DINAMICA REACTORULUI CU AMESTECARE PERFECTA CONTINUU NEIZOTERM

Reactorul cu amestecare perfecta continuu prezinta câteva particularitati interesante din punct de vedere al comportarii nestationare, generate de complexitatea interactiunilor între fenomenele fizico-chimice ce stau la baza procesului, neliniaritatea accentuata a dependentelor între variabile, proprietatea de a prezenta stari stationare multiple cu stabilitati diferite etc.

Pentru a ilustra câteva din aceste particularitati, se considera cazul, mai simplu, al reactiei singulare de transformare a unui singur reactant, A, în faza lichida, la presiune constanta, proces caracterizat de urmatoarele variable (fig. 16):

- variabile independente:debitul de alimentare (D_v0), concentratia reactantului A în alimentare (C_A0), temperatura de alimentare (T₀), debitul de agent termic (T_ai);

- variabilele de stare, identice cu cele de iesire: concentratia reactantului A în amestecul de reactie (C_A) si temperatura de reactie (T).

Fig. 16 Reactorul cu amestecare perfecta continuu

Modelul matematic al reactorului consta din ecuatiile de bilant masic al reactantului A si cea de bilant al energiilor . Ecuatia de bilant masic al reactantului A este de forma:

(163)

v_RA - viteza de transformare a reactantului A; V - volumul amestecului de reactie, care .variaza în timp daca apar diferente între debitele de intrare (D_v0) si respectiv iesire (D_v):

(164)

Din (163) si (164) se obtine legea de variatie în timp a concentratiei C_A:

(165)

Variatia în timp a temperaturii amestecului de reactie se obtine plecând de la bilantul energiilor pe volumul de reactie. Pe un interval de timp, (Dt infinit mic), acesta este exprimat prin ecuatia:

(166)

Cei opt termeni din ecuatia (166) au urmatoarele semnificatii:

si (5) - energia interna totala a amestecului de reactie la momentele t si respectiv t+Dt;

si (6) - lucrul mecanic efectuat din exterior asupra mediului de reactie pentru alimentarea reactantilor, respectiv lucrul efectuat de catre mediul de reactie asupra mediului exterior pentru evacuarea produsilor;

si (7) - energia interna introdusa în sistem cu amestecul de reactanti si respectiv energia interna evacuata din sistem cu amestecul de produsi;

- energia termica transferata din exterior catre amestecul de reactie prin peretii separatori;

(8) - lucrul mecanic efectuat de catre sistem asupra mediului exterior, urmare a variatiei volumului amestecului, DV;

Notatii utilizate:

u - energia interna a amestecului de reactie; U_M - energia interna molara; D_M0, D_M - debite molare de amestec alimentat si respectiv evacuat; V_M0, V_M - volume molare pentru amestecurile alimentat si respectiv evacuat; Q_T - debit de caldura transferata; p₀, p - presiunea de alimentare, respectiv evacuare.

Din (166) dupa rearanjarea termenilor, simplificare prin Dt si trecere la limita (Dt 0) se obtine:

(167)

Ţinând seama de definitia entalpiei:

(168)

ecuatia (167) se transcrie în forma ce reprezinta bilantul entalpiei:

(169)

Entalpia amestecului de reactie are expresia:

(170)

n_j - cantitatea de specie j în amestec, (kmoli); H_Mj - entalpia molara a speciei j; s - numarul de specii chimice (componenti) din amestec.

Din (170):

(171)

Procesul fiind presupus la presiune constanta:

(172)

C_pj - caldura molara a speciei J.

Pe de alta parte acumularea de specie J în amestecul de reactie se obtine din ecuatia de bilant masic:

(173)

Din (171), (172) si (173) rezulta:

(174)

În ecuatia (174) se pot face înlocuirile:

; si (175)

Cu aceste înlocuiri, din (174) si (169), tinând seama ca , rezulta:

(176)

În ecuatia astfel obtinuta se pot introduce în continuare substitutiile :

;

- caldura molara medie, pe intervalul [T_o , T].; c_p - caldura specifica medie a amestecului ;

m - masa amestecului de reactie.

