ECUAŢIILE LUI MAXWELL. PROPAGAREA CÂMPULUI ELECTROMAGNETIC

6.1. Concluzii referitoare la aplicarea legilor generale si

de material. Legatura dintre fenomenele electrice si magnetice

Teoria macroscopica fenomenologica a fenomenelor electromagnetice utilizeaza pentru analiza acestor fenomene, asa dupa cum s-a aratat, sase specii de marimi primitive: , precum si un numar important de marimi derivate.

Dintre acestea unele caracterizeaza din punct de vedere electric si magnetic corpurile, cum sunt, si , iar altele reprezinta marimi de stare locala ale câmpului electromagnetic. Astfel, pentru caracterizarea locala a câmpului în vid, se utilizeaza ; marimile si se utilizeaza pentru caracterizarea locala a câmpului electric în corpuri, iar si pentru caracterizarea locala a câmpului magnetic în corpuri.

Marimile si , care caracterizeaza câmpul electromagnetic în vid, depind, prin si , de proprietatile electrice si magnetice ale acestuia.

În cele 12 legi cunoscute ale teoriei m 242g66c acroscopice a fenomenelor electromagnetice intervin trei constante universale: / si (constanta lui Faraday).

În legile de material intervin, în afara constantelor universale, anumite marimi de material cum sunt:

.

Parametrii constitutivi ai unui mediu/material electromagnetic sunt: .

Legile generale permit cunoasterea:

- conditiilor de producere a câmpului electric si a celui magnetic, precum si de transformare a unuia în celalalt;

- conditiilor de circulatie a câmpului electromagnetic de-a lungul oricarei curbe închise/deschise, sau prin orice suprafata închisa/deschisa.

Legea conservarii sarcinii electrice, legea conductiei electrice si legea transformarii energiei în conductoare ( legi de material) stabilesc conditiile de producere, circulatie si efectele energetice ale curentului electric de conductie. Efectul electrochimic al curentului electric este exprimat prin legea electrolizei(Faraday).

Din analiza acestor legi se pot trage o serie de concluzii si anume:

1. În regim stationar nu exista legatura între fenomenele electrice si magnetice, cu exceptia câmpului magnetic al conductoarelor parcurse de curent electric (legea circuitelor magnetic - teorema lui Ampere).

Asadar câmpul electric si cel magnetic în regim stationar sunt legate prin intermediul conductoarelor parcurse de curent. Daca acesta dispare, atunci se pot defini distinct si independent:

- câmpul (regimul) electrostatic;

- câmpul (regimul) magnetostatic.

Câmpul electric este determinat:

a. în izolatori (dielectrici), de repartitia în tot volumul a sarcinilor electrice libere, respectiv a momentelor electrice - în cazul corpurilor polarizate;

b. în conductoare, de repartitia superficiala de sarcina electrica.

Câmpul electrostatic este produs în principal de corpuri încarcate sau polarizate electric.

Câmpul magnetic este determinat:

a. în regim stationar si cvasistationar (c.c. si c.a. sinusoidal) de repartitia curentilor electrici si a momentelor electrice (cazul corpurilor magnetizate);

b. în regim variabil de interconditionarea dintre repartitiile de sarcini si cele de curenti, exprimate prin legea inductiei electromagnetice, legea conservarii sarcinii electrice si legea circuitului magnetic, cu varianta acesteia, în cazul regimului stationar, teorema lui Ampere. Aceasta dubla legatura conditioneaza aparitia si existenta în regim variabil a câmpului electromagnetic desprins de corpuri si propagat la distanta de surse sub forma de unde electromagnetice, cu viteza foarte mare dar finita.

Nota

Câmpul electromagnetic se spune ca" este desprins de corpuri" deoarece în legile generale, care pun în evidenta producerea si propagarea sa, nu intervin marimi de material, ci numai constante universale.

