Electromagnetismul

Electromagnetismul

Introducere

Interactiunea electromagnetica este una din cele patru interactiuni fundamentale din natura. Exercitându-se la distanta, ea este explicata cu ajutorul notiunii de câmp electromagnetic. În teoria clasica acesta este descris cu ajutorul a doua marimi vectoriale: - intensitatea câmpului electric si - inductia câmpului magnetic. În teoria cuantica imaginea câmpului electromagnetic este cea a unui ansamblu de fotoni (particule neutre care se deplaseaza cu viteza luminii si care transporta energie, impuls si moment cinetic). Actiunea câmpului asupra substantei se face prin forte, momente ale fortelor, magnetizari, polarizari, efectuarea de lucru mecanic, etc.

Marimi caracteristice câmpului electromagnetic

a)      Sarcina electrica (Q,q)

Sarcina electrica este o marime fizica scalara, constanta de cuplaj între substanta si câmpul electric. Sarcinile sunt de doua feluri: "pozitive" si "negative". Cele care au acelasi semn se resping, iar cele de semn contrar se atrag. Forta de interactiune între particule încarcate electric, a caror dimensiune este neglijabila în comparatie cu distanta dintre ele, este data de legea lui Coulomb:

unde este permitivitatea electrica absoluta a mediului si este distanta dintre particulele ce sarcinile electrice si . Forta are directia dreptei care uneste cele doua particule si are sensul corespunzator respingerii daca si respectiv atractiei daca

Sarcina electrica este un ????? relativist (are aceeasi valoare fata de orice S.R.I.) si se conserva: "suma algebrica a sarcinilor dintr-un sistem izolat se conserva în timp". De asemenea sarcina este cuantificata: orice sarcina este multiplu întreg al sarcinii elementare

Observatie: quarcii, care poseda o sarcina fractionara nu pot fi liberi, ei sunt întotdeauna lega 929p159j 55;i astfel încât particula (hadronul) pe care o alcatuiesc are sarcina multiplu de e.

În functie de sarcina neta a corpurilor, acestea pot fi:

pozitiv încarcate, când au un surplus de sarcina pozitiva;

negativ încarcate, când au un surplus de sarcina negativa (de electroni)

neutre, când sarcinile pozitive le echilibreaza pe cele negative.

Corpurile se pot distinge si în functie de mobilitatea purtatorilor de sarcina:

conductoare daca poseda purtatori de sarcina mobili. Astfel, metalele poseda electroni liberi sa se miste, eliberati din patura de valenta a atomilor care îi compun. Alt exemplu este apa de mare care contine ioni pozitivi si negativi ai sarurilor dizolvate, liberi, de asemenea, sa se miste.

Atentie! Corpul dumneavoastra este un bun conducator de electricitate si trebuie sa va luati masuri de precautie când utilizati echipamentele electrice.

izolatoare, daca purtatorii de sarcina sunt liberi sa se miste doar într-o mica regiune legata de un atom sau grup mic de atomi. Exemple de izolatoare sunt: cauciucul, materialele plastice, ceramica, apa pura, aerul uscat, etc.

Sarcinile electrice pot fi separate în mai multe moduri:

prin contact: daca frecam un baston de sticla cu o bucata de matase,sau blana unei pisici cu un pieptan de plastic, putem produce un transfer de electroni de pe un obiect pe celalalt. Matasea atrage mai puternic electronii decât sticla, la fel si blana. Daca atingem un corp încarcat pozitiv de unul încarcat negativ se produce descarcarea si, daca sarcinile erau în cantitati egale, corpurile devin neutre.

prin inductie: daca apropiem un obiect încarcate de altul (neutru sau încarcat), electronii fiecarui corp se misca si se redistribuie în fiecare corp, sarcina totala ramânând constanta. Într-o parte a corpului avem un surplus de sarcina pozitiva iar în partea opusa, avem un surplus de sarcina negativa: corpul s-a polarizat.

În multe situatii sarcina electrica este distribuita continuu într-un anumit domeniu. Vom defini:

densitatea liniara de sarcina: sarcina pe unitate de lungime;

densitatea superficiala de sarcina: sarcina pe unitate de suprafata;

densitatea volumica de sarcina: sarcina din unitatea de volum.

Daca purtatorii de sarcina au o miscare ordonata în spatiu, avem un curent electric. când purtatorii se misca ordonat într-un mediu conductor sub actiunea fortelor electrice, curentul se numeste de conductie (electronii în metale) iar daca se deplaseaza corpul încarcat (dielectric sau conductor) avem un curent de convectie (o bila electrizata se plimba prin camera)

Intensitatea curentului (sau, simplu, curentul) printr-o suprafata este marimea scalara:

Daca intensitatea si sensul curentului sunt constante în timp, avem un curent continuu .

Distributia curentului în sectiunea pe care o strabate poate fi descrisa cu ajutorul vectorului densitate de curent Acesta este egal cu:

unde este elementul de arie perpendicular (normal) pe directia de deplasare a purtatorilor. Semnul conventional la lui si al curentului este cel de deplasare al unor purtatori de sarcina pozitiva .

b)      Vectorul intensitate al câmpului electric.

Actiunea la distanta a fortelor electrice a fost explicata (Faraday) prin introducerea conceptului de câmp electric. O sarcina produce un câmp electric (forma de existenta a materiei) în spatiul înconjurator si acesta îsi manifesta prezenta actionând cu forte asupra altor sarcini care sunt aduse în reactiunea din jurul sursei.

Deoarece se manifesta prin forte, câmpul electric trebuie descris cantitativ de o marime fizica vectoriala, care a fost denumita "intensitatea câmpului electric":

si care este definita ca forta care actioneaza asupra unitatii de sarcina de proba (pozitiva, mica si în repaus) plasata într-un punct al câmpului.

Câmpul este "vizualizat" ce ajutorul liniilor de câmp: curbe tangente la vectorul , mai dese acolo unde câmpul e mare si mai rarefiate acolo unde intensitatea câmpului este mica. Ele pleaca din sarcinile pozitive si intra în sarcinile negative.

Când exista mai multe sarcini electrice (surse de câmp) se aplica principiul superpozitiei (suprapunerii) câmpurilor:

Când sarcinile sunt distribuite continuu, relatia anterioara devine:

Câmpul produs de o sarcina punctuala se deduce cu ajutorul legii lui Coulomb:

unde este versorul razei vectoare de la sarcina sursa a câmpului, la punctul în care calculam intensitatea .

c)      Momentul electric

Momentul electric al unei particule încarcate se defineste:

unde este sarcina electrica iar este raza vectoare a particulei în raport cu un sistem de referinta.

Pentru un sistem de particule încarcate electric momentul este:

În particular, pentru doua sarcini egale si de pol opus (dipol electric), momentul electric este:

unde este un vector de marime egala cu distanta dintre particule, având semnul de la particula negativa la cea încarcata pozitiv.

Asupra unui dipol rigid de moment electric introdus în câmp electric uniform , actioneaza un cuplu de forte care tind sa-l roteasca pâna când devin paralele cu liniile de câmp si energia potentiala de interactiune dipol-câmp: devine minima.

Momentul acestui cuplu este:

În câmpul electric neuniform asupra dipolilor se exercita si o forta rezultanta:

unde este distanta dintre sarcinile care alcatuiesc dipolul, considerata a fi foarte mica, iar este variatia lui pe unitatea de lungime, în lungul axei dipolului. Aceasta forta tinde sa transporte dipolul în regiunea în care are valori mari.

Vectorul de polarizare (polarizatia) este suma vectoriala a momentelor dipolare (atomice sau moleculare) din unitatea de volum:

d)      Vectorul inductie a câmpului magnetic

Câmpul magnetic este una din formele de manifestare ale câmpului electromagnetic. El are ca sursa magnetii permanenti (corpurile magnetizate) si sarcinile electrice în miscare. Câmpul magnetic se manifesta prin forte pe care le exercita asupra altor magneti permanenti sau asupra altor sarcini electrice în miscare. Câmpul magnetic este descris de o marime fizica vectoriala numita inductie a câmpului magnetic,

Ca definitie a inductiei magnetice putem folosi expresia fortei Lorentz:

sau expresia fortei lui Ampère cu care câmpul magnetic actioneaza asupra unui conductor parcurs de curent:

unde este elementul de lungime al conductorului. Liniile de câmp magnetic sunt tangente la si sunt întotdeauna închise.

e)      Momentul magnetic al unei bucle plane parcurse de curent

O bucla parcursa de curentul produce un câmp magnetic neuniform. Înfasurarea liniilor de câmp are forma ovoidala. Acest câmp poate fi descris de marimea fizica vectoriala numita moment magnetic:

,

unde este intensitatea curentului care parcurge bucla, este aria buclei iar este versorul normalei la bucla. Vectorul este perpendicular pe planul buclei si are sensul burghiului drept rotit în sensul curentului. În prezenta unui câmp magnetic exterior , asupra buclei se exercita un cuplu de forte de moment:

care tinde sa aduca vectorul paralel cu În aceasta pozitie, energia potentiala de interactiune bucla-câmp devine minima. În câmpul magnetic extern neuniform, asupra buclei se exercita si o forta rezultanta: care transporta bucla în zona cu câmp magnetic mai intens.

Vectorul de magnetizare (magnetizatia substantei) este definit ca suma vectoriala a momentelor magnetice ale atomilor sau moleculelor din unitatea de volum:

Caracteristici ale câmpurilor vectoriale: fluxul si circulatia

Fluxul unui câmp vectorial uniform printr-o suprafata plana (de exemplu: câmpul electric ) este o marime scalara definita:

unde este versorul normalei la suprafata iar este aria suprafetei. Daca dorim sa calculam fluxul câmpului printr-o suprafata închisa va trebui sa o împartim în suprafete suficient de mici pentru a fi considerate plane si pentru ca vectorul sa aiba aceeasi valoare în toate punctele lor, sa calculam fluxurile elementare prin aceste arii elementare si în final sa le însumam:

O teorema din analiza matematica (Gauss-Ostragradski) transforma aceasta integrala pe suprafata închisa într-o integrala de volum (volumul V marginit de suprafata ):

Expresia are semnificatia:

Notiunea de flux al câmpului printr-o suprafata are si o interpretare intuitiva simpla: este bilantul dintre numarul de linii de câmp care intra perpendicular prin elementele de arie. Amintindu-ne ca sursele liniilor de câmp sunt sarcinile electrice, fluxul câmpului indica prezenta sau absenta acestor sarcini - surse de câmp în interiorul suprafetei .

Circulatia câmpului electric de-a lungul unui contur închis este conectata cu notiune de lucru mecanic efectuat de câmp la transportul unei sarcini unitate de-a lungul acestui contur. Calculul se efectueaza astfel: Se împarte conturul în elemente de drum suficient de mici pentru a putea fi aproximate cu segmente de dreapta si pentru ca vectorul sa fie acelasi în toate punctele lor si se calculeaza lucrul mecanic asupra sarcinii unitate:

apoi se însumeaza si se trece la limita când elementele de drum devin infinit mici:

Integrala curbilinie, , pe curba indusa se numeste circulatia câmpului (electric) de-a lungul acestui contur. Ea poate fi transformata într-o integrala de suprafata cu ajutorul formulei lui Stokes:

unde este orice suprafata limitata de conturul , este versorul normalei la elementul , iar expresia este:

Ecuatiile lui Maxwell

Ecuatiile lui Maxwell fundamenteaza teoria câmpului electromagnetic si permite aflarea câmpurilor si atunci când se cunosc distributiile sarcinilor electrice si ale ecuatiilor.

a)      Prima ecuatie Maxwell se numeste "legea lui Gauss pentru vectorul intensitate a câmpului electric ": fluxul câmpului electric printr-o suprafata închisa este egal cu sarcina neta din interiorul suprafetei raportata la permitivitatea electrica absoluta a vidului

Aceasta se mai numeste si legea lui Gauss sub forma integrala. Transformând integrala de suprafata în integrala de volum (Gauss-Ostrogradski):

si

exprimând sarcina interioara cu ajutorul densitatii volumetrice de sarcina

obtinem:

Ultima relatie trebuie satisfacuta pentru orice volum, ceea ce conduce la egalitatea:

sau

Legea lui Gauss sub forma diferentiala

Legea lui Gauss semnifica faptul ca sursele câmpului electric sunt sarcinile electrice. Ea a fost dedusa pe baza legii lui Coulomb: si a rezultatului experimental obtinut de Faraday: În interiorul unui conductor în echilibru electrostatic, câmpul electric este nul:

b)      Cea de-a doua ecuatie Maxwell este legea fenomenului de inductie electromagnetica (Faraday)

adica, tensiunea electromotoare într-un curent indus (nu neaparat conductor) este egala cu viteza de variatie în timp a fluxului câmpului magnetic prin suprafata acelui circuit, luata cu semnul minus. Aceasta este legea lui Faraday sub forma integrala.

Transformând integrala curbilinie pe conturul închis într-o integrala de suprafata (Stakes) obtinem:

Suprafata fiind arbitrara obtinem forma diferentiala a legii lui Faraday:

Semnificatia acestei legi este aceea ca un câmp magnetic variabil în timp genereaza un câmp electric cu linii de câmp închise. Semnul minus exprima regula lui Lenz. La baza legii lui Faraday stau numeroase experimente efectuate de catre acesta în care cu ajutorul unui magnet în miscare sau al unei bobine parcurse de curent (sursa de câmp magnetic), se modifica fluxul lui prin suprafata unei bobine conectate la un aparat de masura. El a observat ca un câmp magnetic variabil, în timp determina aparitia unei tensiuni electromotoare si a unui curent indicat de aparatul de masura în bobina supusa experimentului.

c)      A treia ecuatie Maxwell este legea lui Gauss pentru câmpul magnetic:

daca, fluxul vectorului inductie magnetica printr-o suprafata închisa este nul. Semnificatia acestei legi este ca nu exista sarcini magnetice (polii unui magnet nu pot fi separati). O consecinta a acestui fapt este aceea ca liniile de câmp magnetic sunt întotdeauna închise. Transformând integrala de suprafata în integrala de volum (teorema Gauss - Ostrogradski)

se obtine legea lui Gauss pentru în forma diferentiala:

d)      Cea de-a patra ecuatie Maxwell se numeste "legea lui Ampère completata de Maxwell". Sub forma integrala ea este:

unde este intensitatea curentului (fluxul vectorului densitate de curent) iar fluxul câmpului electric printr-o suprafata (deschisa) sprijinita pe conturul indus . Aceasta lege semnifica faptul ca se poate produce un câmp magnetic cu linii de câmp închise cu ajutorul unui curent electric sau/si cu ajutorul unui câmp electric variabil în timp. Termenul a fost numit

curent de deplasare (prin analogie cu un dielectric plasat într-un crescator, ale carui unde se deformeaza continuu, sarcinile lor formând un curent de deplasare) si legea se poate scrie:

Daca transformam circulatia lui de-a lungul conturului închis în integrala de suprafata (teorema lui Stokes):

se obtine legea lui Ampère completata de Maxwell sub forma diferentiala:

Acestor patru ecuatii li se adauga legile de material:

1) unde este vectorul de deplasare sau inductia câmpului electric, este polarizatia, este susceptibilitatea electrica, este permitivitatea electrica absoluta a mediului. În medii omogene, liniare si izotope (nefero-electrice) si sunt marimi scalare.

2) unde este vectorul intensitate a câmpului magnetic, este magnetiztia, este susceptibilitatea magnetica a mediului, este permeabilitatea magnetica relativa a mediului iar este permeabilitatea magnetica absoluta a mediului. În medii omogene liniare si izotrope, (nefero-magnetice) si sunt marimi scalare.

3) Legea fortei: exprima forta exercitata asupra unui purtator de sarcina în câmpuri electrice si magnetice.

4) unde este densitatea de curent iar este conductivitatea mediului, reprezinta legea lui Ohm sub forma locala.

Ecuatiile lui Maxwell împreuna cu relatiile de material în mediile liniare si izotope nu determina uniunea decât daca, alaturi de conditiile initiale se cunosc conditiile de la frontiera domeniului considerat.

