CALCULUL RADIERELOR PE MEDIU WINKLER

CALCULUL RADIERELOR PE MEDIU WINKLER

Metoda Hetenyi

Efectul unei forte concentrate pe un radier flexibil se amortizeaza relativ rapid, resimtindu-se asupra unei arii reduse din jurul ei. Suprapunând zonele de influenta se poate determina efectul într-un punct al tuturor încarcarilor concentrate transmise de stâlpi. Deoarece zonele de influenta nu sunt foarte mari, în marea majoritate a situatiilor este suficient sa se considere o distanta definita de doua rânduri de stâlpi fata de punctul considerat.

Din moment ce efectul unei încarcari se transmite radial prin radier, cea mai buna formulare este cea în coordonate polare.

Etapele calculului sunt urmatoarele:

.se determina înaltimea h a radierului în sectiunile critice la forta taietoare si se calculeaza rigiditatea cilindrica D;

.se calculeaza raza rigiditatii efective cu relatia:

iar zona de influenta a încarcarii din stâlp se considera egala cu 4L;

.se calculeaza momentul pe directie radiala M_r, pe directie tangentiala M_t si sageata z a radierului:

unde: r distanta de la punctul considerat la încarcare

Z3, Z'3, Z4 si Z'4 functii de r/L a caror variatie este prezentata în figura D.1

.se trec momentele din coordonate polare în coordonate carteziene:

unde: q unghiul definit în figura D.2

.Forta taietoare pe unitatea de latime de radier poate fi determinata cu ajutorul relatiei:

Când marginea radierului se gaseste în zona de influenta r, se aplica urmatoarele corectii:

-se calculeaza momentele încovoietoare si fortele taietoare perpendicular pe marginea radierului în ipoteza ca radierul ar fi infinit de mare;

-se aplica pe margine, ca încarcari, momente încovoietoare si forte taietoare egale si de semn contrar cu cele calculate;

-se utilizeaza mai departe ipoteza grinzilor pe mediu Winkler.

.în cele din urma, momentele încovoietoare si fortele taietoare pentru fiecare stâlp se suprapun si se obtin valorile finale totale ale momentelor încovoietoare si fortelor taietoare.

Figura D.1

Figura D.2

Metoda diferentelor finite

Presiunile de contact cu terenul si eforturile sectionale în radierele flexibile, asezate pe medii deformabile de tip Winkler pot fi determinate tinând seama de ecuatia diferentiala a suprafetei lor mediane deformate redata de expresia (E.8) si utilizând metoda diferentelor finite.

Pentru rezolvare se considera puncte dispuse în nodurile unei retele patratice, la interdistante d, pe planul median al placii radier.

În cazul unei forme dreptunghiulare în plan a radierului, ecuatiile cu diferente finite care aproximeaza, în fiecare nod, ecuatia diferentiala (D.8), se stabilesc, având în vedere expresiile derivatelor partiale, dupa cum se prezinta în ecuatiile (D.9)÷(D.14).

Ecuatiile depind de pozitia nodului de calcul în reteaua de discretizare.

Coeficientii deplasarilor fiecarui nod în functie de pozitia fata de nodul de calcul, notati cu indici dupa punctele cardinale conform figurii D.3a, sunt prezentati în figurile D.3b÷D.3g.

Figura D.3

Cazul din figura D.3b:

Cazul din figura D.3c:

Cazul din figura D.3d:

Cazul din figura D.3e:

Cazul din figura D.3f:

Cazul din figura D.3g:

În relatiile (D.9)÷(D.14) prin q se întelege reactiunea terenului pe unitatea de arie iar Q este forta concentrata în punctul a.

Exprimându-se ecuatiile diferentiale pentru toate nodurile retelei se obtine un sistem de ecuatii care, prin rezolvare, conduce la obtinerea tasarilor în fiecare nod.

Dupa ce se afla tasarile se poate calcula momentul încovoietor pe fiecare directie.

Utilizând relatiile din Teoria Elasticitatii, se scrie:

unde: M_x momentul încovoitor pe o fâsie unitara pe directia x

M'_x momentul încovoietor pe directia x, fara influenta momentului pe directia y

M'_y momentul încovoietor pe directia y, fara influenta momentului pe directia x

Astfel, considerând o fâsie pe directia e-v, se poate exprima momentul încovoietor pentru un punct interior ca:

Precizia utilizarii metodei diferentelor finite depinde de desimea retelei de noduri considerate.

Metoda retelei finite

În aceasta metoda radierul este discretizat într-un numar de grinzi cu rezistenta la încovoiere si torsiune (fig. D.4). Rezistenta la torsiune, caracterizata de modulul de forfecare G, este folosita pentru a lua în considerare voalarea placii. În terminologia elementelor finite, metoda retelei finite foloseste elemente neconforme deoarece compatibilitatea între deformatiile elementelor este asigurata numai în noduri.

Figura D.4

Metoda elementelor finite

Aceasta metoda transforma problema radierelor pe mediu Winkler într-o analiza matriciala a structurii. Radierul este modelat printr-un set de elemente interconectate la noduri, în timp ce pamântul se modeleaza prin resoarte izolate.

Discretizarea radierului poate sa nu fie doar izolata, ci sa cuprinda si restul structurii. Nodurilor structurii li se atribuie un numar de grade de libertate în functie de tipul analizei.

Figura D.5 prezinta un exemplu de analiza în care radierul este discretizat printr-un element de tip placa, iar pamântul printr-un mediu Winkler. În acest caz gradele de libertate sunt o translatie pe directie verticala (tasarea) si doua rotatii (dupa axele din plan).

Figura D.5