6.2 Ecuatiile lui Maxwell

Ecuatiile lui Maxwell (James Clerk, 1831-1879, profesor la Cambridge Univesity) reprezinta formele locale ale celor mai generale legi ale câmpului electromagnetic în medii imobile si în domenii de continuitate, netezime si omogenitate ale proprietatilor fizice locale.

Aceste ecuatii sunt:

si se completeaza cu relatiile de material:

Solutiile sistemului de ecuatii de mai sus () sunt univoc determinate daca se dau marimile , , conditiile de frontiera ale domeniului în care se analizeaza câmpul si conditiile initiale ale starii acestuia.

Semnificatiile ecuatiilor lui Maxwell

Prima ecuatie (6.2.1) exprima dependenta câmpului magnetic de viteza de miscare a sarcinii electrice, prin curentul i, si de viteza de variatie a câmpului electric, prin densitatea curentului de deplanare .

A doua ecuatie exprima fenomenul de inductie electromagnetica, respectiv de producere a unei t.e.m. prin inductie, într-un circuit închis, ca urmare a variatiei fluxului magnetic care îl strabate.

A treia ecuatie exprima faptul ca un câmp electric static are ca sursa sarcinile electrice distribuite volumetric într-un corp (izolator).

A patra ecuatie arata ca nu exista surse de câmp magnetic, cu exceptia curentilor electrici de conductie (teorema lui Ampere).

În vid si ecuatiile lui Maxwell devin:

Trebuie mentionat rolul deosebit de important al curentului de deplasare , (rel. 6.2.1) , alaturi de cel de conductie, în aparitia si propagarea câmpului electromagnetic.

Pe baza acestor ecuatii, descoperitorul lor, savantul englez James Clark Maxwell a demonstrat teoretic existenta si propagarea la distanta de corpuri (surse) a undelor electromagnetice.

Punerea în evidenta în mod experimental a acestor unde a fost facuta de H. Hertz în anul 1888, cu ajutorul celebrei experiente în care a utilizat un oscilator si un rezonator de conceptie proprie.

Împreuna cu Hertz, Maxwell a elaborat ulterior si ecuatiile de propagare ale câmpului electromagnetic pentru medii în miscare.

Astfel, de la prima descoperire în domeniul electromagnetismului (H. Oersted - 1819-1820) si pâna la elaborarea ecuatiilor câmpului de catre Maxwell au trecut doar 50 ani, timp în care au fost descoperite principalele legi si teoreme ale fenomenelor electrice si magnetice, care au culminat cu elaborarea teoriei macroscopice fenomenologice a câmpului electromagnetic (teoria lui Maxwell si Hertz).

6.3. Producerea si propagarea câmpului electromagnetic

Din analiza ecuatiilor lui Maxwell rezulta ca în cazul câmpurilor variabile în timp apare o dubla legatura cauzala între câmpul electric si câmpul magnetic, legatura care conditioneaza aparitia si propagarea la distanta a câmpului electromagnetic desprins de corpuri sub forma de unde electromagnetice cu viteza foarte mare dar finita (viteza luminii în vid).

Câmpul electromagnetic se propaga la distanta de corpuri prin undele electromagnetice care au viteza foarte mare dar finita.

Pentru studiul propagarii câmpului se alege o directie privilegiata, fie aceasta Ox si un plan perpendicular pe aceasta directie P, la o distanta suficient de mare de sursa de emisie (o antena de emisie), într-un mediu omogen, izotrop si imobil(aer/spatiu liber) .

Un astfel de câmp care depinde numai de x si t si care se propaga la distanta mare de antena se numeste câmp plan sau unda plana.

Unda plana se caracterizeaza prin marimile de stare si .

Presupunând ca mediul (aer) este liniar si ca sunt date si (), se cauta solutiile ecuatiilor lui Maxwell în conditiile în care în mediul respectiv nu exista sarcini electrice libere () si nici curenti (), pentru a pune în evidenta producerea si propagarea câmpului electromagnetic la distanta exclusiv prin interactiunea dintre câmpul electric variabil în timp si câmpul magnetic variabil în timp.

Directia Ox se numeste directia de propagare (fig. 6.3.1).