Cu aceste substitutii, ecuatia (175) devine:

(177)

Uneori capacitatea calorica a amestecului se exprima în functie de debitul masic si caldura specifica medie a amestecului:

(178)

iar caldura generata pe unitatea de volum, în functie de variatia de entalpie raportata la unitatea de masa de reactant de referinta (A) transformat:

(179)

Debitul de caldura transferat dinspre agentul termic catre amestecul de reactie, are expresia:

(180)

Diferenta medie de temperatura între agentul termic si amestecul de reactie se poate exprima printr-o medie aritmetica a diferentelor de temperatura la intrare si respectiv iesire:

(181)

sau printr-o formula de mediere geometrica:

(182)

La diferente de temperatura relativ mici între intrarea si iesirea agentului termic, se utilizeaza de regula medierea aritmetica. În aceasta varianta, ecuatia (177) devine:

(183)

Uneori se prefera exprimarea debitului de caldura transferata în functie de debitul de agent termic, acesta fiind folosit frecvent ca variabila de comanda pentru reglarea temperaturii de reactie. În acest scop, se scrie o ecuatie de bilant termic pentru spatiul de circulatie a agentului termic. Cea mai simpla exprimare corespunde situatiei în care capacitatea calorica a peretelui separator între mediul de reactie si agentul termic este neglijabila (se poate aproxima ca transferul termic are loc instantaneu între cele doua fluide). Presupunând, în plus, ca nu au loc pierderi semnificative de caldura si nici schimbari de stare de agregare, bilantul de caldura pe spatiul de circulatie a agentului termic este exprimat prin ecuatia:

(184)

Exprimând diferenta medie de temperatura prin relatia (181), se ajunge la relatia:

(185)

Daca se utilizeaza formula de mediere logaritmica (182):

(186)

Din aceasta relatie se poate scrie:

; (187)

Expresia debitului de caldura transferata devine:

(188)

Evolutiile în timp ale concentratiei reactantului de referinta si temperaturii de reactie, se obtin prin integrarea sistemului format din ecuatiile de bilant masic (165) si bilant termic (183). De mentionat faptul ca ecuatia (183) este valabila atât pentru procese exoterme cât si pentru procese endoterme. În continuare, din punct de vedere al transformarii chimice, se trateaza situatia cea mai simpla, în care evolutia compozitiei se poate exprima în raport cu concentratia C_A, ca singura variabila. Atunci când transformarea chimica are loc între doi sau mai multi reactanti, sau atunci când în sistem au loc reactii multiple, sunt necesare, de regula, mai multe ecuatii de bilant masic, de forma (165).

Calculul starii stationare a reactorului cu amestecare perfecta

În regim stationar, ecuatiile (165) si (183) se particularizeaza în forma sistemului:

(189)

(190)

din care se obtin, prin rezolvare, valorile de regim stationar, C_AS si T_s, ale concentratiei si respectiv temperaturii. Rezolvarea poate fi efectuata printr-o metoda numerica (Newton Raphson etc), însa se poate utiliza de asemenea o metoda geometrica, ce prezinta avantajul unui plus de informatii legate de natura starii stationare. Pentru ilustrarea metodei geometrice, ecuatia (190) se transcrie în forma echivalenta, specifica proceselor exoterme:

(191)

ce reprezinta conditia de egalitate între debitul de caldura generata în reactia chimica (q_G) si suma (q_T) a debitelor de caldura consumata pentru încalzirea reactantilor de la temperatura de alimentare la temperatura de reactie si respectiv transferata catre agentul termic:

(193)

(194)

Urmare a slabei dependente în raport cu temperatura a caldurii specifice a amestecului de reactie (c_p) si a coeficientului total de transfer termic (K_T) functia se poate aproxima liniara în raport cu T_s. spre deosebire de functia q_G care este puternic neliniara. O expresie de calcul mai convenabila pentru q_G(T_s) se obtine din ecuatia de bilant masic (189):

(195)

X_As - conversia reactantului A la starea de regim stationar.

Dependenta de temperatura q_G(T_s) este influentata în mod determinant de dependenta X_As(T_s), deductibila din ecuatia de bilant masic (189).

Pentru o reactie reversibila de ordinul I: ; ; ( C_P0=0).

