Interferenta a doua unde. Notiunea de coerenta

Interferenta a doua unde. Notiunea de coerenta

Presupunem ca in punctul M din spatiu ajung concomitent de la sursele S₁ si S₂ doua unde liniar polarizate, cu directiile de vibratie ale vectorilor si paralele (fig.12). Densitatea energiei campului electric in domeniul punctului M este:

(7.58)

Se constata ca in domeniul punctului M densitatea de energie a cimpului electromagnetic poate fi mai mare decit suma densitatilor de energie corespunzatoare fiecarei unde in parte. Pot exista insa alte puncte - ca de exemplu punctul N - in care undele provenite de la sursele S₁ si S₂ sunt in opozitie de faza, si deci densitatea de energie va fi mai mica decat suma densitatilor de energie.

Interferenta este fenomenul de suprapunere a doua sau mai multor unde, prin formarea de franje luminoase si intunecate succesive, deoarece in urma suprapunerii undelor are loc o redistribuire a energiei undelor in spatiu, in lungul fronturilor de unda. Desigur ca nu orice suprapunere a undelor conduce la fenomenul de interferenta, ci se impun unele conditii necesare asigurarii franjelor de interferenta.

7.4.1 Conditiile de obtinere a interferentei

In general, daca intr-un punct oarecare din spatiu se suprapun doua unde electromagnetice, confrom principiului superpozitiei intensitatea campului electric rezultant este:

(7.59)

Pentru a calcula intensitatea undei rezultante vom ridica la patrat (7.59):

(7.60)

Este important de subliniat ca aparatele de masura a intensitatii radiatiei prezinta o anume inertie, ceea ce impune medierea relatiei (7.60) pe un interval de timp , care este functie de proprietatile inertiale ale aparatului de masura utilizat. Asadar, tinand cont de formula (6.43), intensitatea undei rezultante este:

In functie de rezultatul medierii termenului de interferenta sunt posibile urmatoarele doua cazuri:

Cazul 1: Daca din (7.61) rezulta:

Cazul 2: Daca

In cazul 1 intensitatea undei rezultate prin suprapunerea celor doua unde este suma intensitatilor fiecarei unde provenite de la sursele S₁ si S₂, si deci interferenta undelor nu are loc.

Cazul 2, cand intensitatea undei rezultate nu este egala cu suma intensitatilor si , corespunde conditiilor de realizare a interferentei undelor. Asadar, inegalitatea:

(7.62)

este conditia necesara de realizare a interferentei a doua unde electromagnetice.

Daca vectorii intensitate a campului electric a celor doua unde electromagnetice, provenite de la sursele S₁ si S₂ se scriu sub forma:

Se poate arata usor ca pentru produsul scalar se obtine expresia:

(7.64)

unde

(7.65)

de unde rezulta:

(7.66)

Din (7.66) rezulta prima conditie de producere a interferentei: cele doua unde monocromatice trebui sa fie de aceeasi pulsatie

Daca , atunci diferenta de faza data la termenul variaza rapid, astfel incat trece in intervalul de timp atat prin valori pozitive cat si negative. In cazul poate avea loc fenomenul de batai, intalnit la compunerea oscilatiilor paralele.

Asadar, interferenta poate avea loc numai prin suprapunerea a doua unde de aceeasi pulsatie

(7.67)

Din (7.66) observam ca, pentru ca termenul de interferenta sa fie diferit de 0 se impune in plus ca diferenta de faza sa nu varieze sensibil in intervalul de timp . Rezulta deci, ca pentru realizarea interferentei a doua unde electromagnetice monocromatice de aceeasi pulsatie se impune conditia ca diferenta de faza sa-si pastreze valoarea in intervalul timpului de mediere . Undele pentru care diferenta de faza:

(7.68)

in spatiul observatiei, se numesc unde coerente.

Este clar ca S₁ si S₂ pot emite unde coerente numai daca procesul de emisie este corelat in faza, astfel incat, intr-un punct oarecare din spatiu, diferenta de faza sa fie data numai de diferenta de drum

Consideram suprapunerea a doua unde electromagnetice de aceeasi amplitudine intr-un punct din spatiu:

(7.69)

astfel ca intensitatea campului electric al undei rezultante este:

(7.70)

Notam prin diferenta de drum dintre cele doua unde:

Intensitatea undei rezultante este:

(7.72)

sau

(7.73)

Se remarca 2 cazuri particulare:

, daca (7.74)

si

, daca (7.75)

unde poarta numele de ordin de interferenta. In fig.13 se indica dependenta intensitatii undei rezultante in functie de diferenta de drum.