Conditii la limita:

Consideram suprafata continua de separatie între doua medii liniare si izotope, notate 1 si 2, normala la elementul de arie, fiind orientata conventional de la mediul 1 spre mediul 2. La aceasta suprafata, câmpurile sufera o discontinuitate, descrisa de conditiile la limita sau ecuatiile de trecere. Se considera o suprafata închisa de forma cilindrica cu "capacele" infinitezimale, de arie , paralele cu suprafata de separatie si situate unul în mediul 1 si celalalt în mediul 2.

a)      Fluxul lui prin cutie trebuie sa fie nul. Deoarece fluxul prin aria laterala este neglijabil, ramâne fluxul prin cele doua "capace": unde sunt câmpurile magnetice din cele doua medii, în vecinatatea suprafetei. Ultima ecuatie exprima faptul ca adica egalitatea componentelor normale la suprafata, ale câmpului magnetic.

Un rationament asemanator se poate aplica vectorului deplasare sau inductiei electrice Plecam de la legea lui Gauss pentru câmpul electric:

Sarcina din interiorul cilindrului este:

unde este înaltimea cilindrului. Când tindem cu cilindrul se reduce la elementul de arie si sarcina devine o sarcina superficiala caracterizata de densitatea superficiala:

astfel obtinem:

legea lui Gauss devine:

Neglijând fluxul prin aria laterala a cilindrului obtinem:

Deoarece relatia devine:

unde este o eventuala sarcina superficiala libera localizata pe suprafata. Componenta normala a deplasarii electrice se conserva daca si prezinta o discontinuitate când

Pentru celelalte doua ecuatii ale lui Maxwell vom considera un contur dreptunghiular având doua laturi paralele cu suprafata, una în mediul 1 si cealalta în mediul al 2-lea. Ele au lungimi egale si au ca versor vectorul . Laturile perpendiculare pe suprafata sunt infinitezimale în comparatie cu

Circulatia câmpului electric de-a lungul acestui contur va fi:

Cantitatea este nula deoarece pastreaza o valoare finita pentru . Altfel spus, chiar daca este discontinuu, câmpul magnetic este finit în vecinatatea suprafetei de discontinuitate si atunci fluxul derivatei sale temporale printr-o arie care tinde la zero este nul. Obtine:

unde este tangenta la suprafata de separatie. Rezulta continuitatea componentei tangentiale a câmpului electric:

Legea lui Ampère completata de Maxwell:

se trateaza într-un mod asemanator. fiind o marime finita, chiar daca sufera o discontinuitate, fluxul prin aria care tinde la zero a conturului dreptunghiular este zero. Curentul de conductie al sarcinilor libere poate fi diferit de zero, daca avem un curent superficial. Fluxul sau este: unde este versorul normalei la suprafata dreptunghiulara a conturului, tangenta la suprafata de discontinuitate, este densitatea de curent superficial. Obtinem:

Grupând cele patru conditii la limita:

unde este orientat de la mediul 1 catre mediul 2, ele ne indica modul în care se schimba, sau nu, componentele vectorului care caracterizeaza câmpul electromagnetic, la trecerea prin suprafata de discontinuitate.

6) Câmpul electric în substanta

6.1 Introducere

Daca plasam un atom în câmp electric exterior, asupra nucleului încarcat pozitiv se va exercita forta iar asupra norului electronic se va exercita o forta de sens contrar . Putem considera un nor electronic având densitatea volumica

În acord cu teorema lui gauss putem afla intensitatea câmpului electric în interiorul norului electronic uniform încarcat:

unde este distanta de la centrul norului electronic. Daca în prezenta unui câmp exterior nucleul si centrul norului electronic sunt separati prin distanta , asupra nucleului se exercita din partea norului o forta egala cu:

Aceasta forta trebuie sa fie compensata de catre câmpul electric exterior pentru ca nucleul sa fie în echilibru: distanta de echilibru este:

Astfel, câmpul electric exterior a transformat atomul într-un dipol electric al carui moment dipolar este:

proportional cu câmpul aplicat. Constanta de proportionalitate se numeste polarizabilitatea atomica:

.