Înlocuind în (189 si (195) rezulta:

(196)

(197)

pentru o reactie ireversibila de ordinul I (v_RA=k C_A), se obtine în mod similar:

(198)

Solutia ecuatiei (192) se obtine reprezentând grafic în diagrama q-T_s, functiile (194) si (197). Functia se reprezinta grafic printr-o dreapta. Cum se observa din figura 17, în raport cu pozitia dreptei , pot apare între 1 si 3 solutii ale ecuatiei (192). În consecinta, reactorul poate prezenta între 1 si 3 stari stationare (la aceleasi valori ale variabilelor independente D_v0, C_A0, T₀, T_ai, D_a si V). Proprietatea este denumita multiplicitate a starilor stationare.

Fig. 17a Diagrama q-T pentru reactia   Fig. 17b Diagrama q-T pentru reactia

exoterma reversibila exoterma ireversibila

Stabilitatea starii stationare a reactorului continuu cu amestecare perfecta

În cazul reactiilor singulare, starea amestecului de reactie este complet caracterizata prin valorile conversiei reactantului de referinta si temperaturii de lucru. O stare stationara definita printr-o pereche de valori (X_As, T_s) ale conversiei si temperaturii, este reprezentabila în planul X_A-T printr-un punct, denumit punct de functionare stationara. Mentinerea functionarii reactorului într-un astfel de punct este conditionata de mentinerea la valorile constante, corespunzatoare acestuia, a tuturor marimilor independente. Operarea în conditii de lucru industriale este caracterizata de variatii aleatoare (denumite perturbatii) ale marimilor independente (D_v0, C_A0, T₀, T_ai etc) care au ca efect deplasarea reactorului din punctul de functionare stationara. Se disting perturbatii temporare (la care modificarea are o durata limitata, fiind urmata de revenirea la valoarea de regim stationar) si perturbatii permanente (la care modificarea persista în timp).

Un punct de functionare stationara este stabil, daca în urma actiunii unei perturbatii temporare sistemul de reactie revine în mod autonom (fara nici o actiune de reglare) în acel punct. În caz contrar, punctul de functionare stationara este instabil. În figura 18 este reprezentata diagrama pentru cazul reactiei ireversibile exoterme, cu trei stari stationare ce corespund temperaturilor T_M, T_N si T_P. Punctele de regim stationar corespunzatoare temperaturilor T_M si T_P sunt stabile, întrucât

Fig. 18 Analiza stabilitatii în diagrama q-T

la modificari pozitive ale temperaturii sistemul de reactie ajunge în zona în care q_T>q_G, de unde, dupa disparitia perturbatiei, se revine, prin racire, în punctul de plecare. În mod analog, la modificari negative ale temperaturii (racire), sistemul ajunge în zona în care q_G>q_T, din care, dupa disparitia perturbatiei, revine prin încalzire în punctul stationar. Starea intermediara de temperatura T_N, neîndeplinind aceste conditii, este o stare stationara instabila.

Din diagrama se constata ca în punctele ce corespund starilor stationare stabile, M si P, panta caldurii generate este mai mica decât panta caldurii transferate în timp ce în punctul intermediar N, ce reprezinta o stare instabila, situatia este inversa,

Aceste inegalitati, pot servi drept criterii pentru verificarea directa a stabilitatii unei stari stationare , S, cele doua debite de caldura, q_G si q_T se pot aproxima prin relatiile:

; (199)

din care tinând seama ca , rezulta:

(200)

Din (200) rezulta urmatoarele:

a)      La abateri (racire în raport cu starea stationara) sistemul de reactie revine prin încalzire în punctul stationar (q_G>q_T) daca (201)

b)      Daca (încalzire în raport cu starea stationara) sistemul de reactie revine de asemenea, prin racire(q_G<q_T), în punctul stationar, daca relatia (201) este îndeplinita.

Inegalitatea (201) este o conditie necesara de stabilitate a starii stationare, însa nu si suficienta.

În cazul reactiilor singulare inegalitatea (201) se poate aduce la o forma explicita în raport cu marimile ce caracterizeaza procesul. Neglijând dependenta de temperatura a proprietatilor fizice ale sistemului de reactie, se obtin expresiile:

(202)

unde

(203)

Din ecuatia de bilant masic al reactantului A în regim stationar:

(204)

sau (205)

Din (203) si (205) rezulta:

(206)

Înlocuind în (202):

(207)

Pe de alta parte din (194) rezulta:

(208)

Înlocuind (207) si (208) în (201) rezulta inegalitatea echivalenta:

; (209)

unde

Studiul pe cale analitica a stabilitatii starii stationare a reactorului

cu amestecare perfecta

Aplicarea metodei grafice descrisa mai sus presupune constructia în prealabil a diagramei q-T, ceea ce constituie un dezavantaj al acesteia. De asemenea utilizarea inegalitatii (209) este limitata la reactii singulare. Metode mai generale si mai directe de studiu al stabilitatii starii stationare a reactorului cu amestecare perfecta continuu pot fi dezvoltate pe baza teoriei generale a sistemelor neliniare.

