Materia si masuratoarea

Materia si masuratoarea

1 . Unitati si dimensiuni

Daca ati încercat vreodata sa estimati o distanta prin masurarea "pasilor", stiti cu totii cât de relativa este aceasta masuratoare. Sa reamintim metode mai vechi care întrebuintau degetul, palma, cotul, stânjenul, etc. pentru a compara doua dimensiuni. Aceste metode empirice constituie probabil primele tentative de masurare, chiar daca acestea s-au facut cu mijloace primitive.

Un alt exemplu al masurarii primitive îl constituie relativitatea timpului. Exemplu cel mai concludent îl constituie experimentul lui Pavlov, orice câine stiind timpul la care stapânul îi va da de mâncare, dar nu numai câinele ci orice animal domestic obisnuit cu o rutina zilnica de 24 ore (ciclul diurn zi-noapte). Putem spune ca astfel de manifestari sunt controlate de ceas intern care sincronizeaza activitatile lor mintale si metabolice la acest ciclu diurn.

Scari si unitati

Rezultatele unei masuratori sunt întotdeauna exprimate într-un anumit mod scalar definit prin intermediul unui anumit tip de unitati. Prima scala recunoscuta din antichitate face referire la capacitatea umana de parcurgere a unei distante, fie direct (lungimea unui segment uman, deget, cot, etc.) fie indirect (distanta pe care un om o poate parcurge zilnic). Odata cu evolutia civilizatiei au aparut pentru aceeasi dimensiune scari diferite de masurarea (vezi lungimea), de obicei adaptate la o anumita activitate sau meserie. Comertul a determinat definirea unor standarde care permit ca masuratorile sa fie verificate, iar atunci când sunt exprimate prin diferite unitati, acestea sa fie convertite si corelate unele cu altele.

În cursul evolutiei omenirii numeroase au fost standardele care au fost implementate diferitelor civilizatii, unele din acestea, cum sunt cele din epoca azteca, fiind practic pierdute chiar ca si mostenire istorica. Un exemplu al raspândirii unor standarde privind masuratorile îl constituie cel impus prin reglementari aparute prin implementarea unor imperii, precum cel britanic, care prin nostalgiile înca prezente, mai încearca si azi sa fie utilizate. Dar poate cel mai influent si proeminent eveniment al istorie cu referire directa la masuratori îl reprezinta momentul revolutiei franceze, respectiv perioada care a urmat acesteia. Consecinta directa o constituie sistemul metric care a încercat sa elimine confuziile privind masuratorile, reducând scalarea la o unitate fundamentala noua care poate fi usor combinata Astfel încât sa exprime orice fel de cantitate. Cu toate ca sistemul metric a câstigat curând adepti pe tot mapamondul, chiar si acolo unde conservatorismul este cel mai reprezentativ, respectiv Anglia si USA, totusi în USA acesta este de multe ori în inferioritate.

stiinta, fiind de fapt reala stradanie internationala, a adoptat sistemul metric foarte rapid; cu toate acestea stiintele ingineresti si tehnologiile asociate au adoptat lent aceasta schimbare, astazi însa implementarea este destul de avansata. Dar chiar si aparitia sistemului metric nu au redus utilizarea diferitelor unitati de masura pentru aceiasi marime fundamentala. Exemplu cel mai simplu îl constituie energia care prin sistemul metric este reprezentata în erg, electron-volt, joule, si doua tipuri de calorii! Aceste indecizii au condus la aparitia în mijlocul deceniului al saselea la adoptarea unui sistem mult mai elaborat, cunoscut ca SISTEMUL INTERNAŢIONAL (SI) de unitati recunoscut ca standard pentru stiinta, si încet - încet, pentru toate sistemele ingineresti.

Unitatile de baza  SI

În principiu, orice cantitate fizica poate fi exprimata în termini a doar sapte unitati de baza

Tabelul nr. 1 Unitati de baza SI

Obs. Candela nu este o unitate de baza foarte importanta în chimie, la fel cum amperul este rar întâlnit, în schimb toate celelalte contribuie la exprimari ale dimensiunilor des întâlnite în limbajul chimic.

