VERIFICAREA LA STAREA LIMITA DE FISURARE

Fisurarea elementelor din beton armat sub incarcarile de exploatare este un fenomen inevitabil, fiind consecinta incapacitatii betonului de a prelua eforturile unitare de intindere produse de solicitari ca: incovoierea, taierea, torsiunea (fig.1ad), fortele concentrate de compresiune (fig.1e), sau de eforturi unitare de aderenta mari (fig.1f). De asemenea, o fisurare cu caracter intamplator poate fi produsa de efectele contractiei impiedecate a betonului, variatiei de temperatura si a tasarilor diferentiate ale reazemelor, tasarii plastice a betonului proaspat (fig.1g), actiunii inghetului si a dezghetului repetat, unor nereguli in tehnologiile de executie (fig.1i, j). Rezultatele fenomenului de coroziune al armaturii pot de asemenea produce fisuri in masa betonului (fig.1h).

In functie de cauzele care produc fisuri, acestea pot fi: intrinseci, atunci cand sunt generate in interiorul betonului (contractia la uscare, variatii de temperatura, tasarea betonului proaspat, produsi de coroziune expansivi etc.) sau extrinseci, atunci cand sunt produse de cauze externe (incarcari sau deformatii impuse). Centralizarea cauzelor care produc fisuri sunt prezentate in tabelul 1.

Tabelul 1

Cauzele care genereaza fisuri

Fig. 1 Tipuri de fisuri

Ratiunile care fac necesar controlul fisurarii elementelor si structurilor din beton armat se refera la aspectul lor, etanseitatea la apa si gaze, protectia impotriva coroziunii si alte exigente functionale. Aceste exigente definesc limitele care pot fi acceptate pentru deschiderea fisurilor.

Normele actuale prevad verificari prin calcul pentru controlul fisurarii numai in cazul fisurilor produse de actiunile exterioare. Aceasta modalitate de abordare a controlului fisurarii se bazeaza pe faptul ca regulile de alcatuire constructiva si tehnologiile de executie corespunzatoare permit evitarea dezvoltarii deschiderii fisurilor peste limitele admise. In vederea evitarii unor fisuri cu deschideri exagerate se impune respectarea conditiilor de exploatare si controlul periodic al starii de fisurare.

In procesul fisurarii elementelor din beton armat sub efectul incarcarilor se disting trei etape: formarea fisurilor, etapa ce corespunde depasirii limitei stadiului I; aparitia fisurilor, etapa in care ele devin vizibile; deschiderea fisurilor la anumite valori care depind de intensitatea actiunilor si care eventual pot afecta durabilitatea constructiei. In cazul elementelor din beton armat, primele doua etape se suprapun, adica la formarea lor fisurile devin vizibile, asa incat se considera ca distincte doua stari limita:

j aparitia fisurilor;

k deschiderea limita a fisurilor.

Calculul elementelor din beton armat la fisurare se face de regula numai la starea limita de deschidere a fisurilor, deoarece, sub incarcarile de exploatare, majoritatea structurilor din beton armat folosite in constructii civile, industriale si poduri lucreaza in stadiul II fisurat. Calculul la aparitia fisurilor are un caracter conventional, deoarece formarea si aparitia fisurilor se poate produce chiar si inainte de aplicarea sarcinilor exterioare ca urmare a contractiei, variatiilor de temperatura etc. Din motive de impermeabilitate, constructiile hidrotehnice se verifica la starea limita de aparitie a fisurilor.

Starea de fisurare a unui element din beton armat este caracterizata prin marimea deschiderii fisurilor si distanta dintre acestea. In conditiile unei anumite stari de eforturi unitare intr-un element, marimea deschiderii fisurilor este functie de numarul de fisuri pe unitatea de lungime a elementului, deci functie de distanta dintre fisuri.

La elementele din beton armat distanta dintre fisuri si implicit marimea deschiderii acestora depinde de un numar de parametri ca: procentul de armare, diametrul si natura suprafetei armaturii, marimea efortului unitar din armatura, modul de actionare al sarcinii (static sau dinamic), distanta dintre bare si grosimea stratului de acoperire cu beton precum si calitatea betonului.

Verificarea la starea limita de deschidere a fisurilor se face in stadiul II de exploatare, luand in considerare intensitatile de exploatare (intensitati de calcul reduse) ale actiunilor permanente, cvasipermanente si variabile, in conformitate cu relatia (5.33) din tabelul 5.2.