Modelul matematic al reactorului în regim nestationar se poate scrie în forma generala vectoriala:

(210)

- variabile de stare (variabile de compozitie, temperatura de reactie, etc)

- variabile independente (debite, temperatura de alimentare, etc)

Considerând variabilele independente la valorile de regim stationar, ecuatia (210) se poate scrie în forma vectoriala echivalenta:

(211)

în care X' este vectorul variabilelor de stare, iar F este un vector functie:

;

Ecuatiile (300) se liniarizeaza prin dezvoltare în serii Taylor în jurul starii stationare :

(212)

Introducând vectorul X al variabilelor de abatere si matricea A de tip Jacobian având ca elemente :

;

ecuatiile (203) se pot scrie în forma vectoriala:

(213)

Modelul liniar (213) reprezinta o aproximare a modelului neliniar original (211), în domeniul din vecinatatea starii stationare . Aproximarea este cu atât mai buna cu cât domeniul de variatie a starii X' în jurul valorii stationare este mai restrâns. La limita, atunci când diferentele sunt infinetizimale, modelele (211) si (213) se pot accepta ca echivalente, astfel încât stabilitatea starii stationare se studiaza cu ajutorul modelului liniarizat.

Pe aceasta observatie se bazeaza teorema fundamentala a stabilitatii (Varma si Mobidelli, 1995). Se considera sistemul descris în regim tranzitoriu prin ecuatia (211) si o stare stationara obtinuta din rezolvarea ecuatiei:

(214)

Starea stationara este stabila daca solutia ecuatiei (211), , este convergenta înspre :

(215)

sau (216)

în variabilele de abatere :

Conform teoremei fundamentale a stabilitatii, starea stationara este stabila, daca sistemul liniarizat corespunzator, descris prin ecuatia (213), este stabil, adica solutia acestuia respecta conditia (216). În caz contrar, starea stationara este instabila.

Forma generala a solutiei ecuatiei (213) este o combinatie de exponentiale :

(217)

C_ki - constante de integrare; l_i - valorile proprii ale matricii A (Anexa 4)

Conditia (216) este îndeplinita, daca valorile proprii l_i sunt reale si negative, sau complexe cu partea reala negativa.

Se considera, spre exemplificare, modelul matematic constituit din ecuatiile de bilant (165) si (177), în care volumul V se presupune constant în timp si concentratia reactantului A se exprima functie de conversia acestuia, X_A. Ecuatia de bilant masic (165) devine:

;; (218)

iar ecuatia de bilant termic (177):

(219)

Daca X_As si T_s sunt doua valori ce definesc un punct de functionare stationara, ecuatiile (218) si (219) se pot aproxima prin formele liniarizate:

(220-a)

(220-b)

În relatiile de mai sus, indicele s desemneaza valori de regim stationar. Introducând notatiile:

; (220-c)

ecuatiile (220-a) si (220-b) se transcriu cumulat în ecuatia vectoriala:

(222)

Solutia ecuatiei (222) este de forma:

, i=1,2 (223)

Valorile proprii ale matricii A, l l , se calculeaza prin rezolvarea ecuatiei:

(224)

I - matricea unitate, având aceleasi dimensiuni cu A.

Ecuatia (224) se scrie:

sau (225)

Conditia de stabilitate a starii stationare definita de valorile X_As, T_s se traduce prin necesitatea ca dupa o perturbatie temporara X_A(t) si T(t) sa revina la valorile X_As, T_s, dupa un timp suficient de îndelungat, adica:

si respectiv (226)

sau în variabilele de abatere x₁, x₂:

si (227)

Conditia de stabilitate (227) este satisfacuta daca valorile proprii l si l sunt reale si negative, sau numere complex conjugate cu partea reala negativa. În termenii coeficientilor ecuatiei (225), aceste cerinte se traduc prin inegalitatile derivate din relatiile între radacini si coeficienti:

(228)

(229)