Fiecare din aceste unitati sunt definite drept o unitate standard

Câteva precizari utile:

. Unitatea de baza a masei este unica prin faptul ca un prefix decimal este component si nu Gramul este acesta!!! (asa cum era de asteptat - Vezi mai jos )

. Unitatea de baza a timpului este singura care nu corespund sistemului metric. Toate încercarile si straduintele de a o modifica au dat gres. si la ora actuala sistemul constituit înca din antichitate 24h :60 min.:60 secunde este înca valabil!! (sic). Sa reamintim aici ca egiptenii antici au definit în jurul anilor 1500 î.C. ziua de 24 ore, iar sistemul orar de 60 minute si respectiv, 60 secunde. A fost deja introdus de Sumerieni în jurul anului 100 î.C.

. Cu toate ca nu este oficial mentionat în definitiile oficiale, chimistii definesc molul drept echivalentul numarului lui Avogrado (cca. 6.02 x 10^-23) a oricarei substante, si nu gramul asa cum era de asteptat !!

Prefixe zecimale în SI

Datorita valorilor diferite ale cantitatilor exprimând aceiasi cantitate de materie, la un moment dat s-a pus problema exprimarii acestora în multipli sau submultiplii ale acestor entitati, Astfel adeseori vom întâlni sufixuri ca mili sau mega, ca sub multipli sau multipli ai unitatii metrice. În cadrul SI aceasta practica a permis redefinirea unor unitati pe baza unei reguli fundamentale ale chimiei, si anume cele ale proportiilor multiple.

Tabelul nr. 2 Prefixe decimale ale SI

(cele importante din punct de vedere al chimistului sunt reliefate)

Utilizarea unor unitati în afara SI

Reprezinta unele unitati care sunt incluse în categoria " membrilor de onoare" ai SI în sensul ca sunt acceptate de a fi folosite alaturi de unitatea de baza definita anterior. Aceste categorii includ în primul rând unitati deja consacrate ca: ora, minutul, secunda, dar si unghiul (gradul!!), care prezinta uneori interes special pentru specialistul în chimie.

Sa nu uitam o entitate esentiala definita în studiul chimiei si anume cea a unitatii atomice de masa (u.a.m), esentiala în definirea nu doar a echivalentilor chimic dar si în multe ecuatii chimice de dublu schimb. Aceasta ultima unitate (abreviata ca u.a.m.) reprezinta echivalentul de masa a unitatii de masa atomica sau moleculara.

Unitati si dimensiuni derivate

Majoritatea cantitatilor fizice cu care avem de a face la ora actuala în viata de zi cu zi au constituite valori proprii pentru definirea proprietatilor proprii: volum, presiune, energie si proprietati electrice, etc. Este totusi foarte important de înteles ca toate aceste pot fi exprimate în sisteme asociate, respectiv derivate, ai sistemului SI, recunoscute drept unitati derivate.

În realitate, majoritatea entitatilor fizice pot fi exprimate în termenii urmatoarelor unitati fundamentale:

Masa  M lungimea L timpul T sarcina electrica Q   temperatura Q (theta)

Sa consideram de exemplu unitatea de volum, notata V. Pentru a masura un volum trebuie în consecinta sa existe un produs al trei coordonate:

V=x y z

Spunem în consecinta ca volumul trebuie sa aiba o dimensiune cubica

dim. V= L³

În consecinta unitatea volumului este m³ (în SI) sau cm³,, iar pentru englezi ft³. Mai mult chiar orice expresie a volumului trebuie sa contina o dimensiune de tip L³, spre exemplu volumul sferei, care este 4/3pr

Tabelul 3: Dimensiuni ale unitatilor utilizate frecvent în chimie

La ce folosesc dimensiunile? Exista câteva ratiuni care sustin utilizarea dimensiunii unitatii.

. Cel mai important motiv de utilizarea a dimensiunii este probabil necesitatea de a întelege relatiile dintre diferite unitati de masura si astfel o întelegere mai buna a sensului lor fizic.

Un exemplu simplu îl constituie confuzia care exista între doua dimensiuni din domeniul electric, rezistenta si rezistivitatea, confuzie care ar trebui sa fie evitata chiar prin definirea lor.

. Dimensiunile ne spun noua cum putem calcula oricare cantitate a acestor, utilizând oricare din unitatile specifice, dupa propria preferinta, (luati aminte la diferenta dintre dimensiuni si unitati)

. La fel cum nu poti aduna mere cu pere, o expresie de tipul nu are sens pâna la definirea dimensiunii fiecarei entitati în parte (bine-nteles acestea apelând la acelasi tip de unitati)

. Multe cantitati trebuie sa fie adimensionale(fara dimensiune), de exemplu variabila  x în expresii de tipul log x, e^x si sin x.

Studiul formal, detaliat al dimensiunilor este cunoscut sub numele de analiza dimensionala si reprezinta subiectul cu care se începe orice studio de baza, respective cel al chimiei generale

1.6 Unitati si subdiviziuni în Chimie

Daca vom studia unitatile utilizate în chimie vom fi surprinsi sa observam ca majoritatea acestora sunt întâlnite în experienta umana de zi cu zi.

Masa si greutatea

Aceste doua cantitati sunt foarte adesea confundate. Cu toate ca sunt folosite simultan atât în informarea vorbita sau scrisa, din punct de vedere dimensional ele au doua sensuri diferite.

Greutatea este forta exercitata asupra unei mase de gravitatia locala :

f = ma = mg

unde g reprezinta acceleratia gravitationala. În timp ce valoarea nominala a lui g este 9,8 m s^-2

la suprafata Pamântului , valoarea exacta a cesteia variaza local. Fiind o forta în SI unitatea de greutate trebuie exprimata în newtoni, dar larg acceptata este si gram-greutate ("gram") mult utilizata în contextual practicii de laborator.

Fig. 1: Domeniul maselor chimice

În aceasta diagrama, precum si în cele care urmeaza, scala numerica reprezinta logaritmul numarului prezentat. De exemplu masa unui electron este de 10^-30 kg

Domeniul maselor depaseste 90 ordine de marime, fiind cel mai mare comparativ cu altele. Domeniul în care chimia este implicata s-a extins rapid datorita tehnicilor moderne nou introduse, astfel încât zilele când microgramul reprezenta o cantitate greu de manipulat în laborator au trecut de mult. Nivelul superior este exprimat de unitatile utilizate în industrie, depasit azi prin aparitia unor noi domenii ca geochimia sau chimia ambientala (environmental chemistry). Astfel traseul elementelor prin diferite regiuni ale ambientului (de exemplu din atmosfera în ocean) sunt adesea evaluate la nivelul teragramelor.

Lungimea

Chimistii tind sa traiasca într-o lume unde lungimile sunt din domeniul celor moderate sau mici. Cei care studiaza lumea liliputana a structurilor cristaline sau moleculare sau a atomilor considera picometru ca unitatea cea mai convenabila, dar înca mai gasim adesea în literatura o unitate din afara sistemului SI numita Ĺngstrom, definita prin 1Ĺ = 10^-10 m. Nanotehnologia, domeniul zilelor noastre, redefineste aceasta arie. Cele mai mari macromolecule reprezinta culmea acestui domeniului, iar din punct de vedere al muncii în laborator, centimentrul si mai rar milimetru guverneaza în domeniul lungimilor.

Fig. 2: Domeniul distantelor

Timpul

Pentru fiintele umane timpul se misca odata cu bataile inimii, pe lânga faptul ca si miscarea Pamântului, care determina perioade precum ora, zilele, anii, poate eventual defini periodicitatea vietii noastre. Dincolo de putinii de ani de istorie ai umanitatii (doar câteva mii) acei ani care au reprezentat momente cheie ale descoperirilor din domenii cheie, cum ar fi biologia, geologia, chimia sau cosmologia, par azi de mica importanta pentru noi. Probabil acesta este motivul principal pentru care asa de multi oameni nu sunt înclinati sa-si accepte legalitatea de fiinta umana.

Fig. 3: Domeniul timpului

Majoritatea fenomenelor care se petrec în timpul experimentarilor chimice dintr-o epruveta decurg intr-un interval foarte mic de timp, cu toate ca nu exista limitari în privinta a cât de lenta poate fi o reactie. Privind la scara microscopica a lumii atomilor si moleculelor, scala de timp ne împinge iarasi spre domenii în care numerele par sa-si piarda întelesul. Am putea aprecia durata unei nanosecunde daca ne-am imagina cum raza de lumina parcurge o distanta echivalenta cu antrebratul nostru. Într-un anumit sens, fundamentarea materiala a chimie, respectiv al compusilor chimici, este determinata esential de timpul necesar crearii imaginii specie respective, nou atom sau noua molecula, respectiv al determinarii proprietatilor acestora.

Temperatura

Temperatura, masura intensitatii termice, întrece cel mai mic domeniu al unitatilor unei masuratori chimice. Raspunsul rezida din faptul ca temperatura este o masura a intensitatii energiei termice cinetice. Modificari termice apar atunci când atomii se rearanjeaza în noi conformatii, cele mai slabe miscari ale atomilor fiind aproape de zero absolute cu consecintele evidente asupra posibilitatii de regrupare. La capatul celalalt al scalei, miscarile devin asa de viguroase încât pot determina scindarea moleculelor în atomi si chiar, precum stelele, în electroni grupati în fascicole, determinând aparitia plasmei, conglomerate de nuclee(ioni) si electroni.

Unitatea de temperatura, gradul, reprezinta un increment al temperaturii, o fractie fixa a unei distanta definita de doua repere de referinta ale unei scale de temperatura.

Primul termometru cu mercur , respective prima scala de temperatura a fost introdus în Olanda de Gabriel Daniel Fahrenheit în 1714. Fahrenheit stabileste trei puncte de referinta la termometrul sau. Punctul de zero corespundea temperaturii unui amestec de gheata, apa si sare de bucatarie, fiind cel mai jos punct de temperatura ce se putea atinge în laborator la acele vremuri. Eliminând sarea din amestec el stabileste al doilea punct -32 grade. Al treilea punct fix determinat de el este definit de temperatura corpului uman sanatos - 96 grade. Dupa moartea lui Fahrenheit în 1736, termometrul sau a fost recalibrat în 212 grade.

Fig. 4: Domeniul temperaturilor

În 1743, astronomul suedez Anders Celsius introduce o scala centigrada, plasând exact 100 de grade între doua repere de referinta, punctual de topire si respectiv punctul de fierbere al apei. Din motive cunoscute numai de el, Celsius atribuie valoarea de zero grade punctului de fierbere al apei si valoarea de o suta de grade punctului de topire, rezultând o scala la care putini au dorit sa o utilizeze. Dupa moartea lui în 1744, scala a fost inversata si utilizata si azi. Scala a fost rapid acceptata mai putin de tarile anglofone, devenind unitatea metrica de temperatura. În 1948 a fost redefinita oficial drept scala Celcius si utilizata în majoritatea tarilor. Exceptie o fac Statele Unite ale Americii unde studentii mai sunt înca obligati sa utilizeze conversia între cele doua scale.

Fig. 5: Compararea scalelor de temperatura

Cheia conversiei consta în observatia între punctul de topire si cel de fierbere al apei sunt 180 grade Fahrenheit, respectiv 100 grade Celsius, determinând un raport F°/C° 100/180 = 5/9

Atentie: faceti deosebirea între "⁰C" (o temperatura) si "C°" (un increment de temperatura).

Scale ale temperaturii absolute. Catre sfârsitul secolului al XIX-lea când semnificatia fizica a temperaturii a început sa fie mai bine înteleasa, a fost nevoie de introducerea unei scale în care valoarea de zero sa corespunda într-adevar valorii unde practic miscarea este "înghetata". Asa a luat nastere scala temperaturii absolute a carei valoare de zero este la -273,15⁰C, dar care pastreaza valoarea intervalului de grad de temperatura cu scala Celsius. Mai a fost redenumita drept scala Lordului Kevin (William Thompson), gradul Celsius devenind kelvin.

În 1859 William J.M.Rankine, inginer si fizician scotian, propune la rândul sau o scala a temperaturilor absolute exprimate în grade Fahrenheit. Zero absolut (0° Ra) ar corespunde la -459,67°F. Aceasta scala a fost utilizata intensiv de englezi si americani, care s-au amuzat definind capacitatile de caldura în unitati BTU per pound per F°.

Importanta scalei temperaturii absolute rezida din faptul ca aceasta temperatura poate fi utilizata direct în toate formulele fundamentale ale fizici si chimiei, formule în care temperatura apare ca variabila. Ce exemplu mai bun poate fi gasit ca ecuatia de stare a gazului ideal:

PV = nRT.

Presiunea

Presiunea este forta exercitata asupra unitatii de suprafata. În SI este exprimata în newtoni per metru patrat. Totusi mult mai uzitata este o unitate derivata din cea SI si anume pascal:

1 Pa = 1 N m^-2.

Presiunea Atmosferica

Conceptul de presiune a fost întâi abordat în studii legate de atmosfera si vacuum secolul al XVII-lea. Moleculele unui gaz sunt într-o stare de miscare termala constanta, miscându-se dupa o directie dreapta pâna în momentul în care se ciocnesc de alta molecula. Rezultatul ciocnirii este reprezentat de modificare momentului dintre perechile de molecule, cu modificare si a directiei de miscare termica. Acest fapt conduce la o distributie larga a vitezelor si directiilor de deplasare a moleculelor. În vase obisnuite acest efect este prea mic pentru a fi observabil, dar în coloane foarte înalte de aer efectul se aditioneaza: moleculele fiecarui strat vertical exercitând asupra celor de sub ele un efect care se propaga în spre partea inferioara a coloanei, respectiv o crestere a presiunii.

La nivelul marii, presiunea este de 10340 kg m^-2. Forta pe care Pamântul o exercita (greutatea) asupra acestei mase este:

f = ma = mg = (10340 kg)(9,81 m s^-2) = 1,013x105 kg m s^-2 = 1,013x105 newton

rezultând o presiune de

1,013x 105 n m^-2 = 1.013x105 pa.

Presiunea la nivelul marii variaza evident odata cu conditiile atmosferice, în consecinta s-a dovedit util sa se defineasca o presiune atmosferica standard

1 atm = 1,013x105 pa sau 101 kpa.

Cu toate ca presiunea atmosferica nu este o unitate SI, ea este înca foarte mult utilizata. În meteorologie se utilizeaza o alta unitate, bar, exact 1,000 x105 pa = 0,967 atm.

Fig. 6: Domeniul presiunilor

Barometrul.

La începutul secolului al XVII-lea fizicianul si matematicianul italian Evangalisto Torricelli a inventat un dispozitiv menit sa masoare presiunea atmosferica. Acest dispozitiv, denumit barometru, consta într-un tub de sticla închis la un capat si liber la celalalt. Tubul umplut cu un lichid, de obicei mercur, este introdus cu capatul liber într-un vas în care se gaseste aceleasi lichid. Nivelul din tub se va stabiliza atunci când forta exercitata de presiunea atmosferica este echilibrata de forta hidrostatica a coloanei de lichid.

