Conservarea energiei totale stocata in campurile megnetic si electric din inductante si capacitati, la rezonanta
Vom demonstra,
in cazul unui circuit 
serie,
urmatoarele afirmatii:
- la rezonanta nu se schimba putere reactiv 616e42g a intre sursa si circuit;
- la rezonanta se schimba, in mod oscilant, energie
intre elementele inductive si capacitive, astfel incat energia totala
inmagazinata in campurile electric si magnetic din aceste elemente este
Consideram un curent alternativ cu intensitatea:
(5.161)
Energia
continuta in campul magnetic al inductantei la un moment 
este:
(5.162)
Energia
continuta in campul electric al capacitatii la un moment este:
, (5.163)
deoarece 
.
Insumand (5.162) si (5.163) obtinem:
(5.164)
La
rezonanta 
, astfel
ca:
(5.165)
Inlocuind
expresia pulsatiei la rezonanta 
in (5.165), se obtine:
(5.166)
Tinand cont de (5.163), (5.164) devine:
(5.167)
Relatia (5.167) demonstreaza ca la rezonanta energia totala stocata in campurile magnetic si electric ale inductantelor si capacitatilor din circuit se conserva.
Exemplul 5
Sa se
deduca legea de variatiei in timp a curentului printr-un circuit care contine
un rezistor cu rezistenta R si un condensator de capacitate C legate in serie,
daca tensiunea la bornele circuitului este 
E.
Presupunem ca in momentul conectarii sursei condensatorul era descarcat.
Rezolvare
(5.168)
Solutia ecuatiei omogene este:
Cautam o solutie a ecuatiei neomogene de forma:
(5.169)
unde
. Introducem
(5.169) in (5.168) si identificam cu zero coeficientii functiei sinus,
respectiv cosinus, obtinand sistemul de doua ecuatii
O solutie particulara a ecuatiei neomegene va fi de forma:
(5.170)
unde
se poate
neglija solutia ecuatiei omogene, astfel ca solutia (5.170) devine:
(5.170)
(5.171)
Exemplul 6
O
bobina alimentata la tensiunea la borne 
are puterea activa 
si puterea reactiva 
. Sa se
determine valoarea rezistentei electrice a unui rezistor legat in serie cu
bobina, la aceeasi tensiune de 220V, pentru care puterea activa pe care o poate
consuma rezistorul este maxima.
Rezolvare
Determinam
intai expresiile rezistentei 
si reactantei inductive
a bobinei
in functie de puterea activa si puterea reactiva:
(5.172)
(5.173)
Din (5.172) si(5.173) rezulta:
si 
(5.174)
. Din conditia de maximum 
rezulta:
(5.175)
Inlocuind expresia lui 
in expresia puterii active pe acest rezistor, 
, obtinem:
Exemplul 7
Aplicand
o tensiune 
V la
bornele unei bobine de rezistenta si inductanta 
, curentul
care trece prin aceasta este 
A. Sa se calculeze:
a) Energia consumata in bobina timp de 10 minute;
b) Rezistenta si rezistivitatea bobinei;
c) Valoarea maxima a energieistocata in campul magnetic al bobinei;
d) Valoarea instantanee a intensitatii curentului din
bobina daca frecventa se reduce la jumatate, considerand ca amplitudinea
tensiunii ramane
Rezolvare
a) 
.
b) 
c) 
d) 
; 
; 
;
Exemplul 8
Alimentand
circuitul din fig.38 cu tensiunea efectiva , reactanta
bobinei la frecventa 
este 
. Fixand
comutatorul K pe pozitia 1, intensitatea curentului debitat de sursa este de
doua ori mai mare decat in cazul in care K este intre cele doua pozitii, 1 si
2, iar cand K este pe pozitia 2, intensitatea curentului debitat de sursa
reprezinta o fractiune 
din intensitatea cand K este intre cele doua
pozitii. Sa se determine:
a) Valorile rezistentei si a capacitatii 
;
b) Valoarea efectiva a intensitatii curentului prin
rezistanta , si factorul
de putere al circuitului, cu K pe pozitia 1;
c) Frecventa de rezonanta a circuitului cand K este pe pozitia 2.
Rezolvare
a) 
; Din cele
doua conditii ale problemei, 
si 
, se obtin
ecuatiile:
si
de unde se obtine 
, iar
pentru capacitate se obtin doua valori: 
, respectiv
.
b) 
; 
, de unde
rezulta 
.
c)
Din conditia de rezonanta (5.153) 
obtinem frecventa de rezonanta:
Inlocuind
cele doua valori ale capacitatii, obtinem doua frecvente de rezonanta cu
valorile: 
, respectiv
.
|