Inegalitatile (228) si (229) reprezinta conditia necesara si suficienta de stabilitate, valabila pentru perturbatii de amplitudini mici, care mentin la un nivel acceptabil erorile introduse prin liniarizarea ecuatiilor de bilant. Înlocuind expresiile de definitie pentru L, M si N în aceste inegalitati, conditiile de stabilitate devin:

(230)

(231)

Cum se observa, conditia (231) este echivalenta cu cea dedusa prin studiul stabilitatii în diagrama q-T, definita prin inegalitatea (209). Conditia (209) este asadar o conditie necesara, nu si suficienta. Conditiile necesare si suficiente sunt date de inegalitatile (230) si (231). Desigur, rezultatul obtinut are valabilitatea limitata pentru sistemul de reactie descris de ecuatiile de bilant (165) si (177).

Analiza stabilitatii starii stationare prin metoda Lyapunov

În cazul proceselor caracterizate prin doua variabile de stare (cum este reactorul cu amestecare perfecta, descris în paragraful anterior, prin variabilele X_A si T), în planul (X_A,T), o stare stationara este asociata unui punct de coordonate (X_As, T_s). Deplasarea sistemului dintr-un punct oarecare (X_Ai, T_i) în punctul stationar (X_As, T_s), descrie în planul (X_A,T) o traiectorie de stare. Convergenta traiectoriilor de stare înspre un punct stationar poate fi continua sau oscilanta (fig. 19).

Fig. 19 Traiectorii de stare cu convergenta continua (1) sau oscilanta (2)

Convergenta continua apare atunci când, la descrierea prin ecuatiile diferentiale (220-a si b), valorile proprii l l , în expresia solutiei (223), sunt reale si negative, în timp ce convergenta oscilanta apare atunci când l si l sunt numere complex conjugate, cu partea reala negativa.

Este de subliniat în acest context, faptul ca sistemul format din ecuatiile diferentiale (220-a si 220-b) poate fi transformat în doua ecuatii diferentiale de ordinul doi liniare si omogene în x₁ si respectiv x₂, echivalente, având solutiile deduse în paragraful 1.2.3.2. Aceste ecuatii se obtin derivând fiecare din ecuatiile diferentiale (220) si eliminând una din variabile, astfel încât fiecare ecuatie de ordinul 2 sa ramâna într-o singura variabila. Se recomanda efectuarea acestor transformari ca exercitiu si particularizarea solutiei generale expusa la paragraful 1.2.3.2 pentru ecuatiile obtinute.

Metoda Lyapunov se bazeaza pe observatia ca orice traiectorie de stare care converge înspre un punct stabil, traverseaza "vecinatati" din ce în ce mai apropiate, situate în jurul acestuia. O "vecinatate" din jurul unui punct poate fi descrisa ca fiind o suprafata delimitata de o curba închisa, ce contine acel punct. Daca, de exemplu, se considera suprafete circulare, acestea sunt descrise de ecuatii având forma:

, (r - raza conturului liniar) (232)

Ecuatia (232) descrie o familie de cercuri concentrice având diferite raze, r. În notatiile introduse anterior (x₁=X_A - X_As si x₂=T - T_s) ecuatia (232) se scrie:

(233)

sau în forma vectoriala:

; (234)

În acelasi mod se pot considera vecinatati (contururi închise) de forma eliptica descrise de ecuatia:

(235)

sau vectorial:

; (236)

În general, o curba închisa în jurul originii (care reprezinta punctul stationar în variabilele de abatere x₁ si x₂), este descrisa prin ecuatia:

(a >0) (237)

Punctele de intersectie între o traiectorie de stare convergenta înspre origine si o familie de curbe închise, de parametru a, descrise prin ecuatia (237), vor verifica simultan atât ecuatiile ce descriu traiectoria (de exemplu (218) si (219) sau (220-a) si (220-b)) cât si ecuatia ce descrie familia de contururi închise (237). Vectorul X ce reprezinta coordonatele acestor puncte si functionala V(X) îndeplinesc urmatoarele proprietati:

(238)

(239)

(240)

(241)

- norma vectorului X.

O functionala V(X) cu proprietatile de mai sus este denumita functionala Lyapunov . Inegalitatea (240) reprezinta conditia ca, în timp, contururile închise pe care le intersecteaza traiectoria de stare sa aiba dimensiuni din ce în ce mai mici, ceea ce garanteaza convergenta continua înspre punctul stationar, de coordonate (0,0) în planul (x₁, x₂) sau (X_As, T_s) în planul (X_A,T)..