Asa cum s-a aratat, undele electromagnetice nu pot fi riguros monocromatice, ceea ce conduce la faptul ca . Aceasta conduce la introducerea contrastului figurii de interferenta:

(7.76)

Din (7.74) reiese ca maximele de interferenta de ordinul si se obtin pentru diferentele de drum:

(7.77)

(7.78)

In realitate, o unda electromagnetica nu poate fi riguros monocromatica, si fiecare linie spectrala cu lungimea de unda contine, de fapt, unde electromagnetice monocromatice de lungimi de unda cuprinse intre si . Suprapunerea maximelor de interferenta corespunzatoare unei anume lungimi de unda peste minimele ce corespund altor lungimi de unda conduce la slabirea contrastului figurii de interferenta.

Daca maximul de ordinul pentru o unda monocromatica cu lungimea de unda coincide cu maximul de ordinul pentru unda monocromatica cu lungimea de unda , atunci figura de interferenta nu mai poate fi observata experimental. Astfel, obtinem largimea limita a undelor electromagnetice care mai pot produce fenomenul de interferenta:

(7.79)

Asadar, pentru a fi posibila observarea experimentala a figurii de interferenta se impune ca:

(7.80)

Astfel, in cazul undelor electromagnetice provenite de la surse obisnuite de lumina, se poate vorbi numai de o coerenta limitata (sau partiala). In scopul caracterizarii coerentei partiale se introduce notiunea de timp de coerenta , sau de lungime de coerenta :

Daca radiatia emisa la un moment dintr-un anumit punct al sursei poate interfera cu radiatia emisa la momentul ulterior, , de acelasi punct al sursei, cele doua dadiatii sunt coerente in timp, iar marimea intervalului de timp caracterizeaza "coerenta temporala" a sursei. Pe baza mecanismului de emisie a undelor electromagnetice ne putem da seama ca timpul de coerenta este, de fapt, durata unui pachet de unde, si deci, acest interval de timp este dat de largimea spectrala a radiatiei, potrivit formulei (7.82)

si

Acest fapt conduce la concluzia ca fenomenul de interferenta poate fi observat numai daca diferenta de drum nu depaseste lungimea de coerenta .

In cazul surselor obisnuite de lumina largimea liniei spectrale este data, in principal, de efectul Doppler: , astfel lungimea de coerenta este:

Acest rezultat este confirmat de experientele efectuate de catre Michelson, cu privire la dependenta contrastului V al figurii de interferenta in cazul luminii rosii a cadmiului , in functie de diferenta de drum (fig.14). Se constata ca figura de interferenta poate fi observata numai daca

In cazul radiatiei stimulate emisa de un laser se pot obtine radiatii intr-un domeniu spectral , ceea ce corespunde unei lungimi de coerenta . Astfel, timpul de coerenta si respectiv lungimea de coerenta sunt practic nelimitate.

7.4.2 Interferenta fasciculelor coerente multiple

Consideram ca intr-un punct M din spatiu se suprapun unde coerente (fig.15). Vom admite ca diferenta de drum intre doua unde succesive este aceeasi, corespunzand unei diferente de faza:

(7.85)

Intensitatile campului electric, corespunzatoare acestor unde pot fi scrise sub forma:

Astfel, intensitatea campului electric al undei rezultante este:

(7.86)

In paranteza dreapta avem o progresie geometrica cu relatia

(7.87)

Daca este intensitatea radiatiei provenite in punctul M de la fiecare sursa, atunci intensitatea undei in punctul M va fi:

(7.88)

Calculam modulul patrat utilizand relatia :

obtinem:

(7.89)

Se poate arata simplu ca pentru

(7.90)

avem maxime principale:

(7.91)

Comditiile de minim ale intensitatii se obtin cand numaratorul in (7.89) este zero, iar numitorul este diferit de zero:

(7.92)

Numarul intreg poate lua orice valoare, insa nu poate fi multiplu de, deoarece daca , relatia (7.92) se reduce la conditia de maxim principal (7.90).

