LEGILE GENERALE, LEGILE DE MATERIAL, PRINCIPALELE TEOREME ALE FENOMENELOR ELECTROMAGNETICE

2.1. Legile generale si de material. Regimuri electromagnetice. Medii electromagnetice

O lege este o relatie analitica între marimi fizice, care descrie, sub forma cea mai generala, cunostintele despre fenomenele unui domeniu al naturii, la un moment dat. Legile sunt fundamentate pe experienta, constituind rezultatul generalizarii unui numar mare de încercari. S-ar putea spune ca legile unui domeniu al stiintei constituie - facând o paralela cu Matematica - axiomele acestuia.

Legile se pot clasifica în:

- legi generale - care nu contin în expresiile lor marimi de material/mediu, deci sunt aplicabile în orice mediu;

- legi de material - care contin în expresiile lor si marimi de material/mediu si la aplicarea lor trebuie sa se tina seama de parametrii constitutivi() ai acestuia.

Teorema este un enunt adevarat, care se poate deduce, prin demonstratie, din alte adev 757e46h 59;ruri, presupuse cunoscute, cum ar fi legile.

Regimuri electromagnetice

Se defineste prin regim de functionare contextul în care variaza în timp marimile electrice si/sau magnetice. În electrotehnica se regasesc urmatoarele regimuri de functionare:

Regimul static. Este regimul în care marimile electrice sunt invariabile în timp , nu au loc transformari energetice, conductoarele nu sunt parcurse de curent electric de conductie si sunt imobile .

Exemple: regimul electrostatic, regimul magnetostatic.

Regimul stationar. În acest regim marimile de stare sunt invariabile în timp , au loc schimburi de energie cu mediul înconjurator, conductoarele sunt parcurse de curenti de conductie , fiind imobile sau mobile.

Exemple: regimul electrocinetic stationar( regimul circuitelor de curent continuu).

Regimul cvasistationar. Marimile de stare variaza suficient de lent în timp, astfel încât curentii de deplasare sunt neglijabili fata de cei de conductie , peste tot, cu exceptia dielectricului condensatoarelor electrice; conductoarele sunt imobile sau mobile.

Exemple: regimul de curent alternativ sinusoidal (monofazat sau trifazat).

Regimul variabil. În acest regim marimile de stare variaza rapid în timp, au loc transformari energetice, conductoarele sunt parcurse de curenti de conductie, curentii de deplasare si cei de pierderi în dielectric nu mai pot fi neglijati, conductoarele putând fi imobile sau mobile.

Exemplu: regimul tranzitoriu.

Din punct de vedere al modificarii în timp a formei marimilor de stare, se deosebesc:

- regimuri permanente (exemplu: regimul electrocinetic stationar, regimul permanent sinusoidal);

- regimuri variabile (exemplu: regimul tranzitoriu al circuitelor de curent continuu sau curent alternativ).

Medii electromagnetice

Notiunea de regim este strâns legata de cea de mediu. Un mediu consta în totalitatea caracteristicilor fizico - chimice ale spatiului în care au loc fenomenele studiate. Parametrii constitutivi ai unui mediu electromagnetic, respectiv parametrii ce caracterizeaza complet din punct de vedere electric si/sau magnetic un material sau un mediu, sunt - permitivitatea electrica, permeabilitatea magnetica si conductivitatea /rezistivitatea electrica.

Mediile electromagnetice se pot clasifica , dupa directia de susceptibilitate la actiunea câmpului electromagnetic , în:

a)            medii izotrope - au aceleasi proprietati în toate directiile. Astfel, un mediu dielectric, conductor sau magnetic este izotrop daca sub actiunea unui câmp (electric sau magnetic) se polarizeaza temporar în directia câmpului, oricare ar fi acesta directie;

b)            medii anizotrope - au proprietati diferite pe diferite directii. Astfel, polarizatia temporara si magnetizatia temporara depind de directia si sensul câmpului exterior, în sensul ca nu se produc decât pentru anumite directii (exemple: solide amorfe - pentru pct. a si solide cristaline - pentru b).

Dupa tipul polarizarii sau magnetizarii se deosebesc:

a) medii liniare - la care polarizatia temporara sau magnetizatia temporara sunt proportionale cu , respectiv . Altfel spus, si respectiv nu depind de , respectiv de , fiind constante;

b) medii neliniare - la care nu se mai regaseste aceasta proportionalitate. Între materialele neliniare pot fi exemplificate cele feroelectrice sau feromagnetice, caracterizate prin fenomenul de histerezis.

Dupa uniformitatea structurii fizico-chimice se deosebesc:

a) medii omogene: conductoare, elemente de circuit, izolatoare;

b) medii neomogene : surse electrice ( se spune ca aceste surse - de exemplu acumulatoarele - introduc neomogenitati în circuit).

În continuare vor fi prezentate legile generale si cele de material specifice Electrotehnicii.

2.1.1. Legea fluxului electric

Este o lege generala cu urmatorul enunt: fluxul electric prin orice suprafata închisa este proportional cu sarcina electrica localizata în interiorul acelei suprafete.