Exemplu:

Fie forma particulara a ecuatiilor de stare:

(242)

(243)

si (contur circular).

Punctele de intersectie între o traiectorie descrisa de ecuatiile (242) - (243) si cercurile din jurul originii de ecuatie (a>0) îndeplinesc conditiile (238), (239) si (241), prin natura functionalei V(X). Pentru a verifica daca si conditia (230) este îndeplinita, se calculeaza expresia derivatei:

(244)

Derivatele si sunt date de ecuatiile de stare ce descriu evolutia în timp a procesului (232) si (233). Înlocuind rezulta:

sau

(245)

Traiectoriile descrise de ecuatiile (242) si (243) sunt asadar convergente înspre origine. Punctul stationar reprezentat de originea planului (x₁, x₂) în aceasta descriere, este un punct stationar stabil.

Fig. 20 Traiectorie de stare si vecinatati circulare, în jurul unui punct stationar stabil

Aplicarea metodei Lyapunov la procese descrise prin ecuatii de stare liniare

Se propune analiza stabilitatii unei stari stationare a procesului descris prin sistemul de ecuatii diferentiale liniare în variabilele de abatere x₁, x₂.x_n (ecuatii obtinute prin liniarizarea modelului matematic al procesului în jurul starii stationare analizate) :

(246)

sau ecuatia vectoriala echivalenta:

(247)

în care:

;

Pentru aplicarea metodei Lyapunov, se defineste o functionala de forma:

(248)

si se analizeaza conditiile în care aceasta respecta conditiile (238) - (241) care garanteaza stabilitatea. Daca matricea P este definita pozitiv, sunt asigurate proprietatile reprezentate prin relatiile (238), (239) si (241).

Se analizeaza, în continuare, conditiile în care este îndeplinita proprietatea (240). Din (248) si (247) rezulta:

(249)

sau (250)

(251)

Proprietatea (240) este îndeplinita, daca matricea Q definita prin relatia (251) este definita pozitiv. Existenta a doua matrici definite pozitiv, P si Q, corelate prin intermediul relatiei (251), reprezinta conditia necesara ca functionala V(X) definita prin relatia (248) sa fie o functionala Lyapunov, care garanteaza stabilitatea procesului descris prin ecuatia (247).

Pentru modelul reprezentat prin ecuatiile diferentiale liniare (220-a) si (220-b), sau în forma vectoriala, prin ecuatia (222), matricea P este de dimensiuni (2 2), iar functionala V(X) are forma:

(252)

În relatia (251) se alege una din matricile P sau Q, definita pozitiv, urmând ca cealalta sa fie calculata si sa fie verificat daca este definita pozitiv.

Se presupune în continuare matricea Q în cea mai simpla forma, aceea de matrice unitate:

(253)

Elementele matricii P se calculeaza din ecuatia vectoriala (241):

(254)

Efectuând calculele rezulta:

(255)

sau

(256)

(257)

(258)

(259)

Elementele matricii A fiind cunoscute (definite prin relatia (220-c)), matricea P se calculeaza din ecuatiile (257) - (259). Din (257) si (258) rezulta p₁₂=p₂₁ (matricea P este simetrica). Matricea P, astfel obtinuta, este definita pozitiv daca valorile determinantilor principali ai acesteia sunt strict pozitive. Rezulta astfel inegalitatile necesare pentru asigurarea proprietatii de stabilitate:

(260)

(261)

Aplicatie numerica: Se considera urmatoarele valori ale parametrilor constructivi si de operare ai reactorului descris prin ecuatiile de bilant (165) si (177):

V=1.57 m³; S_T = 7.07 m²; K_T= 400 Kcal/m²hK; D_v0= 84.15 l/min; C_A0= 2.8 mol/l; r=800 kg/m³;

c_p= 0.7 kcal/kgK; T₀= =350 K; DH_RA= -40Kcal/mol; v_RA= k(T) C_A;

.

Pentru acest sistem de reactie se obtin trei puncte de functionare stationara:

M₁(X_As=0.035; T_s=353K), M₂(X_As=0.5; T=400K) si M₃(X_As=0.909; T_s=440.6 K).