Ţinând seama ca si , deci

si cum , din sistemul dezvoltat al ecuatiilor lui Maxwell si anume:

rezulta:

Ecuatiile (6.3.1) exprima faptul ca unda electromagnetica este o unda plana transversala, având componente numai în planul yOz. Aceasta înseamna ca unda oscileaza transversal pe directia de propagare:

Vectorii si se afla în plane transversale pe directia de propagare, plane care se deplaseaza cu viteza , numita viteza de faza.

Ecuatiile neidentic nule ale sistemului (6.3.1) contin câte doua perechi de marimi independente între ele , care reprezinta doua unde independente, oscilând în acelasi plan (fig. 6.3.2).

În continuare se analizeaza o singura astfel de unda, având în vedere ca perechile sunt simetrice; deci studiul se poate restrânge la una singura. Se constata ca aceasta contine doua unde elementare, care oscileaza perpendicular una pe cealalta, în mod independent:

Pentru rezolvarea sistemului (6.3.2) se elimina una dintre necunoscute. În acest scop, se deriveaza de pilda prima ecuatie dupa x si se aduna cu a doua ecuatie derivata dupa t si înmultita cu :

În urma acestor operatii se obtine relatia :

care poarta numele de ecuatia undelor.

În mod similar se poate obtine din aceeasi pereche de marimi ecuatia undelor în raport cu :

Solutiile generale ale ecuatiilor undelor sunt functii arbitrare de x si t, în care aceste marimi se afla într-o relatie liniara:

Aceste solutii pun în evidenta existenta a doua unde, una care se propaga în sensul pozitiv al axei Ox, numita unda directa si alta care se propaga în sensul negativ al axei Ox, numita unda inversa; aceasta din urma fiind cauzata de reflexia undelor directe.

Presupunând ca antena este strabatuta de un curent alternativ sinusoidal, atunci si undele produse vor fi de aceeasi forma, astfel încât se poate scrie luând în consideratie numai unda directa:

Se observa conditia evidenta:

unde K este o constantaî ce trebuie determinata.

Asfel, la t = 0, si .

Înlocuind în (6.3.8) se obtine:

de unde:

Rezulta ca faza initiala este:

Înlocuind-o în (6.3.7), se obtine:

Fie doua puncte si pe directia de propagare (fig. 6.3.2). Daca pentru aceste puncte fazele respective si difera cu , marimile au valori identice. În aceste conditii lungimea de unda se calculeaza astfel:

Lungimea de unda este distanta cea mai mica dintre doua plane de unda în care si au aceeasi faza. În vid , unde este viteza luminii în vid.

Marimea:

este viteza de faza a undei în mediul considerat, egala cu viteza luminii în acel mediu (cu precizarea ca ). În aer, , deoarece .

Semnul (+) pentru corespunde undei directe, iar semnul (-) undei inverse sau reflectate.

Din relatiile (6.3.2) se poate calcula, de pilda,, prin integrare, Astfel, se obtine:

unde , se numeste impedanta de unda a mediului de propagare (în mod obisnuit-spatiu liber).

Impedanta de unda mai poate fi scrisa sub forma:

unde reprezinta impedanta de unda a vidului.

Concluzii

1. În medii imobile, liniare, omogene si izotrope, neîncarcate si izolante (), cum este de pilda aerul (cu un continut redus de umezeala), solutiile ecuatiilor lui Maxwell depind de o singura variabila (x - în cazul de fata) si reprezinta unde plane, care se propaga perpendicular pe directia de propagare, în sens direct (unde directe) si în sens invers (unde inverse/reflectate).

Exista cel mult patru unde elementare care compun o unda plana pe o directie de propagare data.

2. În componenta fiecarei unde plane, vectorii si sunt ortogonali, atât între ei, cât si fata de directia de propagare, astfel încât cei trei vectori , , formeaza un triedru ortogonal drept (pentru unda directa), sau invers (pentru unda inversa).

