Capacitatea electrică. Condensatoare

1.8.1. Condensatorul electric. Capacitatea

Se consideră un sistem format din două conductoare omogene, încărcate cu sarcini electrice adevărate q₁, q₂, egale și de semne contrare: q₁=q; q₂=-q. Un asemenea sistem se numește condensator electric. Mărimea electrică definită de raportul dintre sarcina unuia dintre conductoare și diferența de potențial dintre ele se numește capacitatea electrică a condensatorului:

. (1.47)

Unitatea de măsură a capacității electrice este faradul (F) în sistemul MKSA (capacitatea unui condensator care fiind supus la tensiunea de 1V se încarcă cu sarcina de 1C este de 1F).

Fig. 1.16

Se utilizează foarte mult submultiplii faradului:

(microfarad);

(nanofarad);

(picofarad).

1.8.2. Calculul capacităților electrostatice

Se procedează în felul următor:

- se presupune condensatorul încărcat cu sarcinile q și -q

- se determină intensitatea câmpului electric (sau potențialul electric) în dielectricul dintre armături;

- se calculează tensiunea cu integrala (în mod obișnuit în lungul unei linii de câmp) sau cu relația ;

- se determină capacitatea.

1.8.2.1. Capacitatea condensatorului plan

Condensatorul plan are armăturile plane paralele și apropiate, despărțite de un dielectric de permitivitate e (fig. 1.17).

Câmpul dintre armături se consideră omogen, distanța dintre armături fiind d.

Fig. 1.17

Aplicând legea fluxului electric suprafeței S se poate scrie

,

unde a doua integrală e luată pe baza din dielectric a suprafeței S deoarece în conductor .

Se obține

(1.48)

și expresia

. (1.49)

Tensiunea între cele două armături în lungul unei linii de câmp este:

(1.50)

. (1.51)

1.8.2.2. Capacitatea unui condensator cilindric

Armăturile condensatorului sunt doi cilindri coaxiali de raze a și b>a, de lungime l, între care există un mediu de permitivitate e. Fie q sarcina armăturii interioare. Se consideră o suprafață S, ce reprezintă un

cilindru coaxial cu armăturile de rază r și de lungime l (fig.1.18).

Fig. 1.18

sau

. (1.52)

Intensitatea câmpului electric rezultă:

(1.53)

iar tensiunea între cele două armături, calculată în lungul unei linii de câmp este:

. (1.54)

Iar capacitatea:

. (1.55)

Din această expresie se poate deduce capacitatea pe unitatea de lungime:

. (1.56)

1.8.2.3. Capacitatea unui condensator sferic

Armăturile condensatorului sunt două sfere concentrice de raze a, respectiv b (fig. 1.19), între care există un dielectric de permitivitate e. Fie q sarcina armăturii interioare de rază a. Aplicând legea fluxului electric unei suprafețe sferice de rază r (a<r<b)  se obține:

.

Fig. 1.19

Rezultă:

(1.57)

iar

. (1.58)

Tensiunea electrică calculată de-a lungul unei linii de câmp este:

(1.59)

iar capacitatea:

. (1.60)

Dacă raza sferei exterioare este foarte mare (b>>a), atunci capacitatea "sferei" are valoarea:

. (1.61)

1.8.3. Teoremele capacităților echivalente

Capacitatea echivalentă a unei rețele de condensatoare este capacitatea unui condensator care, fiind supus la aceeași tensiune ca și sistemul de condensatoare, se încarcă cu aceeași sarcină electrică ca și sistemul dat.

1.8.3.1. Condensatoare în paralel

Fie un ansamblu de n condensatoare legate în paralel având toate aceeași tensiune la borne. (fig. 1.20)

. (1.62)

Rezultă:

(1.63)

iar

.

Fig. 1.20 Fig. 1.21

1.8.3.2. Condensatoare în serie

Fie un ansamblu de n condensatoare legate în serie (fig. 1.21). Tensiunea între A și B este suma tensiunilor condensatoarelor:

. (1.64)

Sarcinile electrice pe cele n condensatoare legate în serie: , dar:

(1.65)

Se deduce din relațiile (1.64) și (1.65) că:

(1.66)

iar

în consecință:

. (1.67)

Dacă se notează cu , valoarea reciprocă a capacității, numită elastanța condensatorului, relația (1.67) se poate scrie sub forma:

. (1.68)

Aplicația nr.1

Să se calculeze capacitatea unui condensator format din 2n=12 lame paralele de arie egală A=64 cm². Distanța între două lame consecutive este d=0,5 mm. Dielectricul este aer, deci (fig. 1.22)

Soluție: Cele 2n lame paralele formează (2n-1) condensatoare, de capacitate C, legate în paralel. În consecință:

Numeric:

Fig. 1.22

Aplicația nr.2

Să se calculeze capacitatea unui condensator plan a cărui dielectric este format din două straturi (paralele cu armăturile) de materiale izolante diferite, de permitivități respectiv și de grosimi , respectiv (fig.1.23).

Fig. 1.23

Soluție: Din teoremele de conservare, se poate deduce:

(1.69)

(1.70)

Tensiunea între plăci este:

(1.71)

în care .

Capacitatea echivalentă este:

(1.72)

adică tocmai capacitatea a două condensatoare legate în serie.

Caz particular: dacă iar se obține expresia capacității condesatorului plan cu dielectric omogen.

În cazul a n straturi izolante paralele cu armăturile unui condensator plan formula (1.72) devine:

(1.73)

care se poate deduce și din relația pentru condensatoarele serie

. (1.74)

1.8.3.3. Gruparea mixtă a condesatoarelor

Este o combinație de conexiuni serie și derivație.  Capacitatea ei echivalentă se determină din aproape în aproape prin calculul capacităților serie și derivație ce-o compun.

1.8.3.4. Calculul rețelelor electrostatice simple

O rețea electrostatică este un ansamblu de condensatoare și de surse de energie electrică, legate între ele prin conductoare. Elementele rețelei sunt: laturile (L), nodurile (N) și ochiurile (B).

Latura rețelei este elementul neramificat format din condensatoare ăi surse.

Nodul este locul de întâlnire a cel puțin 3 laturi. Orice circuit închis format din mai multe laturi constituie un ochi. În fiecare nod, aplicând legea conservării sarcinii electrice se poate scrie relația: 

. (1.75) În fiecare ochi se poate scrie relația echivalentă între diferențele de potențial ale laturilor sau elementelor ce compun o latură.

=0. (1.76) Dacă ochiul conține și surse de energie electrică, relația de mai sus se scrie:

, (1.77)

unde E_K este diferența de potențial sau tensiunea la bornele cursei de energie din latura K.

Utilizând noțiunea de elastanță rezultă: ,