Capacitatea electricã. Condensatoare
1.8.1. Condensatorul electric. Capacitatea
Se considerã un sistem format din douã conductoare omogene, încãrcate cu sarcini electrice adevãrate q1, q2, egale ºi de semne contrare: q1=q; q2=-q. Un asemenea sistem se numeºte condensator electric. Mãrimea electricã definitã de raportul dintre sarcina unuia dintre conductoare ºi diferenþa de potenþial dintre ele se numeºte capacitatea electricã a condensatorului:
. (1.47)
![]() |
Fig. 1.16
Se utilizeazã foarte mult submultiplii faradului:
(microfarad);
(nanofarad);
(picofarad).
1.8.2. Calculul capacitãþilor electrostatice
Se procedeazã în felul urmãtor:
- se presupune condensatorul încãrcat cu sarcinile q ºi -q
- se determinã intensitatea câmpului electric (sau potenþialul electric) în dielectricul dintre armãturi;
- se calculeazã tensiunea cu integrala (în mod obiºnuit în
lungul unei linii de câmp) sau cu relaþia
;
- se determinã capacitatea.
1.8.2.1. Capacitatea condensatorului plan
Condensatorul plan are armãturile plane paralele ºi apropiate, despãrþite de un dielectric de permitivitate e (fig. 1.17).
Câmpul dintre armãturi se considerã omogen, distanþa dintre armãturi fiind d.
![]() |
Fig. 1.17
Aplicând legea fluxului electric suprafeþei S se poate scrie
,
unde a doua integralã
e luatã pe baza din dielectric a suprafeþei S deoarece în conductor .
Se obþine
(1.48)
ºi expresia
. (1.49)
Tensiunea între cele douã armãturi în lungul unei linii de câmp este:
(1.50)
. (1.51)
1.8.2.2. Capacitatea unui condensator cilindric
Armãturile condensatorului sunt doi cilindri coaxiali de raze a ºi b>a, de lungime l, între care existã un mediu de permitivitate e. Fie q sarcina armãturii interioare. Se considerã o suprafaþã S, ce reprezintã un
![]() |
Fig. 1.18
sau
. (1.52)
Intensitatea câmpului electric rezultã:
(1.53)
iar tensiunea între cele douã armãturi, calculatã în lungul unei linii de câmp este:
. (1.54)
Iar capacitatea:
. (1.55)
Din aceastã expresie se poate deduce capacitatea pe unitatea de lungime:
. (1.56)
1.8.2.3. Capacitatea unui condensator sferic
Armãturile condensatorului sunt douã sfere concentrice de raze a, respectiv b (fig. 1.19), între care existã un dielectric de permitivitate e. Fie q sarcina armãturii interioare de razã a. Aplicând legea fluxului electric unei suprafeþe sferice de razã r (a<r<b) se obþine:
![]() |
Fig. 1.19
Rezultã:
(1.57)
iar
. (1.58)
Tensiunea electricã calculatã de-a lungul unei linii de câmp este:
(1.59)
iar capacitatea:
. (1.60)
Dacã raza sferei exterioare este foarte mare (b>>a), atunci capacitatea "sferei" are valoarea:
. (1.61)
1.8.3. Teoremele capacitãþilor echivalente
Capacitatea echivalentã a unei reþele de condensatoare este capacitatea unui condensator care, fiind supus la aceeaºi tensiune ca ºi sistemul de condensatoare, se încarcã cu aceeaºi sarcinã electricã ca ºi sistemul dat.
1.8.3.1. Condensatoare în paralel
Fie un ansamblu de n condensatoare legate în paralel având toate aceeaºi tensiune la borne. (fig. 1.20)
. (1.62)
Rezultã:
(1.63)
iar
![]() | ![]() |
||
Fig. 1.20 Fig. 1.21
1.8.3.2. Condensatoare în serie
Fie un ansamblu de n condensatoare legate în serie (fig. 1.21). Tensiunea între A ºi B este suma tensiunilor condensatoarelor:
. (1.64)
Sarcinile electrice pe cele n condensatoare legate în serie: , dar:
(1.65)
Se deduce din relaþiile (1.64) ºi (1.65) cã:
(1.66)
iar
în consecinþã:
. (1.67)
Dacã se noteazã cu , valoarea reciprocã a capacitãþii, numitã elastanþa
condensatorului, relaþia (1.67) se poate scrie sub forma:
. (1.68)
Sã se calculeze capacitatea
unui condensator format din 2n=12 lame paralele de arie egalã A=64 cm2.
Distanþa între douã lame consecutive este d=0,5 mm. Dielectricul este aer, deci
(fig. 1.22)
Soluþie: Cele 2n lame paralele formeazã (2n-1) condensatoare, de capacitate C, legate în paralel. În consecinþã:
![]() |
Fig. 1.22
Sã se calculeze capacitatea
unui condensator plan a cãrui dielectric este format din douã straturi
(paralele cu armãturile) de materiale izolante diferite, de permitivitãþi respectiv
ºi de grosimi
, respectiv
(fig.1.23).
![]() |
Fig. 1.23
Soluþie: Din teoremele de conservare, se poate deduce:
(1.69)
(1.70)
Tensiunea între plãci este:
(1.71)
în care .
Capacitatea echivalentã este:
(1.72)
adicã tocmai capacitatea a douã condensatoare legate în serie.
Caz particular: dacã iar
se obþine expresia capacitãþii condesatorului plan cu
dielectric omogen.
În cazul a n straturi izolante paralele cu armãturile unui condensator plan formula (1.72) devine:
(1.73)
care se poate deduce ºi din relaþia pentru condensatoarele serie
. (1.74)
1.8.3.3. Gruparea mixtã a condesatoarelor
Este o combinaþie de conexiuni serie ºi derivaþie. Capacitatea ei echivalentã se determinã din aproape în aproape prin calculul capacitãþilor serie ºi derivaþie ce-o compun.
1.8.3.4. Calculul reþelelor electrostatice simple
O reþea electrostaticã este un ansamblu de condensatoare ºi de surse de energie electricã, legate între ele prin conductoare. Elementele reþelei sunt: laturile (L), nodurile (N) ºi ochiurile (B).
Latura reþelei este elementul neramificat format din condensatoare ãi surse.
Nodul este locul de întâlnire a cel puþin 3 laturi. Orice circuit închis format din mai multe laturi constituie un ochi. În fiecare nod, aplicând legea conservãrii sarcinii electrice se poate scrie relaþia:
. (1.75) În fiecare ochi se poate scrie relaþia
echivalentã între diferenþele de potenþial ale laturilor sau elementelor ce
compun o laturã.
=0. (1.76) Dacã ochiul conþine ºi surse de energie
electricã, relaþia de mai sus se scrie:
, (1.77)
unde EK este diferenþa de potenþial sau tensiunea la bornele cursei de energie din latura K.
Utilizând noþiunea de elastanþã rezultã: ,
se aplicã de (
N-1) ori (1.79)
se aplicã de (
B=L-N+1) ori
Aplicaþia nr. 1
Fie reþeaua din (fig.1.24) unde se cunosc: .
Se cer sarcinile q1, q2,q3,q4 ºi q5.
![]() |
Fig. 1.24
Soluþie: Se atribuie semne de polaritate arbitrare armãturilor condensatoarelor din circuit.
Fie q0 sarcina debitatã de sursã, de asemenea necunoscutã. Se stabilesc sensuri arbitrare de parcurgere a buclelor ca în figurã.
Cu relaþiile (1.79) rezultã:
În nodul A
Rezolvând sistemul în raport cu necunoscutele q se obþine:
iar tensiunile: UAB= 1000V; UBD= 300V; UAC= 900V; UCD= 400V; UBC= -100V.
1.8.3.5. Transfigurarea reþelelor electrostatice
În practicã este necesar uneori, pentru uºurarea calculelor sã se transforme un circuit cu conexiune stea într-un circuit echivalent cu conexiune triunghi ºi reciproc (fig. 1.25).
![]() | ![]() |
||
Fig. 1.25
În urma transfigurãrii, potenþialele în punctele A, B ºi C trebuie sã rãmânã aceleaºi, iar cantitatea de electricitate datã de reþeaua elementului ce se transfigureazã, nu trebuie sã se schimbe dupã aceastã operaþiune.
a. Transfigurarea triunghi - stea
Fie triunghiul ABC din Fig. 1.25 unde se cunosc capacitãþile CAB, CBC ºi CCA.
Trebuie determinate capacitãþile CA, CB, ºi CC ale stelei echivalente.
În baza consideraþiilor de mai sus, pentru nodurile A ºi B, B ºi C ºi C
ºi A ale celor douã reþele, se poate scrie cu ajutorul elastanþei: (1.80)
Adunând douã câte douã relaþiile (1.80) ºi scãzând-o pe a treia se obþine:
(1.81)
Calculând acum capacitãþile corespunzãtoare se gãseºte imediat: (1.82)
Pentru a obþine relaþiile necesare transfigurãrii circuitului stea în triunghi, în relaþiile (1.81) împãrþim cu a treia relaþie - membru cu membru - primele douã relaþii. Se obþine:
de unde rezultã
ºi de unde rezultã
Introducând
relaþiile lui SBC ºi SCA în prima din relaþiile (1.81) ºi
fãcând simplificãrile respective rezultã:
. Procedând similar se gãsesc
ºi celelalte douã relaþii:
Trecând de la
elastanþe la capacitãþi se gãseºte sistemul:
|