Asadar, intre maximul principal de ordinul zero si maximul principal de ordinul unu , numarul intreg poate lua valorile (7.92), realizandu-se minime, intre care se afla maxime secundare. Conditia de maxim secundar este:

(7.93)

cu solutia:

(7.94)

Inlocuind (7.94) in (7.88) se obtine intensitatea maximelor secundare. In fig.16 se indica distributia intensitatii in functie de diferenta de faza pentru . Interferenta fasciculelor multiple coerente prezinta urmatoarele avantaje:

- intensitatea maxima este mult mai mare decat in cazul utilizarii a doua surse, unde obtinem numai .

- largimea maximului principal este de ori mai mica decat in cazul interferentei a doua fascicule coerente.

Desigur ca se pun probleme serioase legate de obtinerea practica a doua unde coerente, de aceeasi intensitate, si cu atat mai complicata este obtinerea a unde coerente.

7.4.3 Metode de obtinere a interferentei

Exista numeroase metode si dispozitive pentru a se pune in evidenta fenomenul de interferenta (bilentila Billet, dispozitivul lui Michelson, interferometrul Fabry-Perot, oglinda Lloyd, dispozitivul lui Young, lama cu fete plan-paralele etc).

Metoda divizarii frontului de unda (fig.17) a fost propusa de Thomas Young. Prin aceasta metoda se pot obtine unde coerente. Fanta din ecranul se realizeaza in scopul obtinerii unei surse punctiforme. In urma divizarii frontului de unda provenit de la sursa S' se obtin sursele si coerente, care se mai numesc si izvoare virtuale coerente, deoarece nu sunt surse primare. In domeniul de suprapunere al undelor provenite de la ursele si se obtine fenomenul de interferenta.

Consideram cele doua unde, liniar polarizate pe aceeasi directie de vibratie, provenind de la sursa de lumina S, trecand apoi prin cele doua fante facute in ecranul E (fig.18). Fantele sunt identice si dispuse simetric fata de directia normala pe ecran SO^', astfel ca , devenind doua surse S₁ si S₂ de la care undele se propaga spre ecranul E^', unde se produce interferenta. Conditia de coerenta este indeplinita deoarece SS₁=SS₂, astfel ca fazele sunt identice.

In aproximatia , se pot scrie relatiile:

(7.95)

Impunand conditia ca diferenta de drum sa fie un numar intreg de lungimi de unda, , obtinem pozitiile de pe ecranul E^' unde se vor observa maxime:

(7.96)

Definim interfranja ca diferenta intre doua maxime succesive, astfel ca:

(7.97)

E'

Din conditia obtinem pozitiile unde se vor observa minime:

(7.98)

Se poate observa usor ca distanta dintre doua maxime succesive este egala cu distanta dintre doua minme succesive, astfel ca prin interfranja intelegem de asemenea distanta dintre doua minime succesive.

Metoda divizarii amplitudinii prezinta avantajul ca pot fi utilzate surse de lumina intinse (fig.19). Fasciculul de lumina poate fi divizat cu ajutorul uneia sau mai multor suprafete reflectante, prin care o parte din intensitatea luminii se reflecta, iar alta parte se transmite. Consideram o lama foarte subtire cu fete plan-paralele, si o sursa de lumina foarte indepartata care trimite un fascicul practic paralel pe lama.

Diferenta de drum optic pentru cele doua raze care ajung in A si C este:

(7.99)

unde , este unghiul de incidenta si este egal cu unghiul de reflexie , este unghiul de transmisie (refractie), iar apare datorita piederii unei jumatati de unda la reflexia pe suprafata lamei. Din legea refractiei:

inlocuind in (7.99), obtinem:

(7.100)

In functie de valorile lui si se obtin maxime pentru , respectiv minime pentru . In realitate pe lama se obtin mai multe unde, datorita reflexiei multiple, insa intensitatea acestora descreste foarte repede, astfel ca se poate neglija contributia lor la figura de interferenta. O figura clara de interferenta se obtine numai pentru o grosime a lamei suficient de mica.