Relatia de definitie a fluxului electric este:

Aceasta relatie exprima forma integrala a legii fluxului electric.

Fluxul electric este pozitiv când liniile de câmp ies din suprafata si invers. Acest sens este corelat cu sensul normalei exterioare la suprafata , respectiv cu sensul lui .

Daca sarcina aflata în interiorul suprafetei este data si sub forma densitatii de sarcina, atunci membrul doi este al relatiilor (2.1.1.) se mai poate scrie:

.

Pentru obtinerea formei locale se aplica teorema Gauss-Ostrogradski relatiei (2.1.1.b.):

Considerând sarcina electrica din interiorul suprafetei Σ cu o distributie volumetrica:

si înlocuind aceasta expresie în (2.1.1.b.), se obtine:

respectiv forma locala a legii fluxului electric.

Cum inductia electrica este un vector de forma relatia de mai sus se mai poate scrie în coordonate carteziene:

Asadar, în fiecare punct al domeniului considerat, divergenta vectorului - inductie electrica este egala cu densitatea volumetrica de sarcina.

Tub de linii de flux electric

Liniile inductiei electrice încep din regiunile cu sarcini electrice pozitive si sfârsesc în cele cu sarcini electrice negative. Un mic volum închis strabatut de liniile vectorului inductiei electrice poarta numele de tub de linii de flux electric ( fig. 2.1.1.).

Daca se aplica legea fluxului electric la o suprafata care delimiteaza o portiune de tub de flux electric, se obtine:

= constant.,

unde este fluxul la intrare, iar - fluxul la iesire.

Cu alte cuvinte, fluxul electric are aceeasi valoare în orice sectiune transversala a unui tub de flux electric, în interiorul caruia nu exista sarcini electrice.

Legea polarizatiei electrice temporare

Enuntul legii este urmatorul: sub actiunea unui câmp electric exterior un corp izolator omogen si izotrop se polarizeaza temporar în directia acestui câmp, astfel încât polarizatia lui este proportionala cu intensitatea câmpului electric. Sub forma cantitativa legea se scrie:

unde: este permitivitatea electrica a vidului, iar este o marime de material adimensionala, numita susceptibilitate/susceptivitate electrica , si are valoarea: F/m.

Marimea nu depinde de , dar depinde de temperatura, presiune, structura fizico - chimica a materialului.

Este o lege de material ce caracterizeaza materialele izolatoare/dielectrice liniare (metalele nu se polarizeaza electric).

Legea legaturii dintre si

În orice moment si în orice punct al unui corp polarizat, inductia electrica este suma dintre intensitatea câmpului electric multiplicata cu si polarizatia :

Este o lege generala. Marimile , si sunt definite în acelasi punct al corpului izolator.

Ţinând seama de faptul ca polarizatia are o componenta temporara si una permanenta si, cunoscând expresia lui din (2.1.5.), rezulta:

Cu notatia: , se obtine:

unde este permitivitatea relativa a materialului/mediului - o marime adimensionala care depinde de material, iar este permitivitatea absoluta .

Daca =0 se obtine:

relatie valabila în dielectricii (izolatorii) liniari. Aceasta relatie constituie legea polarizatiei temporare sub forma tehnica.

Scurt comentariu cu privire la cei trei vectori ai câmpului electric , si

Inductia electrica (densitate de flux electric, deplasare) este legata doar de sarcina electrica libera. Liniile de câmp ale lui încep si se termina pe sarcinile electrice libere.

Polarizatia este legata doar de sarcina de polarizatie si se poate reprezenta vectorial tot prin linii de câmp, care încep si se sfârsesc pe sarcinile de polarizare.

Intensitatea câmpului electric este legata de totalitatea sarcinilor prezente, fie libere, fie de polarizare. Vectorul este o marime primitiva. Vectorii si sunt marimi derivate.

O prezentare sugestiva a relatiei dintre cei trei vectori poate fi facuta în cazul unui condensator electric plan (fig. 2.1.2).

Se observa, din figura, ca se defineste numai de la sarcini libere de un semn la cele de semn opus, pe când se defineste si între sarcini libere si sarcini de polarizare (acesta este sensul expresiei " .este legat de").

M si M' sunt doua puncte în spatiul dintre armaturi (dielectric ), caracterizate prin si respectiv prin

Observatie :

Sensul vectorului de polarizatie din dielectric este acelasi cu sensul vectorului sub actiunea caruia s-a produs polarizarea dielectricului (vezi polarizarea dielectricilor).

Legea fluxului magnetic

În orice moment fluxul magnetic prin orice suprafata închisa este nul:

Este o lege generala. Legea fluxului magnetic exprima, ca sens fizic, inexistenta sarcinilor magnetice.

Conform acesteia, fluxul magnetic ce intra printr-o parte a suprafetei este egal cu cel care iese prin alta parte, în acelasi moment, cu conditia ca în interiorul suprafetei sa nu existe alte surse de câmp magnetic.

Relatia (2.1.9.) reprezinta forma generala (integrala) a legii. Ea este valabila si pentru o suprafata deschisa .

Pentru a obtine forma locala, se aplica teorema divergentei (Gauss - Ostrogradski) relatiei (2.1.9.) :

,

de unde rezulta:

Ca urmare, inductia magnetica este un vector câmp solenoidal (fara surse, rotational) de forma sau .

Marimea se numeste potential magnetic vector al câmpului magnetic, fara a avea o semnificatie fizica; este o marime de calcul.

Fluxul magnetic devine:

.

Aplicând teorema lui Stokes, relatia de mai sus capata forma:

o alta expresie a legii fluxului magnetic, care arata ca fluxul magnetic are aceeasi valoare prin orice suprafata deschisa care se sprijina pe un contur închis . Fluxul magnetic depinde numai de conturul si nu de forma suprafetei care se sprijina pe el.⁺⁾

La calculul lui cu , este necesar sa se cunoasca valorile inductiei în toate punctele suprafetei .

La calculul lui cu , este suficient sa se cunoasca valorile lui doar pe conturul care limiteaza suprafata , deci rezolvarea problemei se simplifica.

Legea magnetizatiei temporare

În fiecare punct dintr-un corp izotrop si omogen (corp metalic) si în fiecare moment, magnetizatia temporara este proportionala cu intensitatea câmpului magnetic:

Este o lege de material ce caracterizeaza materialele liniare din punct de vedere magnetic( Cu, Al ).

Marimea se numeste "susceptivitate magnetica" si este o marime adimensionala, care depinde de starea materialului (temperatura, presiune, deformare s.a.).

Pentru materialele feromagnetice dependenta este neliniara, deci nu se mai poate aplica relatia (2.1.12.). Materialele feromagnetice sunt materiale neliniare din punct de vedere magnetic.

În tehnica legea nu se utilizeaza sub acesta forma, ci combinata cu legea legaturii dintre si , astfel:

; dar ;

deci:

Notând - permeabilitatea magnetica relativa a materialului, se obtine:

unde:

poarta numele de permeabilitate magnetica absoluta, iar este permeabilitatea magnetica a vidului: H/m.

Pentru materialele diamagnetice (de exemplu aluminiu):

; ,

iar pentru cele paramagnetice (de exemplu cupru):

; ,

diferentele în plus sau în minus fata de 1 si respectiv zero fiind practic nesemnificative. Se poate spune ca practic aceste materiale au si ca urmare , iar , ca în vid( aer ).

În cazul materialelor feromagnetice si atunci , deci , si, în plus, (caracteristica magnetica este neliniara ). Pentru aer se poate scrie de asemenea , deoarece .

2.1.6. Legea legaturii dintre , si

În fiecare punct din câmp (unde pot exista si corpuri magnetizabile) si în fiecare moment, inductia magnetica este suma dintre câmpul magnetic si magnetizatia , înmultite cu permeabilitatea vidului, :

Este o lege generala. Marimile , si sunt definite în acelasi punct (marimi de punct/diferentiale).

Daca se tine seama de faptul ca magnetizatia totala este data de suma dintre magnetizatia temporara si cea permanenta , , si se înlocuieste magnetizatia temporara cu expresia acesteia, relatia de mai sus se mai poate scrie:

Cu s-a notat permeabilitatea relativa a materialului, iar cu - permeabilitatea sa absoluta.

Daca , se obtine relatia cunoscuta pentru materialele liniare din punct de vedere magnetic :

care exprima o alta forma a legii magnetizatiei temporare, forma utilizata curent în tehnica(legea magnetizatiei temporare sub forma tehnica). 

În practica , pentru simplificarea calculelor, relatia (2.1.15) se utilizeaza si pentru materialele neliniare, alegând punctul de functionare al aparatelor( a se întelege - al circuitelor magnetice respective) pe portiunea liniara a caracteristicii de magnetizare( de exemplu la proiectarea unui electromagnet). Desigur ca în cazul unei sensibilitati ridicate a aparatelor aceasta relatie liniara nu mai poate fi aplicata, fiind utilizata caracteristica de magnetizare a materialului feromagnetic, respectiv ciclul de histerezis( B=B(H) ).

2.1.7. Legea conductiei electrice (legea lui Ohm)

Este o lege de material, ce poate fi exprimata sub forma locala sau integrala( G.H.Ohm, 1826).

Forma locala: în orice punct dintr-un conductor aflat în stare de conductie electrica (caracterizata prin miscarea ordonata a purtatorilor de sarcina sub actiunea unui câmp electric exterior), suma dintre câmpul electric si câmpul electric imprimat este egala cu produsul dintre densitatea curentului electric de conductie si rezistivitatea materialului. Relatia corespunzatoare este :

respectiv: 

Cu s-a notat conductivitatea materialului.

Câmpul electric , la rândul sau, este dat de relatia

,

unde este intensitatea câmpului electric coulombian (de natura potentiala) produs de repartitia instantanee a sarcinii electrice în conductoare sub actiunea unui câmp electric( urmare a aplicarii la borne a unei diferente de potential, de exemplu, de la un acumulator ), iar - intensitatea câmpului electric indus (solenoidal) produs de un flux magnetic variabil în timp, în conformitate cu legea inductiei electromagnetice. Spre deosebire de câmpul coulombian, ale carui linii de câmp sunt deschise, de la sarcinile pozitive la cele negative (sensul conventional), cel solenoidal are liniile de câmp închise (se mai numeste si rotational).

Cu s-a notat intensitatea câmpului electric imprimat, un câmp de natura neelectrica (dependent de temperatura, concentratie, presiune etc.) si care se stabileste în conductoarele cu neomogenitati de structura (cu surse electrochimice, cum sunt acumulatoarele electrice), sau în conductoarele accelerate (cazul masinilor electrice , unde sau, mai corect, ).

Legea se refera, sub forma aratata, la conductoare liniare, izotrope si neomogene. Pentru conductoare omogene (fara surse electrice) legea devine:

În teoria si practica circuitelor electrice legea se utilizeaza sub forma integrala. În acest scop se integreaza expresia locala a legii conductiei electromagnetice pentru o portiune oarecare de circuit neramificat, constituit dintr-un conductor liniar si izotrop, alimentat la borne cu o tensiune continua si continând o sursa electrica (fig.2.1.3):

unde , este densitatea curentului electric de conductie din circuit, i - intensitatea curentului electric de conductie, A - aria sectiunii transversale a conductorului.

Cu R s-a notat expresia :

,

ce reprezinta rezistenta electrica a portiunii de conductor 1 - 2.

Cum si A practic nu variaza de-a lungul conductorului:

unde este lungimea conductorului între punctele 1 si 2.

Calculând pe portiuni integrala din membrul stâng, se obtine:

,

unde:

este tensiunea electrica în lungul firului, iar

este t.e.m. a sursei din circuit.

Ca urmare:

expresie care reprezinta forma integrala a legii conductiei electrice.

În regim stationar (curent continuu) si se poate scrie:

,

deoarece integrala lui nu depinde de drum( a se vedea teorema potentialului electric).

Ca urmare, legea conductiei electrice se poate scrie în regim stationar:

cu semnul (+) pentru cazul când se aplica regula de la receptoare (sensurile lui si fata de borne coincid) si cu semnul (-) când se aplica regula de la generatoare (sensurile lui si fata de borne nu coincid).

Daca , se obtine:

expresie ce reprezinta legea lui Ohm, lege valabila numai pentru laturi de circuit pasive, neramificate, parcurse de curent electric de conductie.

2.1.8. Legea transformarii energiei în conductoare parcurse de curent electric (legea Joule- Lenz)

Forma locala a legii: Puterea instantanee a câmpului electromagnetic transformata pe unitatea de volum a unui conductor parcurs de curent electric de conductie în caldura este data de produsul scalar dintre intensitatea câmpului electric () si densitatea de curent () ,în punctul( volumul infinitezimal ) în care se calculeaza:

Este o lege generala.

În cazul conductoarelor liniare, izotrope si omogene, vectorii si fiind omoparaleli si cum , conform legii conductiei electrice, pentru aceste conductoare se obtine:

Marimea se mai numeste densitatea de volum a puterii din circuit si reprezinta energia electromagnetica transformata ireversibil în caldura, prin efect Joule - Lenz, în conductor.

Daca conductorul este neomogen (contine surse de energie electrica de tipul acumulatorului electric), din legea conductiei electrice se determina

si înlocuind pe în relatia lui se obtine:

În aceasta relatie:

este partea din energia electromagnetica primita de conductor de la retea, în unitatea de timp si transformata ireversibil în caldura pe unitatea de volum a conductorului , independent de sensul curentului.

Marimea:

este partea din energia electromagnetica schimbata între sursa din circuit ( când aceasta exista ) si câmpul electromagnetic din circuit.

În cazul în care >0, vectorii si sunt omoparaleli (au acelasi sens) si este cedata de sursa si primita de câmp.

În cazul în care <0, vectorii si sunt antiparaleli si este primita de sursa si cedata de câmp (cazul încarcarii unui acumulator de la retea).

Sub forma integrala legea se obtine integrând relatia (2.1.24.) pe întregul volum (V) al unui conductor. Se obtine expresia puterii totale, , cedate de câmpul electromagnetic unei portiuni omogene de circuit (fig.2.1.4):

unde: 

- reprezinta puterea totala cedata de câmpul electromagnetic unei portiuni de circuit ( puterea cedata de reteaua de alimentare).

În cazul în care în latura de circuit receptoare exista si o sursa de t.e.m., tinând cont de ecuatia laturii , , relatia (2.1.19) devine:

unde: corespunde transformarii ireversibile a energiei electromagnetice din conductor în caldura, prin efect Joule-Lenz, la nivelul întregii laturi de circuit;

corespunde transformarii energiei chimice a sursei în energie electrica(sursa produce energie), la nivelul întregii laturi de circuit;

corespunde transformarii energiei electromagnetice a câmpului din conductor în energie chimica (sursa preia energie de la circuit).

Sensul puterii în circuit ( latura de circuit ) este dat de relatia de sensuri dintre e_i si i:

daca si au acelasi sens, atunci >0 si sursa cedeaza energie câmpului, deci latura este generatoare (fig. 2.1.5):

daca si au sensuri opuse, atunci <0 si sursa primeste energie de la câmp, deci latura este receptoare( consumatoare ); este cazul încarcarii unui acumulator (fig.2.1.6):

Legea electrolizei(legea lui Faraday)

Aceasta lege(M.Faraday,1834) exprima relatia dintre masa unui element care apare la unul din electrozii unei bai electrolitice (electrodul negativ ) si intensitatea curentului electric de conductie care trece prin baie: masa de substanta care se depune în timpul la un electrod al baii electrolitice este proportionala cu sarcina electrica totala care trece prin baie si echivalentul chimic al elementului supus electrolizei:

unde: este echivalentul chimic al substantei depuse prin electroliza ( este valenta elementului);

este sarcina electrica corespunzatoare curentului ce strabate baia;

este o constanta universala, numita constanta lui Faraday.

Unitatile de masura ale acestor marimi sunt:

gram - pentru m;

gram/mol - pentru A;

Coulomb/echiv.gram - pentru .

Constanta nu depinde de natura electrolitului, fiind o constanta universala, =96.490 C/echiv.gram.

Electroliza se utilizeaza în tehnica pentru obtinerea unor metale de înalta puritate (Cu, Al), pentru acoperirea unor metale cu straturi metalice subtiri (nichelare, cromare, argintare) sau pentru reproducerea electrolitica a formei unor obiecte (galvanoplastie).

2.1.10. Legea conservarii sarcinii electrice

Daca se considera o suprafata închisa a unui corp izolator, astfel încât aceasta sa nu fie strabatuta de curent de conductie, se constata experimental ca sarcina totala localizata în interiorul suprafetei ramâne constanta:

Daca însa suprafata este strabatuta si de conductoare parcurse de curenti electrici de conductie, sarcina electrica variaza în timp, conform interpretarii fizice date curentilor.

Sa consideram, de exemplu, un condensator electric încarcat cu sarcina q, ale carui armaturi se leaga printr-un conductor metalic (fig. 2.1.7). In interiorul conductorului potentialul nu mai poate ramâne constant (armaturile au potentiale diferite) si echilibrul electrostatic nu se mai mentine la închiderea circuitului. În timpul regimului tranzitoriu de descarcare a condensatorului, prin conductor va trece un curent electric, care este egal cu viteza de scadere în timp a sarcinii de pe armaturile condensatorului.

Generalizând problema, se poate enunta legea conductiei electrice sub forma integrala: intensitatea a curentului electric de conductie care iese dintr-o suprafata închisa , atasata conductoarelor parcurse de curent, este egala în fiecare moment cu viteza de scadere a sarcinii , localizate în interiorul suprafetei.

Relatia de definitie a legii este urmatoarea:

Conventie: curentul trebuie considerat pozitiv daca iese din suprafata si negativ daca intra, fiind asociat, prin conventie, cu sensul pozitiv al normalei la suprafata elementara

Relatia de mai sus poate fi pusa si sub forma:

Pentru forma locala a legii se aplica teorema Gauss - Ostrogradski membrului I al relatiei (2.1.32.):

Ţinând seama de expresia din membrul drept al aceleiasi relatii, se obtine:

Relatia (2.1.34.) reprezinta forma locala a legii conductiei electrice.

Daca mediul analizat este în miscare (), în conductoare apare un curent suplimentar - curentul de convectie, astfel încât legea sub forma integrala devine:

Legea inductiei electromagnetice

Este o lege generala si se bazeaza pe fenomenul de inductie electromagnetica (M.Faraday, 1831): variatia în timp a fluxului magnetic ce strabate o suprafata care se sprijina pe circuitul închis produce o t.e.m. de contur , numita si t.e.m. solenoidala, al carei sens se opune cauzei care a produs-o (regula lui Lenz, 1834). Se poate scrie, ca urmare:

relatie care exprima forma integrala a legii inductiei electromagnetice si care se enunta astfel: tensiunea electromotoare de contur (), produsa prin inductie electromagnetica în lungul unei curbe închise (), este egala cu viteza de scadere a fluxului magnetic () prin orice suprafata () ce se sprijina pe curba () (fig.2.1.8).

Punând cei doi membri ai relatiei (2.1.30) se pun sub forma:

,

respectiv:

,

relatia de mai înainte se mai poate scrie:

În expresia legii inductiei electromagnetice fluxul este un flux total. Daca acest flux este produs de o bobina cu N spire, relatia (2.1.36.) devine:

unde reprezinta fluxul fascicular, adica fluxul produs de o singura spira a bobinei.

Cum în general un câmp electric este de forma:

,

iar si sunt nule în acest caz, , rezulta ca în expresia (2.1.37.) câmpul reprezinta numai câmp indus sau solenoidal ().

Membrul drept al relatiei (2.1.36.) se descompune, pe baza notiunii de derivata de flux, în doi termeni, si , unde:

si poarta numele de t.e.m. de transformare (indusa prin variatia în timp a intensitatii câmpului magnetic prin spira ), iar:

si poarta numele de t.e.m. de miscare (rotatie sau translatie).

T.e.m. apare în cazul inductiei variabila în timp si a circuitului () imobil, iar t.e.m. apare în cazul inductiei variabila sau constanta în timp si a circuitului () mobil; prima fiind specifica functionarii transformatoarelor electrice, iar cea de-a doua - masinilor electrice rotative, unde conturul (circuitul/spirele bobinelor) taie în miscare liniile de câmp magnetic.

Deducerea analitica a t.e.m. de miscare ()

Se considera un element al circuitului () în miscare de translatie cu viteza (fig. 2.1.9).

Într-un interval de timp dt, acest element se deplaseaza pe distanta si descrie suprafata elementara . Calculând fluxul elementar prin aceasta suprafata, respectiv: , se obtine t.e.m. sub forma:

De unde, integrând pe întregul circuit (), se obtine relatia:

Ţinând seama de expresiile lui si , legea inductiei electromagnetice se mai poate scrie sub forma integrala dezvoltata:

sau:

Legea inductiei electromagnetice evidentiaza o prima legatura între câmpul electric si cel magnetic: variatia în timp a câmpului magnetic produce linii (închise ) de câmp electric.

2.1.12. Legea circuitului magnetic

Este o lege generala, elaborata de Maxwell prin generalizarea teoremei lui Ampere, care, sub forma integrala, se enunta astfel: tensiunea magnetomotoare de-a lungul unui circuit magnetic închis, definit de o curba , este egala cu suma dintre solenatia curentilor electrici de conductie, , prin orice suprafata care se sprijina pe curba si viteza de crestere a fluxului electric prin acea suprafata( fig. 2.1.10.):

Ţinând seama ca ; ; iar , relatia (2.1.45.) devine:

Cu ajutorul derivatei de flux se demonstreaza ca membrul drept al relatiei de mai sus contine, pe lânga solenatie (curentul de conductie total), alti trei termeni si anume , , .

Astfel:

si reprezinta curentul de deplasare, care apare în dielectrici în cazul inductiei electrice variabile în timp, curba () fiind imobila (cu s-a notat densitatea curentului de deplasare);

si reprezinta curentul de convectie, care apare în cazul deplasarii cu viteza a unui corp încarcat cu sarcina electrica, având repartitia volumetrica ;

si reprezinta curentul Roentgen teoretic, care apare în cazul corpurilor polarizate electric si aflate în miscare.

Ca urmare, expresia integrala dezvoltata a legii se mai poate scrie sub forma:

respectiv:

Punând:

se obtine în final

unde poarta numele de curent hertzian.

Observatie

Curentul de deplasare are un rol important în studiul circuitelor electrice în regim cvasistationar (curent alternativ).

Introdus de Maxwell, aceasta explica atât continuitatea curentului electric variabil în timp prin condensatoarele electrice, cât si producerea si propagarea undelor electromagnetice în spatiul liber (fig.2.1.11).

În conductoare () este important numai curentul de conductie, , curentul de deplasare fiind nul, iar în dielectrici(izolatori) este important curentul de deplasare, , curentul de conductie fiind nul.

Ca urmare, pentru suprafata legea circuitului magnetic va contine în membrul drept numai temenul :

,

unde N este numarul de conductoare cuprins în , iar i - curentul total prin acestea; pentru suprafata legea circuitului magnetic va contine în membrul drept numai termenul :

( si sunt nuli-medii imobile).

Legea circuitului magnetic evidentiaza o alta dependenta dintre câmpul magnetic si cel electric: variatia în timp a unui câmp electric produce un câmp magnetic .

Legea inductiei electromagnetice si legea circuitului magnetic sunt doua legi fundamentale ale fenomenelor electromagnetice, care pun în evidenta interconditionarile dintre câmpul electric variabil în timp si câmpul magnetic variabil în timp si au un rol esential în explicarea producerii si propagarii undelor electromagnetice.

2.2. Principalele teoreme ale fenomenelor electromagnetice

2.2.1. Teoreme specifice regimului electrostatic

Teorema lui Coulomb

Aceasta teorema(Ch.Aug.Coulomb,1875) arata ca forta de interactiune dintre doua mici corpuri de proba încarcate cu sarcinile , respectiv , imobile, aflate în vid , aflate la distanta R una fata de cealalta, este data de relatia:

unde este, asa dupa cum s-a mai aratat, permitivitatea electrica a vidului.

Experienta arata ca corpurile încarcate cu sarcini de acelasi semn se resping, iar cele încarcate cu sarcini de semne contrare se atrag. Daca se noteaza cu , respectiv versorii distantelor orientate de la corpul 1 la 2 , respectiv la 2 la 1, reprezentarile vectoriale ale fortei de interactiune dintre corpuri, numita si forta lui Coulomb, arata ca în fig. 2.2.1.

Scriind pe , relatia (2.2.1.) poate fi pusa si sub forma:

În modul, forta devine:

Teorema lui Gauss

Teorema lui Gauss reprezinta un caz particular al legii fluxului electric si se exprima sub forma:

Enunt: Fluxul intensitatii câmpului electric printr-o suprafata închisa , în vid, este egal cu raportul dintre sarcina electrica din interiorul suprafetei si permitivitatea vidului, . Modul de obtinere a relatiei (2.2.4.) este urmatorul:

Pentru vid se poate scrie: , astfel încât legea fluxului electric devine:

de unde rezulta relatia (2.2.4.).

Teorema potentialului electrostatic( si electric)

Enunt: În regim electrostatic, circulatia vectorului câmp electric de-a lungul oricarei curbe închise , dusa prin vid, este nula:

Relatia (2.2.5.a.)reprezinta forma integrala a legii. Forma locala este data de relatia:

Teorema reprezinta un caz particular al legii inductiei electromagnetice.

Consecintele teoremei potentialului electrostatic sunt urmatoarele:

a.       În regim electrostatic tensiunea electrica dintre doua puncte nu depinde de drum.

Demonstratie:

Fie doua puncte, M si N, în câmp electrostatic, în vid, si doua drumuri oarecare între aceste puncte (fig. 2.2.2).

Se vede ca cele doua drumuri (C₁ si C₂) constituie împreuna drumul închis :

.

Relatia (2.2.5.a.) se mai poate scrie sub forma:

de unde:

.

b. Tensiunea electrica dintre doua puncte aflate în câmp electrostatic este egala cu diferenta potentialelor celor doua puncte.

Deoarece , înseamna ca marimea infinitezimala este o diferentiala totala. Ca urmare se poate introduce o marime scalara V, numita potential electric, astfel încât .

Semnul minus este introdus prin conventie si are semnificatia fizica urmatoare: deplasarea unei sarcini unitare în lungul unei linii de câmp, în sens opus acesteia, de pe pamânt( în general de la mare distanta) spre sarcina sau distributia de sarcini care produce câmpul, presupune învingerea fortei câmpului (). Integrând pe pe un drum oarecare între cele doua puncte din câmp, se poate scrie:

sau:

Desi este o marime scalara, se da acesteia un sens pozitiv, prin conventie, orientat de la primul indice catre cel de-al doilea (fig. 2.2.3).

Daca se considera ca punctul , unde este situat la distanta mare () de punctul N (de regula - pe pamânt), atunci se poate aprecia ca punctul N devine practic acelasi cu M în raport cu aceasta distanta () si în aceste conditii se poate scrie:

.

Punând si se obtine, în final:

,

sau:

Relatia (2.2.7) constituie relatia de definitie a potentialului electrostatic ( este potentialul de referinta, în mod curent acesta fiind potentialul pamântului: ).

Observatie

Relatiile legate de cele doua consecinte a si b sunt valabile atât în vid, cât si în oricare alt mediu, dupa cum arata experienta.

Teorema conservarii componentelor normale ale inductiei electrice

Enunt: La trecerea printr-o suprafata de discontinuitate, Sd, care separa doua medii imobile, neîncarcata cu sarcina electrica (), componentele normale ale inductiei electrice se conserva (trec în mod continuu dintr-un mediu în altul):

Demonstratie

Se considera o suprafata închisa , de forma unui paralelipiped, având aria bazei si grosimea foarte mica (), care înconjoara un punct oarecare M aflat pe suprafata Sd.

Se face o sectiune prin suprafata cu un plan care contine vectorii si punctul (fig. 2.2.4).

Normala , orientata dinspre mediul 1 spre mediul 2 se considera pozitiva, iar normala se considera negativa (). Ca urmare si .

Aplicând legea fluxului electric suprafetei închise si tinând seama ca fluxul prin suprafetele laterale este practic nul, se obtine:

;

;

.

De unde rezulta: .

Teorema conservarii componentelor tangentiale ale intensitatii câmpului electric

Enunt: La trecerea printr-o suprafata de discontinuitate, Sd, care separa medii imobile, componentele tangentiale ale intensitatii câmpului electric se conserva (trec continuu dintr-un mediu în celalalt) (fig. 2.2.5):

Se considera o curba închisa de forma dreptunghiulara, cu dimensiunea laterala , care include punctul M, aflata în acelasi plan cu vectorii câmpului electric si .

Aplicând teorema potentialului electric pe curba , se poate scrie:

;

de unde rezulta relatia : (2.2.9.) .

Teorema refractiei liniilor de câmp electric

Enunt: La trecerea printr-o suprafata de discontinuitate, Sd, dintr-un mediu cu permitivitate într-un mediu cu permitivitate , raportul dintre tangentele unghiurilor de incidenta si de refractie este egal cu raportul permitivitatilor:

Demonstratie

Din teoremele anterioare se observa ca:

Pe de alta parte, conform legii polarizatiei temporare - forma tehnica, se pot scrie relatiile:

deoarece mediile (1) si (2) sunt omogene si izotrope; rezulta relatia (2.2.10).

Teorema energiei în câmpul electrostatic

Enunt : energia înmagazinata în câmpul electrostatic al unui sistem de n conductoare, încarcate cu sarcinile si potentialele , este data de semi-suma produselor dintre sarcinile si potentialele luate pentru fiecare conductor în parte.

Expresia formala a teoremei este:

De exemplu energia înmagazinata în câmpul electric al unui condensator electric, având armaturile încarcate cu sarcinile , si potentialele si este :

Daca se tine seama de teorema capacitatii electrice, , rezulta:

unde reprezinta tensiunea electrica la bornele condensatorului.

Expresia (2.2.13) reprezinta forma integrala a teoremei energiei .

Sub forma locala, aceasta se poate scrie:

unde cu s-a notat densitatea de volum a energiei înmagazinata în câmpul electrostatic al sistemului de conductoare.

Pornind de la aceasta densitate, energia câmpului electric mai poate fi scrisa sub forma:

2.2.2.Teoreme specifice regimului electrocinetic

stationar si cvasistationar

Teorema potentialului electric stationar

Enunt:

În regim electrocinetic stationar ( regimul de curent continuu) si cvasistationar( în general - regimul de curent alternativ sinusoidal) circulatia intensitatii câmpului electric este nula de-a lungul oricarui contur închis (), oricum ar fi trasat acesta (prin conductoare sau, în parte, prin conductoare si prin dielectrici):

Rezulta ca, în regim electrocinetic stationar, ca si în cazul regimului electrostatic, circulatia vectorului nu depinde de curba de integrare si, deci, ca produsul este o diferentiala totala. Ca urmare se poate defini, ca si în cazul regimului electrostatic, o functie scalara numita potential electric, respectiv o diferenta de potential, care poarta numele de tensiune electrica.

În figura (2.2.6) este prezentat un conductor în regim electrostatic (a) si în regim electrocinetic (b).

În regim electrostatic potentialul este constant în lungul conductorului, pe când în regim electrocinetic potentialul variaza de la un punct la altul al conductorului parcurs de curent.

Câmpul electric este nul în interiorul conductorului aflat în regim electrostatic, dar este diferit de zero în interiorul conductorului parcurs de curent continuu, conform legii conductiei electrice (). La suprafata conductorului parcurs de curent electric, liniile de câmp electric sunt înclinate, aceasta directie fiind rezultatul sumarii vectoriale dintre câmpul , normal pe suprafata conductorului (produs de distributia de sarcina electrica libera de pe suprafata) si , tangent la suprafata conductorului (egal cu câmpul din interior, , conform teoremei conservarii componentelor tangentiale la suprafata de separatie dintre doua medii diferite).

Înclinarile suprafetelor echipotentiale (V_i=ct , unde i=1,2,...n) sunt diferite în cele doua regimuri, asa cum se observa în figura (liniile de potential constant sunt perpendiculare pe vectorii câmp-electric).

Teorema continuitatii liniilor de curent electric

Enunt:

În regim electrocinetic stationar liniile de curent (numite si liniile câmpului vectorial al densitatii de curent) se conserva în cazul unui tub de curent, adica liniile care intra în tub sunt egale cu cele care ies din tub.

Sub alta forma teorema se enunta astfel: intensitatea curentului electric care trece printr-o suprafata închisa () este nula, respectiv curentul care iese din suprafata este egal cu cel care intra; liniile de curent nu au început si nici sfârsit, ele circulând numai pe contururi închise (fig. 2.2.7). Se poate scrie:

sau :

Aici suprafata s-a luat strâns în jurul segmentului de conductor analizat.

Teorema este o consecinta a legii conservarii sarcinii electrice, cu specificarea faptului ca în regim stationar:

.

Demonstratie:

Se observa din figura ca :

,

unde :

.

Cum (datorita sensului normalei la suprafata ), iar

si

,

( si fiind perpendiculari), rezulta ca: , respectriv .

2.2.3. Teoreme specifice regimului stationar (si cvasistationar ) al câmpului magnetic

Teorema lui Ampere

Enunt:

Tensiunea magnetomotoare în lungul oricarui contur închis , , în regim stationar este egala cu solenatia a curentului total de conductie prin orice suprafata , care se sprijina pe curba :

unde:

Teorema este o consecinta a legii circuitului magnetic pentru regimul stationar, regim în care curentul de deplasare în dielectric este nul (), si serveste la calculul circuitelor magnetice ale aparatelor electrice care functioneaza în acest regim( relee, electromagneti, masini electrice de c.c.).