3. În cazul undei directe, de exemplu, produsul vectorial x , care are directia si sensul directiei de propagare a undei se noteza cu x si exprima densitatea fluxului de putere a câmpului electromagnetic. Vectorul poarta numele de vectorul lui Poynting.

4. În fiecare moment si în fiecare punct al directiei de propagare, valorile lui si ale lui sunt proportionale, raportul lor reprezentând impedanta de unda a mediului ().

5. Undele si oscileaza în faza(sunt simfazice).

6. Oscilatiile fiecarei unde elementare sunt oscilatiile transversale, cu directia de oscilatie invariabila. Din acest motiv se spune ca aceste oscilatii (respectiv undele electromagnetice) sunt unde cu polarizare liniara.

Verificarea teoriei câmpului electromagnetic elaborata de Maxwell a fost utilizata de autor pentru elaborarea teoriei electromagnetice a luminii(1865).

Prin masurarea valorii lui pe cale optica si compararea acesteia cu cea rezultata din teorie, s-a obtinut acelasi rezultat, punându-se în evidenta astfel corectitudinea acestei teorii.

Oscilatorul lui Hertz(1888)

Asa cum s-a aratat, verificarea în practica a teoriei câmpului electromagnetic, elaborata de J. C. Maxwell, a fost facuta de fizicianul german H. Hertz, în anul 1888, printr-o experienta celebra,în care, pentru producerea undelor electromagnetice, a utilizat oscilatorul care îi poarta numele  (fig. 6.3.3).

Oscilatorul este constituit dintr-o bobina de inductie, având doua înfasurari - primar si secundar - la bornele înfasurarii secundare fiind alimentate doua tije metalice de lungimi l₁ si respectiv l₂ , pe care pot glisa sferele metalice S₁ si S_2, constituind armaturile unui condensator electric variabil.

Capacitatea condensatorului fie , iar inductanta condensatoarelor de legatura L. Între cele doua tije se afla întrerupatorul disruptiv K_S.

La fiecare întrerupere a curentului din bobina primara, în bobina secundara, se va induce o t.e.m, care încarca condensatorul C.

Tensiunea U_S din spatiul K_S  fiind foarte mare, acest spatiu se strapunge si se produc scântei, însotite de oscilatii de frecventa foarte înalta a curentului i_S prin secundar. Ca urmare se va produce un fenomen de radiatie a undelor electromagnetice în spatiul înconjurator, care sunt captate (deci evidentiate) de un rezonator (rezonatorul lui Hertz), acordat pe frecventa oscilatorului.

La fiecare scânteie va corespunde un tren de oscilatii ale curentului, care va propaga în spatiu un tren de unde, cu lungimea de unda . La distanta de 2 mm între armaturile condensatorului si la parametri L si C determinati ai oscilatorului se pot obtine oscilatii cu frecvente de pâna la 150 Ghz .

Oscilatorul lui Hertz este echivalent unui dipol cu sarcina electrica variabila .

În prezent, pentru producerea de unde electromagnetice în regim continuu (cazul emitatorului radio, de pilda), în scopuri practice, se utilizeaza un alt tip de oscilator, constituit dintr-un circuit oscilant, cuplat magnetic cu o antena de emisie (fig. 6.3.4.). Antena reprezinta în acest caz un circuit oscilant deschis (dipol electric), care propaga undele electromagnetice la distanta mare de sursa.

Acordul circuitului oscilant cu antena pentru randament maxim la emitator (teoretic, 50 %) se face cu ajutorul condensatoarelor variabile C₁, C₂.

6.4. Teorema energiei electromagnetice

Aceasta teorema este o consecinta directa a ecuatiilor lui Maxwell si pune în evidenta aspectul energetic al câmpului electromagnetic, capabil sa acumuleze, sa transmita, sau sa schimbe energie între diferite sisteme.

Se considera un domeniu de câmp electromagnetic (fig. 6.4.1) de volum , delimitat de suprafata închisa  în interiorul caruia se afla conductoare si circuite magnetice imobile si liniare din punct de vedere electric si magnetic ( independente de E si respectiv H).