Torricelli a fost primul care a recunoscut faptul ca spatiul de deasupra lichidului este un vacuum, fiind astfel acreditat ca primul care a reusit realizarea vacuumului. O atmosfera standard determina o coloana de mercur de 76 cm, astfel încât notiunea de milimetru coloana de mercur, cunoscuta sub numele de torr, a fost mult timp o unitatea de masura pentru presiune utilizata în stiinta:1 atm = 760 torr.

. Sensul masurii: acuratetea si precizia

În stiinta exista numere si numere. Atunci când ne referim la un numar de obicei ne referim la un numar pur, adica la expresia unei valori precise. Sa ne reamintim ca întâi am învatat despre numere întregi , apoi am trecut la cele cu zecimale, cele rationale, care includ deja numere precum 1/3 sau p(pi) care nu mai pot fi exprimate ca valori zecimale exacte. Alte tipuri de cantitati numerice ce le-am întâlnit în stiintele legate de natura sunt valori masurate a ceva, lungimea sau greutatea unui obiect, volumul unui lichid, sau o valoarea data de un instrument de masura. Desi am exprimat aceste valori în forma numerelor ar fi o grava eroare ca ele sa fie interpretate în sensul anterior al numarului pur.

Confuzie?

Sa presupunem ca instrumentul nostru de masura are un indicator ca cel din imaginea alaturata.

Acul indicator de misca în jos si-n sus pe aceasta scala. Ce numar veti scrie in caietul dumneavoastra de observatii? Evident ca valoarea este între 130 si 140, , dar gradatia existenta ne permite sa fim ceva mai exacti si sa plasam valoarea undeva între 134 si 135. Fiind mai aproape de 135 estimam valoarea notata la 134,8, valoare care o notam in caiet. Acum intervine momentul important când trebuie sa întelegem ca desi 134,8 este un numar in sine, cantitatea pe care am masurat-o nu este sigur 134,8, sau cel putin cea exacta. Motivul pentru care aceasta afirmatie este adevarata rezida din faptul ca scala aparatului nu a avut diviziuni de 134,7; 134,8 respectiv 134,9. Prin raportarea la valoarea de 134,8 noi putem afirma ca valoarea adevarata este undeva între 134,75 si 134,85 deci o marje de incertitudine de ±0.05 unitati.

Incertitudinea este certitudine! Toate masuratorile ale cantitatilor care presupun un domeniu mai larg de valori (lungime, masa, volum, etc.) consta în doua parti: valoarea raportata (niciodata  un numar exact cunoscut) si o incertitudine asociata acestei masuratori.

Erori în valorile masurate

Toate masuratorile sunt supuse erorii care contribuie la incertitudinea rezultatului. Prin "eroare" nu întelegem doar greseala simpla, cum ar fi utilizarea improprie a unui instrument sau neputinta de a citi corect o scala, si desi astfel de erori grosiere au loc uneori, ele conduc la rezultate atât de nefondate încât atrag rapid atentia asupra lor. Ne vom referii în special la acele tipuri de erori care sunt inerent asociate oricarui act de masurare.

Eroare întâmplatoare

Cu cât un instrument este mai sensibil cu atât probabilitatea ca doua masuratori succesive sa fie identice scade. Pe de alta parte orice instrument este supus unor multiple influente ce pot denatura masuratoarea ca: vibratia cladirii, fluctuatii ale curentului electric, miscarea aerului, frecari a oricarei parti al angrenajului sau, etc.

Eroare sistematica

Sa presupunem ca va cântariti acasa cu toate ca ati observat ca acul indicator este deja la 1,5 kg. În consecinta toate masuratorile care urmeaza vor contine aceasta eroare de citire, care spre deosebire de eroarea întâmplatoare care nu poate fi eliminata, poate fi usor corectata. Deci eroarea sistematica poate fi controlata si corectata prin reglarea aparaturii respectiv etalonarea ei. Totusi, odata instalata o eroare sistematica în serii de date, este foarte greu de depistat.

2.3 Valoarea medie

Atunci când obtinem mai mult de un rezultat pentru o anumita masuratoare, cel mai simplu procedeu este sa se raporteze o valoare medie. Media matematica este definita drept suma tuturor valorilor, împartita la numarul de masuratori efectuate.

2.4 Acuratetea si precizia

În conversatiile de zi cu zi avem tendinta de a utiliza aceste doua termene dându-le cam sens comun, dar din punct de vedere stiintific, exista diferentei în sensul lor.

. Acuratetea se refera la cât de apropiate sunt valorile masuratorii de "adevar".

. Precizia exprima gradul de reproductibilitatea, sau de corespondenta a masuratorilor repetate

Desigur, acuratetea reprezinta obiectivul pe care ne straduim sa-l atingem în masuratorile stiintifice. Din nefericire nu exista o cale sigura care sa confirme cât de aproape suntem de valoarea reala.

Astfel din imaginea de mai sus nu putem distinge cazurile a, b, c si d prin simpla examinare a rezultatelor a doua masuratori. Putem totusi judeca precizia acestor rezultate si apoi sa aplicam statistica simpla pentru a afla câr de aproape este valoarea medie de valoarea reala, în lipsa unor erori sistematice.

Daca presupunem ca doriti sa preziceti rezultatul viitoarelor alegeri pe baza unor interviuri cu doi sau trei electori; sau cel puti zece-douazeci, iar în cazul celor nationale la o scara mult marita de sute sau chiar mii de interviuri. Teoria statisticii ne spune ca cu cât creste numarul de intervievati, cu atât rezultatul se va apropia de valoarea reala, care în acest caz s-ar constitui prin media obtinuta prin aplicarea interviului la întreaga populatie.

2.5 Incertitudine absoluta si relativa

Daca cântariti o proba solida de55,4 mg cu o balanta de laborator, a carei precizie este de 0.1 mg, atunci probabil proba va avea o valoare a greutatii între 55,3 si 55,5 mg; incertitudinea absoluta este în acest caz de0,2 mg, sau ±0,1 mg. Daca utilizati aceiasi balanta pentru a cântarii o alta proba de 5,2478 g, valoarea reala a acesteia situându-se în intervalul 5,2477 g si 5,2479 g, deci incertitudinea absoluta este tot de ±0,1 mg.

Cu toate ca incertitudinea absoluta a celor doua masuratori este identica, suntem tentati sa consideram cea de-a doua masuratoare mai precisa deoarece incertitudinea este mai mica. Incertitudinea relativa a celor doua cântariri este

55,4 = 0,0036 (cca. 3 parti în 1000 (PPT), sau 0,4%)

5,2478 = 0,000084 (cca. 0.8 PPT , sau 0.008 %)

Incertitudinea relativa este deseori utilizata pentru a exprima realismul masuratorilor. Incertitudinea relativa se exprima în diferite moduri fie ca procente, parti la mie (PPT) sau parti la milion (PPM), etc.

. Cifre semnificative si rotunjirea lor

Sa consideram urmatoarele afirmatii:

populatia orasului nostru este de 257742

numarul electorilor la data de 30 septembrie este de 28999.

Care din acestea vi se pare mai incerta; sigur nu a doua întrucât valoarea a fost extrasa dintr-o baza de date recent revizuita, numarul fiind de fapt doar o numarare de electori. Prima în schimb contine o serie de incertitudine usor decelabile cum ar fi faptul ca este aproape imposibil de a determina la orice moment numarul exact al locuitorilor datorita diferitelor motive ca nasterea sau moartea, plecarea în alta localitate, etc.

3.1 Cifre, semnificative si nesemnificative

Sa analizam putin exemplele anterioare. Care este diferenta dintre aceste cifre? Prima exprima o cantitate nesigura. Este chiar imposibil de afirmat ca în acest moment populatia orasului este foarte exact 257742 locuitori. Totusi acest numar poate fi utilizat pentru a defini "populatia orasului" în scopuri legale, dar este sigur departe de numarul real al populatiei. Pentru a reflecta si mai bine aceasta incertitudine, trebuie mentionat ca în diferite publicatii (atlase turistice) numarul populatiei apare rotunjit, la 257800 sau 258000. Aceste numere contin patru sau trei cifre semnificative si au urmatoarele sensuri:

Valoare de 257800 (cifrele semnificative sunt subliniate) implica faptul ca populatia este cuprinsa între 257750 si 257850, sau altfel spus 257800 50. Deci gradul de incertitudine absoluta este 50 - (-50) = 100. Incertitudinea relativa poate fi usor calculata 100/257800

Valoarea de 258000 implica un domeniu cuprins între 257500 si 258500, sau 258000±500, incertitudinea absoluta este de 1000, tradusa în cea relativa 1000/25800

Întrebarea fireasca este care din cele doua numere vor defini "populatia orasului", iar raspunsul va depinde de gradul de încredere oferit de numarul populatiei la ultimul recensamânt; daca recensamântul a avut loc saptamâna trecuta ar trebuie sa fie mult mai exacta decât un recensamânt din anul anterior.

Acestea toate scot în evidenta un important punct de vedere: conceptul de cifre semnificative are prea putin de a face cu matematica si mai mult cu încrederea noastra în valabilitatea masuratorii. Aceasta încredere poate fi exprimata numeric (de exemplu înaltimea unui lichid într-un cilindru gradat poate fi citi cu o precizie de ±0.05 cm), dar atunci când aceasta nu este posibila , ca în exemplu anterior privind populatia orasului, nu avem decât sa ne bazam pe experienta si judecata noastra.

Deci, ce este o cifra semnificativa? Conform definitiei uzuale sunt toate numeralele dintr-o cantitate masurata (numarate din stânga) a caror valoare este considerata a fiind exact cunoscuta, plus înca una, a carei valoare este mai mult sau mai putin exacta.:

. "257800" (patru cifre semnificative), primele trei dinspre stânga au o valoare bine cunoscuta, în schimb cea de-a patra cifra prezinta înca o marje de eroare, datorita intervalului în care este încadrata (750 - 850)

. 258000" (trei cifre semnificative), primele doua din stânga fiind cele exacte, iar ultima, adica 8 este cea nesigura, întrucât reprezinta o valoare din intervalul 257500 si 258500.

Desi rotunjirea duce adeseori la pierderi de informatii numerice, ceea ce pierde poate fi considerat drept "zgomot numeric" si care nu contribuie la calitatea masuratorii. Scopul urmarit prin rotunjire este de a împiedica exprimarea unei valori la o scala mai mare de certitudine decât cea rezultata din incertitudinea masuratorii.

3.2 Reguli privind rotunjirea

Regulile de baza ale rotunjirii sunt bine cunoscute. Înainte de a le formula din nou sa convenim asupra a ce se numeste componentele variabile ale unei valori numerice.

. cea mai semnificativa cifra este cifra cea mai din stânga (fara a se considera cifra zero atunci când este în fruntea unui numarul zecimal)

. Daca rotunjirea s-a facut n cifre semnificative, atunci semnificativa va fi cea de-a n fata de prima cifra semnificativa. Ultima cifra semnificativa trebuie sa fie diferita de zero

. Prima cifra nesemnificativa va fi în pozitia n+1.

Regulile rotunjirii:

a.       Daca prima cifra nesemnificativa este mai mica decât 5 atunci ea ramâne neschimbata

b.      Daca prima cifra nesemnificativa este mai mare ca 5 atunci ultima cifra semnificativa îsi mareste valoarea cu 1.

c.       Daca prima cifra nesemnificativa este 5 atunci ultima cifra semnificativa fie îsi mareste valoarea cu 1, fie ramâne neschimbata

d.      Toate cifrele nesemnificative sunt înlaturate.

Tabelul urmator ilustreaza aceste rotunjiri