1 CALCULUL DISTANTEI DINTRE FISURI

Deducerea distantei dintre fisuri se face avand la baza limita stadiului I, cand solicitarea exterioara (forta axiala N in cazul elementului intins centric din figura 2a) este egala cu capacitatea portanta la fisurare N_{cap f}.

Solicitarea exterioara este preluata de beton N_bf = A_btR_t si de armatura N_af = A_a s_a

In sectiunea cea mai slaba se produce fisura F₁. Dupa aparitia fisurii F₁, aceasta sectiune trece in stadiul II cand N_b = 0 si N_a = N_{cap f} (fig. 2c). Din dreptul acestei sectiuni, betonul incepe sa se incarce, iar armatura sa se descarce, la o anumita distanta l_f ajungandu-se ca N_b = N_bf = A_btR_t, iar N_a = N_af.

Aceasta pozitie reprezinta locul probabil de aparitie a celei de a doua fisuri F₂.

Fig. 2 Distanta dintre fisuri la elemente intinse centric

Transmiterea efortului de la armatura la beton, intre cele doua fisuri, se face prin intermediul eforturilor unitare de aderenta t_a (fig.2d), marimea ce se transmite pe lungimea l_f fiind N_bf = A_btR_t. Relatia matematica ce exprima aceasta transmitere este:

in care u este perimetrul barelor.

Din ecuatia de mai sus, rezulta relatia de calcul a distantei dintre fisuri:

(1)

In cazul particular cand toate barele au acelasi diametru si avand in vedere ca u = pd si A_bt = 100 A_a/p = 100pd²/4p , relatia (1) devine:

(1a)

Studiile experimentale au dovedit ca distanta dintre fisuri depinde si de alti factori, cum ar fi:

natura solicitarii;

proprietatile de aderenta ale armaturii;

distanta dintre bare;

grosimea stratului de acoperire cu beton.

Influenta naturii solicitarii se introduce in calcule prin marimea unui coeficient k₁ in functie de urmatoarele situatii:

axa neutra in sectiune - caz corespunzator incovoierii, cazului I de compresiune, respectiv intinderii excentrice cu excentricitate mare;

sectiune complet fisurata - caz corespunzator intinderii centrice sau excentrice cu excentricitate mica.

Proprietatile de aderenta ale armaturii cu betonul, adica natura suprafetei armaturii (neteda - OB37 sau profilata - PC52 si PC60), sunt reflectate prin coeficientul k₂ = R_t/t_am

Introducand notatia A = 25k₁k2, relatia (1a) devine:

(1b)

Pentru a prinde in calcul si influenta distantei dintre bare si de grosimea stratului de acoperire cu beton, STAS-ul 10109/0-90 prevede urmatoarea relatie pentru calculul valorii medii a distantei dintre fisuri:

(2)

unde:

c este grosimea stratului de acoperire cu beton (mm);

s - distanta dintre axele armaturilor (mm), dar nu mai mult de 15d; in cazul elementelor intinse centric sau excentric cu mica excentricitate (sectiune complet fisurata) se va avea in vedere si figura 3;

A - coeficient ce tine cont de natura solicitarii si de proprietatile de aderenta ale armaturii, avand valori cuprinse in intervalul 6,520 (Anexa 20);

d - diametrul armaturii (mm);

p_t = 100A_a/A_bt - procentul de armare al armaturii longitudinale intinse;

A_bt - aria de inglobare a armaturilor, care se determina considerand pentru fiecare bara o suprafata de inglobare de maximum 7,5d in fiecare sens; daca barele sunt apropiate (distanta interax 2 7,5d) nu se face o suprapunere a suprafetelor individuale de inglobare (fig. 4); in cazul elementelor incovoiate, A_bt nu va depasi 1/2 din aria sectiunii de beton.

In relatia (2), in cazul cand barele de armatura sunt de diametre diferite, se inlocuieste:

        (113)

In elementele liniare din beton armat, prezenta etrierilor influenteaza in mod substantial valoarea reala a distantei dintre fisuri, deoarece reduc sectiunea transversala de beton. Daca diferenta dintre l_f si distanta dintre etrieri a_e nu depaseste circa 50 mm, este rezonabil ca valoarea rezultata din relatia (2) sa fie rotunjita in plus sau minus, pana la valoarea a_e.

In cazul placilor de planseu s-a constatat experimental ca distanta medie dintre fisuri este aproximativ egala cu grosimea placii, daca distanta dintre armaturi este aproximativ (1520)d.

Daca placile sunt armate cu plase sudate din STNB, distanta medie dintre fisuri se apreciaza ca fiind un multiplu al distantei dintre barele transversale ale plasei:

                (4)

unde:

n_t este un numar intreg, care se determina cu relatiile:

pentru (4a)

pentru (4b)

h_p - grosimea placii;

l_t, l_l - distanta dintre axele armaturilor transversale; respectiv longitudinale

d_t - diametrul armaturilor transversale.

2 CALCULUL DESCHIDERII FISURILOR NORMALE

Dupa formarea fisurilor, datorita cresterii in continuare a incarcarilor pana la treapta de exploatare, acestea se deschid pana la valoarea medie a_f. Betonul intins dintre fisuri participa la preluarea eforturilor, de aceea deformatiile specifice in armatura si beton au o distributie neliniara intre doua fisuri consecutive.

In figura 5 se considera un element intins centric, respectiv unul incovoiat cu fisurile F₁ si F₂ la distanta l_f. Valoarea maxima a deformatiei specifice de intindere in beton este e_tu si apare la jumatatea distantei dintre fisuri (fig.5c), in timp ce alungirea maxima a armaturii este e_a si apare in dreptul fisurii (fig.5d). Deformatiile specifice variabile pot fi inlocuite cu deformatiile specifice medii e_tm si e_am (fig. 5 c,d).

Pe baza figurii 5 se poate scrie ca, pe distanta l_f dintre fisuri, alungirea armaturii este egala cu deschiderea fisurii plus alungirea betonului intins:

(5)

rezultand:

(5a)

Avand in vedere ca, in stadiul II, e_a 0,75 1,25 ⁰/₀₀ si e_tu = 0,10,15 ⁰/₀₀ rezulta ca termenul e_tm se poate neglija fata de unitate si fata de e_am. In aceste conditii, relatia (5a) devine:

           (5b)

Pentru a tine cont de conlucrarea betonului intins dintre fisuri cu armatura, se defineste indicele de conlucrare a betonului cu armatura longitudinala Deoarece e_a s_a/E_a , relatia (5b) pentru calculul valorii medii a deschiderii fisurii devine:

(6)

In cazul elementelor supuse la incarcari repetate importante (grinzile de rulare, peretii celulelor de silozuri etc), valorile a_f determinate cu relatia (6) se majoreaza cu 50%.

Determinarea coeficientului y se face admitand ca fiind deformatia specifica a armaturii la mijlocul distantei dintre fisuri. Expresia lui y devine:

(7)

Scaderea efortului unitar de la valoarea s_a, in dreptul fisurii, la valoarea la mijlocul distantei dintre fisuri, se produce datorita cresterii efortului unitar in beton pana la valoarea R_t careia ii corespunde deformatia specifica e_tu; are loc un transfer de efort, de la armatura la beton, prin intermediul aderentei.

Efortul ce se transmite prin aderenta, de la armatura la beton, pe distanta l_f/2 este:

si el produce variatia Ds_a a efortului unitar in armatura:

Fig.5. Modelul de calcul pentru deschiderea fisurilor

Avand in vedere ca din relatia (1) efortul unitar la mijlocul distantei dintre fisuri este:

Relatia (7) devine:

    (7a)

Tinand seama de relatia (7a) si luand in considerare efectul incarcarilor de lunga durata sau repetate, STAS 10107/0-90 prevede urmatoarea expresie pentru indicele de conlucrare a betonului cu armatura intinsa:

                   (8)

unde:

n este raportul dintre solicitarea produsa de fractiunea de lunga durata a incarcarii totale de exploatare si solicitarea totala de exploatare;

b = 0,5 pentru armaturile din otel PC si 0,3 pentru armaturile din otel OB37;

s_a - efortul unitar in sectiunea fisurata in stadiul II de exploatare (conform pct.4.2.2.3); in situatii curente se poate lua aproximativ:

(9)

A_{a nec} - aria sectiunii de armatura necesara din calculul la starea limita de rezistenta;

A_{a ef}   - aria sectiunii de armatura prevazuta efectiv.

Din figura 5f se constata ca efortul ce se poate transmite intre beton si armatura, prin fenomenul de aderenta, nu poate depasi valoarea A_as_a, motiv pentru care raportul are cel mult valoarea 1,0, iar indicele de conlucrare nu poate fi mai mic decat

In relatia (8) s-a introdus rezistenta caracteristica la intindere a betonului R_tk, deoarece se analizeaza o portiune de o anumita lungime la starea limita de exploatare, cand incarcarile sunt mai mici decat la starea limita de rezistenta. De aceea, din punct de vedere probabilistic, rezistenta la intindere a betonului este mai apropiata de valoarea caracteristica decat de cea de calcul.

Pentru cazurile uzuale se admite ca pentru indicele de conlucrare y sa se utilizeze valorile aproximative ce se obtin din anexa 21.

Pentru placi armate cu plase sudate din STNB se ia y = 0,8 daca n_t 2 si n 0,5, respectiv y = 1 in celelalte cazuri.

Pentru elementele solicitate la oboseala y = 1, ceea ce inseamna ca se accepta ipoteza distrugerii aderentei, rezultand deshideri mai mari ale fisurilor.

Modelul de calcul adoptat pentru obtinerea relatiei (6) este bazat pe ipoteza unei distributii uniforme a fisurilor, la distante relativ reduse (l_f = 1525; 30 cm), ceea ce este valabil in cazul elementelor cu procente de armare obisnuite.

Pentru elementele cu procente mici de armare (sub 0,3% la elementele solicitate la incovoiere, respectiv sub 0,4% la cele solicitate la intindere) fisurarea are un caracter nesistematic. incercarile experimentale au aratat ca in aceste cazuri este posibil sa apara una sau numai cateva fisuri, cu pozitii intamplatoare si cu deschideri mult mai mari decat valorile obtinute cu relatia (6).

Pentru deducerea relatiei de calcul se porneste de la premiza ca armatura trebuie sa fie ancorata in stanga si dreapta fisurii cu lungimea de ancoraj l_a. Pe lungimea 2l_a efortul unitar s_a are distributia reala din figura 6b, ancorarea armaturii in beton facandu-se in conformitate cu diagrama din figura 6c.

Fig. 6 Modelul de calcul pentru fisurile nesistematice

Deformatia specifica medie a armaturii, in conditiile elementelor de mai sus, este:

, respectiv

rezultand:

(10)

Forta de intindere din armatura A_as_a se transmite la beton prin fenomenul de aderenta, in conformitate cu relatia:

de unde rezulta lungimea de ancorare:

(11)

Inlocuind (11) in relatia (10), rezulta relatia pentru calcul deschiderii fisurii elementelor cu procente mici de armare:

   (12)

in care valoarea medie a efortul unitar de aderenta se ia dupa cum urmeaza: t_am = 2,4R_t pentru bare cu profil periodic; 1,5R_t pentru bare netede; R_t pentru bare netede, in peretii executati in cofraje glisante ai rezervoarelor si silozurilor.

Relatia (12) nu se foloseste in cazul armarii cu plase sudate STNB, deoarece in acest caz ancorarea armaturii nu se face prin aderenta, ci datorita armaturii transversale.

3 CALCULUL DESCHIDERII FISURILOR INCLINATE

Verificarea deschiderii fisurilor inclinate este o prevedere relativ recenta in cadrul normelor de calcul a elementelor din beton armat si este consecinta faptului ca modelele de calcul adoptate in prezent pentru verificarea la starea limita de rezistenta la taiere sunt mai apropiate de comportarea reala. In aceste conditii este posibil ca armarea transversala rezultata din calculul la starea limita de rezistenta sa nu mai satisfaca, in mod implicit, conditiile necesare starii limita de fisurare.

Deschiderea medie a fisurilor inclinate se calculeaza cu relatia :

(13)

unde:

l_f este distanta medie dintre fisuri determinata cu relatia (2); se accepta aceeasi distanta intre fisurile inclinate ca si intre fisurilor normale, considerandu-se ca fisurile inclinate sunt produse de actiunea momentului incovoietor si apoi „inclinate” („rotite”) de actiunea fortei taietoare.

y_i - indicele de conlucrare al betonului intins cu armatura transversala, care se ia dupa cum urmeaza:

0,8(1+0,2n) pentru etrieri din OB37;

0,7(1+0,3n) pentru etrieri din PC52 sau PC60;

0,9(1+0,1n) pentru barele transversale din STNB ale carcaselor sudate;

s_at - efortul unitar mediu in armaturile transversale intersectate de fisura inclinata; eforturile unitare in armaturile transversale (barele inclinate si etrierii) se determina in stadiul II de exploatare cu relatiile (4.17), respectiv (4.18); se admite sa se ia in considerare o valoare medie pentru toate armaturile intersectate de fisura inclinata, egala cu valoarea   s_at 0,9R_at = 0,9m_atR_a.

4 CONTROLUL FISURARII ELEMENTELOR DIN BETON ARMAT

Verificarea la starea limita de fisurare se face punand conditia ca sub actiunea incarcarilor de exploatare, in gruparea fundamentala, deschiderile medii ale fisurilor normale si inclinate fata de axa elementului sa nu depaseasca valorile limita de mai jos:

pentru elemente supuse presiunii unui lichid sau a unui material necoeziv, la care se

pun conditii de etanseitate:

a_{f adm} = 0,1 mm, in cazul elementelor intinse centric sau excentric cu mica excentricitate (de exemplu: verificarea in sectiunile verticale prin peretii rezervoarelor cilindrice pentru depozitarea apei; aceste sectiuni sunt supuse numai unei forte axiale de intindere n_q - fig. 7a);

a_{f adm} = 0,2 mm, in restul cazurilor (de exemplu: verificarea in sectiunile orizontale prin peretii rezervoarelor cilindrice pentru depozitarea apei; aceste sectiuni sunt supuse la actiunea unei forte axiale de compresiune n_x si a unui moment incovoietor m_x - fig. 7b);

a) sectiune complet fisuratab) sectiune cu zona comprimata

Fig. 7 Conditii de verificare a deschiderii fisurilor la peretii rezervoarelor

cilindrice din beton armat

pentru alte elemente:

a_{f adm}  = 0,1 mm, daca sunt supuse unui mediu agresiv;

a_{f adm} = 0,2 mm daca sunt expuse direct (neprotejate) actiunii intemperiilor;

a_{f adm} = 0,3 mm, in restul cazurilor.

4.1 Controlul fisurarii prin calcul

Conditia de verificare sub efectul incarcarilor de exploatare este data de relatia (5.64).

In cazul fisurilor normale, starea limita de fisurare este satisfacuta atunci cand:

(14)

unde a_f este deschiderea medie a fisurilor determinata cu relatia (6); in cazul elementelor cu procente de armare mici (sub 0,3% in cazul incovoierii, respectiv sub 0,4% in cazul intinderii) se ia in considerare cea mai mare valoare dintre cele calculate cu relatiile (6) si (12).

In cazul fisurilor inclinate, starea limita de fisurare este satisfacuta atunci cand:

(15)

in care a_fi este deschiderea medie a fisurilor inclinate determinata cu relatia (13).

4.2 Controlul simplificat al fisurarii

Conform experientei acumulate, in cazul elementelor curente, la care dimensionarea (calculul si alcatuirea) la starea limita de rezistenta este corect efectuata, verificarea deschiderii fisurilor este intotdeauna satisfacuta. Avand in vedere aceasta constatare, desprinsa din practica curenta, STAS 10107/0-90 accepta sa nu se efectueze calculul de verificare a deschiderii fisurilor daca sunt indeplinite anumite conditii.

Nu este necesara verificarea deschiderii fisurilor normale, pentru elementele realizate cu OB37, PC52 si PC60, daca este satisfacuta conditia:

                                  (16)

in care valorile minime ale raportului p_t/d sunt date in anexa 22 in functie de tipul armaturii, natura solicitarii si a_{f adm}.

Relatia (14) pusa sub forma:

permite determinarea valorilor minime ale raportului p_t/d.

Valorile (p_t/d)_min din anexa 22 au fost calculate avand in vedere marimi acoperitoare uzuale pentru parametrii ce intervin in relatia de mai sus.

Pentru placile armate cu plase sudate din STNB, la care a_{f adm} = 0,3 mm, nu este necesara verificarea prin calcul a deschiderii fisurilor normale daca sunt satisfacute conditiile din anexa 23.

In cazul fisurilor inclinate nu este necesara verificarea prin calcul a starii limita de fisurare atunci cand a_{f adm} = 0,3 mm sau cand a_{f adm} = 0,2 mm si

Aplicatia numerica 1 Verificarea deschiderii fisurilor pentru un element intins centric

Se cere verificarea la starea limita de deschidere a fisurilor a unui tirant expus direct intemperiilor mediului (a_{f adm} = 0,2mm), pentru care caracteristicile sectiunii sunt prezentate in figura Apl.1a. Efortul axial de intindere este caracterizat de valorile N^E = 600 kN, respectiv Calitatea materialelor folosite: Bc20 (R_tk = 1,43 N/mm²) si PC 60 (R_a = 350 N/mm²; E_a = 210000 N/mm²).

Fig. Apl.1

Din tabelul 13.3 se obtine grosimea stratului de acoperire cu beton c = 30 mm.

Distanta de la centrul de greutate al armaturii pana la marginea sectiunii de beton este: a = c + d/2 = 30 + 22/2 = 41 mm.

Aria de inglobare A_bt poate fi obtinuta avand in vedere prevederilor din figura 4, prevederi care necesita cunoasterea valorii 7,5d = 7,5 22 = 165 mm. Deoarece  7,5d = 165 mm > s₁/2 = 79,5 mm, respectiv 7,5d = 165 mm > s₂/2 = 59 mm rezulta ca ariile individuale s-ar suprapune pe ambele directii ale sectiunii. Avand in vedere acest lucru rezulta ca, pentru acest caz, A_bt = bh = 200 400 = 80000 mm². In figura Apl.1 s-au delimitat ariile de inglobare individuale, determinate de jumatatea distantei dintre armaturi.

Controlul simplificat al fisurarii

p_t/d = 2,85/22 = 0,130

Avand in vedere tipul de otel folosit - PC60, deschiderea admisa a fisurilor -  a_{f adm}=0,2 mm si tipul de solicitare al elementului - intindere centrica, din anexa 22 rezulta (p_t/d)_min = 0,208. Deoarece p_t/d = 0,130 < (p_t/d)_min = 0,208, rezulta ca este necesar un calcul detaliat.

Controlul fisurarii prin calcul

Efortul unitar in armatura in cazul intinderii centrice este:

Calculul distantei dintre fisuri necesita stabilirea distantei dintre armaturi, pentru evaluarea careia se are in vedere prevederea din figura 3:

s = max (s₁, s₂) = max (159, 118) = 159 mm

In functie de tipul armaturii si natura solicitarii, din anexa 20 rezulta coeficientul  A = 10.

- conf.rel.(2)

Deschiderea fisurilor

Indicele de conlucrare y se determina din anexa 21. In functie de tipul armaturii -PC60, coeficientul n = 0,7 si procentul de armare p_t = 2,83%, rezulta y = 1,0.

Conform relatiei (6), se calculeaza deschiderea medie a fisurilor:

Deoarece starea limita de fisurare nu este satisfacuta, sunt posibile doua variante.

Varianta 1 - modificarea diametrului armaturilor

Se modifica armarea initiala prin reducerea diametrelor barelor:

4f18 + 4f20 (10,16 + 12,56 = 22,72 cm²) 6f22 (22,80 cm²).

Noua dispunere a armaturii este prezentata in figura Apl.1b, pentru care rezulta

s₁ = 159 mm, s₂ = 118/2 = 59 mm,

respectiv s = max (s₁, s₂) = max (159, 59) = 159 mm.

Deoarece, in acest caz, aria totala de armatura ramane practic neschimbata, efortul unitar in armatura nu trebuie recalculat.

Pentru ca barele au diametre diferite se apeleaza la relatia (3):

- conform relatiei (2)

Se mentine aceeasi valoare pentru indicele de conlucrare y = 1,0, iar din relatia (6) se calculeaza:

Varianta 2 - calcul detaliat al indicelui de conlucrare y

Pentru varianta initiala de armare, se efectueaza un calcul detaliat al indicelui de conlucrare y cu relatia (8).

Pentru armaturile din oteluri PC, coeficientul b = 0,5.

Deoarece , valoarea lui y este corecta.

Conform calculelor anterioare l_f = 169 mm.

Din relatia (8) rezulta deschiderea medie a fisurilor:

Deoarece, in ambele variante de calcul, procentul de armare (2,83%) este mai mare decat 0,3% nu este necesar calculul deschiderii fisurii si cu relatia (12).

Starea limita de fisurare este satisfacuta deoarece, in ambele variante tratate anterior:

Aplicatia numerica 2 Verificarea deschiderii fisurilor pentru un element incovoiat

Se cere verificarea la starea limita de deschidere a fisurilor a unei grinzi aflata in conditii normale de exploatare (a_{f adm} = 0,3 mm), pentru care caracteristicile sectiunii sunt prezentate in figura Apl.2.1. Efortul de incovoiere este caracterizat de valorile M^E = 145 kNm, respectiv Calitatea materialelor folosite: Bc30 (R_tk = 1,86 N/mm²; E_b = 32500 N/mm²; si PC 52 (R_a= 300 N/mm²; E_a = 210000 N/mm²).

Grosimea stratului de acoperire cu beton rezulta din tabelul 13.3: c = (a_b =) 25 mm.

Aria de inglobare se obtine pe baza prevederilor figurii 4 si a valorii 7,5d, care pentru f20 inseamna 150mm, respectiv 165 mm pentru f22.

Deoarece s/2 < 7,5d, ariile de inglobare individuale se pot extinde pe orizontala numai pana la mijlocul distantei dintre bare (fig. Apl.2.2). Pe verticala extinderea se poate face cu 7,5d.

Fig. Apl. 2.1 Sectiunea transversala  Fig. Apl. 2.2 Aria de inglobare

Ariile de inglobare individuale ale armaturilor sunt:

pentru armaturile din colturi (36 + 59,3/2) (36 + 7,5 22)=65,65 201=13196 mm²

pentru armaturile intermediare (59,3/2 + 59,4/2) (36 + 7,5 20)=59,35 186=11039 mm²

Suma acestor arii individuale este:

2(13196 + 11039) = 48470 mm² < 250 550/2 = 68750 mm², deci A_bt = 48470 mm²

Controlul simplificat al fisurarii

Verificarea conditiei p_t/d (p_t/d)_min nu poate fi facuta in mod direct deoarece barele au diametre diferite. De aceea, in baza relatiei (3), raportul p_t/d se calculeaza in mod indirect dupa cum urmeaza:

Avand in vedere tipul de otel folosit - PC52, deschiderea admisa a fisurilor -a_{f adm} =0,3 mm si tipul de solicitare al elementului - incovoiere, din anexa 22 rezulta (p_t/d)_min = 0,043. Se constata ca p_t/d = 0,136 > (p_t/d)_min = 0,043, ceea ce inseamna ca nu este necesara verificarea prin calcul la starea limita de fisurare, totusi aceasta se face in mod exemplificativ.

Controlul fisurarii prin calcul

Calculul efortului unitar in armatura - conform punctului 4.2.2.3

Pozitia axei neutre rezulta din relatia (4.10), avand in vedere ca :

0,5bx² - n_eA_a(h₀ - x) = 0,5 250 x ² -15,86 1388(514 - x) = 0

Din rezolvarea ecuatiei de mai sus rezulta x = 225 mm

Momentul de inertie al sectiunii omogene este:

Distanta dintre fisuri - conform relatiei (2), modificata cu relatia (3)

In functie de tipul armaturii si natura solicitarii, din anexa 20 se obtine A = 6,5.

Deschiderea fisurilor - conform relatiei (8)

Pentru armaturile din oteluri PC, coeficientul b = 0,5.

Deoarece , valoarea lui y este corecta.

Deoarece p = 100A_a/bh₀ = 100 1388/250 514 = 1,08% > 0,3 % nu este necesar calculul deschiderii fisurii si cu relatia (12).

Starea limita de fisurare este satisfacuta deoarece a_f = 0,113 mm < a_{f adm} = 0,30 mm.

Aplicatia numerica 3 Verificarea deschiderii fisurilor pentru o placa incovoiata

Se cere verificarea la starea limita de deschidere a fisurilor pentru o placa aflata in conditii normale de exploatare (a_{f adm} = 0,3 mm), de grosime h_p = 80 mm si pentru care exista doua variante de armare (fig. Apl.3). Calitatea materialelor: Bc20 (R_tk⁼ 1,43 N/mm²; E_b = 27000 N/mm²; ; PC52 (R_a = 300 N/mm²; E_a = 210000 N/mm²); STNB (R_a = 370 N/mm²; E_a = 200000 N/mm²). Raportul este egal cu 0,7.