În acest volum este localizata o anumita cantitate de energie electromagnetica, W_i, având densitatea de volum:

Energia W_i  se poate scrie atunci sub forma:

Conform principiului conservarii energiei (primul principiu al termodinamicii), variatia în timp a energiei sistemului fizic dat de domeniul considerat, respectiv variatia starii acestui sistem, trebuie sa fie egala cu suma puterilor cedate altor sisteme fizice cu care acesta este în contact:

sistemul de conductoare din interiorul volumului V_i;

sistemul fizic exterior, separat prin suprafata .

Ca urmare, se poate scrie:

considerând sistemul dat imobil ().

În relatia (6.4.3), termenul d./dt, respectiv puterea corespunzatoare lucrului mecanic al sistemului la schimbarea starii acestuia, este nul, sistemul fiind considerat imobil.

În aceeasi relatie (6.4.3) termenii au urmatoarele semnificatii:

si reprezinta puterea transmisa de câmp corpurilor conductoare din domeniul ;

este puterea transmisa în exterior de câmpul electromagnetic prin suprafata . Aceasta putere urmeaza sa fie determinata.

Înlocuind în (6.4.3) termenii cu expresiile cunoscute se obtine:

Se calculeaza integrala de volum din primul membru astfel:

Cum:

se obtine:

În aceste conditii, integrala de volum din primul membru devine:

Cu ajutorul teoremei Gauss - Ostrogradski, relatia (6.4.5) devine:

Aceasta relatie exprima formal teorema energiei electromagnetice si pune în evidenta faptul ca viteza de scadere a energiei câmpului electromagnetic dintr-un domeniu finit, limitat de o suprafata închisa , este egala cu suma dintre energia cedata conductoarelor din interiorul domeniului si fluxul prin suprafata a vectorului (fig. 6.4.1).

Acest vector se noteaza cu si poarta numele de vectorul lui Poynting - Umov sau vectorul densitatii fluxului de putere electromagnetica ce traverseaza o suprafata transversala pe directia de propagare a câmpului. Reprezinta de asemenea , o marime de stare locala a câmpului electromagnetic. Se poate scrie deci:

Cu ajutorul vectorului se poate determina fluxul (total) de putere electromagnetica transmis printr-o suprafata închisa , în unitatea de timp, respectiv puterea transmisa prin acea suprafata:

Sensul de referinta (sensul conventional pozitiv) al fluxului de putere transmis de câmp în exterior este sensul ales pentru normala exterioara la suprafata domeniului respectiv.

Vectorul reprezinta, ca si vectorii , o marime de stare locala (marime de punct) a câmpului electromagnetic.

6.5. Transmiterea energiei electromagnetice prin conductoare

Una dintre caracteristicile cele mai importante ale curentului electric , precum si ale undelor electromagnetice este aceea ca transporta energie(evident, o alta este aceea ca transmit semnale/mesaje). Energia câmpului electromagnetic se poate transmite la orice frecventa, deci si în regim stationar, când frecventa curentului este zero. În practica, transmiterea curenta a energiei electrice prin conductoare, la puteri industriale, se face la frecventa de 50/60 Hz. În acest caz intereseaza mai mult randamentul transmisiei (respectiv minimizarea pierderilor de transport prin linii) decât fenomenul de adaptare a receptorului la generator. În cazul, însa, al transmisiei semnalelor, regimul de lucru este cel variabil de medie si înalta frecventa, caz în care intereseaza adaptarea , iar semnalele sunt transmise eficient,  dintr-un loc în altul, prin unde progresive. Un ansamblu de conductoare care permite o astfel de transmisie poarta numele de linie de transmisie. Lungimea de unda a undei progresive de tensiune/curent care se transmite în lungul unei linii de transmisie, de rezistenta neglijabila, este data de relatia:, unde este frecventa undei, iar c - viteza luminii în vid.

