Difractia undelor
Daca undele intalnesc obstacole de dimensiuni comparabile ca ordin de marime cu lungimea de unda se produc abateri de la propagarea rectilinie, ceea ce conduce la o redistribuire in spațiu a intensitații undelor, aparand zone de intensitate maxima si respectiv intensitate minima, specifice fenomenului de interferenta.
Astfel, fenomenul de difracție consta in patrunderea undelor in domeniul umbrei geometrice a obstacolelor de dimensiuni mici, comparabile cu lungimea de unda a undelor respective. Ca obstacole putem avea un paravan prevazut cu o fanta mica, sau un obiect netransparent, de o forma oarecare. Explicarea fenomenului de difracție se poate face pe baza principiului Huygens-Fresnel.
7.5.1 Principiul Huygens-Fresnel
O unda reprezinta in general
propagarea unei perturbații din aproape in aproape, in intregul
spațiu. Daca se considera o suprafața inchisa S care inconjoara
izvorul de unde I, este evident ca perturbația va ajunge intr-un punct P
oarecare, aflat in exteriorul suprafeței S, prin intermediul punctelor de
pe aceasta suprafața. Se poate pune intrebarea daca propagarea undelor in
exteriorul suprafeței inchise S nu se reduce la emisia de catre niște
surse dispuse convenabil pe aceasta suprafața (fig.21). 
Raspunsul la
aceasta intrebare il constituie principiul lui Huygen 838g65i s, care afirma ca sursa
primara de unde poate fi inlocuita printr-o distribuție continua de surse secundare punctiforme, convenabil
alese pe suprafața inchisa S, astfel incat rezultanta obținuta prin
suprapunerea undelor secundare in punctul P sa fie identica cu unda primara
emisa de izvorul I, care ajunge in punctul P. Suprafata inchisa S poate fi
particularizata la o sfera sau la un plan, corespunzator formei concrete a
frontului de unda.
Se constata insa ca principiul lui Huygen 838g65i s poate explica patrunderea undelor in regiunea umbrei geometrice, dar nu explica redistribuirea intensitatii undei, adica producerea franjelor de difractie. Ultimul aspect al fenomenului de difractie este explicat printr-o completare adusa de Fresnel la principiul lui Huygen 838g65i s: amplitudinea si faza fiecarei surse secundare sunt egale, in fiecare punct al suprafetei S, cu amplitudinea si faza produse in aceste puncte de catre unda primara. Astfel, potrivit postulatului lui Fresnel, undele secundare de pe suprafata S sunt unde coerente si deci pot introduce fenomenul de interferenta. In acest sens, disfractia poate fi considerata ca o interferenta multipla a undelor secundare, emise de toate sursele plasate pe o suprafata de unda.
Combinatia dintre principiul "de constructie" al lui Huygens cu postulatul interferentei emis de catre Fresnel poarta numele de principiul Huygens-Fresnel.
Fresnel face ipoteza ca amplitudinea 
a undei emise de o sursa secundara 
este proportionala cu aria 
a sursei secundare, si depinde de directia de
propagare. Valoarea amplitudinii este maxima in sensul de propagare a undei
primare, si nula pe aceeasi directie in sens contrar. Astfel se explica faptul
ca nu apar unde regresive (care s-ar intoarce la sursa principala I), si deci
la fenomenul de interferenta contribuie numai undele secundare progresive (care
se propaga in sens direct).
Aceasta ipoteza a lui Fresnel este descrisa
matematic prin introducerea unui factor de inclinare
, care
descrie variatia cu unghiul 
a amplitudinii 
a
undelor secundare:
(7.103)
unde 
, pentru 
si scade la zero pentru 
.
Din punct de vedere istoric au ramas denumirile de difractie Fresnel - pentru cazul cand difractia se studiaza in lumina divergenta, si difractie de tip Fraunhofer - pentru cazul in cand difractia se studiaza in lumina paralela.
7.5.2 Difractia Fresnel (in lumina divergenta)
Consideram o unda
monocromatica cu lungimea de unda 
, ce se
propaga intr-un mediu omogen de la sursa I, ajungand in punctul de observatie
P. In general, sursa I poate fi inconjurata de o suprafata de forma arbitrara.
Pentru simplificare alegem o suprafata sferica de raza 
, centrata pe
sursa I (fig.22).
Potrivit principiului
Huygens-Fresnel, fiecare portiune de pe frontul de unda poate fi considerata o
sursa de unde secundare. Perturbatia ajunsa in punctul de observare P de pe o
portiune de arie 
centrata pe punctul 
este:
(7.104)
unde:
(7.105)
este amplitudinea perturbatiei in punctul P datorata undelor secundare ce
se propaga de pe o suprafata de arie , iar 
este amplitudinea la o distanta egala cu
unitatea de "sursa" , si 
este faza initiala. Elementul de arie trebuie ales suficient de mic, astfel incat
marimile 
si 
sa ramana constante in limitele acestei arii.
Presupunem ca intre sursa I
si punctul de observare P se sufla un ecran netransparent, in care se practica
o deschidere de raza 
(fig.23). Pentru a calcula intensitatea
luminii in punctul P vom utiliza metoda
zonelor Fresnel. Potrivit acestei metode, frontul undei se imparte in zone
inelare cu centrele in punctul 
(fig.22), ducandu-se sfere cu
centrul in P si avand razele 
.., in asa fel incat:
(7.106)
Aceasta inseamna ca sferele cu centrele in P au razele:
Aceasta impartire a frontului de unda in zone Fresnel prezinta avantajul ca ariile zonelor sunt practic egale, asa cum se demonstreaza in continuare:
(7.107)
Se stie ca aria unui segment
de sfera este 
, astfel ca aria zonei Fresnel
cu numarul va fi:
(7.108)
Exprimand in triunghiurile IMiA si PMiA cateta comuna MiA :
obtinem inaltimea 
:
(7.109)
Din relatia 
, ridicand la patrat,obtinem:
de unde:
(7.110)
In aproximarea 
relatia (7.108)
devine
(7.111)
Asadar, ariile zonelor
Fresnel nu depind de numarul , ceea ce
inseamna ca in amplitudinile (7.105) va depinde de numai 
Deoarece oscilatiile de la
zonele vecine percurg pana in punctul P distante ce se deosebersc prin
diferenta 
, rezulta ca acestea vor
ajunge in punctul P in opozitie de faza :
(7.112)
unde 
este numarul total de zone Fresnel cuprinse in
deschiderea circulara de raza
Scriind teorema lui Pitagora (fig.23) in
triunghiul 
:
(7.113)
si neglijand termenul 
in aproximatia 
daca tinem seama de (7.110) si de relatia 
, obtinem
Considerand 
se obtine numarul total de zone :
Datorita factorului de inclinare , amplitudinile ale undelor ce ajung in punctul P scad odata
cu cresterea numarului al zonei, 
Considerand aceasta scadere
monotona, amplitudinea corespunzatoare zonei va fi media aritmetica a amplitudinilor 
si 
care se poate scrie si sub forma:
Din (7.116) rezulta ca toate parantezele sunt nule, si astfel putem scrie:
pentru impar, si
(7.119)
pentru par.
Cum 
, putem considera 
, si astfel (7.118) si (7.119)
devin:
(7.120)
unde semnul " + " corespunde unui numar impar de zone Fresnel, iar semnul " - " corespunde unui
numar par.
Daca intre sursa I si
punctul P nu exista nici un ecran, atunci 
, si 
, aceasta insemnand ca in
cazul unui front deschis al undei, amplitudinea rezultanta in punctul P este
jumatate din amplitudinea undei secundare emise de prima zona Fresnel, de pe ariea
. Pentru 
si 
se obtine 
In concluzie, drept urmare a interferentei actiunea in punctul P a tuturor zonelor Fresnel, cu exceptia primei zone, se anuleaza reciproc, si totul se petrece ca si cum unda s-ar propaga din punctul I in punctul P prin interiorul unui canal ingust. Aceasta explica propagarea rectilinie a luminii, postulata in optica geometrica.
Expresia (7.115) fiind
simetrica fata de si 
, inseamna ca o sursa
punctiforma asezata in punctul P produce in I acelasi efect ca si in cazul cand
locul sursei I se inverseaza cu locul punctului de observatie P (aceasta
constituie principiul reversibilitatii
drumului razelor de lumina din optica geometrica).
Daca pe deschiderea
circulara de raza 
cade o unda plana, 
, numarul zonelor Fresnel
este :
(7.121)
Dupa cum rezulta din (7.120),
intensitatea undei in punctul P este determinata de zonele Fresnel cu numarul 1
si , adica de
prima si ultima zona Fresnel. In functie de numarul , ultima
zona poate fi importanta sau total neglijabila. Din (7.115) si (7.121) rezulta
ca numarul este dat de trei parametri: si 
. Variind acesti
parametri, vor apare maxime sau minime ale intensitatii intr-un punct din
spatiu.
Din calculele efectuate rezulta urmatoarele afirmatii:
a) Daca frontul undei este complet deschis, atunci intensitatea undei
intr-un punct P din spatiu este numai 
din intensitatea undei care ar fi data in
punctul respectiv numai de prima zona Fresnel.
b) Daca aria deschiderii circulare, intr-un ecran opac, ar fi egala cu aria primei zone Fresnel, in punctul P s-ar obtine o intensitate de patru ori mai mare decat intensitatea undei cu frontul deschis.
c) Obturand toate zonele Fresnel pare (sau impare), amplitudinea rezultata este :
sau
adica intensitatea luminii in punctul P va fi mult mai mare decat daca lumina ar ajunge direct din I in P.
d) Schimband fazele tuturor zonelor pare (sau impare) cu 
, se poate obtine o
intensitate a luminii cu mult mai mare decat in cazul c).
Exemplul 5
Consideram difractia pe un
ecran circular cu diametrul de 
. Daca in
absenta ecranului intensitatea luminii in punctul de observatie P, venind de la sursa I (fig.23) are valoarea 
pentru lungimea de unda 
, se cer:
a) Intensitatea in centrul figurii de difractie, daca ecranul obtureaza prima zona Fresnel;
b) Intensitatea in centrul figurii de difractie, daca ecranul obtureaza jumatate din prima zona Fresnel;
c) Daca ecranul circular este plasat la jumatatea distantei 
dintre sursa si un ecran intunecos, pe care se
observa figura de difractie, sa se determine aceasta distanta, in conditiile de
la punctul a).
Rezolvare
a) Din (7.112) obtinem:
(7.122)
Din rezulta 
; introducand
in (7.122), expresia lui 
ia forma:
Asadar, pentru numar par se obtine 
, iar
pentru numar impar se va obtine 
. Pentru un
numar infinit de zone 
, in ambele
situatii obtinem 
. In
consecinta, intensitatea undei in punctul de observatie va fi egala cu
intensitatea emisa de sursa in front deschis:
b) 
pentru impar, respectiv
pentru par (s-a considerat ca numarul de zone este
mare, astfel ca 
, de unde
rezulta ca se poate considera ca 
. Pentru
ambele cazuri se poate scrie 
, de unde 
.
c) Raza primei zone Fresnel trebuie sa fie egala cu diametrul ecranului
circular, 
, 
si 
. Din (7.115)
obtinem
de unde se obtine
7.5.3 Difractia Fraunhoffer (in lumina paralela)
Vom studia de difractia unei unde plane,
monocromatice, pe o fanta de latime 
si lungime
. Vom
considera ca unda plana cade normal pe planul fantei (fig.24). Lentila L
focalizeaza lumina difractata sub diferite unghiuri 
in diferite puncte ale ecranului E plasat in planul
focal al lentilei.
Pentru efectuarea
calculelor vom diviza lungimea a fantei in benzi cu largimea elementara 
, fiecare
banda creand in punctul O o perturbatie de amplitudine:
(7.123)
Amplitudinea undei corespunzatoare intregii fante va fi data de:
de unde obtinem:
(7.125)
Distributia
fazelor in punctul O va fi aceeasi ca in planul AB, care face unghiul cu planul fantei. Tinand seama de faptul ca
raza ce ajunge pe fanta la distanta 
de punctul A va parcurge o diferenta de drum
egala cu 
, diferenta de faza
corespunzatoare va fi 
, si astfel
se poate scrie:
Datorita coerentei perturbatiilor provenite de la
toate sursele elementare, de latime ,
amplitudinea undei rezultante in punctul O va fi :
(7.127)
Astfel, amplitudinea
undei refractate sub unghiul este:
(7.128)
si intensitatea luminii care se propaga in urma difractiei sub unghiul va fi
(7.129)
unde este intensitatea luminii care se propaga de pe intreaga
fanta pe directia 
. In unele cazuri
practice unghiul este suficient de mic, astfel ca 
, si
(7.129) ia forma:
(7.129')
Se observa ca intensitatea luminii pe ecranul E variaza in functie de
unghiul (fig.25)
Pentru directii care satisfac conditia:
, (7.130)
unde 
este egal cu 
,
intensitatea luminii este 0. Deoarece 
, maximul
intensitatii se realizeaza pentru conditia 
, si in
acest caz 
.
Conditia de maxim secundar pentru
functia 
este 
, de unde
obtinem:
cu solutiile 
etc.
Valorile functiei 
pentru diferite valori ale lui au fost indicate in tabelul 1.
Maximele secundare au
intensitatea mult mai mica fata de cel principal. Astfel, cea mai mare parte a
energiei undei (peste 85%) este concentrata in maximul principal din fig.25,
adica in domeniul 
, sau
echivalent 
. Deoarece
pozitia maximelor si minimelor depinde de lungimea de unda , figura de
difractie 25 este valabila numai pentru o lungime de unda data. Departarea
minimelor fata de centrul figurii creste o data cu micsorarea lui , astfel ca
franja luminoasa centrala se largeste daca largimea fantei se micsoreaza.
Dimpotriva, crescand largimea fantei, pozitia primelor minime se apropie de
centrul figurii, iar maximul central devine mai pronuntat
Daca lumina nu este
monocromatica, pentru avem maxime principale
pentru toate lungimile de unda . In cazul luminii albe,
in mijlocul figurii de difractie avem lumina alba, apoi benzi de diferite
culori: violet - cel mai apropiat de centrul figurii de difractie, si rosu -
cel mai indepartat de centrul figurii de difractie.
7.5.4 Reteaua de difractie plana
Retelele de difractie plane, prin transmisie, se obtin
prin trasarea unor zgarieturi fine, drepte, paralele si echidistante pe
suprafata unor placi confectionate dintr-un dielectric transparent (fig.26)
Fantele de largime sunt separate prin portiuni opace de largime 
, iar
marimea:
(7.131)
se numeste perioada (constanta) retelei. Pe retea cade normal un
fascicul de lumina monocromatica, coerenta, producandu-se un fenomen complex:
difractia luminii produsa de fiecare fanta si interferenta luminii provenita de
la toate fantele. Intensitatea undei deviate prin difractie de fiecare fanta sub
unghiul este data de (7.129). Diferenta de drum intre
fasciculele care trec printre doua fante vecine este 
, iar diferenta de faza
este:
Am ajuns astfel la problema interferentei fasciculelor multiple. Daca reteaua
este formata din 
fante, se poate scrie, pe baza formulei (7.89):
(7.133)
unde este intensitatea luminii obtinuta de la
fiecare fanta, in directia . Primul termen din (7.133)
caracterizeaza distributia intensitatii luminii ca urmare a difractiei prin
fiecare fanta, iar al doilea distributia intensitatii datorita interferentei
luminii care trece prin cele fante.
