , - subvectorii deplasarilor, actiunilor distributie reduse la noduri si al actiunilor exterioare concentrate, dupa directia GDL libere (- deplasarea necunoscutelor) , , - subvectorii respectivi dupa directiile GDL constranse (dupa directiile legaturilor structurii)

Din (2.41) rezulta doua ecuatii matriciale, care reprezinta ecuatiile de conditie ale structurii si a caror rezolvare depinde de legaturile sale:

[K_nn]+[K_nr]=+  a)

[K_rn]+[K_rr]=+ b) (2.42)

REZOLVAREA SISTEMULUI DE ECUATII si determinarea starii de deformare si de eforturi

La rezolvarea euatiei matriciale (2.42) se pot intalni 3 situatii in functie de legaturile structuriila teren sau la baza fixa de rezemare.

a) Cazul legaturilor fixe sau rigide, cand =0 (2.43) si din (2.42 a) rezulta deplasarile nodale necunoscute:

=[K_nn]^-1=[K_nn]^-1(+) (2.44)

si reactiunile structurii din (2.42 b)

=[K_rn]- (2.45)

Eforturile de la extremitatile fiecarui element finit se deduc din ecuatia fizica elementala

=[k_e]- (2.46)

Unde se extrage din vectorul , care este complet cunoscut.

Cu eforturile se traseaza diagrama de forta axiala N.

b)cazul legaturilor (reazemelor) cu cedari cunoscute, deci este cunoscut si atunci din

(2.42 a) rezulta deplasarile necunoscute

=[K_nn]^-1(+-[K_nr]) (2.47)

iar din (2.42 b) reactiunile structurii:

=[K_rn]+[K_rr]- (2.48)

c) Cazul legaturilor (reazemelor) elastice, care permit deplasari proportionale cu reactiuile respective, adica:

=[F_rr] (2.49)

unde [F_rr] - o matrice patrata cunoscuta, de obicei diagonala ale carei elemente sunt caracteristicile elastice ale legaturilor,

introducand (2.49) in (2.42) se obtine:

[K_nn]+[K_nr][F_rr]=+  a)

[K_rn]+([K_rr][F_rr]-)=  b) (2.50)

unde [I_rr] - matricea unitate.

Din (2.50 b) rezulta

=([K_rr][F_rr]-[I_rr])^-1(-[K_rn]) (2.51)

Care introdusa in (2.50 a), permite calculul dseplasarilor cu relatia

=[K_nn^*]^-1 (2.52)

Unde

[K_nn^*]=[K_nn]-[K_nr][F_rr]([K_rr][F_rr]-[I_rr])^-1 (2.53)

=--[K_nr][F_rr]([K_rr][F_rr]-[I_rr])^-1

Introducand din (2.52) in (2.51) rzulta reactiunle si din (2.46) eforturile din extremitatile fiecarui e.f cu care se traseaza diagrama N.

Tensiunile in fiecare e.f. se calculeaza cu relatia

(2.54)

Algoritmul prezentat este in intregime programabil si pe baza lui s-au realizat programe de calcul automat specifice.(FEM1D)