Daca , rezulta ; astfel, caracterul de unda progresiva nu va putea fi pus în evidenta pe liniile de transmisie uzuale, la frecventa industriala, a caror lungime l este mult mai mica decât , deoarece în intervalul de timp necesar schimbarii polaritatii sursei de c.a., energia intrata pe linie a ajuns de mult la celalalt capat al liniei. Cu alte cuvinte la frecventa industriala si, în general, la frecvente mici nu se poate vorbi de fenomenul de propagare a undelor.

Daca frecventa creste, ajungând în domeniul undelor radio, apare fenomenul de propagare a undelor care poate fi caracterizat prin unde progresive.

În functie de raportul dintre lungimea de unda si dimensiunile sistemului(retelei, liniei) de transmisie a energiei, un astfel de sistem poate fi considerat:

- fara propagare (cu parametrii concentrati), daca >>l ;  - cu propagare (cu parametrii distribuiti), daca <<l .

În primul caz se spune ca în principiu rezolvarea circuitelor (retelelor) se bazeaza pe teoremele lui Kirchhoff, fiind vorba de circuite cu parametri concentrati, pe când în cel de al doilea metoda de rezolvare are la baza ,în esenta, ecuatiile lui Maxwell, sau metode combinate ( a se vedea , de pilda, metodele de calcul ale liniilor lungi) - fiind vorba de circuite cu parametri distribuiti.

De exemplu o linie de transmisie de 50 m lungime va reprezenta:

o linie cu parametri concentrati, fara propagare, pentru curenti cu frecventa de (curentul alternativ sinusoidal industrial are, respectiv 6000 km);

- o linie cu parametri distribuiti, cu propagare, pentru curenti cu, adica 100MHz().

Pentru a studia transportul energiei electrice prin conductoare se considera un conductor cilindric plin, de raza a si lungime l, având rezistivitatea , parcurs de curentul stationar i (fig. 6.5.1).

Liniile câmpului electric si ale celui magnetic din interiorul si exteriorul conductorului au aliura din figura. În interior liniile câmpului electric sunt paralele cu axa conductorului, iar cele ale câmpului sunt cercuri concentrice cu conturul conductorului.

În exterior liniile câmpului sunt de asemenea concentrice, pe când câmpul capata o componenta normala (radiala) ,, corespunzatoare sarcinilor distribuite pe suprafata conductorului, si una tangentiala, , egala cu câmpul electric interior (conform teoremei conversarii componentelor tangentiale ale câmpului electric la suprafata de separatie a doua medii).

Ca urmare, vectorul lui J.H.Poynting si N. Umov( 1884) este , în interior, radial si dirijat catre axul conductorului , fiind dat de produsul , iar în exterior are o componenta longitudinala, , si una transversala, aceasta din urma fiind îndreptata de asemenea spre axul conductorului .

aduce regiunii centrale a conductorului energia necesara procesului de conductie, împreuna cu , energie care se transforma în caldura; asigura transmisia energiei în lungul conductorului, spre receptor. Se poate spune ca componentele si reprezinta pretul platit pentru transmiterea energiei electromagnetice prin conductor (pierderea de energie, prin transformare în caldura).

Se evidentiaza astfel ca transmisia energiei electromagnetice se face practic prin izolantul din afara conductorului, valoarea vectorului lui Poynting fiind maxima în vecinatatea suprafetei acestuia (la exterior). Conductorul are doar rolul de ghidare a acestei energii, absorbind pentru aceasta, din câmp, energia necesara pierderilor prin efect Joule-Lenz.În general, orice sistem de medii conductoare care determina propagarea undelor electromagnetice în lungul uni traseu se numeste ghid de unda.

Exemple: linia bifilara, cablul coaxial.

Nota

Conform celor aratate în prima parte a subcap. 6.5., la frecvente joase ( ) sursa de energie transmite circuitului întregul flux de putere electromagnetica ,, practic instantaneu( fara propagare), pe când la frecvente înalte ( <<l) acest flux se transmite prin fenomenul de propagare, din aproape în aproape, de la un capat la altul al conductorului.