Aplicatii ale teoriei relativitatii restrânse

I.9.1.Studiul miscarii unei particule relativiste sub actiunea unei forte constante

Ne propunem sa gasim relatia dintre forta si acceleratie în dinamica relativista. Presupunem o forta constanta care actioneaza asupra unei particule cu masa de repaus m₀ si legea fundamentala a dinamicii:

Calculam:

Dar , deci:

Relatia obtinuta ne arata ca în dinamica relativista, forta si acceleratia nu mai sunt întotdeauna par 828j96i alele.

Relatia (I.92) poate fi pusa sub alta forma. Consideram al doilea termen din relatia (I.91) si calculam:

dar

Atunci:

, de unde

Cazuri particulare:

Forta este paralela cu viteza:

Cantitatea se numeste masa longitudinala, deci putem scrie:

.

Forta este perpendiculara pe viteza:

Cantitatea se numeste masa transversala, iar în acest caz

.

Daca consideram din nou legea fundamentala a dinamicii si presupunem ca viteza variaza numai ca modul:

,

integrând aceasta relatie de la la t (tinând cont ca iar la ), obtinem:

, de unde

Reprezentând grafic , obtinem aspectul din fig.I.12.:

Într-adevar la începutul miscarii (t foarte mic) termenul este neglijabil la numitor si (ca si în dinamica prerelativista). Daca t este foarte mare, >>1, deci .

I.9.2.Studiul dezintegrarii particulelor relativiste

Consideram o particula cu masa de repaus M₀ care se poate dezintegra spontan (fara interventii exterioare) în alte doua particule si sa gasim conditiile în care are loc acest fenomen precum si energiile particulelor rezultate. Consideram cuadrivectorul impuls-energie:

.

Modulul sau patrat:

, deci un invariant relativist.

Pentru particula care se dezintegreaza, în sistemul centrului sau de masa, impulsul înainte de dezintegrare este nul, deci invariantul cuadrivectorului impuls-energie se scrie:

.

Cele doua particule provenite din dezintegrare, cu mase de repaus m₀₁ si m₀₂ au impulsurile si iar energiile E₁ si E₂. În sistemul centrului de masa , iar invariantul cuadrivectorului impuls-energie este:

Egalând valorile celor doi invarianti obtinem:

.

Dar

, deci

Cele doua particule rezultate au energii cinetice pozitive, deci M₀>m₀₁+m₀₂.

În concluzie, dezintegrarea spontana este posibila numai daca masa de repaus a particulei care se dezintegreaza este mai mare decât suma maselor de repaus ale produselor de dezintegrare.

Folosind relatiile si si tinând seama ca , se pot determina cele doua energii.

I.9.3.Defectul de masa

Consideram un nucleu cu masa de repaus M₀, alcatuit din Z protoni si A-Z neutroni. În nucleu, neutronii au energii cinetice mari, dar nucleul este stabil din cauza fortelor nucleare. Energia de repaus a nucleului M₀c² va fi suma dintre energiile de repaus ale nucleonilor () si energia de legatura.

Se defineste defectul de masa:

Atunci energia de legatura W devine:

Starile stabile corespund energiilor de legatura negative. Se observa ca daca >0, W este negativa iar nucleul este stabil. Daca însa defectul de masa <0, W este pozitiva, deci nucleul este instabil si poate suferi tranzitii spontane.

I.10.Exercitii si probleme

1) Doua mobile M₁ si M₂ au fata de un referential inertial (R) ecuatiile de miscare

M₁: x=0;  y=ut+a; z=0;

M₂: x=b;  y=ut+a; z=0; (unde a este o constanta)

a)  Sa se scrie ecuatiile de miscare ale celor doua mobile în raport cu referentialul (R') aflat în miscare cu viteza v fata de (R) de-a lungul axei O'x' comuna cu Ox;

b)  Sa se calculeze, în fiecare referential, momentele la care mobilele traverseaza planul xOz si sa se interpreteze rezultatul.

Rezolvare:

a.         Pentru M₁: (1)

deci (2)

(3)

Pentru M₂:

sau de unde

(4)

înlocuind din (4) obtinem

(5)

=z=0

b)        Traversarea planului xOz presupune y=0.

Pentru observatorul din referentialul (R), momentele traversarii sunt aceleasi:

t₁=t₂=-

deci evenimentele sunt simultane.

Pentru un observator din () traversarea (y=0) va avea loc la momentele:

(din (2))

si (din (5))

deci evenimentele nu mai sunt simultane.

2) O racheta cu masa de repaus m₀=3t se deplaseaza de-a lungul axei Ox cu viteza c fata de Pamânt.

O a doua racheta se deplaseaza paralel cu prima, dupa legea fata de Pamânt. Sa se determine:

a)  ecuatia de miscare a celei de a doua rachete fata de prima;

b)  masa de repaus a celei de a doua rachete astfel încât ambele sa posede aceeasi energie cinetica fata de Pamânt.

Rezolvare:

a)   viteza celei de a doua rachete fata de Pamânt este:

.

Consideram un sistem de referinta () legat de prima racheta, deci care se misca fata de (R) (Pamântul) cu v=u_1x. Atunci viteza celei de-a doua rachete fata de () va fi:

Legea de miscare în raport cu ():

b) din conditia data în enunt, notând M₀ masa de repaus a celei de a doua rachete

de unde , înlocuind si c ,obtinem tone.

Doua particule se deplaseaza fata de un referential (R) dupa doua directii ce fac un unghi drept între ele, cu vitezele u₁, si, respectiv, u₂. Sa se calculeze viteza particulei a doua în raport cu prima.

Rezolvare:

u_2x=0; u_2y=u₂

Consideram un referential () legat de prima particula, deci care se misca cu v=u₁ fata de (R) (v//Ox).

Atunci:

În cazul nerelativist

4) Doua evenimente se petrec în punctele A si B separate prin distanta l=1m si sunt percepute simultan de catre un observator în repaus fata de aceste puncte. stiind ca un observator care se misca cu viteza fata de primul, de-a lungul segmentului AB le percepe ca petrecându-se în punctele si separate de =2m, care este intervalul de timp la care se succed cele doua evenimente pentru observatorul în miscare?

Rezolvare:

Notam x₁, x₂ abscisele punctelor A si B masurate de observatorul fix si abscisele acestor puncte masurate de observatorul mobil la momentele respectiv când el percepe evenimentele.

de unde

.

Avem de asemenea:

; , de unde

sau

.

De aici

si

5) Densitatea unui corp în repaus este . Sa se determine viteza referentialului în care densitatea masurata este cu f = 20% mai mare decât .

Rezolvare:

Densitatea corpului în repaus

Pentru un corp în miscare cu viteza v, , deci depinde de patratul vitezei. Aceasta densitate ar masura-o si un observator care se misca fata de corp cu aceeasi viteza.

de unde

6) Energia mezonilor rapizi din razele cosmice este E=3000MeV iar energia lor de repaus este Ce distanta pot strabate acesti mezoni prin atmosfera în timpul lor de viata, daca în sistemul de referinta propriu au timpul de viata t =2,2 10^-6s?

Rezolvare:

Energia totala de unde rezulta

si

Spatiul parcurs în atmosfera este S = vt unde t este timpul de viata într-un referential legat de Pamânt.

.

7) Sa se calculeze cu ce viteza trebuie sa se apropie un automobil de un semafor pentru a ,,vedea'' culoarea rosie drept verde. Se dau l_verde=550nm, l_rosu=650nm.

Rezolvare:

Este vorba de un efect Doppler-Fizeau (relativist) longitudinal. În acest caz frecventa sursei este n_rosu n frecventa receptata este n_verde n iar observatorul se apropie de sursa. Conform relatiei (I.45)

unde v--> -v (apropiere) deci .

Dar , deci , de unde

.(!?)

8) O particula cu masa relativista m se deplaseaza cu viteza constanta u fata de un referential (R). Sa se calculeze masa relativista m' a aceleiasi particule masurata de un observator solidar cu un referential (R') care se deplaseaza uniform cu viteza de-a lungul axei Ox fata de (R).

Rezolvare:

Notam m₀ masa de repaus a particulei.

, unde u' este viteza particulei fata de (R').

sau

.

Atunci:

deci

9) O particula cu masa de repaus M₀ ,necunoscuta, se afla în repaus si se dezintegreaza în alte doua particule cu masele de repaus m₀₁ si m₀₂ (masurate). Cunoscând energia cinetica a primei particule E_c1 sa se calculeze:

a.  energiile totale E₁ si E₂

b.  masa de repaus M₀ a particulei initiale.

Rezolvare:

a. Energiile totale sunt : E₁=m₀₁c²+E_c1; E₂=m₀₂c²+E_c2

Întrucât particula primara era în repaus iar produsele de dezintegrare au impulsurile si , din legea conservarii impulsului:, de unde

Dar din relatia relativista energie-impuls avem:

,

care prin scadere duc la

.

Ţinând seama ca obtinem

b. Conservarea energiei în procesul de dezintegrare se scrie:

10) Un atom excitat în repaus emite prin dezexcitare un foton cu frecventa n . Daca atomul se afla în miscare, calculati frecventa radiatiei emise n si diferenta frecventelor Dn n n (deplasarea Doppler) (folositi legea de conservare a energiei si a impulsului).

Rezolvare:

Notam m₀ - masa de repaus a atomului înainte de emisia fotonului. Dupa emisie el va avea masa de repaus m₀', astfel ca:

m₀-m₀' c²=hn

unde n este frecventa fotonului emis.

Presupunem acum ca înainte de emisie atomul se misca cu viteza v si emite o radiatie cu frecventa n dupa o directie care face un unghi q cu directia initiala a miscarii, iar dupa emisie atomul se deplaseaza pe o directie care face unghiul a cu cea initiala (vezi figura I.14).

Legea conservarii impulsului (pe cele doua directii Ox si Oy) se va scrie:

(2)

(3)

Legea conservarii energiei este:

(4)

Separând în relatiile (2) si (3) termenii care contin a, ridicându-le la patrat si adunându-le se obtine:

(5)

Ridicând relatia (4) la patrat obtinem:

(6)

Scazând ecuatia (5) din ecuatia (6) rezulta:

(7)

Dar din (1)

care înlocuita în (7) duce la :

Neglijând ultimul termen obtinem:

Pentru emisia fotonilor de catre probe la temperaturi înalte, viteza agitatiei termice poate fi de ordinul . În acest caz, dezvoltând în serie, retinând doar primii doi termeni si scriind variatia relativa a frecventei obtinem:

sau . (am notat deplasarea frecventei fotonului emis datorita efectului Doppler).

11) Ce viteza va avea un electron accelerat într-o diferenta de potential U=10⁵V?

Rezolvare:

Teorema variatiei energiei cinetice DE_c=L se va scrie în cazul relativist:

c²(m-m₀)=eU sau

(1)

Dezvoltând în serie si retinând primii trei termeni avem:

sau (2)

Se obtine ecuatia bipatrata 3m₀v⁴+4m₀c²v²-8eUc²=0, din care v=0,56c.

Observatie: daca v/c 0 din (2) se obtine m₀v²/2=eU adica tocmai relatia din mecanica prerelativista.

Facând calculul exact, dupa relatia (1) se obtine v=0,53c.

12) O particula cu sarcina q si masa de repaus m₀ se deplaseaza cu viteza de-a lungul axei Ox a unui referential (R). De-a lungul axei Oy actioneaza un câmp magnetic cu inductia . Calculati raza traiectoriei particulei si energia sa totala.

Rezolvare:

Impulsul particulei fata de referentialul (R) este:

Forta Lorentz

este perpendiculara pe deci si pe ; rezulta. Dar , deci , adica în câmp magnetic modulul impulsului particulei nu se modifica; traiectoria sa ramâne în planul xOz iar forta Lorentz va fi forta centrala (centripeta).

deci .

Energia totala

.

Bibliografie

Capitolul I

Ion M. Popescu "Fizica (I)" - Editura Didactica si Pedagogica, Bucuresti, 1982.

G.C.Moisil, E.Curatu "Optica - Teorie si aplicatii" Editura Tehnica, Bucuresti, 1986.

C.Motoc "Fizica" vol I - Editura All, Bucuresti, 1994.

N.Barbulescu "Bazele fizice ale relativitatii restrânse" Editura stiintifica si Enciclopedica, Bucuresti, 1979.

Al.Stoenescu "Introducere în teoria relativitatii" Editura Tehnica, Bucuresti, 1964.

G.Cone, C.Negutu "Mecanica punctului material si a solidului rigid. Teoria relativitatii restrânse" (probleme cu rezolvari), Matrix Rom, Bucuresti, 2000.

st. Tudorache, M.Stan "Probleme rezolvate de fizica", vol.I, Litografia I.B.P., Bucuresti ,1981.