Din conditiile pentru doua maxime succesive corespunzatoare lui , respectiv :

se obtine prin diferenta:

(7.101)

Pentru unghiuri de incidenta mici , cand este valabila aproximatia , (7.101) se poate scrie:

(7.102)

In concluzie, s-a obtinut urmatorul rezultat: distanta unghiulara dintre doua maxime consecutive este invers proportional cu grosimea lamei.

Dintre aplicatiile cele mai importante ale interferentei amintim urmatoarele:

Filtrele interferentiale se folosesc in aplicatii stiintifice sau practice unde este nevoie sa filtram lumina, astfel ca sa ramana dintr-un spectru de banda larga un domeniu spectral de numai cateva zeci de Ångstromi, se folosesc filtrele interferentiale. Acestea constau in mai multe straturi dielectrice foarte subtiri, depuse unul peste altul, si in cazul utilizarii a cateva zeci de straturi alternative din sulfura de zinc si creolit, s-a reusit obtinerea unei monocromaticitati de 1,5Å, cu o transmisie de 15%.

Straturi antireflectante sau straturi puternic reflectante. Fenomenul de interferenta permite reducerea la minimum a coeficientului de reflexie la suprafata de separare a doua medii, cu aplicatii importante la lentilele sau prismele din componenta unor dispozitive optice. Se depune o pelicula de dielectric pe o suprafata reflectatoare, materialul peliculei avand indicele de refractie mai mic decat al materialului suprafetei. Se poate realiza un minim de interferenta pentru lumina reflectata cand diferenta de faza intre doua raze reflectate este , respectiv un maxim cand diferenta de faza este . Valoarea coeficientului de reflexie depinde de lungimea de unda a radiatiei folosite, cat si de numarul de straturi dielectrice suprapuse

Refractometria interferentiala utilizeaza un interferometru cu doua fascicule, punandu-se in evidenta o variatie relativa a indicelui de refractie pentru corpuri transparente (gaze, solide sau lichide) de ordinul .

Masurarea lungimilor cu precizie inalta folosesc un dispozitiv de tip Michelson, care permite sesizarea unei diferenta de ordinul nanometrilor, pentru lungimi de ordinul metrilor.

Dilatometria interferentiala permite masurarea cu precizie a dilatarii unui obiect, astfel ca la o alungire se poate pune in evidenta deplasarea cu o franja a figurii de interferenta

Exemplul 3

a) Sa se determine lungimea de unda folosita in dispozitivul lui Young pentru obtinerea interferentei, daca distanta primul maxim si maximul central este , si .

b) Daca cele doua surse emit lumina alba, ambele fiind coerente, sa se determine latimea primului spectru obtinut pe ecranul E.

Vom considera limitele lungimii de unda pentru spectrul vizibil si

Rezolvare

a) Cu notatiile din fig.20, din conditia de maxim obtinem , apoi calculam interfranja:

de unde rezulta

b) Pentru rosu primul maxim este dat de relatia , iar pentru violet , de unde rezulta latimea primului spectru:

Exemplul 4

a) In dispozitivul lui Young din fig.20, cu , si lungimea de unda in vid a radiatiei utilizate , spatiul dintre cele doua ecrane se umple cu apa, care are indicele de refractie . Ce se intampla in acest caz cu sistemul de interfranje de pe ecranul E?

b) Inlaturam apa si acoperim deschiderea cu o lama de sticla de grosime si indice de refractie , asezata perpendicular pe directia . Care este grosimea lamei de sticla, daca franja luminoasa centrala s-a deplasat in sus, in punctul in care se afla cea de-a 20-a franja luminoasa in situatia in care lama nu exista?

Rezolvare

a) Viteza luminii intr-un mediu cu indicele de refractie are valoarea , iar lungimea de unda in acelasi mediu este:

unde este lungimea de unda in vid. Daca notam interfranja in vid cu , atunci, conform cu (7.97), si

b) Drumurile optice de la cele doua surse la punctul P vor fi:

iar diferenta de drum optic va fi:

Conditia de maxim este , de unde rezulta pozitia franjei luminoase de ordinul :

Toate franjele vor avea suferi translatie, si drept consecinta franja centrala se va deplasa cu . Din conditia problemei se obtine ecuatia:

de unde se obtine: