Energia si fortele electrostatice

1.10.1. Energia electrostaticã

Pentru a stabili un câmp electrostatic este nevoie de un lucru mecanic. Energia acestui câmp electrostatic este egalã cu lucrul mecanic ce trebuie efectuat pentru aducerea sarcinilor din exterior în poziþiil 18218o1412s e pe care le ocupã în câmp. Operaþiunea aceasta trebuie fãcutã lent ºi izoterm pentru a avea mereu echilibru electrostatic. Dacã la un anumit moment sarcina corpului K este q_k, ea reprezintã o fracþiune din valoarea ei finalã ºi deci:

(1.87)

Potenþialele corpurilor variazã liniar cu sarcinile ºi deci potenþialul V_k al corpului K la un moment dat este:

Mãrimea ia valori între zero ºi unu. Pentru mãrirea sarcinii unui corp cu cantitatea dq_k trebuie ca forþele exterioare sã efectueze un lucru mecanic pentru a învinge forþele câmpului. Dacã este intensitatea câmpului electric, acesta exercitã asupra sarcinii forþa elementarã iar forþa exterioarã trebuie sã fie: .

Prin urmare lucrul mecanic elementar efectuat de forþele exterioare pentru creºterea sarcinii fiecãrui corp cu , este: (1.88)

dar este potenþialul V_k al corpului în momentul respectiv ºi deci,

(1.89) Energia câmpului a crescut deci, cu mãrimea: (1.90) Þinând seama cã ºi , iar , rezultã:

. (1.91) Energia finalã se obþine prin integrare: (1.92)

relaþie ce constituie expresia energiei unui sistem de corpuri încãrcate.

Pentru un condensator plan, energia înmagazinatã între armãturi este datã de relaþia:

. (1.93) Pentru a arãta cã energia este localizatã în câmpul electric al condensatorului o vom exprima în funcþie de mãrimile ºi . Pornind de la relaþiile:

. (1.94)

Rezultã: (1.95)

unde V=S d. este volumul dielectricului dintre armãturi. Se introduce astfel noþiunea, densitate de volum a energiei electrice definitã astfel: (1.96)

în câmpurile omogene ºi:

în câmpurile neomogene. Cunoscând densitatea de volum se poate stabili energia sistemului cu relaþia:

(1.97)

1.10.2. Forþele electrostatice ºi teoremele forþelor generalizate

Fie un sistem de corpuri încãrcate ºi presupunem cã unul dintre ele se deplaseazã, variind astfel una din coordonatele sale generalizate. Lucrul mecanic efectuat de forþele exterioare pentru a varia cu dq_k sarcina, conductoarele trebuie sã compenseze atât creºterea de energie a câmpului, cât ºi lucrul mecanic efectuat de forþa generalizatã (moment, forþã, presiune, etc.). Bilanþul energetic al unui sistem de corpuri încãrcate, este: 

(1.98) Se deosebesc douã cazuri particulare în acest proces: - potenþialele corpurilor se pãstreazã constante; - sarcinile corpurilor se pãstreazã constante.

Teorema I Când sarcinile sunt constante, rezultã dq_K =0 ºi relaþia (1.98) conduce la:

(1.99) Acest caz corespunde situaþiei când corpurile încãrcate cu sarcini sunt deconectate de la surse ºi sunt înconjurate numai de dielectrici. Relaþia (1.99) reprezintã prima teoremã a forþelor generalizate.

Semnul (-) se interpreteazã prin aceea cã dacã X ºi dx sunt de acelaºi sens energia sistemului scade. Într-adevãr dacã sursele sunt deconectate, deplasarea corpurilor se produce numai pe seama energiei interne a sistemului ºi deci aceastã energie va scãdea. Teorema a-II-a Dacã potenþialele sunt constante (V_k=ct) relaþia (1.92) devine: (1.100)

care introdusã în (1.98) conduce la: . (1.101) Aceasta este cea de-a doua teoremã a forþelor generalizate ºi corespunde situaþiei când sistemul este conectat la surse (V=ct) ºi deci deplasarea corpurilor are loc pe seama unui consum de energie de la sursã. De remarcat faptul cã atât relaþia (1.99) cât ºi (1.101) conduc la acelaºi rezultat.

Cu teoremele forþelor generalizate, forþa de atracþie dintre armãturile unui condensator plan este: (1.102)

Aplicaþia 1 Un condensator plan are suprafaþa , iar distanþa dintre armãturi d=6mm. Între armãturi se aplicã o tensiune U=6kV. Sã se calculeze capacitatea condensatorului C, intensitatea câmpului electric E ºi energia W_e a condensatorului în ipotezele:

a) - dielectric este aerul: e_r=1; b) - dielectric este uleiul de transformator: e_r c) - dielectricul este format dintr-o placã de sticlã groasã de 4mm (e_r=6) ºi restul intervalului este acoperit cu un strat de parafinã (e_r

Rezolvare:  a.

b. c. Se formeazã douã condensatoare în serie C₁" ºi C₂". Rezultã: ,

deci:

Aplicaþia 2

Un condensator plan, cu armãturi circulare, paralele cu raza r = 8cm ºi distanþa dintre armãturi d=2mm, având ca dielectric uleiul de transformator (), este supus la o tensiune constantã U =100V. Sã se calculeze:

a. Forþa de atracþie dintre armãturile condensatorului;  b. Intensitatea câmpului electric dintre armãturi; c. Energia necesarã pentru a deplasa armãturile la distanþa d = 6mm.

Rezolvare c. Lucrul mecanic ce se efectueazã este: