Capacitatea electricã. Condensatoare

1.8.1. Condensatorul electric. Capacitatea

Se considerã un sistem format din douã conductoare omogene, încãrcate cu sarcini electrice adevãrate q₁, q₂, egale ºi de semne contrare: q₁=q; q₂=-q. Un asemenea sistem se numeºte condensator electric. Mãrimea electricã definitã de raportul dintre sarcina unuia dintre conductoare ºi diferenþa de potenþial dintre ele se numeºte capacitatea electricã a condensatorului:

. (1.47)

Unitatea de mãsurã a capacitãþii electrice este faradul (F) în sistemul MKSA (capacitatea unui condensator care fiind supus la tensiunea de 1V se încarcã cu sarcina de 1C este de 1F).

Fig. 1.16

Se utilizeazã foarte mult submultiplii faradului:

(microfarad);

(nanofarad);

(picofarad).

1.8.2. Calculul capacitãþilor electrostatice

Se procedeazã în felul urmãtor:

- se presupune condensatorul încãrcat cu sarcinile q ºi -q

- se determinã intensitatea câmpului electric (sau potenþialul electric) în dielectricul dintre armãturi;

- se calculeazã tensiunea cu integrala (în mod obiºnuit în lungul unei linii de câmp) sau cu relaþia ;

- se determinã capacitatea.

1.8.2.1. Capacitatea condensatorului plan

Condensatorul plan are armãturile plane paralele ºi apropiate, despãrþite de un dielectric de permitivitate e (fig. 1.17).

Câmpul dintre armãturi se considerã omogen, distanþa dintre armãturi fiind d.

Fig. 1.17

Aplicând legea fluxului electric suprafeþei S se poate scrie

,

unde a doua integralã e luatã pe baza din dielectric a suprafeþei S deoarece în conductor .

Se obþine

(1.48)

ºi expresia

. (1.49)

Tensiunea între cele douã armãturi în lungul unei linii de câmp este:

(1.50)

. (1.51)

1.8.2.2. Capacitatea unui condensator cilindric

Armãturile condensatorului sunt doi cilindri coaxiali de raze a ºi b>a, de lungime l, între care existã un mediu de permitivitate e. Fie q sarcina armãturii interioare. Se considerã o suprafaþã S, ce reprezintã un

cilindru coaxial cu armãturile de razã r ºi de lungime l (fig.1.18).

Fig. 1.18

sau

. (1.52)

Intensitatea câmpului electric rezultã:

(1.53)

iar tensiunea între cele douã armãturi, calculatã în lungul unei linii de câmp este:

. (1.54)

Iar capacitatea:

. (1.55)

Din aceastã expresie se poate deduce capacitatea pe unitatea de lungime:

. (1.56)

1.8.2.3. Capacitatea unui condensator sferic

Armãturile condensatorului sunt douã sfere concentrice de raze a, respectiv b (fig. 1.19), între care existã un dielectric de permitivitate e. Fie q sarcina armãturii interioare de razã a. Aplicând legea fluxului electric unei suprafeþe sferice de razã r (a<r<b)  se obþine:

.

Fig. 1.19

Rezultã:

(1.57)

iar

. (1.58)

Tensiunea electricã calculatã de-a lungul unei linii de câmp este:

(1.59)

iar capacitatea:

. (1.60)

Dacã raza sferei exterioare este foarte mare (b>>a), atunci capacitatea "sferei" are valoarea:

. (1.61)

1.8.3. Teoremele capacitãþilor echivalente

Capacitatea echivalentã a unei reþele de condensatoare este capacitatea unui condensator care, fiind supus la aceeaºi tensiune ca ºi sistemul de condensatoare, se încarcã cu aceeaºi sarcinã electricã ca ºi sistemul dat.

1.8.3.1. Condensatoare în paralel

Fie un ansamblu de n condensatoare legate în paralel având toate aceeaºi tensiune la borne. (fig. 1.20)

. (1.62)

Rezultã:

(1.63)

iar

.

Fig. 1.20 Fig. 1.21

1.8.3.2. Condensatoare în serie

Fie un ansamblu de n condensatoare legate în serie (fig. 1.21). Tensiunea între A ºi B este suma tensiunilor condensatoarelor:

. (1.64)

Sarcinile electrice pe cele n condensatoare legate în serie: , dar:

(1.65)

Se deduce din relaþiile (1.64) ºi (1.65) cã:

(1.66)

iar

în consecinþã:

. (1.67)

Dacã se noteazã cu , valoarea reciprocã a capacitãþii, numitã elastanþa condensatorului, relaþia (1.67) se poate scrie sub forma:

. (1.68)

Aplicaþia nr.1

Sã se calculeze capacitatea unui condensator format din 2n=12 lame paralele de arie egalã A=64 cm². Distanþa între douã lame consecutive este d=0,5 mm. Dielectricul este aer, deci (fig. 1.22)

Soluþie: Cele 2n lame paralele formeazã (2n-1) condensatoare, de capacitate C, legate în paralel. În consecinþã:

Numeric:

Fig. 1.22

Aplicaþia nr.2

Sã se calculeze capacitatea unui condensator plan a cãrui dielectric este format din douã straturi (paralele cu armãturile) de materiale izolante diferite, de permitivitãþi respectiv ºi de grosimi , respectiv (fig.1.23).

Fig. 1.23

Soluþie: Din teoremele de conservare, se poate deduce:

(1.69)

(1.70)

Tensiunea între plãci este:

(1.71)

în care .

Capacitatea echivalentã este:

(1.72)

adicã tocmai capacitatea a douã condensatoare legate în serie.

Caz particular: dacã iar se obþine expresia capacitãþii condesatorului plan cu dielectric omogen.

În cazul a n straturi izolante paralele cu armãturile unui condensator plan formula (1.72) devine:

(1.73)

care se poate deduce ºi din relaþia pentru condensatoarele serie

. (1.74)

1.8.3.3. Gruparea mixtã a condesatoarelor

Este o combinaþie de conexiuni serie ºi derivaþie.  Capacitatea ei echivalentã se determinã din aproape în aproape prin calculul capacitãþilor serie ºi derivaþie ce-o compun.

1.8.3.4. Calculul reþelelor electrostatice simple

O reþea electrostaticã este un ansamblu de condensatoare ºi de surse de energie electricã, legate între ele prin conductoare. Elementele reþelei sunt: laturile (L), nodurile (N) ºi ochiurile (B).

Latura reþelei este elementul neramificat format din condensatoare ãi surse.

Nodul este locul de întâlnire a cel puþin 3 laturi. Orice circuit închis format din mai multe laturi constituie un ochi. În fiecare nod, aplicând legea conservãrii sarcinii electrice se poate scrie relaþia: 

. (1.75) În fiecare ochi se poate scrie relaþia echivalentã între diferenþele de potenþial ale laturilor sau elementelor ce compun o laturã.

=0. (1.76) Dacã ochiul conþine ºi surse de energie electricã, relaþia de mai sus se scrie:

, (1.77)

unde E_K este diferenþa de potenþial sau tensiunea la bornele cursei de energie din latura K.

Utilizând noþiunea de elastanþã rezultã: ,