Exercitii, probleme si teste pentru cursul general de Fizica nucleara si particule elementare

Exercitii, probleme si teste pentru cursul general de

Fizica nucleara si particule elementare

Proprietatile statice ale nucleelor

Enunturi

I.2.1. Calculati masa atomica a uraniului natural. Se cunoaste ca acesta consta dintr-un amestec de izotopi de si . Concentratiile celor doi izotopi sunt: 99.3%, respectiv, 0.7%. Se cunosc masele atomice ale ce 727e42h lor doi izotopi, anume: M₁ = 238.051 u, respectiv, M₂ = 235.044 u.

I.2.2. Masa atomica a izotopului de este de 7.018 u. Sa se determine energia de legatura pentru acest izotop. Care este energia de legatura pe nucleon Se dau: masa neutronului, m_n = 1.009 u, masa atomului de hidrogen, . Se stie ca 1 uc² = 931 MeV.

I.2.3. Sa se calculeze distanta minima de apropiere dintre o particula a cu energia cinetica de 8 MeV si un nucleu de .

Se dau urmatoarele marimi: sarcina electrica elementara, e = 1.6x10^-19 C, permitivitatea vidului, e = 8.855x10^-12 F/m

I.2.4. O metoda de determinare a razei unui nucleu (R = R_oA^1/3) este bazata pe studierea comportarii "mezoatomilor" (atomi in care unul sau mai multi electroni sunt inlocuiti cu miuoni). Sa se estimeze raza primei orbite Bohr pentru nucleele de ¹²₆C si ²⁰⁸₈₂Pb. Sa se comenteze rezultatele obtinute.

Se da expresia razei atomice in modelul atomic Bohr: r_n = r_o n², unde r_o = (4pe_o /Ze²m).

Se cunosc valorile tuturor constantelor implicate, anume: e_o = 8.84x10^-12 F/m, e = 1.6x10^-19 C, = h/2p 1.06x10^-34/2p J.s, m_e = 9.1x10^-31kg, m_m = 207m_e., R_o = 1.2 Fm.

I.2.5 Sa se estimeze energia cinetica pe care trebuie sa o aiba electronii pentru ca din procesul de imprastiere elastica pe nuclee de si sa se obtina informatii de structura referitoare la aceste doua nuclee.

Se dau valorile urmatoarelor marimi: r₀=1.3 Fm, h=6.64x10^-34J s, m_e=9.1x10^-31kg

I.2.6. Fie un experiment de imprastiere a particulelor pe nuclee de . Sa se calculeze energia potentiala datorata repulsiei coulombiene atunci cand cele doua nuclee se gasesc la o distanta de 10⁴ Fm., respectiv, 10 Fm. Sa se comenteze rezultatele obtinute din punctul de vedere al stabilirii structurii atomice.

Se da .

I.2.7. Formula sectiunii eficace diferentiale a lui Rutherford pentru imprastierea particulelor α pe nuclee are forma urmatoare:

unde Ze este sarcina nucleului tinta, E_cin este energia cinetica a particulelor α, e este sarcina electrica elementara, ε₀ este permitivitatea electrica a vidului, iar θ este unghiul de imprastiere.

In multe experimente este de interes analizarea comportarii sectiunii eficace in termenii patratului transferului de impuls , transfer datorat procesului de interactie. Sa se arate ca expresia sectiunii eficace diferentiale de imprastiere Rutherford se poate scrie sub forma de mai jos:

unde α este constanta structurii fine.

I.2.8. O marime fizica importanta pentru descrierea unor proprietati fundamentale ale nucleului atomic este factorul de forma. Se cere sa se demonstreze ca pentru o distributie de sarcina care prezinta simetrie sferica expresia factorului de forma este urmatoarea:

unde este raza patratica medie a distributiei de sarcina electrica.

I.2.9. Sa se calculeze factorul de forma pentru distributia de sarcina de mai jos:

I.2.10. Fie un "mezoatom" de cu un mezon μ intr-o stare 2s . Se cere sa se calculeze energia de legatura, in ipoteza ca distributia de sarcina nucleara este punctuala. Se cunosc valorile tuturor marimilor fizice care intervin in calcule.

I.2.11. O metoda de investigare a structurii nucleare este imprastierea electronilor rapizi pe nuclee. Fie un fascicul de electroni cu impulsul de 500 MeV/c. Se cer urmatoarele:

(i) Care este transferul de impuls pentru un electron imprastiat la un unghi de 10⁰

in ipoteza ca nucleul tinta nu pierde energie prin recul?

(ii) Care este lungimea de unda redusa de Broglie asociata pentru un electron imprastiat la un unghi de 10⁰?

(iii) Se poate investiga structura unui nucleu de cu acest fascicul de electroni?

Se considera ca se cunosc constantele fizice care intervin in rezolvarea problemei.

I.2.12. Care este sectiunea eficace diferentiala pentru imprastierea Mott pe un nucleu punctual cu numar de masa A? Cum se modifica valoarea acestei sectiuni daca se considera ca nucleul are o extindere spatiala sferica, cu o raza de forma ?

Rezolvari

1.2.1. Pentru rezolvare se foloseste relatia de mai jos:

unde c₁ este concentratia izotopului de (c₁ = 0.997), iar c₂ este concentratia izotopului de (c₂ = 0.007). Introducand valorile marimilor fizice implicate se obtine:

I.2.2. (a) Expresia energiei de legatura este urmatoarea:

Luand Z = 3 si N = 4 si folosind valorile date ale maselor atomice, se obtine valoarea energiei de legatura a nucleului de , anume:

(b) Energia de legatura pe nucleon se defineste astfel:

Pentru nucleul de se obtine:

I.2.3. Nucleul - care are o sarcina electrica - creeaza, la distanta r de centrul sau, un potential coulombian de forma: . Particula a - care are o sarcina - se va apropia de nucleu pana la o distanta minima r_min determinata de energia sa cinetica si de marimea potentialului coulombian nuclear. Se poate scrie relatia de mai jos:

Din relatia de mai sus se obtine distanta minima de apropiere, anume:

Folosind valorile specificate in enunt, se obtine:

I.2.4. Pentru rezolvare, se utilizeaza expresia razei atomice in modelul atomic Bohr, expresie data in enunt, anume:

r_n = r_o n²,

unde r_o = (4pe_oh'²/Ze²m).

Pentru atomul de carbon numarul atomic este Z = 12, iar masa este data de relatia m = A.u = 12.1.67x10^-27 kg.

Pentru prima orbita Bohr, respectiv, raza nucleului, se obtin urmatoarele rezultate:

- Carbon: r₁ ^C= 43.00 Fm, R(C) = 2.75 Fm

- Plumb: r₁^Pb = 3.12 Fm, R(Pb) = 7.11 Fm

Se constata ca orbita miuonului care s-ar afla pe prima orbita Bohr a unui "mezoatom" de Pb ar trebui sa se afle in interiorul nucelului de Pb. Pentru a respecta sensul modelului Bohr original - anume ca orbitele sa fie in afara nucleului - este necesar ca miuonul sa se afle pe o orbita cu numar cuantic principal n > 1 (n = 2 sau mai mult).

I.2.5. Se foloseste expresia lungimii de unda de Broglie:

si se pune conditia ca aceasta sa fie de ordinul razei nucleului, pentru a putea compara si a obtine informatii despre structura nucleara a nucleului considerat:

unde raza nucleului este data de expresia clasica:

Se folosesc relatiile din cinematica relativista si, dupa efectuarea calculelor, se obtine:

I.2.6. (a) Pentru calcularea energiei de repulsie coulombiana se poate folosi una dintre relatiile de mai jos:

Daca se doreste calcularea in sistemul natural de unitati se folosesc urmatoarele valori: . Se poate scrie:

In prima situatie - d=10⁴ Fm - se obtine urmatorul rezultat:

iar in cea de a doua - d=10 Fm - acesta este:

Din expresia distributiei unghiulare pentru imprastierea Rutherford se constata o scadere semnificativa a valorii pentru distante mici de apropiere dintre cele doua nuclee, pentru un unghi de imprastiere dat. In plus, se poate constata ca exista o probabilitate mult mai mare de imprastiere la unghiuri inapoi, pentru distante mici intre nuclee.

I.2.7. Se foloseste formula lui Rutherford initiala, anume:

Pentru cazul energiilor joase si intermediare energia cinetica este mult mai mica decat energia de repaus a nucleului (); de aceea, se pot folosi relatii nerelativiste. Energia cinetica se va scrie astfel:

In ipoteza ca nucleul tinta este in repaus, din legea de conservare a impulsului se obtine urmatoarea expresie a transferului de impuls, q

Expresia patratului transferului de impuls se poate scrie astfel:

Din trigonometrie, se foloseste relatia de legatura dintre functiile sinus si cosecanta, anume: De aceea, relatia anterioara se poate scrie astfel:

de unde rezulta:

Pentru a determina expresia lui este nevoie de stabilirea unei relatii intre si . Pentru se poate scrie relatia clasica, anume:

Pentru se face diferentiala expresiei Se obtine:

Folosind aceste relatii se poate scrie noua expresie a sectiunii eficace diferentiale pentru imprastierea Rutherford:

Luand in considerare expresia constantei de structura fina, anume:

precum si relatia de legatura dintre energia cinetica si patratul transferului de impuls (), se poate scrie expresia finala a sectiunii eficace diferentiale pentru imprastierea Rutherford:

q.e.d.

I.2.8. Pentru rezolvarea problemei se foloseste expresia generala a factorului de forma:

Sarcina nucleara totala se poate scrie si in modul urmator (moment de ordin zero al distributiei de sarcina electrica, ):

Pentru o distributie de sarcina cu simetrie sferica pentru distributia de sarcina se poate scrie urmatoarea relatie: . In acest caz, sarcina electrica totala a nucleului este data de expresia urmatoare:

Remarca. Pentru trecerea de la coordonate carteziene la coordonate sferice s-a luat in considerare valoarea Jacobian-ului transformarii, anume r².

Expresia generala a factorului de forma in coordonate sferice se poate scrie astfel:

Considerand axa polara orientata de-a lungul vectorului se poate scrie ca: , iar expresia anterioara are forma de mai jos:

Integrand in raport cu variabilele θ si φ se obtine:

Pentru rezolvare se dezvolta in serie ; expresia factorului de forma devine:

De aici se poate obtine relatia ceruta, anume:

I.2.9. Pentru rezolvare se foloseste expresia factorului de forma dedusa in problema I.2.8. cu luarea in considerare a distributiei de sarcina propuse in enunt, anume:

respectiv,

Sarcina totala a nucleului este data, in acest caz de relatia:

Factorul de forma explicitat pentru distributia de sarcina propusa se scrie astfel:

Se face notatia urmatoare: . Relatia anterioara se scrie astfel:

Efectuand integralele se obtine expresia finala:

I.2.10. Energia de legatura a unui electron in atom se poate scrie astfel:

Pentru un mezon μ energia de legatura creste deoarece masa acestuia, , este mai mare decat masa electronului, m_e. Se poate scrie:

Efectuand calculele se obtine:

I.2.11. (i) Transferul de impuls se poate calcula cu ajutorul urmatoarei relatii:

Se obtine:

(ii) Lungimea de unda de Broglie asociata se poate calcula astfel:

de unde rezulta:

(iii) Raza nucleului de calciu se poate calcula astfel:

Comparand aceasta valoare cu cea a lungimii de unda de Broglie dedusa anterior se constata ca:

De aceea, se poate investiga structura interna a nucleului de folosind fasciculul de electroni cu impulsul de 500 MeV/c.

I.2.12.