Se va expune în continuare aplicarea procedurii expusa mai sus, pentru verificarea stabilitatii starii stationare M₃.

a)      Calculul elementelor matricii coeficientilor, A, în modelul liniarizat (relatia 220-c).

; mol/l min

mol/l min K ; ; ; K; ; ; ;

;

;

Solutia sistemului de ecuatii (256) - (259) este: p₁₁=1.43;  p₁₂=p₂₁= - 235.21; p₂₂= 42770.925.

Inegalitatile (260) si (261) fiind verificate, punctul studiat, M₃ (X_As=0.909; T_s=440.6 K), este un punct stationar stabil.

Regiuni de stabilitate

Determinarea regiunilor de stabilitate prin metoda Lyapunov

Confirmarea stabilitatii locale are o utilitate limitata, întrucât indica doar faptul ca traiectoriile din vecinatatea unui punct stationar sunt convergente, fara însa a furniza informatii referitoare la extinderea acestei vecinatati. Vecinatatea unui punct cu proprietatea enuntata mai sus este denumita regiune de stabilitate. Convergenta traiectoriilor într-o regiune de stabilitate poate avea loc fie înspre un punct de regim stationar (fig. 21-a), fie înspre o traiectorie stabilizata de tip oscilant (fig. 21-b), reprezentata în planul fazelor printr-o curba închisa. Regiunea de stabilitate descrisa în primul caz, este denumita regiune de stabilitate asimptotica si se caracterizeaza matematic prin respectarea în orice punct al acesteia, a inecuatiei . Traiectoria stabilizata de tip oscilant, descrisa în al doilea caz, apare în cazurile de exceptie, în care . Conditia generala defineste asadar la modul general o regiune de stabilitate.

Etapele determinarii regiunilor de stabilitate ale reactorului R descris prin variabilele de stare C_A si T sunt urmatoarele:

se alege o functionala Liapunov ;

se determina expresiile matematice ale derivatei acesteia în raport cu timpul si se reprezinta grafic în spatiul starilor (planul stare C_A - T), curba descrisa de ecuatia , care delimiteaza doua semiplane.

Fig. 21-a Regiuni de stabilitate asimptotica ; convergenta continua; (b) convergenta oscilanta

Fig. 21-b Regiune de stabilitate oscilanta

Fig. 22 Determinarea unei regiuni de stabilitate

Se determina conturul închis V(X)=ct., de dimensiune maxima situat în semiplanul . Acest contur constituie o regiune de stabilitate asimptotica. Daca în expresia functionalei (248) se introduce P=I (matricea unitate), regiunea de stabilitate asimptotica V(X)=ct este reprezentata prin suprafata din interiorul unui cerc, tangent la curba (v.fig. 21-a). Metoda expusa permite determinarea ordinului de marime a abaterilor DC_A si DT admise, în conditiile mentinerii stabilitatii în jurul punctului de functionare stationara. Conditiile de stabilitate furnizate de aceasta metoda sunt conditii suficiente, însa nu neaparat necesare. Metoda Liapunov furnizeaza informatii necesare determinarii unei regiuni de stabilitate asimptotica, fara a garanta daca s-a identificat întreaga regiune reala de stabilitate a reactorului. Forma si dimensiunile acestei regiuni sunt dependente de forma functionalei V(X) cu care se lucreaza.

Aplicatie:

Sa se identifice o regiune de stabilitate a unui reactor R, în care are loc o reactie ireversibila de ordinul I. Se cunosc urmatoarele date: h^-1

Parametrii de operare (valori de regim stationar):

C_A0 = 4.325 kmoli/m³; V= 2.83 m³; D_v = 5.66 m³/h; K_T S_T=226.86 kcal/h K; T₀=T_a= 294 K

Constantele sistemului de reactie: DH_RA=-5557.2 kcal/kmol; r c_p= 801.2 kcal/m³ K

În regim dinamic functionarea reactorului este descrisa prin ecuatiile (165) si (177) scrise în forma:

; (262)

(263)

iar în regim stationar:

; (264)

(265)

Prin solutionarea sistemului de ecuatii (264) - (265) se obtine un singur punct de functionare stationara: C_A,s=2.692 kmol/m³; T_s= 304.786 K

Se definesc abaterile temperaturii si concentratiei: ;

Prin scaderea ecuatiei (265) din ecuatia (263) si a ecuatiei (264) din ecuatia (262), se obtine:

(266)

(267)

se introduc în continuare notatiile:

; ;; ;;

Înlocuind în (266) si (267) rezulta:

(268)

(269)

Se propune o functionala Liapunov de forma:

;

Înlocuind si din (268) si (269), dupa regruparea termenilor se obtine:

Se reprezinta grafic ecuatia si se identifica semiplanele în care si (fig. 23). Se traseaza apoi elipsa de dimensiune maxima situata în regiunea , din care rezulta abateri admise ale temperaturii de pâna la 11 °C în jurul punctului de functionare stationara. Ţinând seama de forma functionalei propuse, regiunea de stabilitate asimptotica va fi reprezentata printr-o suprafata eliptica, situata în semiplanul în care (fig. 23).

Determinarea regiunilor de stabilitate prin metoda Krasovskii

Pentru un sistem (reactor chimic) descris în regim dinamic prin ecuatia de stare vectoriala:

;

metoda Krasovskii utilizeaza o functionala V(X) de forma:

(270)

P(n n) - matrice patrata definita pozitiv

Fig. 23 Determinarea unei regiuni de stabilitate eliptice pentru reactorul R

Ca urmare a dependentei univoce între X si F, în cazul în care n=2, unei elipse din planul (f₁, f₂) îi corespunde o curba închisa în planul (x₁, x₂). Pentru n>2 se obtin hipersuprafete închise atât în spatiul (f₁, f₂, .) cât si spatiul (x₁, x₂, .).

V(X) astfel definita satisface conditiile unei functionale Liapunov, cu exceptia conditiei , ce ramâne a fi verificata. Se analizeaza în continuare aceasta conditie:

(271)

(272)

(273)

Înlocuind în (271) si tinând seama ca , se obtine în continuare:

(274)

Se noteaza: (275)

Rezulta: (276)

Conditia , se transforma astfel în conditia ca matricea patrata Q sa fie definita pozitiv. În conformitate cu metoda Krasovskii, punctele din interiorul unei regiuni de stabilitate asimptotica satisfac conditia ca matricea Q definita prin relatia (275) sa fie definita pozitiv.

Etapele determinarii regiunilor de stabilitate a reactorului R sunt urmatoarele:

Se alege functionala , presupunând într-un mod oarecare elementele matricii P;

Se determina elementele matricii J si în continuare cele ale matricii Q;

Se determina regiunea în care matricea Q este definita pozitiv;

Se stabileste conturul închis descris de ecuatia V(X)=ct, de dimensiune maxima situat în semiplanul , deci semiplanul în care matricea Q este definita pozitiv. Acest contur delimiteaza o regiune de stabilitate asimptotica.

În continuare se prezinta modul de determinare prin aceasta metoda a regiunii de stabilitate a unui reactor R, în care are loc o reactie ireversibila de ordinul I.

Se reiau ecuatiile (268) si (269) sub forma:

Se propune: ; ; (277)

; (278)

Se calculeaza elementele matricii Q:

(279)

Pentru ca matricea Q sa fie definita pozitiv este necesar sa fie îndeplinite conditiile:

(280)

Se traseaza curbele q₁₁=0 si si se stabileste conturul închis caracterizat de ecuatia: , de dimensiune maxima situat în semiplanul , în care matricea Q este definita pozitiv (deci semiplanul în care sunt îndeplinite simultan inecuatiile (280)) . Acest contur este un cerc în planul (f₁, f₂) si o curba închisa de o alta forma în planul fazelor (x₁, x₂)

Fig. 24 Determinarea unei regiuni de stabilitate prin metoda Krasovskii

Regiunea maxima de stabilitate asimptotica

Pentru o anumita metoda de determinare a regiunii de stabilitate asimptotica, se poate identifica regiunea de extindere maxima pe care este garantata stabilitatea, solutionând problema de maximizare a parametrului k din ecuatia V(X) = k, în conditiile respectarii restrictiei .

Solutionarea acestei probleme este posibila prin metoda multiplicatorilor Lagrange, maximizând functionala:

; (L - multiplicator Lagrange). (281)

Din conditiile de maxim, rezulta ecuatiile:

(282)

Din rezolvarea sistemului (282) rezulta solutiile:

Notând , regiunea maxima de stabilitate asimptotica este delimitata de conturul descris de ecuatia:

(283)