Pentru o diferenta de drum:
unde 
se numeste ordinul
de difractie pentru lungimea de unda specificata, avem maxime principale de interferenta. Daca este satisfacuta relatia (7.134),
expresia intensitatii luminii capata forma:
(7.135)
Minimele intensitatii se
obtin cand numaratorul expresiei (7.133) se anuleaza, adica 
,
de unde rezulta:
(7.136)
unde 
Maximele secundare se obtin din conditia ca derivata expresiei (7.133) in
raport cu sa se anuleze, de unde se obtine ecuatia
transcendenta:
(7.137)
Solutia ecuatiei (7.137) este:
(7.138)
unde 
.
Inlocuind valorile lui din (7.138) in (7.133), se obtin intensitatile
maximelor secundare in diferite puncte ale ecranului de observare. Astfel, distributia
intensitatii obtinuta prin interferenta a fascicule este modulata de figura de difractie
in fiecare fanta (fig.27).
La incidenta oblica (fasciculul incident nu este paralel cu normala la planul retelei), din fig.28 se observa ca pot aparea doua cazuri:
a) Cazul cand lumina cade pe retea pe o directie de aceeasi parte a normalei cu directia luminii difractate, si in formula (7.134) se va lua pentru diferenta de drum:
(7.139)
b) Cazul cand lumina cade pe retea pe o directie de cealalta parte a normalei cu directia luminii difractate, si in formula (7.134) se va lua pentru diferenta de drum
(7.140)
Exemplul 6
Cunoscand lungimea de unda si distanta focala 
a lentilei utilizate (fig.29), sa se determine,
pentru o retea cu constanta retelei 
:
a) pozitiile maximelor de ordinul 
pentru o retea de difractie cu constanta ;
b) ordinul cel mai inalt al maximului care se mai poate observa cu reteaua data.
Rezolvare
a)
(7.141)
(7.142)
Eliminand 
intre (7.141) si (7.142), se obtine:
(7.143)
b) Conditia de ordin maxim se obtine din conditia ca numitorul relatiei (7.143) sa fie un numar real:
de unde:
(7.144)
Exemplul 7
O sursa de lumina emite unde
cu lungimile de unda cuprinse intre 
si 
. Lumina
cade normal pe suprafata unei retele de difractie plane. Pentru o directie 
a luminii difractate fata de directia luminii
incidente, cele doua lungimi de unda extreme ale spectrului se suprapun. Sa se
determine:
a) Ordinul de difractie corespunzator suprapunerii celor doua lungimi de unda;
b) Numarul de trasaturi pe centimetru de retea;
c) Ordinul maxim de difractie ce se poate observa cu aceasta retea, pentru
lungimea de unda 
.
Rezolvare
a) 
. Asadar,
pentru unda cu lungimea de unda 
ordinul de difractie este 
, in timp
ce pentru unda cu lungimea de unda 
.
b) Din 
sau 
obtinem 
c) Conditia pentru ordinul maxim de difractie este:
de unde obtinem 
si astfel ordinul maxim este 
Exemplul 8
Sa se demonstreze ca cel mai
intens dintre maximele secundare din figura de difractie a unei retele de
difractie, ce contine un numar foarte mare de fante, nu depaseste 
din valoarea maximelor principale.
Rezolvare
Conditia de maxim secundar este data de (7.13 ):
Din transformari trigonometrice simple, obtinem:
In acest caz, (7.133) devine:
(7.145)
Maximul
corespunzator pentru 
(maximul principal) va avea expresia:
(7.146)
Maximul
secundar cel mai apropiat de cel mai apropiat de cel principal crespunde,
conform (7.138), lui 
:
Pentru un numar mare de
fascicule care interfera se considera 
si unghiul 
foarte mic, astfel ca se poate face
aproximatia 
si (7.145)
ia forma:
(7.147)
Deoarece
si 
, (7.147)
devine:
|