Varianta 1 - PC52Varianta 2 - STNB plasa 123 GR 159

Fig. Apl.3

Conform tabelului 13.3, grosimea stratul de acoperire cu beton c = 10 mm.

Varianta 1 de armare

Aria de inglobare se obtine pe baza prevederilor figurii 4 si a valorii 7,5d, care pentru f6 inseamna 45 mm, respectiv 60 mm pentru f8. Deoarece s/2 = 82,5 mm>7,5d, ariile de inglobare individuale nu sunt in contact unele cu altele. Pe verticala extinderea se face cu 1,5d. In aceste conditii dimensiunile ariei individuale se calculeaza cu relatia:

(pe orizontala) (pe verticala) = (2 7,5d) (c + d/2 + 7,5d)

Ariile de inglobare individuale ale armaturilor sunt:

pentru bara f6: 90 (10 + 6/2 + 7,5 6) = 5220 mm²

pentru bara f8: 120 (10 + 8/2 + 7,5 8) = 8880 mm²

Suma acestor arii individuale, pentru o latime de 1 metru (3,03f6 si 3,03f8), este: 3,03 5220 + 3,03 8880 = 42723 mm² > bh/2 = 1000 80/2 = 40000 mm²,

deci A_bt = 40000 mm²

Controlul simplificat al fisurarii

Verificarea conditiei p_t/d > (p_t/d)_min nu poate fi facuta in mod direct deoarece barele au diametre diferite. De aceea, in baza relatiei (3), raportul p_t/d se calculeaza in mod indirect dupa cum urmeaza:

Avand in vedere tipul de otel folosit - PC52, deschiderea admisa a fisurilor -  a_{f min} = 0,3 mm si tipul de solicitare al elementului - incovoiere, din anexa 22 rezulta (p_t/d)_min = 0,043. Se constata p_t/d = 0,083 (p_t/d)_min = 0,043, ceea ce inseamna ca nu este necesara verificarea prin calcul la starea limita de fisurare, care, totusi, se face in mod explicativ.

Controlul fisurarii prin calcul

Efortul unitar in armatura

In cazul placilor, pentru calculul efortului unitar in armatura rezultatul oferit de relatia (9) prezinta suficienta exactitate:

Distanta dintre fisuri - conform relatiei (2), corectata cu relatia (3)

In functie de tipul armaturii si natura solicitarii, din anexa 20 se obtine A = 6,5.

Deschiderea fisurilor - conform relatiei (8)

Indicele de conlucrare al armaturii cu betonul intins dintre fisuri se determina in mod simplificat din anexa 21. In functie de calitatea armaturii - PC52, n > 0,7 si p_t = 100A_a/A_bt = 100 238/40000 = 0,595% rezulta y = 0,88.

Deoarece p = 100A_a/bh₀ = 100 238/1000 66,5 = 0,358% > 0,3% nu este necesar calculul deschiderii fisurii si cu relatia (12).

Starea limita de fisurare este satisfacuta deoarece a_f = 0,118 mm < a_{f adm} = 0,30 mm.

Varianta 2 de armare

Controlul simplificat al fisurarii

Plasa sudata 123GR159 este caracterizata prin distanta intre axele armaturilor longitudinale l_l = 100 mm, diametrul armaturilor longitudinale d_l = 4,5 mm < 7,1 mm, distanta intre axele armaturilor transversale l_t = 200 mm si diametrul armaturilor transversale d_t = 4 mm > 3,5 mm. Avand in vedere cele de mai sus, conditia de limitare a fisurilor la valoarea a_{f adm} = 0,3 mm si grosimea placii h_p = 80 mm < 100 mm, din anexa 23 rezulta ca nu este necesar un control al fisurarii prin calcul. In mod exemplificativ se face si verificarea prin calcul a starii limita de fisurare.

Controlul fisurarii prin calcul

Efortul unitar in armatura - conform relatiei (9)

Distanta dintre fisuri - conform relatiei (4)

Deoarece l_l = 100 mm < 30d_t = 30 4 = 120 mm se calculeaza raportul:

Numarul intreg care satisface relatia (4a) este n_t = 1, deci:

Deschiderea fisurilor - conform relatiei (8)

Deoarece dubla conditie n_t 2 si n 0,5 nu este respectata, rezulta y = 1.

Starea limita de fisurare este satisfacuta deoarece a_f = 0,272 mm < a_{f adm} = 0,30 mm.