În afara de a polariza atomii unei substante, câmpul electric exterior poate alinia moleculele, cum ar fi cele de apa, care poseda deja un moment electric dipolar.

În absenta câmpului extern, aceste molecule sunt orientate, datorita agitatiei termice, haotic si suma momentelor electrice dipolare din unitatea de volum, polarizatia este nula. Aplicând un câmp extern, diferit de zero, asupra dipolului se exercita un cuplu de forte al carui moment este care tinde sa aduca dipolul paralel cu câmpul extern, situatie în care energia potentiala devine minima .

6.2 Polarizarea electrica a dielectricului cu molecule nepolare

Vom considera un gaz monoatomic (un gaz mobil), ai carui atomi nu poseda un moment electric în absenta unui câmp exterior. Asa cum am vorbit în introducere, prin aplicarea unui câmp electric exterior atomii se polarizeaza:

fiind momentul electric dipolar indus. Acest tip de polarizare, în care norul electronic se deplaseaza, se numeste polarizare electronica. Daca ne imaginam un câmp electric exterior oscilant, ecuatia de miscare a centrului de sarcina se mai scrie:

unde este forta de revenire de tip elastic si este forta din partea câmpului electric exterior. Expresia complexa a câmpului oscilant este , cu frecventa unghiulara de oscilatie si solutia ecuatiei de miscare va fi: Introducând în ecuatie aceasta solutie obtinem:

În aceasta expresie reprezinta frecventa unghiulara la care este absorbita lumina. În câmpuri neoscilante si deplasarea norului electronic este:

Momentul electric indus de atom este:

.

Comparând cu expresia: gasim expresia ???????????? atomului:

Vectorul de polarizare, suma vectoriala a momentelor electrice dipolare din unitatea de volum se va calcula:

unde este concentratia gazului si este susceptibilitatea electrica a gazului. Din relatia

obtinem: Rezulta ca permitivitatea electrica a gazului este direct proportionala cu concentratia gazului si invers proportionala cu patratul frecventei optice a atomului. Acest rezultat constituie o aproximatie relativ buna în ciuda faptului ca am evitat complicatiile unei tratari cuantice exacte a problemei.

6.3 Polarizarea de orientare a dielectricului cu molecule polare

Sistemul analizat este alcatuit din molecule cu moment electric dipolar permanent (H₂O, NH₃,.). Datorita agitatiei termice momentele electrice sunt orientate practic si rezultanta lor este nula. Prin aplicarea unui câmp electric extern apare un moment electric indus datorat fortelor exercitate asupra electronilor (polarizare electronica) pe care îl vom neglija acum si un cuplu de forte care trebuie sa orienteze fiecare dipol paralel cu câmpul. Exista un bilant al celor doua tendinte opuse: de aliniere sub influenta câmpului aplicat si de dezaliniere datorita ciocnirilor termice ale moleculelor. Mecanica statistica afirma ca la echilibru termic numarul relativ de molecule care poseda energia potentiala este proportional cu factorul lui Boltzman:

Astfel numarul de molecule al caror moment electric dipolar formeaza unghiul cu câmpul electric raportat la unghiul solid este:

În conditii obisnuite exponentul este mic si facem aproximatia obtinând: . Integrând:

unde reprezinta numarul de molecule din unitatea de volum, concentratia gazului.

Înlocuind în integrala:

obtinem:

Polarizatia se calculeaza însumând vectorial momentele electrice din unitatea de volum. Rezultanta este orientata pe directia câmpului extern (componentele perpendiculare se compenseaza):

Polarizatia este direct proportionala cu E si invers proportionala cu T (legea lui Curie).

Avem deci: Putem extrage: relatie de asemenea verificata experimental. Daca se aplica un câmp electric oscilant momentele electrice dipolare vor tinde sa oscileze cu aceiasi frecventa. La frecvente înalte inertia moleculelor face ca acestea sa nu mai poata urma oscilatiile câmpului. În acest caz contributia momentului electric dipolar la înceteaza si ramâne doar cea datorata polarizabilitatii electrice, care se pastreaza datorita faptului ca electronii au inertia mica.